格林公式曲线积分与路径的无关性
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
21-3格林公式曲线与路径的无关性
一 问题的提出 二 区域的连通性及分类 格林(Green) 三 格林(Green)公式 格林(Green) 四 格林(Green)公式的简单应用 五 曲线积分与路径的无关 六 二元函数的全微分求积 七 小结与思考判断题
一 问题的提出
在一元函数的微积分中我们通过 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 函数联系起来.在曲线积分中, 函数联系起来.在曲线积分中,我们是否 有相似的联系呢?下面的Green Green公式告诉 有相似的联系呢?下面的Green公式告诉 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 即二重积分与曲线积分的联系, 即二重积分与曲线积分的联系,这就是 我们所要讲授的Green公式. Green公式 我们所要讲授的Green公式.
格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系 .
于 忆 式: 便 记 形 式
∫∫ x ydxdy = ∫L Pdx + Qdy. D P Q
四 应用
1) 简化曲线积分
例 1 计算 ∫
AB
y
A
D
xdy ,其中曲 其中曲
o L
B
线 AB 是半径为r 的圆在 第一象限部分. 第一象限部分
N
1 0 a = ∫a x ( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
五 曲线积分与路径的无关
如果在区域G内有 如果在区域 内有
y
L 1
∫L Pdx + Qdy
1
B
格林公式·曲线积分与线路的无关性
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关
例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
格林公式·曲线积分和路线的无关性
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ch21.3 格林公.曲线积分与路径的无关性
8
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 是一条分段光滑的闭曲线,
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
3) 可用积分法求 u = P d x + Q d y在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) =∫ Q(x0 , y)dy + ∫ P(x, y)dx
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关(全微分式的积分 全微分式的积分). 与路径无关 只与起止点有关 全微分式的积分 (3) 的全微分, 的全微分 在 D 内是某一函数
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
即
13
证明 (1)
(2)
15
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
16
证明 (4)
L
3
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
格林公式·曲线积分与路线的无关性
解 ONA 为直线 y 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示, 1 A xdy ydx 2 L 1 1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx AMO xdy ydx 2 2 2 1 0 a a a 1 2 a x ( 1)dx ( ax x )dx 0 xdx 6 a . 2 2 ax 4
xu u lim lim P ( x x , y ) P ( x , y ). x x 0 x x 0
u Q ( x , y ). 所以证得 同理可证 y
du P dx Q dy .
(iii) P dx Q dy 是 D 内某一函数 u( x , y ) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Q dy ;
D D
单连通区域
复连通区域
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P ( x , y ),
Q( x , y ) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
P dx Q dy 0;
L
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性
返回
一、格林公式
边界曲线L的正向: 当观察 者沿边界行走时,区域D总 在他的左边. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
格林公式及曲线积分与路径无关的等价条件
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
x
2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
a
b
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y
P d x Q d y R d z
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
L D
域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
图 10-12
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
(10-8) (10-9)
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理4的条件时，表达式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分.因此可解决一 类特殊的一阶微分方程——全微分方程.
一、 格林公式
规定区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿L的某个方 向行进时，区域D总在它的左侧，则该方向即为L的正向， 称该方向的边界曲线L为D的正向边界曲线.例如，对于区 域(x,y)|x2+y2<1，逆时针方向的圆周x2+y2=1是它的正向 边界曲线；对于区域(x,y)|1<x2+y2<2，逆时针方向的圆 周x2+y2=2与顺时针方向的圆周x2+y2=1共同组成了它的 正向边界曲线.
图 10-7
【例10】
一、 格林公式
求I=∫Lexsiny－ b(x+y)dx+(excos y－ ax)dy，其中a,b为正的 常数，L为从点A(2a,0)沿 曲线y=2ax－x2到点 O(0,0)的弧(见图10-8).
图 10-8
一、 格林公式
一、 格林公式
本例中，通过添加一段简单的辅助 曲线，使它与所给曲线构成一封闭曲线， 然后利用格林公式把所求曲线积分化为 二重积分来计算.在利用格林公式计算曲 线积分时，这是常用的一种方法.
(10-7)
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
与路径无关,可以取先从M0(x0,y0)到M(x,y),然后沿平行于x 轴的直线段从M(x,y)到Nx+Δx,y作为上式右端曲线积分的路径 (见图10-11),于是
§4 格林(Green)公式和曲线积分与路径无关性
。
再利用例 2 的注即可求出结果。】
例 4 在格林公式中，若 P y ， Q x ，则公式变为
ydx xdy 2 D d 2D ，即
D
1 2
ydx
xdy （平面图形的面积公式）。
2
2
试用上述公式再计算星形线
x a
3
y b
3
1（a
0，b
0 ）围成的平面图形
D
的体积
D 。
【
例 1 求 x2 ydx xy2dy ，其中 ： x2 y2 R2 ， 为顺时针。
【记 P x2 y ，Q xy2 ，显然它们在以 为边界的闭圆： x2 y2 R2 上连续可微。注意
到 为顺时针，所以，由格林公式得，
x2 ydx xy2dy x2 ydx xy2dy
我们总可以选择适当垂直于 x 的直线将 D 分解成有限个 x 型区域的并集。 不失一般性，仅就 D 为图（1）的情形证明。
-3-
数学分析/第 20 章 重积分
如图示， D D1 D2 ， D1 和 D2 都是 x 型区域， D1 的边界正向为
D1 A, B B, E E , F F, A ，
数学分析/第 20 章 重积分
§4 格林（Green）公式和曲线积分与路径无关性
作为二重积分计算的应用，本节我们将建立利用二重积分来计算沿平面封闭曲线的第二 型曲线积分的一种有效方法——格林公式。
本节，具体学习两个内容： 1、建立格林公式（特点：反映了沿平面曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。） 2、格林公式的应用。包括两个方面： 一是计算某些曲线积分和证明某些涉及曲线积分的积分等式； 二是建立曲线积分与路径无关的条件。
y)
，
格林公式积分与路径无关的条件
格林公式积分与路径无关的条件格林公式听起来像是高深莫测的数学魔法，但其实它也挺有趣的，咱们就从最基础的开始聊聊吧。
想象一下你在一个阳光明媚的日子，跟朋友一起在公园散步，手里还拿着冰淇淋。
这时候，突然你发现了一条小路，旁边的小河波光粼粼，真是让人心情大好。
格林公式就像这条小路，帮助我们在平面上计算一些有趣的东西，像是区域的面积，流动的水，或者是风的方向。
说到这里，咱们得先弄明白“路径无关”的意思。
简单说，就是不管你走哪条路，最后的结果都是一样的。
就像你去朋友家，不管你是走左边的街，还是右边的巷子，最终都能到达。
是不是很酷？在数学的世界里，如果你能找到一个这样“稳稳的”路径，那就意味着你可以轻松搞定积分问题，不用担心那些弯弯绕绕的曲线。
就像你选择吃冰淇淋的口味，巧克力还是草莓，结果都是美味的。
咱们得提到格林公式的前提条件。
哎，听起来好像有点复杂，其实就是要确保你所研究的区域是“简单”的，没什么奇怪的洞或者尖尖的角。
就像你在家里打扫卫生，只有地面干净，才能找到丢失的钥匙。
如果你的区域里有缺口，那就得小心翼翼，积分的结果可能就跟你想象的完全不同。
记住，别让复杂的形状把你搞晕了。
干净利落的区域才能给你带来清晰的答案。
除了区域的整洁，曲线的光滑也是非常重要的。
想象一下，如果你在河边骑自行车，结果发现路上满是坑坑洼洼，你肯定骑得晃晃荡荡的，没法顺利前进。
格林公式也一样，它希望你走的路径是平滑的，没有尖锐的转弯。
否则，你的计算可能会像骑在不平坦的路上，得不偿失。
哎，这就好比你跟朋友约好了一起去吃饭，结果她半路上停下来购物，那你肯定得在外面等得无聊透顶。
说到底，格林公式的美妙之处在于它能把复杂的事物简化成简单的计算。
就像在厨房做饭，材料繁多的时候，能找到一个万能的调味料，那真是省时又省力。
使用格林公式，你就可以把多条曲线的积分问题转化为简单的区域积分，一举两得。
是不是很爽快？数学的魅力就在于，它能把看似复杂的东西变得明了，像剥开洋葱一样，层层解开。
格林公式2
dxd 3
y
4 x
2
0
dx
8 64
y L
D
o
Ax
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例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证: 设P xy2, Q x2 y, 则 P 2xy Q
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du xy2 dx x2 ydy
备用题 1. 设 C 为沿x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
到点 (0,a) 的半圆, 计算
y2 dx ax 2 y ln(x a2 x2 ) dy
C a2 x2
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =
CC C
y
C
D
a C
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例 1 计算 ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy . 其中 L
L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1) 的曲线弧y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
ox
D
a
2
2
y
x
2
d
x
d
y
a
a (2y ln a) d y a
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2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动 到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 )
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Q P x y d D
Q P Q P Q P d d d x y x y x y D1 D2 D3
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AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA L2 L3 L1
L
注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由
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1 y x sin , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
3
所围成的区域便是如此.
注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
d
D
OA
D
O
BO
L
x dy
AB
L
B
x
x dy x dy
x dy .
图 21 16
由于 OA x dy 0, BO x dy 0, 因此 1 2 d πr . AB x dy 4 D
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xdy ydx , 其中 L 为任一不包含原 例2 计算 I 2 2 L x y
Q P x y d D
(ii) 若区域 D 是由一条
按段光滑的闭曲线围成, 且可用几段光滑曲线将
L
Pdx Qdy .
L3
D1
L2
D2
D3
L1
D 分成有限个既是 x 型
图 21 14
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又是 y 型的子区域 (如图21-14), 则可逐块按 (i) 得到 它们的格林公式, 然后相加即可. 如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x 型又是 y 型的区域 D1 , D2 , D3 . 于是
y d Q
D
x P
L
Pdx Qdy .
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
请看以下二例:
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例1 计算
AB
x dy , 其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在
y
A
第一象限部分 (图21-16). 解 对半径为 r 的四分之一圆域 D, 应用格林公式:
L1
Pdx Qdy
Pdx Qdy .L2源自Pdx Qdy
L3
Pdx Qdy
L
(iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图21-15 所示. 这 时可适当添加线段 AB , CE ,
G
L3
E
C
F
D
L2
B A
L1
把区域化为 (ii) 的情形来处 理. 在图21-15中添加了 AB,
x y 2 2 2 2 x y x y x y D
所以由格林公式立即可得
I 0.
d 0,
在格林公式中, 令 P y , Q x , 则得到一个计算平 面区域 D 的面积 SD 的公式:
点的闭区域的边界线. 解 因为
x y2 x2 2 , 2 2 2 2 x x y ( x y )
y y2 x2 2 , 2 2 2 2 y x y ( x y )
它们在上述区域 D 上连续且相等, 于是
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CBE
Q( x , y )dy
CAE
Q( x , y )dy Q( x , y )dy
CBE
Q( x , y )dy
EAC
L
Q ( x , y )dy .
同理又可证得
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P d y D
L
P ( x , y )dx .
将上述两个结果相加即得
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性
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一、格林公式
设区域 D 的边界 L 是由 一条或几条光滑曲线所 组成.边界曲线的正方向 规定为:当人沿边界行走
L
D
时,区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
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定理21.11 若函数 P ( x , y ), Q( x , y ) 在闭区域 D 上 有连续的一阶偏导数, 则有
Q P x y d D
图 21 15
CE 后, D 的边界则由 AB, L2 , BA, AFC , CE , L3 , EC
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及 CGA 构成. 由(ii)知
Q P x y d D
( Pdx Qdy) ( Pdx Qdy ) Pdx Qdy .
O a
b x
图 21-13
分别是曲线 CAE 和 CBE 的方程. 于是
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2 ( y ) Q Q d d y dx 1 ( y ) x x D
Q( 2 ( y ), y )dy Q( 1 ( y ), y )dy
公式(1)称为格林公式.
L
Pdx Qdy ,
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形 作出证明: (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13), 则可表为
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1 ( x ) y 2 ( x ), a x b,
又可表为
y
A
E
1 ( y ) x 2 ( y ), y .
这里 y 1 ( x ) 和 y 2 ( x ) 分
别为曲线 ACB 和 AEB 的方 程, 而 x 1 ( y ) 和 x 2 ( y ) 则
2 ( x)
B
D
C
1 ( x )