1.1 定积分的背景——面积和路程问题

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北师版数学选修2-2讲义：第4章 §1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题+1.2 定积分

§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4-1-1所示)．图4-1-12．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】每个小区间长度为1－（－1）n＝2n . 【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛ab 1dx ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛a b f (x )dx (k 为常数)； (3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛a b g (x )dx ； (4)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛c b f (x )dx (其中a <c <b )．。

第四章 1.1定积分的背景——面积和路程问题

§1定积分的概念1．1定积分的背景——面积和路程问题[学习目标]1．了解定积分的实际背景．2．了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．3．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．[知识链接]求曲边梯形面积和变速直线运动路程采用了怎样的方法？答在解决这两类问题时，我们通过“四步曲”来解决，即分割、近似代替、求和、取极限，并且都归结为求一个特定和式的极限，同时注意分割越细越准确，并且在近似代替过程中我们可以取区间的左端点值，也可以取右端点值．[预习导引]1．曲边梯形的定义如图所示，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)．2．求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取近似值的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.要点一求曲边梯形的面积例1估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积．解将区间[0,1] 5等分，如图如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计值，S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计值，s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16，因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．规律方法通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想．跟踪演练1图中阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形．试估计这个曲边梯形的面积S，并求出估计误差．解首先，将区间[0,1] 5等分，称S1为S的过剩估计值，有S1＝(0.22＋0.42＋0.62＋0.82＋12)×0.2＝0.44.s1为S的不足估计值，有s1＝(0＋0.22＋0.42＋0.62＋0.82)×0.2＝0.24.过剩估计值S1与不足估计值s1之差为S1－s1＝0.2.要点二求变速运动的路程例2汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝v t，如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？解将行驶时间1 h平均分成10份．分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.7)、v(0.8)、v(0.9)近似替代汽车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，0.2～0.3 h,0.3～0.4 h,0.4～0.5 h，0.5～0.6 h，0.6～0.7 h，0.7～0.8 h,0.8～0.9 h,0.9～1 h内的平均速度．求出汽车在1 h时行驶的路程的过剩估计值．S1＝[v(0)＋v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)]×0.1＝1.715(km)，分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(0.4)，v(0.5)，v(0.6)，v(0.7)，v(0.8)，v(0.9)，v(1)替代以上时间段的平均速度．求出汽车在1 h时行驶的路程的不足估计值．s1＝[v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)＋v(1)]×0.1＝1.615(km)．无论用S1还是s1估计汽车行驶的路程s误差都不超过1.715－1.615＝0.1(km)．规律方法(1)一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，则我们可用分割法求出路程的过剩估计值与不足估计值．(2)当分割成的时间区间长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车的行驶路程．(3)变速运动的路程、变力做功等问题的估计值计算，都可以转化为估计曲边梯形的面积问题，分别求其过剩估计值与不足估计值即可．跟踪演练2一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位km/h)．试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内的汽车行驶路程．解将区间[0,2]10等分，如图S1＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72 (km)，s 1＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92(km)，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间．1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小答案 D解析当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n 上，可以认为f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数．2．在“近似替代”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( )A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确答案 C3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．答案 1.02解析将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4．在区间[0,8]上插入9个等分点，则第5个小区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4解析第5个小区间的左端点5－110×8＝165，右端点165＋45＝4，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4.变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积；求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近．一、基础达标1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( )A.1nB.2nC.3nD.12n答案 B解析区间[1,3]长度为2，故n 等分后，每个小区间长度均为2n .2．把区间[a ，b ] (a <b )n 等分之后，第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n (b －a )，i n (b －a ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋i －1n ，a ＋i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋i －1n (b －a )，a ＋i n (b －a ) 答案 D解析区间[a ，b ](a <b )长度为b －a ，n 等分之后，每个小区间长度均为b －a n ，第i 个小区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋i －1n (b －a )，a ＋i n (b －a )(i ＝1,2，…，n )． 3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，可以近似替代为( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0) 答案 C4．对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是( )A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高D ．将[0，t ]n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值答案 C解析每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n 越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当n →＋∞时，估计值才是准确值．5．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为________．答案 12解析曲线v (t )＝t ，直线t ＝0、直线t ＝1与横轴围成的三角形的面积为12.6．在求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n 7．试估计由曲线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的平面图形的面积，并写出估计值的误差．解首先画出图像：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形；若用f (0.2)，f (0.4)，f (0.6)，f (0.8)，f (1)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的过剩估计值为S 1＝(0.2＋0.4＋0.6＋0.8＋1)×0.2≈0．75若用f (0)，f (0.2)，f (0.4)，f (0.6)，f (0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的不足估计值为s 1＝(0＋0.2＋0.4＋0.6＋0.8)×0.2≈0.55.无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.20.二、能力提升8．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )A.119B.111256C.1127D.2564答案 D解析将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＋13×14＝2564. 9．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.答案 3.92 5.52解析分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和． S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.10．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.11．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为：F (x )＝3x (x 是伸长量，单位：m，力的单位：N)．试估计弹簧从平衡位置拉长5 m所做的功，并写出估计值的误差．解将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功；若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W1＝[3×1＋3×2＋3×3＋3×4＋3×5]×1＝45(J)；若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2＝[3×0＋3×1＋3×2＋3×3＋3×4]×1＝30(J)无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.12．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v(t)＝10t,0≤t≤5，试估计汽车在这段时间走过的路程，并写出估计值的误差．解将区间[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个路程分成5个时间段内的路程．若用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的过剩估计值为S＝(10×1＋10×2＋10×3＋10×4＋10×5)×1＝150 (m)．若用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的不足估计值为s＝(10×0＋10×1＋10×2＋10×3＋10×4)×1＝100 (m)．无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过50 m.三、探究与创新13．设力F作用在质点m上，使m沿x轴正方向从x＝0运动到x＝10，已知F＝F(x)＝1x＋1且和x轴正向相同．求F对质点m所做的功．解(1)将[0,10]10等分，即插入9个分点，则将整个功分成10个小位移段内的功．(2)若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)，F(6)，F(7)，F(8)，F(9)分别近似替代F引起的物体在0～1 m，1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m,5～6 m,6～7 m,7～8 m,8～9 m,9～10 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12＋13＋…＋110×1≈2.93；若用F (1)，F (2)，F (3)，F (4)，F (5)，F (6)，F (7)，F (8)，F (9)，F (10)，分别近似替代F 引起的物体在0～1 m ，1～2 m ，2～3 m,3～4 m,4～5 m,5～6 m,6～7 m,7～8 m ，8～9 m,9～10 m 段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋110＋111×1≈2.02. 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.91.。

§1.1定积分的背景-面积和路程 (1)

问题1：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？
问题2：“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主建构过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论、调整、选择更合理的解题思路．
合作探究：
①线段OB近似曲边OB；
求曲边梯形面积的“四步曲”：
1°分割 2°近似代替 3°求和 4°取极限
化整为零以直代曲积零为整刨光磨平
作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．
课后探究：以区间内任意点ξi的函数值 f(ξi)作高，求此时曲边梯形的面积．
§4定积分
定积分的背景——面积和路程问题
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．
y
f(b)
y=f(x)
如何求曲边
f(a)
梯形的面积？
Oa
bx
例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
②分割，矩形近似；
③分割越多，小矩形的面积之和越接近曲边梯形的面积；
解题思想 “细分割、近似和、渐逼近”
图象放大
S1 C
F S2
S>S1+S2
DE
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
解： 1°分割：将区间[0,1]分成n等份：
2代0°,替1n近小,似曲1n代,边n2替梯,：形用, 小nn矩1形,1

1 3
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．

1.1定积分背景——面积和路程问题

《4.1.1定积分背景——面积和路程问题》教学设计课件《4.1.1定积分背景——面积和路程问题》是选用的北师大版高中数学选修2-2第四章第一节的内容。

教学过程:一、问题引入师：1.求湖泊的面积：师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）师：对于曲边围成的图形（曲边梯形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。

二、学生活动与意义建构先提问：问题1、我们古代的数学家是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？1、让学生自己回忆，探求，讨论（3—4分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以长方形的面积近似代替曲边梯形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边梯形进行分割，形成若干个曲边梯形。

（在讨论的过程中渗透分割的思想）师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下二种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）方案一方案二方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。

方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边梯形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的湖泊的面积。

如何求这个湖泊的面积，以方案一为例：⑴分割细化将区间[a.b]等分成 n 个小区间,每个区间的长度为多少（学生回答），过各个区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作i S ∆。

高中数学 4.1.11.2 定积分的背景面积和路程问题定积

第四章定积分§1 定积分的概念1．1 定积分的背景——面积和路程问题1．2 定积分课时目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体体会定积分的基本思想．1．解决面积、路程和变力做功问题，都是通过分割自变量的区间得到______________和________________，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．2．定积分的意义：当f(x)≥0时ʃb a f(x)d x表示__________________________围成的曲边梯形的面积；当f(x)表示速度关于时间x的函数时，ʃb a f(x)d x表示__________________________所走过的路程．3．定积分的性质(1)ʃb a1d x＝________；(2)ʃb a kf(x)d x＝____________；(3)ʃb a[f(x)±g(x)]d x＝________________；(4)ʃb a f(x)d x＝________________.一、选择题1．定积分ʃb a f(x)d x的大小( )A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥02xx <0，则ʃ1－1f (x )d x 可化为( )A ．ʃ1－1x 2d xB ．ʃ1－12xd xC ．ʃ0－1x 2d x ＋ʃ102x d xD ．ʃ0－12x d x ＋ʃ10x 2d x3．定积分ʃ10x d x 的值是( )A ．1B.12C.13 D ．0 4．定积分ʃ1－1x 3d x 的值为( ) A.14 B.12 C.13D ．0 5．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小6．设a ＝ʃ1013x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．a >b >c C ．a ＝b >c D ．a >c >b 二、填空题7．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．8．如图，阴影部分的面积分别以A 1，A 2，A 3表示，则定积分ʃba f (x )d x ＝________.9．ʃ1－14－x 2d x ＝____________. 三、解答题10．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)ʃ101－x 2d x ；(2)ʃ2π0cos x d x .11.已知函数f (x )为偶函数，且ʃ60f (x )d x ＝8，求ʃ6－6f (x )d x .能力提升12．如图，阴影部分面积为( )A ．ʃba [F (x )－g (x )]d xB ．ʃc a [g (x )－F (x )]d x ＋ʃbc [F (x )－g (x )]d xC ．ʃc a [F (x )－g (x )]d x ＋ʃbc [g (x )－F (x )]d xD ．ʃba [g (x )－F (x )]d x13．利用定积分的几何意义求ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x ·cos x d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 x ≥03x －1x <0.1．利用定积分的定义求定积分，分四步：分割、近似代替、求和、取极限． 2．求一些较复杂的定积分可以结合函数的性质和定积分的性质．答案知识梳理1．过剩估计值不足估计值2．y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 和x 轴运动物体从x ＝a 到x ＝b 时3．(1)b －a (2)k ʃba f (x )d x(3)ʃb a f (x )d x ±ʃba g (x )d x(4)ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x 作业设计 1．A2．D [ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－12x d x ＋ʃ10x 2d x .故选D.] 3．B [即计算由直线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的三角形的面积．]4．D [画草图，f (x )＝x 3的图像关于原点对称，在区间[－1,1]上，x 轴上方f (x )所围面积与x 轴下方f (x )所围面积相等，故由几何意义知ʃ1－1x 3d x ＝0.]5．D 6.B 7．1.02解析将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110×⎝⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.8．A 1＋A 3－A 2解析利用定积分的几何意义，在区间[a ，b ]上，用x 轴上方f (x )所围面积减去x 轴下方f (x )所围面积．9.2π3＋ 3解析由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图． ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和 S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝|AB |·|BC |＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. 10．解 (1)由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图像是以原点为圆心，半径为1的圆的14部分． ∴ʃ101－x 2d x ＝14π·12＝14π.(2)由函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像的对称性(如图)知， ʃ2π0cos x d x ＝0.11．解原式＝ʃ0－6f (x )d x ＋ʃ60f (x )d x∵f (x )为偶函数，∴f (x )在y 轴两侧的图像对称，面积相等．∴ʃ6－6f (x )d x ＝8×2＝16. 12．B [根据定积分的几何意义．]13．解 ʃ2－2f (x )d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝ʃ0－2(3x －1)d x ＋ʃ20(2x －1)d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ，∵y ＝sin x cos x 为奇函数， ∴ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝0. 利用定积分的几何意义，如图，∴ʃ0－2(3x －1)d x ＝－7＋12×2＝－8. ʃ20(2x －1)d x ＝3＋12×1＝2. ∴ʃ2－2f (x )d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝2－8＋0＝－6.。

高中数学第四章定积分4.1.1定积分的背景_面积和路程问题4.1.2定积分学案含解析北师大版选修2_227

4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题4.1.2 定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念． 2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1 曲边梯形的面积阅读教材P 75～P 78“练习2”以上部分，完成下列问题． 1．曲边梯形的概念由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图411所示)．图4112．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】每个小区间长度为1－（－1）n ＝2n.【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质 (1)⎠⎛a b 1dx ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛ab g (x )dx ；(4)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )dx ＝________．【解析】 ⎠⎛a b 6f (x )dx ＝6⎠⎛ab f (x )dx ＝6×6＝36.【答案】 36[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]【精彩点拨】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．【自主解答】分割：在区间[1，2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[1，2]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －1n ，2n n . 记第i 个区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，显然，S ＝Σni ＝1ΔS i .近似代替：记f (x )＝x 2，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，可以认为函数f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2，从图形(图略)上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2·1n ＝1n 3(n 2＋2ni ＋i 2)(i ＝1，2，…，n )，① 求和：由①可推知＝1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＋2n ·n （n ＋1）2＋n （n ＋1）（2n ＋1）6 ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ，从而得到S 的近似值S ≈S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n .取极限：可以看到，当n 趋向于无穷大时，即Δx 趋向于0时，S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·1n＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝2＋0＋13(1＋0)(1＋0)＝2＋13＝73.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间[a ，b ]中等间隔地插入n －1个分点，将其等分成n 个小区间[x i－1，x i ](i ＝1，2，…，n )，小区间的长度Δx i ＝x i －x i －1.第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n 个小矩形的面积进行求和得S n . 第四步：取极限．当n →∞时，S n →S ，S 即为所求．[再练一题]1．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．【解析】将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.【答案】 1.02(1)⎠⎛－339－x 2dx ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)dx ；(3)⎠⎛－11(x 3＋3x )dx .【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－339－x 2dx ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)dx 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3，y＝0围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)dx ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1，1]上为奇函数，图像关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛－11(x 3＋3x )dx ＝0.1.定积分的几何意义的应用(1))利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )dx 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．2.奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分(1)若奇函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a f (x )dx )＝0.(2)若偶函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aa f (x )dx )＝2⎠⎛0a f (x )dx .[再练一题]2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值． (1)⎠⎛－11xdx ；(2)⎠⎛02πcos xdx ； (3)⎠⎛－11|x |dx .【解】 (1)如图(1)，⎠⎛－11xdx ＝－A 1＋A 1＝0.(2)如图(2)，⎠⎛02πcos xdx ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴⎠⎛－11|x |dx ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)[探究共研型]探究1 【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[－a ，a ]上的定积分？【提示】 (1)若奇函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0；(2)若偶函数y ＝g (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a g (x )dx ＝2⎠⎛0a g (x )dx.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.【精彩点拨】由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)dx ＝⎠⎛02xdx.(1) (2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．设面积为S ，则S ＝A 1＋A 2.因为A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成，A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成，所以A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]dx ＝⎠⎛012xdx ，A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]dx ＝⎠⎛14(x －x ＋2)dx .故S ＝⎠⎛012x dx ＋⎠⎛14(x －x ＋2)dx.,利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]dx ,＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )dx ±…±⎠⎛ab f n (x )dx ；(2)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac 1 f (x )dx ＋⎠⎛c 1c 2 f (x )dx ＋…＋⎠⎛c nbf (x )dx )(其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N＋)．)[再练一题]3．已知⎠⎛0exdx ＝e 22，⎠⎛0e x 2dx ＝e 33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)dx ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)dx .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)dx＝2⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0e x 2dx＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)dx ＝2⎠⎛0e x 2dx －⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0e 1dx ，因为已知⎠⎛0e xdx ＝e 22，⎠⎛0e x 2dx ＝e 33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1dx 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1dx ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)dx ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e .[构建·体系]曲边梯形的概念—定积分的概念—⎪⎪⎪⎪—定义—几何意义—性质1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]dx ＝m ⎠⎛a b f (x )dx ＋n ⎠⎛ab g (x )dxB.⎠⎛a b [f (x )＋1]dx ＝⎠⎛ab f (x )dx ＋b －aC.⎠⎛ab f (x )g (x )dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ·⎠⎛ab g (x )dxD.⎠⎛－2π2πsin xdx ＝⎠⎛－2πsin xdx ＋⎠⎛02πsin xdx【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02xdx ＝2，⎠⎛022dx ＝4，⎠⎛022xdx ＝4，即⎠⎛022xdx ≠⎠⎛02xdx ·⎠⎛022dx .【答案】 C2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i nD ．f (0)【解析】当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．【答案】 C3．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．【解析】 ∵把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 【答案】 554．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2sin xdx .【答案】 ⎠⎜⎛0π2sin xdx5．用定积分的几何意义求⎠⎛－114－x 2dx .【解】由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛－114－x 2dx 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝|AB |·|BC |＝23，∴⎠⎛－114－x 2dx ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

高中数学第四章定积分4.1.1定积分背景——面积和路程问题3222数学

C
O EF
D
x
第五页，共四十四页。
定积分的概念 (jīfēn)
1.1、定积分的背景——面积(miàn jī)和路程问题
第六页，共四十四页。
曹冲称象的故事 (gùshì)
第七页，共四十四页。
曹冲称象
（1）大象(dà xiànɡ)的重量等
为价成一堆小石子的重量整零
化
积为零整
（2）将小石子的重量 (zhòngliàng)称出来
第二十五页，共四十四页。
1、化整为零：将原图形分割(fēngē)成许多小曲边梯形。
2、以直代曲：对任意一个(yī
小曲边梯形，将不易
ɡè)
2计问、题算用，的什将“么曲曲图边边形梯”的形面问面积题积作转问为化题原转为面化容积为易的长计近方算似形的(j的ìn“sì)面解直积更边方”便计算？
问题来解决。
第三十一页，共四十四页。
第三十二页，共四十四页。
1、分割；2、近似(jìn sì)代替；3、求和；4、取极限值
v(t)=t2-1 0 t+ 2 5 (0t5 )
S 1 [ v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) 1 ] 5 s 1 [ v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) v ( 5 ) 1 ] 3
积为零整
（2）将这n个部分的面积加起来
得到的小石子重量和就是大得到的n部分面积和就是圆的面
象的重量
积
无限(wúxiàn)分割
第二十一页，共四十四页。
以直代曲
一. 求曲边梯形的面积 (tīxíng)
y
y=f (x)
x=a
O
a

高中数学第四章定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件北师大版选修2-2

复习课件
高中数学第四章定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件北师大版选修2-2
11
第四章定积分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题
22
33
1.曲边梯形如图.由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形(图中阴影所示).
1111
(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估计值. ( ) (3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计值的极限相等. ( )
1122
提示：(1)×.面积只能大于等于0，为非负值.
(2)√.由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确.
(3)√.曲边梯形的面积可求，则S=
l
n
【解析】每个小区间长度为1（1） 2 .
nn
答案：2
n
2299
【加练·固】求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x3所围成图形的
面积的估计值，并写出估计误差.(将区间5等分)
3300
【解析】把区间[1，2]5等分，以每一个小区间的左端点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不足估计值s，s=(13+1.23+1.43+1.63+1.83)×0.2=3.08.
3377
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，…，v(1)近似替代汽车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，…，0.8～0.9 h，0.9～ 1 h的平均速度，求出汽车在1 h时行驶的路程的不足估计值S2， S2= [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1 =1.615(km)，
3311

1.定积分的背景——面积和路程问题

第四章 §1 定积分的概念
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
s1′＝[v(1)＋v(2)＋v(3)＋v(4)＋v(5)]×1＝30(m). 不论用过剩估计值s1还是不足估计值s1′表示s，误差都不超过：s1－s1′＝55－30＝25(m). 为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些.
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.
类型一求曲边梯形的面积
例1 求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的面积S，并写出估计值的误差.
解 (1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形； (2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2. 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积 f(0)·0.2 ， f(0.2)·0.2 ， f(0.4)·0.2 ， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2；

高中数学 4.1.1 第1、2课时定积分的背景面积和路程

教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
课堂互动探究
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BS·数学选修2-2
易错易误辨析
当堂双基达标
课时作业
教师备课资源
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辨析
教学
1．2 定积分
当堂
方案
教师用书独具演示
双基
设
达
计
标
课
前自
●三维目标
课时
主
作
导学
1．知识与技能
业
课
(1)引导学生发现曲边梯形面积和变速直线运动物体行教
堂
师
互动
驶的路程的求法，归纳定积分的概念；
备课
探
资
究
源
菜单
BS·数学选修2-2
教
易
学
错
教
易
法
误
分析
(2)会根据定积分的意义求简单函数的定积分，并通过
课
前自

1.1 定积分的背景——面积和路程问题 (2)

：不足估计值为 s2
此时，误差都不超过
48.125 35.625 12.5( m) . s2 s2
滑行时间等分的越细，误差越小.当所分隔的小时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程.
概括
前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求
曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割区间过剩估计值
问题1 图中阴影部分由抛物线 y x 2，直线 x 1 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积 S . y
y x2
o
1
x
将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示. y
(1)
1 o x 图 (1) 中，所有小矩形面积之和 S1 显然大于所
S1
求曲边梯形的面积，我们称 S1 为 S 的过剩估计值，则有
y
(2)
o
s1
1
x
我们可以用 S1 或 s1 近似表示 S ，但是都存在误差，二者之差为S1 s1 0.2 ，但是无论是用S1 还
是 s1 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，
如图(3)所示. y
(3)
o
1
x
为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则所求面积的过剩估计值为
1. 在“近似替代”中，函数f(x)在区间［xi,xi+1］上的近似值等于（ C ） A.只能是区间的左端点的函数值f(xi) B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) C.可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i) （ξ i∈［xi,xi+1］） D.以上答案均正确
2.已知自由落体的运动速度v=gt，则估计在时间区间［0,6］内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为（） D A.14g B.15g C.16g D.17g

第4章 §1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题+1.2 定积分

第4章§1 1.1定积分的背景——面积和路程问题+1.2 定积分§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4-1-1所示)．图4-1-12．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】每个小区间长度为1－（－1）n＝2n.【答案】2 n教材整理2定积分阅读教材P78“练习2”以下至P80“练习”以上部分，完成下列问题．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.第i个小区间为[x i－1，x i]，设其长度为Δx i，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[x i－1，x i]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1[小组合作型]求曲边梯形的面积求直线y ＝0，x ＝1，x ＝2，曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．【精彩点拨】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．【自主解答】分割：在区间[1，2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[1，2]等分成n 个小区间： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －1n ，2n n . 记第i 个区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，显然，S ＝Σni ＝1ΔS i . 近似代替：记f (x )＝x 2，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n，n ＋i n 上，可以认为函数f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2，从图形(图略)上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2·1n ＝1n 3(n 2＋2ni ＋i 2)(i ＝1，2，…，n )，① 求和：由①可推知＝1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＋2n ·n （n ＋1）2＋n （n ＋1）（2n ＋1）6 ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ，从而得到S 的近似值S ≈S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n .取极限：可以看到，当n 趋向于无穷大时，即Δx 趋向于0时，S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·1n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝2＋0＋13(1＋0)(1＋0) ＝2＋13＝73.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间[a ，b ]中等间隔地插入n －1个分点，将其等分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1，2，…，n )，小区间的长度Δx i ＝x i －x i －1.第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n 个小矩形的面积进行求和得S n . 第四步：取极限．当n →∞时，S n →S ，S 即为所求． [再练一题]1．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．【解析】将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.【答案】 1.02定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)⎠⎛－339－x 2dx ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)dx ；(3)⎠⎛－11(x 3＋3x )dx .【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－339－x 2dx ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)dx 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x＝3，y ＝0围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)dx ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1，1]上为奇函数，图像关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛－11(x 3＋3x )dx ＝0.1.定积分的几何意义的应用(1))利用定积分的几何意义求⎠⎛a b f (x )dx 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．2.奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分(1)若奇函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aa f (x )dx )＝0.(2)若偶函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a f (x )dx )＝2⎠⎛0a f (x )dx .[再练一题]2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值． (1)⎠⎛－11xdx ；(2)⎠⎛02πcos xdx ； (3)⎠⎛－11|x |dx . 【解】 (1)如图(1)，⎠⎛－11xdx ＝－A 1＋A 1＝0.(2)如图(2)，⎠⎛02πcos xdx ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴⎠⎛－11|x |dx ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)[探究共研型]定积分性质的应用探究1 怎样求分段函数的定积分？【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[－a ，a ]上的定积分？【提示】 (1)若奇函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝0；(2)若偶函数y ＝g (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aa g (x )dx ＝2⎠⎛0a g (x )dx .利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.【精彩点拨】由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)dx ＝⎠⎛02xdx .(1) (2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．设面积为S ，则S ＝A 1＋A 2.因为A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成， A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成，所以A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]dx ＝⎠⎛012xdx ，A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]dx ＝⎠⎛14(x －x ＋2)dx . 故S ＝⎠⎛012x dx ＋⎠⎛14(x －x ＋2)dx .利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]dx ,＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )dx ±…±⎠⎛a b f n (x )dx ； (2)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a c 1 f (x )dx ＋⎠⎛c 1c 2 f (x )dx ＋…＋⎠⎛cnbf (x )dx )(其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N ＋)．)[再练一题]3．已知⎠⎛0e xdx ＝e 22，⎠⎛0e x 2dx ＝e 33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)dx ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)dx .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)dx＝2⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0e x 2dx＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)dx ＝ 2⎠⎛0e x 2dx －⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0e 1dx ，因为已知⎠⎛e xdx ＝e 22，⎠⎛0e x 2dx ＝e 33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1dx 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1dx ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)dx ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e . [构建·体系]曲边梯形的概念—定积分的概念—⎪⎪⎪⎪—定义—几何意义—性质1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]dx ＝m ⎠⎛a b f (x )dx ＋n ⎠⎛a b g (x )dxB.⎠⎛a b [f (x )＋1]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ＋b －aC.⎠⎛a b f (x )g (x )dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ·⎠⎛a b g (x )dxD.⎠⎛－2π2πsin xdx ＝⎠⎛－2π0sin xdx ＋⎠⎛02πsin xdx【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02xdx ＝2，⎠⎛022dx ＝4，⎠⎛022xdx ＝4，即⎠⎛022xdx ≠⎠⎛02xdx ·⎠⎛022dx . 【答案】 C2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i nD ．f (0)【解析】当n很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．【答案】 C3．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．【解析】 ∵把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.【答案】 554．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【导学号：94210069】【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0. ∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2sin xdx .【答案】 ⎠⎜⎛0π2sin xdx 5．用定积分的几何意义求⎠⎛－114－x 2dx . 【解】由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图． ⎠⎛－114－x 2dx 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝|AB |·|BC |＝23，∴⎠⎛－114－x 2dx ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

高中数学第四章第1.1节定积分的背景面积和路程问题

变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似
的等于左端点
i
1 n
处的函数值
f
i
1 n
，从图形上
看，就是用平行于 x 轴的直线段近似的代替小曲边
梯形的曲边（如图）．
这样，在区间
i
1 n
,
i n
上，用小矩形的面积 Si 近
似的代替 Si ，即在局部范围内“以直代取”，则有
Si
Si
f
i
1 n
n
1
n 2n
6
1
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
（4）取极限
分别将区间0 ,1等分 8，16，20，…等份（如图），
可以看到，当 n 趋向于无穷大时，即 x 趋向于 0 时，
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
趋向于
S
，从而有
S
lim
第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第三步：求和．
第四步：取极限。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：
分割→近似代替→求和→取极限 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
练习:求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y x2 所围
曲边梯形的面积
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。

2020届高中数学 4.1.1定积分的背景——面积和路程问题素材北师大版选修2-2

4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题1．求1622=+y x 绕5=y 旋转一周的旋转体体积.2．求22(0)x y ab a +≤>>绕x b =-旋转一周的旋转体体积.3．在曲边2(1)y x =-上点0(2,1)M 处引该曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为D ，求D 绕x 轴旋转一周，所形成的旋转体体积的表达式. （不必计算）4．已知一平面图形由抛物线2y x =及28y x =-+所围成，求（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周，所形成的旋转体体积.5．过2x y =上一点),(2a a 做切线，问a 为何值时所作切线与抛物线142-+-=x x y 所围区域的面积最小？参考答案1.解： dx x x V x ])165()165[(244222⎰-----+=π 24021601640ππ=-=⎰dx x2.解： 22[((]aaV b b dy π-=-⎰222018824b b a a b ππππ===⎰3.解：法线方程为 122y x =-，所求体积为4242121(1)(2)2V x dx x dx ππ=-+-⎰⎰ 2135315πππ=+= 4.解：（1）所求平面图形的面积22202(8)S x x dx =--⎰ 320642(8)3x x =-= （2）旋转体体积为 1y =时，12x =4804(8)V ydy y dy πππ=+-⎰⎰ 224804(8)1622y y πππ-=-=5.解：易得两曲线交点342)2(,342)2(2221+-+--=+----=a a a x a a a x23222)342(34)]2()14[(21+-=---+-=⎰a a dx x ax x x S x x 韦达定理易知1=a 时34min =S。