二维离散型随机变量
合集下载
3.2二维离散型随机变量
j
ξ
Pi•
证明: 证明
x1 p1•
x2 p2•
… …
xi pi •
… …
pi• = P{ξ = xi } = P{ξ = xi , −∞ < η < +∞} = ∑ P{ξ = xi ,η = y j } = ∑ pij
j j
信息系刘康泽
边缘分布： 2、 (ξ ,η ) 关于 η 的边缘分布：
p• j = ∑ pij
η ( ξ = 0时)
p
另外两个同理可得。 另外两个同理可得。
1 1/2
2 1/2
信息系刘康泽 的两点分布， 例 5、已知 ξ 服从参数 2 / 3 的两点分布，又 、 η (ξ = 0) 1 2 3 1/2 1/4 1/4 P
η (ξ = 1)
的概率分布. 求 (ξ ,η ) 的概率分布.
1 1/3
证明: 证明
pij p• j
,
p• j ≠ 0 , i = 1, 2,⋯ .
pij p• j
P{ξ = xi | η = y j } =
P{ξ = xi ,η = y j } P{η = y j }
=
.
分布： 2、在 ξ = xi 的条件下 η 的分布：
P{η = y j | ξ = xi } =
pij pi •
信息系刘康泽
联合分布律也可用表格的形式来表示。 联合分布律也可用表格的形式来表示。
ξ
η
x1 x2 ⋮ xi ⋮
y1 p11 p 21 ⋮ p i1 ⋮
y2 p12 p 22 ⋮ pi 2 ⋮
… … … …
yj p1 j p2 j ⋮ pij ⋮
… … … …
ξ
Pi•
证明: 证明
x1 p1•
x2 p2•
… …
xi pi •
… …
pi• = P{ξ = xi } = P{ξ = xi , −∞ < η < +∞} = ∑ P{ξ = xi ,η = y j } = ∑ pij
j j
信息系刘康泽
边缘分布： 2、 (ξ ,η ) 关于 η 的边缘分布：
p• j = ∑ pij
η ( ξ = 0时)
p
另外两个同理可得。 另外两个同理可得。
1 1/2
2 1/2
信息系刘康泽 的两点分布， 例 5、已知 ξ 服从参数 2 / 3 的两点分布，又 、 η (ξ = 0) 1 2 3 1/2 1/4 1/4 P
η (ξ = 1)
的概率分布. 求 (ξ ,η ) 的概率分布.
1 1/3
证明: 证明
pij p• j
,
p• j ≠ 0 , i = 1, 2,⋯ .
pij p• j
P{ξ = xi | η = y j } =
P{ξ = xi ,η = y j } P{η = y j }
=
.
分布： 2、在 ξ = xi 的条件下 η 的分布：
P{η = y j | ξ = xi } =
pij pi •
信息系刘康泽
联合分布律也可用表格的形式来表示。 联合分布律也可用表格的形式来表示。
ξ
η
x1 x2 ⋮ xi ⋮
y1 p11 p 21 ⋮ p i1 ⋮
y2 p12 p 22 ⋮ pi 2 ⋮
… … … …
yj p1 j p2 j ⋮ pij ⋮
… … … …
二维离散型随机变量的联合分布函数
例1 设
F
(x,
y)
0, 1,
x y 1 x y 1
讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函
数？
y
(0,2) •
解 F (2,2) F (0,2)
• (2,2)
F (2,0) F (0,0)
(0,0)
111 0
•
(2,0) •
x
1
故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数．
2
1
9
27 1
本例与前例有相同的边缘分布，但它们的 联合分布却不同．故：
联合分布可以唯一确定边缘分布； 但边缘分布却不能唯一确定联合分布．
例5 二元两点分布
下面的二维离散型随机变量称为二元两点 分布．
pij X
1
0
p• j
Y
1
p
0
p
0
0
q
q
pi•
p
q
1
p + q = 1 ，0 < p < 1
作业 P144 习题二 27
i1 j1
二维离散型随机变量的联合分布函数
F(x, y) pij , xi x y j y x , y
已知联合分布律可以求出其联合分布函数， 反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律．
P( X xi ,Y y j ) F (xi , y j ) F (xi , y j 0) F (xi 0, y j ) F (xi 0, y j 0) i, j, 1,2,
F (x,y) = 0
v
当0x<1 0 y < x 时，
二维离散随机变量及其分布(3.2)
yj p1 j p2 j pij
x2
… … …
pi
p1 p2
pi
xi
p j pi1源自p1 pi 2
p2
…
…
…
p j
…
第三章 二维随机变量及其分布
§2 二维离散随机变量
例 3 从 1 ，2 ，3 ，4 这4个数中随机取出一个，记为 X，
再从 1 到 X 中随机地取出一个数，记为 Y， 试求 X ， Y 的联合分布律与X 及 Y 各自的边缘 分布律．
PX 1， Y 1
1 PX 2， Y 0 9
PX 2， Y 1 P 0
2 9
PX 2， Y 2 P 0
第三章
二维随机变量及其分布
§2 二维离散随机变量
由此得 X， Y 的联合分布律为
Y X
0 1 2
0
1
2
1 9 2 9 1 9
j 1,2,
X， Y 的联合分布律也可以由 下表表示
Y X x1
y1
y2
… … …
yj p1 j p2 j
pij
… … … …
p11 p21
pi1
p12 p22
x2
xi
第三章 二维随机变量及其分布
§2 二维离散随机变量
3)二维离散型随机变量联合分布律的性质
性质 1 ：非负性
i， j ， i，j 1， 2， 对任意的
解：
0， 1， 2． X 的可能取值为 0， 1， 2；Y 的可能取值为
1 1 PX 0， Y 0 2 9 3
第三章
二维随机变量及其分布
第三节二维随机变量的独立性
或随机变量X与Y的联合分布律. 注： 二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
X Y y1 y2 … yj … x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... P2j ...
xi pi1 pi2 ... Pij ...
3. 联合分布律的性质 ：
(1) pij 0；(2) pij＝1.
F ( x1 ,, xn ) FX1 ( x1 )FX2 ( x2 )FXn ( xn )
则称X1 , X2, …, Xn 相互独立，或称(X1 , X2, …, Xn )是独立的.
一、二维离散型随机变量
1. 定义：若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。
2. 联合分布律： 若二维随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为Pij, 则称P{X＝xi, Y＝ yj}＝ Pij为随机变量(X, Y)的分布律，
等价定义：设X, Y为两个随机变量，如果对任意实数a<b, c<d， 有P{a<Xb, c<Yd} =P{a<Xb}P{c<Yd}，即事件{a<Xb}与 事件{c<Yd} 独立，则称随机变量X与Y相互独立.
2. 独立的充要条件 (1) 设( X，Y )为离散型随机变量，分布律为 pij，则 X与Y相互独立 pij pi. p. j . (2) 设( X，Y )为连续型随机变量，概率密度为 f ( x，y)，则
例2. 设( X，Y )的分布律为 且X与 Y独立，求a，b.
XY 1 2 0 0.15 0.15 1 ab
例2. 设( X，Y )的分布律为 且X与 Y独立，求a，b.
X Y y1 y2 … yj … x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... P2j ...
xi pi1 pi2 ... Pij ...
3. 联合分布律的性质 ：
(1) pij 0；(2) pij＝1.
F ( x1 ,, xn ) FX1 ( x1 )FX2 ( x2 )FXn ( xn )
则称X1 , X2, …, Xn 相互独立，或称(X1 , X2, …, Xn )是独立的.
一、二维离散型随机变量
1. 定义：若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。
2. 联合分布律： 若二维随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为Pij, 则称P{X＝xi, Y＝ yj}＝ Pij为随机变量(X, Y)的分布律，
等价定义：设X, Y为两个随机变量，如果对任意实数a<b, c<d， 有P{a<Xb, c<Yd} =P{a<Xb}P{c<Yd}，即事件{a<Xb}与 事件{c<Yd} 独立，则称随机变量X与Y相互独立.
2. 独立的充要条件 (1) 设( X，Y )为离散型随机变量，分布律为 pij，则 X与Y相互独立 pij pi. p. j . (2) 设( X，Y )为连续型随机变量，概率密度为 f ( x，y)，则
例2. 设( X，Y )的分布律为 且X与 Y独立，求a，b.
XY 1 2 0 0.15 0.15 1 ab
例2. 设( X，Y )的分布律为 且X与 Y独立，求a，b.
二维离散型随机变量及其分布
[例1] 1个口袋中装有大小形状相同的6个球， 其中2个红球、4个白球，现从袋中不放回地取两 次球，每次取一个。设随机变量
0, 表示第一次取红球 0, 表示第二次取红球 X 1, 表示第一次取白球 Y 1, 表示第二次取白球
求（X,Y）的联合分布律。
二、 边缘分布律(Marginal distribution regularity)
2007年12月
三、随机变量的独立性(Independence of random
variable)
定理1 设（X,Y）是二维离散型随机变量，则 X，Y相互独立的充要条件是：对所有的i,j，均有
pij=pi..p.j
[例3] 见例1，判断X,Y是否相互独立？
例4 已知随机变量(X,Y)的分布律为
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10 解：
求X、Y的边缘分布律。
x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5
p.j 2/5 3/5
故关于X和Y的分布律分别为：
X0 1
Y/5 2/5
小结
联合分布律 边缘分布律
思考
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为
“有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？
2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变
量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
1、定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量， 称分量X的分布律为（X，Y）关于X的边缘分布律； 分量Y的分布律为（X，Y）关于Y的边缘分布律。
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件以及其概率性质。
其中，随机变量是概率论中的一个基本概念，它可以用来描述随机现象和随机试验的结果。
本文将介绍概率论中与二维随机变量、多项分布以及独立同分布相关的公式。
一、二维随机变量在概率论中，随机变量可以分为一维和多维两种情况。
一维随机变量描述的是具有一个取值的随机事件，而二维随机变量则描述的是具有两个取值的随机事件。
常见的二维随机变量包括离散型和连续型两种。
1. 离散型二维随机变量离散型二维随机变量的概率分布可以通过联合概率质量函数（Joint Probability Mass Function，简称JPMS）来描述。
对于二维离散型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(X = x, Y = y) = P(X, Y)其中，P(X = x, Y = y)表示随机变量X取值为x，随机变量Y取值为y的概率，P(X, Y)表示联合概率质量函数。
2. 连续型二维随机变量对于连续型二维随机变量，其概率分布则可以通过联合概率密度函数（Joint Probability Density Function，简称JPDS）来描述。
对于二维连续型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = ∬f(x, y)dxdy其中，f(x, y)表示联合概率密度函数，∬表示对整个平面积分，a、b、c、d为常数。
二、多项分布多项分布是二项分布的推广，它适用于具有多个离散可能结果的试验。
假设有n个独立的试验，每个试验有k种可能的结果，且每种结果出现的概率是固定的。
那么多项分布描述了试验结果中每种可能出现的次数的概率分布。
多项分布的概率质量函数可以表示为：P(X₁ = x₁, X₂ = x₂, ..., Xk = xk) = (n! / (x₁! * x₂! * ... * xk!)) *(p₁^x₁ * p₂^x₂ * ... * pk^xk)其中，n为试验次数，xi表示结果i出现的次数，pi表示结果i出现的概率。
2.2 概率论——二维离散型随机变量及其分布
1,
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
二维离散型随机变量及其分布律
则(ξ ,η )的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 故 (ξ ,η )为二维离散型随机变量。
1
2. 联合分布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 (xi ,yj ),i,j=1,2, ，若{ξ = xi ,η = yj }的概率 L pij = p{ξ = xi ,η = yj} (1) (2) pij ≥ 0 i,j=1,2, L i,j=1,2, L
第2-3节 二维离散型随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量的定义
定义： 若二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 有限对或可列多对， (ξ ,η )=(xi ,yj ),i,j=1,2, L 则称(ξ ,η )为二维离散型随机变量。
例：抛掷两枚硬币一次，观察出现正反的情况，令
⎧0 ξ＝⎨ ⎩1 ⎧0 ,η＝ ⎨ A币出现正面 ⎩1 A币出现反面 B币出现反面 B币出现正面
称之为随机变量η 在ξ = xi条件下的条件分布律。
4
5. 随机变量的独立性
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )联合分布律为 pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, L 若对于任意的i, j，恒有pij ≡ pi. p. j，即 p{ξ = xi ,η = yj} = p{ξ = xi} p{η = yj} 则称为随机变量ξ 与η 独立。
ij
∑∑ p
i =1 j =1
∞
∞
=1 L i,j=1,2, 为二维离散
则称为pij = p{ξ = xi ,η = yj}
型随机变量(ξ ,η )的联合分布律。
2
3. 边缘ห้องสมุดไป่ตู้布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的联合分布律为：pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, 则称为pξ(xi ) = p{ξ = xi ,η < +∞} = pi. L 为(ξ ,η )关于分量ξ的边缘分布律。 类似，(ξ ,η )关于分量η的边缘分布律为: pη(η = yj ) = p{ξ < +∞,η = yj} = p.j j=1,2, L i,=1,2, L
《概率论与数理统计》课件3-2 二维离散型随机变量
++
(2)规范性
pij = 1
i =1 j =1
边缘分布律
+
P X = xi } = P X = xi ,Y < + } = P{X = xi , Y = yj }
j= 1
+
= pij = pi •
j= 1
(i = 1，2， )
+
} } P Y = yj = P X < + ,Y = yj = P{X = xi , Y = yj } i= 1
+
}=
j=1 P{X = xi , Y = yj } =
pij = pi • (i = 1，2，)
j= 1
+
+
P Y = yi } = P X + ,Y = yi } =
P{X = xi , Y = yj }=
pij =
p •j
(j
=
1，2， )
i =1
i =1
3.2- P63— 1 2 3
A
C
B
D
提交
P
XY
( X, Y)X xi }=P{X xi Y
},
j1
pj
pij P{Y yj } P{X
i1
i 1, 2, ,
j 1, 2, ,
Y yi },
pi p j (X,Y)
X
Y
.
Y X
y1
y2
yj
x1
p 11 p 12
x2
p 21 p 22
p1j
p2 j
xi
pp
i1
且满足P{X1X2 = 0} = 1，则 P X1 = X2 } = ( )。
二维随机变量函数的分布
V min{X1 ，X2 ， ，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ， ，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布
二维离散型随机变量的分布律及性质
xi x y j y
xi x y j y
(2.1)
5
例1
X
一Y口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这
袋( X中,Y )任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.
设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以
Hale Waihona Puke 、 解分：别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求
的概率分布．
6
二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布
记 P{X xi ,Y y j } pij, i, j 1,2,,
则 (X,Y)的联合概率分布律（简称分布律）也可用
如下表3-1表示：
其中：0 pij 1,
pij 1.
ij
4
对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变 量 X 和 Y 的联合分布函数为：
F(x, y) P{X xi ,Y y j} pij
关于X j 的边缘概率分布也 是离散的，它的概率分布 如表3-3.
同理可得关于 Y 的边缘概率分
布也是离散的，它的概率分
布如表3-4.其中：p j pij ( j 1,2,)
i
8
例2 设二维离散型随机变量 (X ,Y) 的概率分布如 表3-5,求关于X 及关于Y 的边缘概率分布.
解：
11
三、 二维离散型随机变量的条件概率分布
13
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P{X xi Y y j } 0, i 1,2,
(2)
i 1
pij p j
1 p j
i 1
pij
p j p j
1
同理，设 pi P{X xi } 0 ，则可得到在 X xi
二维离散型随机变量
ρ(X,Y)=Cov(X,Y)σ(X)σ(Y)
相关系数具有对称性，即 ρ(X,Y)=ρ(Y,X)。
05 二维离散型随机变量的函 数变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对二维离散型随机变量进行加、减、缩放等线性运算，得到新的二维离散型 随机变量。
线性变换的性质
线性变换保持了概率分布的平移、旋转和伸缩不变性，即变换后的随机变量的概率分布与 原随机变量的概率分布相同。
协方差与相关系数
协方差
计算公式
相关系数
计算公式
性质
二维离散型随机变量的 协方差是每个取值的横 坐标与期望值之差的乘 积和每个取值的纵坐标 与期望值之差的乘积的 期望值之和。
Cov(X,Y)=∑[(x−E(X))*(y −E(Y))]p(x,y)dxdy
协方差除以两个随机变 量的标准差的乘积，用 于衡量两个随机变量的 线性相关程度。
意义
联合概率分布函数提供了两个随机变量之间 关系的完整描述，包括它们同时发生的概率 。
性质
非负性
联合概率分布函数 F(x, y) 的值总是非负的。
01
归一化
联合概率分布函数满足条件，即所有可 能取值的概率之和为1。
02
03
独立性
如果两个随机变量是独立的，则它们 的联合概率分布函数可以表示为两个 边缘概率分布函数的乘积。
性质
可数性
二维离散型随机变量的取值可以 一一对应到自然数集上，即其取 值是可数的。
有限性
二维离散型随机变量的取值集合 通常是有限的，即其取值个数是 有限的。
独立性
在某些情况下，二维离散型随机 变量可能具有独立性，即两个随 机事件的发生与否相互独立。
联合概率分布
3.2二维离散型随机变量
例：设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为
XY 0 1 2
01
6
3
20 20 20
13
6
1
20 20 20
求在 X=0 的条件下 Y 的条件分布律.
P { X x i|Y yj} P { X P { Y x i ,Y yj }yj}p p ijj,i 1 ,2 ,
为在条件Y= yj 下随机变量 X 的条件分布律。 同样，若P{X= xi}>0, 可定义条件概率
P { Y y j|X x i} P { X P { X x i ,Y x i } y j}p p iij,j 1 ,2 ,
（X，Y）的联合概率分布（分布律）
表达式形式
P X x i , Y y j p i j ( i 1 , 2 ,;j 1 , 2 ,)
表格形式（常见形式）
XY
x1
x2
... 。。。
xi
... 。。。
y1
p 11
p 21
y2
。。。
p 1 2 。。。...
p 2 2 。。。...
i
(X,Y)的边缘分布律的性质
(1 )p i0 ,pj0 (i,j 1 ,2 , )
(2) pi1, pj 1
i
j
联合分布与边缘分布的关系
Y X
0
1
2 PXxi
0
1 20
6 20
3 20
1 2
1
3 20
6 20
1 20
1 2
PY yj
1 5
3 5
1 5
由联合分布可以确定边缘分布;
。。。...
p i1
2.3 二维离散型随机变量及其分布律.
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律.
定义2.5 (X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi·=P{X xi} = pij (i 1, 2,L ); j1 (X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p·j =P{Y y j} = pij ( j 1,2,L ). i1
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
3). P{( X ,Y ) G}
pij
( xi , y j )G
例2.10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P{X xi ,Y y j} P( X xi )P{Y y j} i, j 1,2,3,...
若随机变量独立,则
P{X xi | Y y j} P(xi , y j ) / P{Y y j} P{X xi} P{Y y j | X xi} P{Y y j} 与条件无关
pi1
... 。。。
定义2.5 (X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi·=P{X xi} = pij (i 1, 2,L ); j1 (X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p·j =P{Y y j} = pij ( j 1,2,L ). i1
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
3). P{( X ,Y ) G}
pij
( xi , y j )G
例2.10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P{X xi ,Y y j} P( X xi )P{Y y j} i, j 1,2,3,...
若随机变量独立,则
P{X xi | Y y j} P(xi , y j ) / P{Y y j} P{X xi} P{Y y j | X xi} P{Y y j} 与条件无关
pi1
... 。。。
二维离散型随机变量及其分布
3
0
0
0
1
0
0
0
0.25
2
0
0 0.375 0
3
0
0.25 0
0
4
0.0625 0
0
0
4
0.0625 0 0 0 0
概率论与数理统计
6
❖ 二.例题
➢ 例3.2.2 一口袋中有3个球，它们依次标有数字1, 2, 2，从
该袋中不放回地随机抽取两次，每次取一个，以X、Y表
示表示第一次、第二次取得的球上标有的数字. 求
表格形式表示(X，Y)的分布律．
Y
X
y1
y2Biblioteka …yj…x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
…… … ………
xi
pi1
pi2
…
pij
…
…… … ………
概率论与数理统计
❖ 一.二维离散型随机变量及其分布
➢ 定义3.2.1 如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可列个 数对(xi，yj)，则称(X，Y)为二维离散型随机变量，称 P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1, 2, 为(X，Y)的分布律，或X与Y的联合分布律，也可用如下 表格形式表示(X，Y)的分布律． ➢联合分布律有如下性质： (1) 正则性： pij 0, i, j 1,2,
P X Y P X 1,Y 1 P X 1,Y 2 P X 2,Y 2
0 1 1 2. 33 3
➢ 若本题改为放回抽样呢？
概率论与数理统计
8
❖ 二.例题
➢ 例3.3.3 设X表示随机的在1~4的4个整数中取出的一个数, Y表示在1~X个整数中随机地取出的一个数, 求(X, Y)的联 合分布律及分布函数.
3.4二维随机变量的独立性
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
则称X与Y相互独立。
证明：若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ12 , σ 22 , ρ) 则
X与Y相互独立
0
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
2 y μ2 x μ1 y μ2 2 ρ σ2 σ1 σ2
将其余数值 填入空白处.
X
Y
y1
1 24 1 8 1 6
y2
1 8 3 8 1 2
y3
1 12 1 4 1 3
P X xi pi
1 4 3 4 1
x1 x2
P Y y j p j
二、二维连续型随机变量的独立性 定义3.4.2 设(X，Y)为二维连续型随机变量， 如果对任意的实数 x 和 y 都有
X
Y
y1
p11 p21 pi 1
y2 ...
p12 ... p22 ... pi 2 ...
yj
p1 j p2 j pij
x1 x2 xi Y
... X ... p1
... ...
p 2 pi
p1
p2 pபைடு நூலகம் j
例 设随机变量 X 与 Y 独立, 下表列出二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律 及边缘分布律 的部分数值,
证明：X与Y相互独立
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
1 2πσ1σ 2 1 ρ
2
e
1 2(1 ρ2 )
x μ1 σ1
2
1 2πσ1
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F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, y j y 的i, j求和.
注意 联合分布
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21
p12 p22
pi1
pi 2
p1 j p2 j pij
3、离散型随机变量的边缘分布律
定义设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, .
3 7
pj (Y ) P{Y yj}
4
7 3
7
1
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
记
pi ( X ) pij P{X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j (Y ) pij P{Y y j }, j 1, 2, , i 1
分别称 pi ( X ) (i 1, 2, ) 和 p j (Y ) ( j 1, 2, ) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
FX ( x) F ( x,)
pij ,
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
0
1
0 16
12
49
49
12
9
1 49
49
解
YX
0
1
016
49
12 49
12
149
9 49
pi (X ) P{X xi}
4 7
解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), (2,1), (2,2).
P{ X 1,Y 2} 1 2 1 , P{ X 2,Y 1} 2 1 1 ,
32 3
32 3
P{X 2,Y 2} 2 1 1 . 32 3
p11 0,
p12
p21
p22
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
YX
1 2
12 0 13 13 13
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)
0;
(2)当1 x 2,1 y 2时, 1 (1,1)
F ( x, y) p11 0;
o1
(2,2)
(2,1)
2x
(3)当1 x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p12 1 3;
第二节 二维离散型随机变量
1.二维离散型随机变量的定义 2. 二维离散型随机变量的分布律 3.离散型随机变量的边缘分布律
1.二维离散型随机变量的定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
P{ X
i,Y
j}
P{Y
j
X
i}P{ X
i}
11, i4
i 1,2,3,4, j i.
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
1
11
8 12 16
1
11
8 12 16
11
0 12 16
1
0
0 16
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数. 1 2 2
y
2(1,2)
1 (1,1)
o1
(2,2)
(2,1)
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x, y) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p21 p12 p22 1.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
YX
0 1
0
33 55 23 55
1
3 2 55 22 55
本次课的主要概念：
1. 二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 2. 二维离散型随机变量的联合分布率与边缘分布率
本次课的主要问题：
1. 已知联合分布率求边缘分布率 2. 已知联合分布率求联合分布函数。
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函 数分别为
边缘分布
例4 一个袋中有两只红球，三只白球，令
1, 第一次摸到红球； X 0, 第一次摸到白球。
Y
1, 0,
第二次摸到红球； 第二次摸到白球。
分（1）不放回，（2）放回 两种情形摸球三次，
求 ( X, Y ) 的分布律.
（1）不放回
YX
0 1
0
3 2 54 23 54
1
32 54 21 54
（2）有放回
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,, 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和Y 的联合分布律.
其中 pij 0,