路径积分简介

N →∞
(
N −1 h
1 ˙2 ¯j) ¯ − V (x ¯ j, t mx 2 j
) i
(25)
也可以将此式看作路径积分的精确定义式,我们以后的计算都是基于此.
3 几个例子
下面我们讨论几个具体计算的例子.为简单起见,我们暂时使用自然单位制.
3.1 自由粒子的运动
˙ 2 /2,因此 自由粒子的Lagrange函数为L =x
+∞
(27) (28)
这里a和b是保证积分收敛的任意复数,最终上述积分式的结果为 其中 容易算出
bN − 1 =
q
h i −π ab exp (ζ − η)2 a+b a+b
(−π)(N −1)/2(a1a2…aN −1)−1/2exp{bN −1(ξN − ξ0)2} a1 = 2, a2 = b1 + 1, …, aN −1 = bN −2 + 1, b1 = 1/2, b2 = b1 /(b1 + 1), …, bN −1 = bN −2 /(bN −2 + 1) 1 1 , a a ⋯a = +1 N 1 2 N −1 1
(29) (30)
因此得到
K(b, a) = lim
1 1 (2πiϵ)N /2 2 π iNϵ N →∞ AN ϵ



1 1 +1 ⋯ +1 =N 2 N−1
1/2

exp
n
1 (ξ − ξa)2 N b

(31) (32)
o
4
节3
要保证上式在N → ∞以及ϵ → 0时有极限,我们取
Aϵ = (2πiϵ)1/2 (33)
∑ {exp[ip(2nL + xb − xa)] − exp[ip(2nL − xb − xa)]} n=+ ∞ p2T +∞ dp = ∫−∞ exp −i exp(−ipxa)(2i)sin( pxb) ∑ exp(in2 pL) 2π 2 n=−∞
(9)
这说明,当tb ≠ ta时,传播函数也是一种可能的波函数(以(xa, ta)为脚标),它也必须满足相应的积 分方程 +∞ K(c, a) = ∫−∞ K(c, b)K(b, a)dxb (10) 这个公式称为组合规则.现在,我们让tc → t+ a ,得到
δ(xc − xa) = ∫−∞ K(xc, ta; xb, tb)K(xb, tb; xa, ta)dxb
i ∗ K(b, a) = ∑ exp − En(tb − ta) ϕn(xb)ϕn ( x a) ℏ n (16)
令T = tb − ta,我们可以对上述传播函数求迹
h
i
(17)
这个式子称为迹核函数,它与统计力学的配分函数形式相似.另一个有用的处理是对传播函 数中的时间T = tb − ta作Fourier变换,得到 h i ∗ ϕn(xb)ϕn (xa) 1 +∞ i ������(xb, xa; z) = ∫0 dT exp (z + iϵ)T K(xb, T; xa, 0) = ∑ (19) iℏ ℏ z − E + iϵ n n 其中ϵ → 0+为收敛因子.因此如果将������(xb, xa; z)看作z平面上的解析函数,则它在实数轴上的极 点对应于束缚态能级,而留数决定于能量本征函数.在已知传播函数的基础上,可以用这两个 函数来求能级.
h i i +∞ ������(T) = ∫−∞ K(x, T; x, 0)dx = ∑ exp − EnT ℏ n
(18)
2 路径积分
由Feynman在50年代提出的路径积分方法的核心是如下构造传播函数: n h i o i tb 1 2 xb ˙ − V(x, t) dt K(b, a) = ∫x ������[x(t)]exp mx ∫t a ℏ a 2
N −1 1 +∞ 1 x j+1 − x j K(b, a) = lim N ∫−∞ dx1…dxN −1 exp iϵ ∑ 2 ϵ N →∞ Aϵ j =0
(
令ξ j = (i /2ϵ)1/2x j,我们来计算其中的积分式
+∞

) 2
(26)
反复运用公式
∫−∞ dξ1…dξN −1 exp[(ξ1 − ξ0)2 + (ξ2 − ξ1)2 + ⋯ + (ξN − ξN −1)2] ∫−∞ dz exp[a(z − η)2 + b(ζ − z)2] =
˙ ¯j是相应量在(t j, t j + ϵ)间的某个值,通常可以取 ¯ j,x ¯ j和t 其中x 1 ˙ j = 1 (xj+1 − x j), x ¯j = 1 (t j + t j+1) ¯ ¯ j = (x j + x j+1), t x ϵ 2 2 (24)
1/ Aϵ是与ϵ有关的因子,它保证最后取ϵ → 0能得到有意义的结果(从量纲分析的角度来看,这个 因子也是需要的:因为传播函数具有长度量纲,Aϵ也必须具有长度量纲(∼(ℏϵ / m)1/2)才能保证 组合规则的量纲正确).将所有结果都收集起来之后 K(b, a) = lim 1 dx1 dx2 dxN −1 i … exp ϵ∑ ∫ Aϵ Aϵ Aϵ Aϵ ℏ j=0
(20)
+∞
˙ , x, t) = (m / 2)x ˙ 2 − V (x, t)是Lagrange函数,S[x(t)] = ∫−∞ Ldt是作用 其中xa = x(ta),xb = x(tb),L(x 量积分.上式表示的实际是一个泛函积分:对应于每一条满足初末边值条件的轨道都有一个 相位因子 exp(iS[x(t)] / ℏ)与之相联系,传播函数则相当于将所有轨道的贡献叠加起来.注意,这 里与经典粒子的运动有一个主要的差别.经典粒子的运动实际上只有唯一的一条轨道xc(t),而 这里则是每一条想象得出来的连接xa和xb的轨道都对传播函数有贡献.可见,通过路径积分的 手续 ,我们实质上是在不引进算符的条件下完成了从经典力学到量子力学描述的过渡,即所 谓的量子化. 然而 ,我们要指出,从未有人真正在上述意义下完成这个路径积分,因为这要求对轨道所 在的函数空间引进合适的测度,但这个问题在数学上怎么处理还是不清楚的.实际可操作的 方案主要是无穷重积分方法(多边折线方法).下面我们详述之.
几个例子
3
我们在时间间隔T = tb − ta内插入N − 1个均匀分点
t0 = ta, t1 = t0 + ϵ, …, tN −1 = t0 + (N − 1)ϵ, tN = tb (21)
其中ϵ = T / N.与这些时间分点相应的{x(ti), i =0,1, …, N}则记为x0 = xa, x1, x2, …, xN = xb.根据传播函 数的组合规则,我们有
从而
K ( b , a) =
利用δ函数的的一个表达式

1 2πiNϵ
1/2
exp
n
i 1 (x − x )2 = 2N ϵ b a 2πiT
o
1/2
exp
n
i (x xa)2 lim exp − = √π δ(xb − xa) z z→ 0 √z 1
G(b, a)tb→ta = δ(xb − xa) (7) (8)
于是传播函数K(b, a)满足
K(b, a)tb→t+ = δ(xb − xa) a
利用dΘ(tb − ta)/ dtb = δ(tb − ta)以及上述结果立即可以证明 ∂ iℏ − H K(b, a) = iℏδ(tb − ta)δ(xb − xa) ∂ tb
ψ(xb, tb) ≠ 0, tb > ta; ψ(xb, tb) = 0, tb < ta
(4)
这相当于采取如下方式重新定义一类Green函数 G(b, a), tb > ta K(b, a) = G(b, a)Θ(tb − ta) =
0, tb < ta
(5)
其中Θ(tb − ta)为Heaviside阶梯函数.如此得到的这类Green函数称为推迟传播函数,因为它描 述了点波源发出的波随时间流逝的一种传播效应.使用这种传播函数,tb时刻的波函数仍然可 以表示为 +∞ ψ(xb, tb) = ∫−∞ K(b, a)ψ(xa, ta)dxa (6) 传播函数的意义可以如下解释:如果在ta时刻发现粒子在位置xa处,那么在tb时刻发现它在xb处 的振幅 .可见,传播函数包含了粒子运动的全部量子力学行为,因此可作为核心物理概念来表 述量子力学. 当tb → ta时,我们有ψ(xb, tb) → ψ(xb, ta),这要求
K(b, a) = K0(b, a) − K0(b ′, a) + ⋯ (36)
其中K0为上节已经求出的自由粒子传播函数.代入上节的结果后 1/2 n=+∞ n h i h io 1 i i K(b, a) = (2nL + xb − xa)2 − exp (2nL − xb − xa)2 ∑ exp
K(b, a) = ∫−∞ K(b, N − 1)…K(2, 1)K(1, a)dx1dx2…dxN −1
+∞
(22)
这个公式对N无论取多大值都是成立的.现在考虑N ∼ ∞(因此ϵ ∼ 0)的情形.准确到O(ϵ),相邻两 点 j与 j + 1间的传播函数(Dirac) n o 1 i 1 ˙2 ¯j) ¯ j − V (x ¯ j, t K( j + 1, j) = exp ϵ mx (23) Aϵ ℏ 2
2πiT
n=−∞
2T
2T
(37)
为了看出这个结果是正确的,我们先将自由粒子传播函数写成 p2T +∞ dp K0(b, a) = ∫−∞ exp −i exp(ipxb)exp(−ipxa) 因此