总体期望值和方差的估计
期望和方差的计算
期望和方差的计算在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们被广泛用于描述和分析数据集的中心位置和离散程度。
本文将介绍如何计算期望和方差，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、期望的计算期望是随机变量的平均值，用来反映其取值集中在哪个位置。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = Σ(xP(x))其中，E(X)表示X的期望，x表示X可能取的值，P(x)表示X取x的概率。
通过计算每个值乘以其相应的概率并求和，即可得到期望的数值。
举个例子，假设有一枚公平的六面骰子，其可能的点数为1、2、3、4、5、6，每个点数出现的概率均为1/6。
那么此骰子的期望可以通过以下计算得到：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5因此，此骰子的期望为3.5。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
通过将x乘以其对应的概率密度函数并对其进行积分，即可得到期望的数值。
二、方差的计算方差度量了随机变量的离散程度，是期望与每个观察值偏离期望的差的平方的平均值。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ((x - E(X))^2P(x))其中，Var(X)表示X的方差，X表示随机变量的取值，E(X)表示X 的期望，P(x)表示X取x的概率。
通过计算每个值与期望之差的平方乘以其相应的概率并求和，即可得到方差的数值。
继续以上述骰子为例，我们计算骰子的方差。
Var(X) = (1 - 3.5)^2 × 1/6 + (2 - 3.5)^2 × 1/6 + (3 - 3.5)^2 × 1/6 + (4 - 3.5)^2 × 1/6 + (5 - 3.5)^2 × 1/6 + (6 - 3.5)^2 × 1/6 ≈ 2.92因此，此骰子的方差约为2.92。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
概率与统计中的期望与方差计算
概率与统计中的期望与方差计算概率与统计是一门研究随机现象规律的学科，其中期望与方差是重要的概念与计算方法。
期望和方差是衡量随机变量分布特征的统计量，它们在各个领域的应用广泛。
本文将介绍期望和方差的定义、计算公式以及在实际问题中的应用。
一、期望的定义与计算在概率论中，期望是随机变量取值的平均数，也可以看作是随机变量的加权平均。
设X是一个离散型随机变量，其取值为x1，x2，...，xn，对应的概率为p1，p2，...，pn。
则随机变量X的期望E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn对于连续型随机变量，期望的计算稍有不同。
若X的概率密度函数为f(x)，则其期望E(X)定义为：E(X) = ∫(x*f(x))dx （积分范围为整个取值区间）在实际计算中，可以利用期望的线性性质简化计算。
设a、b为常数，X和Y分别是随机变量，则有：E(aX + bY) = a*E(X) + b*E(Y)同时，期望也满足可加性（若X和Y相互独立）：E(X + Y) = E(X) + E(Y)二、方差的定义与计算方差是用来衡量随机变量取值与其期望之间的离散程度。
设X是一个随机变量，其期望为E(X)，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2)方差是随机变量离散程度的平方，因此方差的单位为原随机变量的单位的平方。
方差越大，表示离散程度越大，反之亦然。
利用方差的性质，我们可以将方差表示为：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2方差也满足线性性质：设a、b为常数，X为随机变量，则有：Var(aX + b) = a^2*Var(X)三、期望与方差的应用期望和方差是概率与统计中重要的工具，在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用例子：1. 投资决策：在金融领域，投资者关注投资的风险与收益。
期望和方差可以作为衡量投资回报的重要指标，投资组合的预期收益和风险可以通过这两个统计量进行计算与比较。
总体期望值和方差的估计
12.2 总体期望值和方差的估计●知识梳理 1.平均数的计算方法（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”.（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a .（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么x=nf x f x f x kk +++ 2211.2.方差的计算方法（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差.（2）公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］.（3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a .则s 2=n1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］.3.总体平均值和方差的估计人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确.●点击双基1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是 A.样本均值xB.样本方差C.样本最大值D.样本最小值 解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B. 答案：B2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下： 甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5； 乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7.根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是 A.甲优于乙 B.乙优于甲C.两人没区别D.两人区别不大解析：x 甲=101（8+6+…+5）=7.1，x 乙=101（7+6+…+7）=6.9.s 甲2=101［（8－7.1）2+…+（5－7.1）2］=3.69， s 乙2=101［（7－6.9）2+…+（7－6.9）2］=1.29.∴乙优于甲. 答案：B3.样本a 1，a 2，a 3，…，a 10的平均数为a ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10的平均数为b ，那么样本a 1，b 1，a 2，b 2，…，a 10，b 10的平均数为A.a +bB.21（a +b ）C.2（a +b ）D.101（a +b ）解析：样本a 1，a 2，a 3，…，a 10中a i 的概率为P i ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10中b i 的概率为P i ′，样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10中a i 的概率为q i ，b i 的概率为q i ′，则P i =2q i ，故样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10的平均数为a 1q 1+b 1q 1′+a 2q 2+b 2q 2′+…+a 10q 10+b 10q 10′=21（a 1P 1+…+a 10P 10）+21（b 1P 1′+21b 2P 2′+…+21b 10P 10′）=21（a +b ）.答案：B4.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下（单位：h ）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.则该电池的平均寿命估计为___________，方差估计为___________.解析：x =101（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21）=101（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9）+30=28， s 2=101［（30－28）2+（35－28）2+（25－28）2+（25－28）2+（30－28）2+（34－28）2+（26－28）2+（25－28）2+（29－28）2+（21－28）2］=101（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4.答案：28 17.4 ●典例剖析【例1】 x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是A.x =1006040b a + B.x =1004060b a +C.x =a +bD.x =2b a +剖析：这100个数的平均数是a +b 还是21（a +b ），这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来思考.设P i 是x 1，x 2，…，x 100中x i 被抽到的概率，q i 是x 1，x 2，…，x 40中x i 被抽到的概率，r i 是x 41，x 42，…，x 100中x i 被抽到的概率，则P i =10040q i ，P i =10060r i .故x 1，x 2，…，x 100的平均数x =10040（x 1q 1+x 2q 2+…+x 40q 40）+10060（x 41r 41+…+x 100r 100）=10040a +10060b .答案：A评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？特别提示除了上述方法外，我们还可以先分别求出x 1+x 2+…+x 40=40a ，x 41+x 42+…+x 100=60b ，再求x .【例2】 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）甲 10 8 9 9 9 乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是___________.剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定.因此分别求其方差. 甲的平均数为x 1=51（10+8+9+9+9）=9， 乙的平均数为x 2=51（10+10+7+9+9）=9，甲的方差为s 甲=（10－9）2×51+（8－9）2×51=52， 乙的方差为s 乙=（10－9）2×51×2+（7－9）2×51=56.s 乙＞s 甲，说明乙的波动性大，故甲入选. 答案：甲评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低.【例3】 某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：分 组 平均成绩标准差 第一组 90 6 第二组804剖析：代入方差公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］即可求得.解：设全班的平均成绩为x ，全班成绩的方差为s 2， 则s 12=181［（x 12+x 22+…+x 182）－18×902］=36，s 22=221［（x 192+x 202+…+x 402）－22×802］=16.∴x =401（90×18+80×22）=2169=84.5，s 2=401［（x 12+x 22+…+x 182）+（x 192+x 202+…+x 402）－40·x 2］=401［18×（36+8100）+22×（16+6400）－40×41692］=401（146448+141152－10×1692） =401×1990=49.75.∴s =2199≈7.05.评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 【例4】 已知c 为常数，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］.证明：s 2≤s c 2，当且仅当c =x 时，取“=”.剖析：证明s c 2≥s 2，可证明s c 2－s 2≥0.因此应用方差公式进行变形即可. 证明：∵s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－2c （x 1+x 2+…+x n ）+nc 2］，∴s c 2－s 2=x 2－nc 2（x 1+x 2+…+x n ）+c 2=x 2－2c ·x +c 2=（x －c ）2≥0. ∴s c 2≥s 2，当且仅当x =c 时取“=”. 评述：作差是比较大小的常用手段.●闯关训练 夯实基础1.一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差是A.21s 2 B.2s 2 C.4s 2 D.s 2解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s 2. 答案：C2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解析：易得x 没有改变，x =70， 而s 2=481［（x 12+x 22+…+502+1002+…+x 482）－48x 2］=75， s ′2=481［（x 12+x 22+…+802+702+…+x 482）－48x 2］=481［（75×48+48x 2－12500+11300）－48x 2］=75－481200=75－25=50.答案：B3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）：解析：x 甲=51（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，x乙=51（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10，s 甲2=51［（9.8－10）2+（9.9－10）2+（10.1－10）2+（10－10）2+（10.2－10）2］=0.02，s 乙2=51［（9.4－10）2+（10.3－10）2+（10.8－10）2+（9.7－10）2+（9.8－10）2］=0.244. 所以，甲比乙稳定. 答案：甲4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z =sx x -（其中x 是某位学生的考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是T =40Z +60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T 分数为___________.解析：由已知Z =257085-=53，∴T =40×53+60=24+60=84.故考生成绩的T 分数为84.答案：84试分析两厂上缴利税的情况.解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为x 甲=41（70+50+80+40）=60， x乙=41（55+65+55+65）=60；甲、乙两厂上缴利税的方差为 s 甲2=41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］=250， s 乙2=41［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］=25.经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定.培养能力 6.某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名参加全市中学生百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，成绩如下表：解：x 甲=12.4=x 乙，s 甲2=0.12，s 乙2≈0.10，∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳定，应派乙选手参加比赛.7.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下：解：x 1=51（21.5+20.4+…+19.9）=21，x2=51（21.3+18.9+…+19.8）=21， x3=51（17.8+23.3+…+20.9）=20.5，s 1=0.756， s 2=1.104， s 3=1.901.由x 1=x 2>x 3，而s 1<s 2<s 3，说明第1种西红柿品种既高产又稳定.8.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm ）：甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10分别计算上面两个样本的平均数与方差，如果图纸上的设计尺寸为10 mm ，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？解：x 甲=101（10.2+10.1+…+10.1）=10，x乙=101（10.3+10.4+…+10）=10，s 甲2=101［（10.2－10）2+（10.1－10）2+…+（10.1－10）2］=0.03， s 乙2=101［（10.3－10）2+（10.4－10）2+…+（10－10）2］=0.06.由上述结果分析，甲台机床加工这种零件稳定，较合适.探究创新9.有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： ［12.5，15.5），6；［15.5，18.5），16；［18.5，21.5），18；［21.5，24.5），22；［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率. 解：（1）样本的频率分布表如下：（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92.∴数据小于30.5的概率约为0.92.探究：解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.注意直方图与条形图的区别.●思悟小结1.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布外，还可以用平均值和方差对总体进行估计，即用样本平均数x 去估计总体平均数μ；用样本方差s 2去估计总体的方差σ2，进一步对总体的分布作出判断.2.进行几次实验，得到样本数据x 1，x 2，…，x n ，设c 是任意常数，k 为任意的正数，作变换y i =k1（x i －c ）（i =1，2，…，n ），则有：①x =k y +c ；②s x 2=k 2s y 2.●教师下载中心 教学点睛1.期望反映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高.2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定.拓展题例【例1】 如果数据a 1，a 2，…，a 6的方差是6，那么另一组数据a 1－3，a 2－3，…，a 6－3的方差是多少？解：设a 1，a 2，…，a 6的平均数为a ，则（a 1－3），（a 2－3），…，（a 6－3）的平均数为a －3，∴方差为s 2=61{［（a 1－3）－（a －3）］2+…+［（a 6－3）－（a －3）］2}=6.【例2】 已知样本方差由s 2=101∑=101i （x i －5）2求得，求∑∑=101i x i .解：依s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［x 12+x 22+…+x n 2－n x 2］知，∴101∑=101i x i =5.∴∑=101i x i =50.。
预估总体方差的方法
预估总体方差的方法一、引言总体方差是统计学中一个重要的概念，它描述了总体中各个变量值与总体均值之间的离散程度。
在实际应用中，我们往往需要对总体方差进行估计，以便进行更精确的统计分析。
本文将介绍几种常见的预估总体方差的方法。
二、样本方差法样本方差法是最常见的预估总体方差的方法之一。
其基本思想是通过样本数据来推断总体数据的特征。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。
2. 计算样本数据的平均值。
3. 计算每个观测值与平均值之间的偏差，并将这些偏差平方。
4. 将所有偏差平方相加，并除以n-1得到样本方差。
5. 样本方差可以用来估计总体方差。
三、区间估计法除了直接使用样本方差来估计总体方差外，我们还可以使用区间估计法。
该方法基于置信区间理论，通过对置信区间进行推断来预估总体方差。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。
2. 计算样本数据的平均值和样本方差。
3. 根据置信水平和自由度，计算出置信区间。
4. 将置信区间代入总体方差的公式中，得到总体方差的估计值。
四、最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的统计学方法，可以用来预估总体方差。
该方法基于概率论和统计学原理，通过寻找使得观测数据发生概率最大的参数值来进行预估。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 假设总体符合某种特定的分布。
2. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。
3. 根据假设分布和样本数据，构建出关于参数的似然函数。
4. 求解使得似然函数最大化的参数值，并将其作为总体方差的预估值。
五、贝叶斯方法贝叶斯方法是一种基于概率论和贝叶斯定理的统计学方法。
该方法可以用来预估总体方差，并且具有一定的优势。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 假设总体符合某种特定的分布，并且给出先验概率分布。
2. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。
3. 根据假设分布和样本数据，计算出后验概率分布。
1.3总体期望值和方差的估计
新课： 1. 总体期望值的估计 在初中我们就知道，总体平均数也称为总体期望 值 ，总体平均数描述了一个总体的平均水平. 对很多总体来说，它的平均数不易求得，常用容 易求得的样本平均数对它进行估计，而且常用两个样 本平均数的大小去近似地比较相应的两个总体的平均 数的大小。
求样本平均数的公式为 1 x (x x 1 x 2 n). n
2. 总体方差（或标准差）的估计： 我们已经知道，平均数（即期望值）可以反映总体 或样本的平均水平，今天所要讲的方差和标准差则是描 述一个样本或总体的波动大小（或说稳定性）的特征数.
样本方差公式为 1 2 2 2 s [( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
2
样本标准差公式为 1 2 2 2 s [( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
例4 要从甲乙两名男跳远运动员中选拔一名去参加 田径运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如 果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定 程度。为此对两人进行了 15 次比赛，得到如下数据： （单位：cm）：
下
页
（1）根据上述样本估计，小水库中鱼的平均质量约是多 少千克？ （2）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库， 几天带有记 号的鱼有9条，如何根据这一情况来估计水库中鱼的总条数？
提示：常用下面的 公近 式似 来估计水库中 总鱼 条的 数 . m m 1 , n n 1 其中， n是 水 库 中 鱼 的 总 条 数 ， m是 水 库 中 带 记 号 的 总鱼 条的 数， n 1是 捕 捞 出 的 鱼 的 条 数 ， m 的记 鱼号 的条 .数 1是 捕 捞 出 的 鱼 中 带
概率计算中的期望与方差计算
概率计算中的期望与方差计算概率论是数学中的一个重要分支，其中期望值和方差是计算概率分布特征的核心概念。
在概率计算中，期望值和方差的计算可以帮助我们了解随机事件的平均趋势和离散程度。
本文将介绍期望值和方差的概念、计算方法以及其在概率计算中的应用。
1. 期望值的定义与计算方法期望值是一组数据中各数值与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量的平均取值。
设随机变量X有n个取值x1, x2, ... , xn，并且对应的概率为p1, p2, ... , pn，则期望值的计算公式为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn其中E(X)表示X的期望值。
通过计算，可以得到随机变量X的平均取值。
2. 方差的定义与计算方法方差是一组数据中各数值与其期望值的差的平方与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量取值与其平均取值的离散程度。
方差的计算公式为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn其中Var(X)表示X的方差。
通过计算，可以得到随机变量X的离散程度大小。
3. 期望值与方差的应用举例在实际应用中，期望值和方差有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：3.1 投掷硬币假设投掷一枚公平的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。
则硬币的期望值为E(X) = p * 1 + (1-p) * 0 = p，方差为Var(X)= (1-p)^2 * p + p^2 * (1-p) = p(1-p)。
通过计算可以知道，硬币投掷的平均结果为正面与反面的概率加权平均，且平均偏离程度由p(1-p)表示。
3.2 随机抽样在随机抽样中，假设有n个样本，每个样本的概率为p，被抽中的概率为1-p。
则样本的期望值为E(X) = p，方差为Var(X) = p(1-p)/n。
通过计算可以得到，样本的平均结果由单个样本的概率加权平均，且偏离程度与样本数量n成反比。
一个正态总体期望与方差的假设检验
W { 2 2.7 or 2 19.023}
而这里
2 / 2 (n
1)
2
2 1
/
2
(n
1)
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设,认为该批金
属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
H0
:
2
2 0
;
H1
:
2
第八章
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
二、方差的假设检验－ 2检验
一、期望值的假设检验
1、方差
2
2为已知时对期望值
0
的检验—
u
检验
设样本 X1, X 2, , X n 来自正态总体 N (, 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行.
u
0 t (n 1)
(c) H1 : 0
W {t t1 (n 1)}
W {t t1 (n 1)}
W {t t (n 1)}
2 （备择假设、拒绝域和显著性水平）
例3 电视台广告部称某类企业在该台黄金时段内播放 电视广告后的平均受益量(平均利润增加量)至少为15万元,
2未知, 由抽样分布定理知,若用样本标准差 s 代替 , U
统计量变为 t 统计量,
即
t
x 0
~ t(n 1)
s/ n
(8.2.2)
相应于上述三对假设,拒绝域见下图.
/2
/2
t
t (n 1) 0 t1 (n 1)
期望和方差的关系
方差与期望的关系如下：
方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
方差（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。
为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
）。
总体期望值和方差的估计
对于很多总体来说，它的平均值不易求得，通常用容易求得的样本平均数对它进行估计.而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两个总体的平均数的大小.
03
样本平均数的符号表达：
04
01
方差估计：
02
样本方差：
03
样本标准差：
04
方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数.
计算器使用
On 2ndf STAT
自然！
课堂评价
单击此处添加副标题
谢谢大家！
演讲人姓名
机器乙:147 146 148 155 157 149 146 148 146 149 146 148 158 147 147
试问：哪台机器的日均产量较高？哪台产量更稳定？比一比谁能更快得出结论！
比一比：
方案设计
南湖渔场在2004年底投放了大量鱼苗，经过一年喂养，现在要了解湖中养殖鱼的情况，如每条鱼的平均重量，南湖中鱼的总条数？请你拟定统计方案？
￣
注：数据录入错误用2ndf cd 键清除
例题讲解：
01
04
02
03
某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中各抽取了20只进行寿命试验，得到如下数据（单位:小时）：
灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590
想一想：
用样本平均值去估计总体平均值一定准确吗？请说明理由!
你认为减少错误发生的途径有哪些？
想一想：
增大样本的容量
采用更合理的抽样方法
01
02
04
概率计算中的期望与方差计算
概率计算中的期望与方差计算概率计算是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括金融、统计学、物理学等。
在概率计算中，期望与方差是两个基本的概念和工具，用于描述随机变量的特征和分布。
本文将详细介绍期望与方差的计算方法及其应用。
一、期望的计算期望是随机变量的平均值，它可以理解为对随机变量进行大量重复实验后的平均结果。
期望的计算公式如下：E(X) = Σ[x * P(x)]其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量可能取到的值，P(x)表示该值发生的概率。
以掷骰子为例，假设骰子是均匀的，即各个面出现的概率相等。
骰子的期望可以通过以下计算得出：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5这意味着在长期的掷骰子实验中，每次掷出的点数的平均值接近于3.5。
二、方差的计算方差衡量的是随机变量离其期望的平均偏离程度，用于描述随机变量的分散程度。
方差的计算公式如下：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(x)]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x表示随机变量可能取到的值，E(X)表示随机变量X的期望，P(x)表示该值发生的概率。
继续以掷骰子为例，我们计算骰子的方差：Var(X) = [(1-3.5)^2 * 1/6] + [(2-3.5)^2 * 1/6] + [(3-3.5)^2 * 1/6] + [(4-3.5)^2 * 1/6] + [(5-3.5)^2 * 1/6] + [(6-3.5)^2 * 1/6] = 2.92从结果可以看出，骰子的结果相对稳定，方差较小。
三、期望与方差的应用期望和方差作为概率计算的基本工具，应用广泛。
以下是一些常见的应用场景：1. 金融领域：在金融建模中，期望和方差被广泛应用于资产收益的预测和风险评估。
投资者可以通过计算期望和方差来评估投资组合的预期收益和风险。
期望值和方差的公式
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
正态总体均值方差的区间估计
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
高三数学总体期望与方差PPT优秀课件
2 关于“总体期望值的估计”
总体期望值的计算，在其个体较少时，易 算；但在其个体较多或无限时，难以计算. 这时常通过抽取样本，用样本的算术平均数 来推断总体期望值(总体的算术平均数)，这 种方法称为对“总体期望值的估计”.
3 平均数公式 (1)x=(x1+x2+…+xn) ／n
(2)x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
二 基础探究：
1 总体期望值
总体中所有观察值的总和除以个体总数 所得的商称为总体期望值. 即“总体期望值”为“总体的算术平均值”
总体期望值能反映总体分布中大量数 据向某一方向集中的情况，利用总体期望值 可以对两个总体的差异进行比较.
如：平行班级某一学科的测试分数的 总体期望值的比较，能较好地反映平行 班级这一学科之间的差异.
一 复习回顾
1 统计的基本思想方法是什么？ 用样本去估计总体
2 如何对样本进行分析？ 用样本估计总体大体分为两类：
一类是用样本的平均数、方差等数字特征去估计总体 的相应数字特征； 一类是用样本的频率分布去估计总体分布
3 总体分布的估计的解题步题 (1).计算最大值与最小值的差(极差) (2).决定组距与组数 （组距=极差/组数） (3).决定分点 (4).列出频率分布表 (5).画频率分布直方图
4 平均数： 总体平均数：总体中所有个体的平均数. 它表示总体取值的平均水平 样本平均数：样本中所有个体的平均数 加权平均数：
公式： x=(x1+x2+…+xn) ／n x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
概率论中的期望与方差
概率论中的期望与方差概率论是一门研究随机现象的数学理论。
在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。
本文将围绕这两个概念展开阐述，并探讨它们在概率论中的应用。
一、期望的定义与性质期望是对随机变量的平均值的度量，反映了随机变量的平均水平。
设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的期望E(X)定义为∑[x·P(X=x)]。
期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。
期望在概率论中有着广泛的应用。
在统计学中，期望被用于描述样本均值的性质。
在金融领域，期望被用于计算资产收益的预期值。
在工程学中，期望被用于评估系统的性能。
二、方差的定义与性质方差用于衡量随机变量的离散程度。
设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的方差Var(X)定义为∑[(x-E(X))^2·P(X=x)]。
方差的算术平方根称为标准差。
方差的计算是概率论中的重要内容。
方差衡量了随机变量与其期望之间的差异程度，越大表示随机变量值的分散程度越大。
方差的应用包括金融学中的风险度量、质量控制中的异常度量等。
三、期望与方差的关系期望和方差是概率论中两个紧密相关的概念。
根据方差的定义可得，Var(X)=E[(X-E(X))^2]。
这说明方差是对随机变量离散程度的度量，同时也可以看作是随机变量与其期望之差的平方的期望。
期望和方差之间存在一定的关系。
例如，对于两个独立随机变量X和Y，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
这个性质被称为方差的可加性。
另外，若常数a和b分别为aX和bY的系数，则Var(aX+bY)=a^2·Var(X)+b^2·Var(Y)。
四、期望与方差的应用期望和方差在概率论中有着广泛的应用。
以期望为例，它可以用于计算随机变量的平均值，进而评估随机事件的结果。
在统计学中，期望被用于估计总体参数，如样本均值是总体均值的无偏估计。
方差的应用也是多种多样的。
在金融学中，方差被用于度量资产的风险程度。
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
数学期望与方差的公式
数学期望与方差的公式数学中，期望和方差是两个重要的概念。
它们是统计学和概率论中的核心概念，用于描述和衡量概率分布的特性和不确定性。
在本文中，我们将详细介绍数学中期望和方差的定义和计算公式，并对其性质和应用进行详细讨论。
首先，让我们从期望开始。
期望是概率分布的平均值，表示对概率分布的中心位置的度量。
对于一个离散随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X)=Σ(x*P(X=x))其中，x是随机变量X可能取的值，P(X=x)是X取值为x的概率。
对于一个连续随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)是X的概率密度函数。
期望有很多重要的性质。
首先，期望是线性的，即对于常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。
这意味着我们可以将常数系数从一个随机变量中提取出来。
此外，期望还满足E(c)=c，其中c是一个常数。
这意味着一个常数的期望就是它本身。
接下来，让我们来讨论方差。
方差衡量了随机变量偏离其期望值的程度。
对于一个离散随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x))同样，对于一个连续随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx方差也有一些重要的性质。
首先，方差可以用来度量概率分布的离散程度。
方差越大，随机变量的取值就越分散。
其次，方差是非负的，即Var(X) ≥ 0，且只有当X是常数时，方差才为0。
最后，方差具有一个重要的线性性质，即对于常数a和b，Var(aX + b) = a^2 * Var(X)。
这意味着我们可以通过常数系数的平方来调整随机变量的方差。
除了期望和方差，还有一些其他的重要的概念与它们相关。
例如，协方差是用来度量两个随机变量之间线性关系的程度。
Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))协方差的符号可以表明随机变量之间的关系是正相关还是负相关。
一个正态总体期望与方差的假设检验
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
检验 二、方差的假设检验－
2
一、期望值的假设检验
2 2 1、方差 0 为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本 X 1 , X 2 ,
, X n 来自正态总体 N ( , 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行. ①建立假设 关于正态均值 常用的三对假设 (a) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (双边假设检验问题) (b) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (单边假设检验问题) } (c) H0 : 0 ,H1 : 0 . 选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择 U 统计量
U
X 0
/ n
~ N (0,1)
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05. ④ 确定临界值,给出拒绝域 对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,其中u1 / 2 是标准正态分布的 1 分位数, 其他意义相同. 2
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设, 认为该批金 属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0
(8.2.8)
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 (8.2.9) 关于假设检验问题 2 2 (8.2.10) H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验 方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的 方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
估算必要样本容量选取预调查的方差
估算必要样本容量选取预调查的方差引言在社会调查和市场研究中，了解样本容量对于确保调查结果的可靠性至关重要。
为了准确估计总体参数，我们需要选择合适的样本容量，以确保结果具有统计学意义并能够产生可靠的推论。
在进行预调查前，准确估算必要样本容量所需的方差是至关重要的一步。
本文将探讨如何估算必要样本容量选取预调查的方差，并提供相应的方法和示例。
二级标题1：什么是样本容量预估在进行任何一项调查之前，我们需要确定样本容量，这是指需要调查的样本数量。
样本容量预估是通过预先计算和估算，找出能够得到具有一定信度和可靠性的样本容量。
样本容量的预估是一项关键任务，因为它直接影响到调查的可靠性和有效性。
二级标题2：样本容量预估方法的重要性选择适当的样本容量对于调查的成功至关重要。
如果样本容量太小，那么调查的结果将可能不够准确或不具备总体代表性。
如果样本容量太大，这将会导致时间和资源的浪费。
因此，样本容量预估方法的准确性及适用性十分重要。
三级标题1：基于总体方差的样本容量预估方法基于总体方差的样本容量预估方法是估算预调查方差所需的样本容量的常用方法之一。
它的基本思想是通过对总体方差的估计来确定所需的样本容量。
步骤1：确定总体的期望值和方差在进行样本容量预估之前，我们需要先确定总体的期望值和方差。
期望值是总体的平均值，而方差则表示数据的离散程度。
步骤2：选择错误率和置信水平在进行样本容量预估时，我们还需要选择错误率和置信水平。
错误率是指进行统计推断时所允许的错误率，而置信水平则表示估计结果落在一定范围内的概率。
步骤3：计算样本容量在确定了总体的期望值、方差、错误率和置信水平之后，我们可以使用样本容量计算公式来计算所需的样本容量。
其中，样本容量计算公式是基于总体方差的估计、错误率和置信水平进行计算的。
三级标题2：基于效应大小的样本容量预估方法在某些情况下，我们可能无法准确估计总体的方差。
此时，可以使用基于效应大小的样本容量预估方法来估计所需的样本容量。
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9
练一练：
从甲乙两个总体中各抽取了一个 样本：
甲 :900 920 900 850 910 920
乙 :890 960 950 850 860 890
根据上述样本，哪个总体的波动 较小？
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10
比一比：
甲、乙两台机器同时制造某种零件，抽查了 15天中这两台机器制造该零件的数量，结果 如下：
根据上述两个样本,你准备选哪种灯泡?请说明理由！
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8
练一练：
从全年级的学生的语文成绩中任 意抽取了20名学生的成绩如下表 （单位：分）：
60 90 85 75 65 70 80 90 95 80 85 95 75 70 85 80 85 65 90 85 求全年级 的学生的语文考试平均成绩的估 计值。
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方差估计：
样本方差：s21 n[x 1 ( x)2 (x2 x)2 (xn x)2]
样本标准差：s1 n[x(1x)2(x2x)2(xnx)2]
方差和标准差是描述一个样本和总体的波 动大小的特征数.
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6
On 2ndf STAT
86 DATA 85 DATA 90 DATA 85 DATA 84 DATA
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4
总体期望值的估计：
1.总体期望值（又称为总体平均数）描述了一 个总体的平均水平. 2.对于很多总体来说，它的平均值不易求得，通 常用容易求得的样本平均数对它进行估计.而且常 用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两个 总体的平均数的大小.
3.样本平均数的符号表达：
x1 n(x 1x2xn)
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19
课后练习
1.完成课后习题； 2.抽样估计我们班同学的
月平均支出。
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20
课堂评价
本课是一节例题课 ，我没有采用传统的 方法，教学设计力图让学生主动参与，自主 探索，体现教师为主导，学生为主体，思维 为核心，能力为目标的教学思想，充分调动 学生的主动性和积极性；利用多媒体辅助教 学，安排课堂实景，利用课件的直观性设计， 突破重难点；体验快乐数学，感受数学源于 实践并为实践服务，让学生学得快乐，学得 自然！
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21
谢谢大家！
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22
＿ X
STAT DEG STAT DEG 1 STAT DEG 2 STAT DEG 3 ￣STAT DEG 4 STAT DEG 5
86
s
2.235
注：数据录入错误用2编n辑dpfpt cd 键清除
7
例题讲解：
1.某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中 各抽取了20只进行寿命试验，得到如下数据（单 位:小时）：
机器甲:151 150 141 143 135 131 141 142 150 142 144 137 134 140 134
机器乙:147 146 148 155 157 149 146 148 146 149 146 148 158 147 147
试问：哪台机器的日均产量较高？哪台产量 更稳定？比一比谁能更快得出结论！
教学流程图
创设情景 研究性学习 巩固反思 课堂总结
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2
问题一：收获季节
从湖中打一网鱼，共M条，做上
记号后再放入湖里，数天后再打一
网鱼共n条，其中K条有记号。估计
湖中有鱼大约
条？
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3
问题二：选拔人才
要从甲乙丙三名选手中挑选一名同学参 加数学竞赛，参考5 次平时成绩如下表：
甲：86 85 90 85 84 乙：70 95 85 83 97 丙：75 78 72 74 76 请你分析数据，作出选拔决定。
灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590
灯泡乙：1670 1610 1550 1490 1430 1610 1530 1430 1410 1580 1520 1440 1500 1510 1540 1400 1420 1530 1520 1510
甲 6.75 6.9 6.75 6.38 6.83 6.9
乙 6.68 7.2 7.13 6.38 6.45 6.68
你准备选哪一种水稻来种植
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归纳、总结、提高
渗透一个思想、介绍两种方法、 培养三个习惯
一个思想：“用样本估计总体”的统计思 想 两种方法：数学期望估计和方差估计
三个习惯：合作、探究、应用
▲增大样本的容量
▲采用更合理的抽样方法
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14
探究性问题：
2.甲、乙两人在相同条件下各射靶20次， 命中的环数如下： 甲： 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 5 6 5 6
7 8 7 9 10 9 乙： 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 9 6 5 8
6968 7 7 如果你是教练，你准备选谁去参加比赛？
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11
方案设计
南湖渔场在2004年底投放了大 量鱼苗，经过一年喂养，现在要 了解湖中养殖鱼的情况，如每条 鱼的平均重量，南湖中鱼的总条 数？请你拟定统计方案？
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想一想：
1.用样本平均值去估计 总体平均值一定准确吗？ 请说明理由!
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13
想一想：
2.你认为减少错误发生的途径 有哪些？
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15
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
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试一试：
你准备如何来刻画样本 的稳定性呢？展开你丰 富的想象，大胆发表你 的见解？
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尝试成功！
某农场种植的甲、乙两种水稻，在连 续6年中各年的平均单位产量如下： （单位：t/hm2):
品 第1 第2 第3年 第4年 第5年 第6年 种年 年