求函数解析式教师版
定义域和值域的专题讲解常用方法教师版
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
求函数定义域（1）函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；（2）常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；（3) 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；（4）对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；（5）分段函数的定义域是各个区间的并集；（6）含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；（7）求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
高一数学寒假作业16 函数y=Asin(ωx+φ)(教师版)
高一数学寒假作业专题16函数y=Asin(ωx+φ)1．先将函数f(x)=2sin(2x−π6)的周期变为原来的2倍，再将所得的图像向右平移π6个单位，则所得图像的函数解析式为（）．A．y=2sinx B．y=2sin(x−π3)C．y=2sin4x D．y=2sin(4x−π6)【答案】B【解析】函数f(x)=2sin(2x−π6)的周期为π，周期变为原来的2倍即为2π，故得函数y=2sin(x−π6)的图像, 再将所得的图象向右平移π6个单位，得y=2sin(x−π6−π6)=2sin(x−π3)的图象．故选：B.2．函数y=sin(x−12π)的单调递增区间是（）．A．[4kπ,(4k+2)π](k∈Z)B．[4k,4k+2](k∈Z) C．[2kπ,(2k+2)π](k∈Z)D．[2k,2k+2](k∈Z)【答案】B【解析】令t=x−12π，则可以化为y=sint，当t∈[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)时，函数y=sint单调递增，即x−12π∈[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)，解得x∈[4k,4k+2](k∈Z)，故原函数的单调递增区间为[4k,4k+2](k∈Z)．3．将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）．A．3π4B．π4C．0D．−π4【答案】B【解析】将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位长度，可得函数y=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+π4+φ)的图象，图象关于y轴对称，可得π4+φ=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ+π4，k∈Z，则φ的一个可能取值为π4.故选：B．4．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos2x的图象向左平移π3个单位得到的，则g(π6)等于()A．1B．−12C．0D．－1【答案】D【解析】由f(x)＝cos2x的图象向左平移π3个单位得到的是g(x)＝cos[2（x+π3）]的图象，则g(π6)＝cos[2（π6+π3）]=cosπ=-1.故选D．5．已知f(x)=2sin(ωx+ϕ)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为()A．f(x)=2sin(32x+π4)B．f(x)=2sin(32x+5π4)C．f(x)=2sin(43x+2π9)D．f(x)=2sin(43x+2518π)【答案】B 【详解】由图可知，34T=5π6−(−π6)=π，所以T=43π=2πω，所以ω=32，又当f(5π6)=2sin(3 2×5π6+φ)=2sin(5π4+φ)=2，即sin(5π4+φ)=1，所以5π4+φ=2kπ+π2,k∈Z，即φ=2kπ−3π4,k∈Z，当k=1时，φ=5π4，故选B.考点：三角函数的图象与性质.6．若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω=（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B∵由题中图象可知x 0+π4−x 0=T 2.∴T =π2.∴2πω=π2.∴ω=4.故选B. 7．设函数f(x)=sin (2x −π3)的图象为C ，下列结论中正确的是（ ）． A ．函数f(x)的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(π6,0)对称C ．图象C 可由函数g(x)=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 D ．函数f (x )在区间(−π12,π2)上是增函数 【答案】B 【解析】函数f(x)=sin (2x −π3)的最小正周期是T =2π2=π；因为f (π6)=sin (2×π6−π3)=0，所以图象C 关于点(π6,0)对称； 图象C 可由函数g(x)=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到；函数f (x )的单调递增区间是[−π12+kπ,5π12+kπ](k ∈Z)，单调递减区间是[5π12+kπ,11π12+kπ](k ∈Z)，取k =0，得函数f (x )的一个单调递增区间是[−π12,5π12]，一个单调递减区间是[5π12,11π12]，故在区间(−π12,π2)上f (x )不是单调递增的，而是先递增后递减．故选：B.8．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)（其中ω>0,|φ|<π2）图象相邻对称轴的距离为π2，一个对称中心为(−π6,0)，为了得到g(x)=cosωx 的图象，则只要将f(x)的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【详解】由题设,则,将(−π6,0)代入可得,所以,则,而g(x)=cos2x=sin(2x+π2)=sin2(x+π4),π4=π6+π12，将f(x)的图象向左平移π12个单位可得到g(x)=cosωx的图象，所以应选D.9．已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)，且对于∀x∈R都有f(x−π4)=−f(x+π4)成立.现将函数f(x)=2sin(ωx+π6)的图象向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（）A．g(π6−x)+g(x+π6)=0B．函数g(x)相邻的对称轴距离为πC．函数g(x+2π3)是奇函数D．函数g(x)在区间[π6,π3]上单调递增【答案】ABD 【解析】因为对于∀x∈R都有f(x−π4)=−f(x+π4)成立，所以f(x)=−f(x+π2)，f(x+π2)=−f(x+π)，所以f(x)=−(−f(x+π))=f(x+π)对于∀x∈R都成立，可得f(x)的周期T=π，所以ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x+π6)，将函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，可得y=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得g(x)=2sin(x−π6)，对于选项A.g(π6−x)+g(x+π6)=2sin(π6−x−π6)+2sin(x+π6−π6)=2sin(−x)+2sinx=0，故选项A正确；对于选项B：函数g(x)周期为T=2π1=2π，所以相邻的对称轴距离为T2=π，故选项B正确；对于选项C ：g (x +2π3)=2sin (x +2π3−π6)=2sin (x +π2)=2cosx 是偶函数，故选项C 错误；对于选项D ：当π6≤x ≤π3时，0≤x −π6≤π6，所以函数g(x)在区间[π6,π3]上单调递增，故选项D 正确 故选：ABD10．已知函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．f (x )在区间(0,π)上有2个零点 B ．(π12,0)为f (x )的一个对称中心C ．f (2π3+x)=f (2π3−x)D ．要得到g (x )=2cos (x +π4)的图像，可以将y =f(x)图像上所有的点向左平移1112π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12 【答案】AB 【解析】解：f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x =2sin (2x −π6)， A:令2x −π6=kπ,k ∈Z ，解得x =π12+kπ2,k ∈Z ，令0<π12+kπ2<π,k ∈Z ，解得−16<k <116,k ∈Z ，则k =0,1，故函数在(0,π)上有2个零点，故A 正确；B:令2x −π6=kπ,k ∈Z ，解得x =π12+kπ2,k ∈Z ，所以(π12,0)为f(x)的一个对称中心,故B正确；C:f (2π3+x)=f (2π3−x)等价于直线x =2π3是函数f (x )的图象的对称轴，f (2π3)=2sin (4π3−π6)=2sin7π6=−1≠±2，∴x =2π3不是f (x )的图象的对称轴，∴C 不正确；D:y =f(x)向左平移π12个单位长度得m (x )=2sin [2(x +π12)−π6]=2sin2x ，横坐标缩短为原来的12可得ℎ(x )=2sin4x ，故D 不正确； 故选:AB.11．将函数y =cos2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数y =f (x )的图象，则（ ） A ．f (x )的图象的对称轴方程为x =−π6+kπ2(k ∈Z )B ．f (x )的图象的对称中心坐标为(kπ2+π12,0)(k ∈Z )C ．f (x )的单调递增区间为[−2π3+kπ,−π6+kπ)(k ∈Z )D ．f (x )的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k ∈Z )【答案】AC 【解析】y =cos2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y =cos2(x +π6)，再向上平移4个单位长度后得到y =f (x )=cos (2x +π3)+4， A. 令2x +π3=kπ，解得x =−π6+kπ2,k ∈Z ，函数的对称轴是x =−π6+kπ2,k ∈Z ，故A 正确；B.令2x +π3=π2+kπ，解得：x =π12+kπ2,k ∈Z ，所以函数的对称中心(π12+kπ2,4),k ∈Z ，故B 不正确；C.令−π+2kπ≤2x +π3≤2kπ，解得：−2π3+kπ≤x ≤−π6+kπ，所以函数的单调递增区间是[−2π3+kπ,−π6+kπ],k ∈Z ，故C 正确；D.令2kπ≤2x +π3≤π+2kπ，解得：−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，所以函数单调递减区间是[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ，故D 不正确.故选：AC12．已知函数f (x )=sinωx (ω>0)的图象向右平移π4个单位长度得y =g (x )的图象，则下列关于函数f (x )和g (x )的说法正确的是（ ） A ．函数f (x )与g (x )有相同的周期B ．函数f (x )的图象与函数g (x )的图象的对称中心一定不同C ．若函数g (x )的图象在[−π2,π2]上至少可取到两次最大值1，则ω≥2D ．若函数g (x )的图象与直线y =√32在[−π2,π2]上恰有两个交点，则169⩽ω<209【答案】ACD 【解析】本题考查三角函数的图象和性质．函数f (x )=sinωx(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度得g (x )=sinω(x −π4)，所以函数f (x )与g (x )的周期都为2πω，所以选项A 正确；函数f (x )的对称中心为(k 1πω,0)，函数g (x )的对称中心为(k 2πω+π4,0)(k 1,k 2∈Z )，当k 1−k 2=ω4(k 1,k 2∈Z )时，对称中心可以相同，所以选项B 不正确；若函数g (x )的图象在[−π2,π2]上至少可取到两次最大值1，则{π2ω+π4⩽π2−32πω+π4⩾−π2，解得ω⩾2，所以选项C 正确;记t =ω(x −π4),x ∈[−π2,π2]，所以ℎ(t )=sint,t ∈[−34πω,14πω].函数ℎ(t )的图象与直线y =√32右边最近两个交点横坐标为π3和2π3，左边最近两个交点横坐标为−43π和−53π，令−34πω=−43π,−53π,π4ω=π3,23π，得ω=169,209,43,83，所以169⩽ω<209，所以D正确．故选：ACD.13．将函数f(x)=2sin(ωx−π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0,π4]上为增函数，则ω的最大值为________．【答案】2【详解】根据“左加右减”原则，向左平移π3ω个单位，可知g(x)=2sin[ω(x+π3ω)−π3]=2sinωx，y＝g(x)在[0,π4]上为增函数，可知周期T4≥π4，所以14⋅2πω≥π4，即ω≤2，ω的最大值为2．14．已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将函数y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若动直线x=t与函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．【答案】√3．【解析】∵f(x)=sin(2x+π3)，∴g(x)=sin[2(x−π3)+π3]=sin(2x−π3)，|MN|=|f(x)−g(x)|=|sin(2x+π3)−sin(2x−π3)|=√3|cos2x|，则cos2x=±1时，|MN|取得最大值为√3．故答案为：√3．15．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如下表：x−π40π6π4π23π4y01120−10【答案】f(x)=sin(2x+π2)（或f(x)=cos2x）．【解析】由题中表格给出的信息可知，函数f(x)的周期为T=2(3π4−π4)=π，所以ω=2ππ=2．∵sin[2×(−π4)+φ]=0，即φ=π2+kπ(k∈Z)．又0<φ<π，所以φ=π2，所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+π2)（或f(x)=cos2x）．16．将函数y=√2sin2x的图象向右平移π6个单位长度后，其图象的一条对称轴方程是_____ ___．【答案】x=512π（答案不唯一）．【解析】解：图象平移后对应的函数解析式为y=√2sin[2(x−π6)]=√2sin(2x−π3)，其对称轴方程为2x−π3=π2+kπ(k∈Z)，解得x=5π12+kπ2(k∈Z)．当k=0时，x=5π12（答案不唯一）．故答案为：x=512π（答案不唯一）17．已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2√3sin2ωx−√3 (ω>0)的最小正周期为π．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）将函数f(x)的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像，若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．【答案】（1）[kπ−π12,kπ+5π12], k∈Z；（2）59π12.【解析】解：（1）f(x)=2sinωxcosωx+√3(2sin2ωx−1)=sin2ωx−√3cos2ωx=2sin(2ωx−π3).由最小正周期为π，得ω=1，所以f(x)=2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2, k∈Z，整理得kπ−π12≤x≤kπ+5π12, k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−π12,kπ+5π12], k∈Z．（2）将函数f(x)的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，可得到y=2sin2x+1的图像，所以g(x)=2sin2x+1．令g(x)=0，得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12(k∈Z)，所以在[0,π]上恰好有两个零点，若y=g(x)在[0,b]上至少有10个零点，则b不小于第1 0个零点的横坐标即可，所以b的最小值为4π+11π12=59π12.18．函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，先把函数f(x)的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象.（1）求函数g (x )图象的对称中心. （2）当x ∈[−π8,π8]时，求 g (x )的值域.（3）当x ∈[−π8,π8]时，方程 g 2(x )+(2−m)g (x )+3−m =0有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(−π12+kπ4,1)(k ∈Z )；（2）[0,32]；（3）[2√2,3310].【解析】（1）根据图象可知A =1，14T =7π12−π3， ∴T =π，∴ω=2πT=2， f (x )=cos (2x +ϕ)，将(7π12,−1)代入得， cos (7π6+φ)=−1，即7π6+φ=2kπ+π，解得 φ=2kπ−π6，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k =0， φ=−π6， ∴f (x )=cos (2x −π6).函数f (x )的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得 y =cos (4x −π6)，曲线再向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位得g (x )=cos (4x +5π6)+1令4x +5π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得 x =−π12+kπ4∴此函数图象的对称中心为(−π12+kπ4,1)(k ∈Z ). （2）当x ∈[−π8,π8]时， 4x +5π6∈[π3,4π3]⇔cos (4x +5π6)∈[−1,12]， g (x )=cos (4x +5π6)+1∈[0,32]，即 g (x )的值域为[0,32]. （3）g 2(x )+(2−m )g (x )+3−m =0⇔g 2(x )+2g (x )+3=m [g (x )+1]⇔m =g 2(x )+2g (x )+3g (x )+1， 令s =g (x )+1，由（2）知s ∈[1,52]， m =s 2+2s=s +2s ∈[2√2,3310]，因此m 的取值范围为[2√2,3310].19．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式．（2）将y=f(x)的图象向右平移π6个单位后得到新函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式．【答案】（1）f(x)=sin(2x+π6)；（2）g(x)=sin(2x−π6).【详解】（1）由所给图象可知A=1，34T=11π12−π6=3π4，所以T=π，ω=2ππ=2．由sin(2×π6+φ)=1，|φ|<π2得π3+φ=π2，解得φ=π6，所以f(x)=sin(2x+π6)．（2）将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=sin[2(x−π6)+π6]=sin(2x−π6)．20．已知点P(1,√3)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点，且f(9−x)=f(9+x)，x∈R，曲线在(1,9)内与x轴有唯一一个交点，求函数f(x)的解析式.【答案】f(x)=√3sin(π8x+3π8)【解析】点P(1,√3)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点∴A=√3，且直线x=1是曲线的一条对称轴.f(9−x)=f(9+x),x∈R，∴直线x=9也是曲线的一条对称轴.又曲线在(1,9)内与x轴有唯一一个交点，∴直线x=1，直线x=9是曲线的两条相邻对称轴，∴T2=9−1=8，∴T=16，∴2πω=16，∴ω=π8，∴f(x)=√3sin(π8x+φ).∵点P(1,√3)是曲线上的一个最高点，∴π8×1+φ=2kπ+π2(k∈Z)，∴φ=2kπ+3π8(k∈Z).∵|φ|<π，∴φ=3π8.故函数f(x)的解析式为f(x)=√3sin(π8x+3π8).11/ 11。
14秋季班09-二次函数的解析式教师版
初中数学备课组 教师 班级初三 学生日期月 日 上课时间 教学内容：二次函数的解析式二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式•本节要讨论的是：怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征二次函数解析式的三种形式1. 一般式： 2y -ax 2 bx • c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线x —2a 4a 2a 2.配方式： 2y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m3.分解式：y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x=? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点sy q,求此二欢函数的解析式.M 方迭T 一般式)：V •二次函数的图像顶点M 为〔一1,4)t A 对称釉是貢线工=一｝・设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0).又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨A& | ~ 4« *'» A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 =h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0).设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐 扳优人，得I 所我解析式为y = — — 2疋+ &ffi J - i -10,方法二£配方式h先求点A或点B的坐标，同方法一・V二次函数图像的顶点坐标为(」1‘ 4), A设解析式为y = a(x+W+^将B仃,0)坐标代入得3 + 4二0,解得a =亠L/•所求解析式为$ - - Q + lf +4*方法三(分解式)：先求点A或点B的坐标，同方法一*•:二次憾数图像与丁轴交点的坐标是A(-3,0)、B(b 0),A设解析式为y = aCr + 3)(工一1几将顶点坐标(一1.4)代入，得一4a = 4r =-L:.所求解析式为y =—Q + —1).化为一般式，得y=-^十2工+ 3.点评选择何种形式的解析式吳根攥题目的条件而定•①巳知田像所经过的三点坐标丫用一般，丸y = at' +屁+百(a 0) ♦建立关于a、b、c的三元一次方稅组求解j②已知图像顶点坐标或对称轴*用配方式y^a(r + m)l+k (a#0>*③已知图像与工轴的两金交点坐标是A<Z| * 0》、B(T2丫0) *用分解戎y = a(z —Jr】)(鼻一％》•对于本题来说、用配方式或分解式校为简捷.◎举-反三i根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.1 -1根据下列条件，分别求出函数的解析式.(D已知二次函数的图像经过点AW, -D> B(I, 0). C(-h 2)t(2)已知抛物线的顶点为(1, -3人且与，轴交于点(0, l)i⑶ 已知抛物线经过A(—3* 0). B(5, 0人C(0.^3)三点.解(1)设二次菌数解析式为y = ai2 +bx + “由图像过点A(0・—1)*得疋=…1»又由于其图橡过点(1, 0). (一1, 2片可得a + A = 114 I冶…A = 3 r因此，所求二次函数的解析式是y K 2#-工一1.(2)因为拋物线的顶点为(1，一3),所以可设函数的解析式为> -a (z - 1)?- 3. 又由于抛物线与，轴交于点(0, 可以得到1’(0-厅-3,得口-饥因此，所求二次雷数的解析式是y = 4 Q - l)z十3,即y j 4^-8x + L(3)圉为抛物线与工轴交于点A(-3, 0). B($»0),所以设二次歯数的解析式为y = a(x 4-3) <JC—5)*又由于抛物线与y轴交于点(0* —3),町以得到一3 = a(C + 3)(0 —5),解得皿=]・o[ 1 7因此，所求二次函数的解析式捷y = —(jr + 3)(x —5),即y =三* —-'X — 3・5 b □1 -2求分别满足以下条件的二次歯数的解析式・(1) 苗数图像的对称轴是直线x = 一 2,与/轴的一个交点坐标是(一5, °),与y 轴的交 点坐标是(山|)；(2) 函数图像经过(一 1」)、＜0, I)两点，且歯数图像最高点的纵坐标为扌・解(1) V (-5, 0＞关于对称轴乂=7 的对称点是(h 0), .r.设解折式为 y = a(jr + s )(x —1)*将(0,寺)代人•得一5。
人教版数学八年级下册 用待定系数法求一次函数解析式(教案与反思)
第3课时用待定系数法求一次函数解析式路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
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柳宗元【知识与技能】1.学会用待定系数法确定一次函数解析式.2.了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数. 【过程与方法】1.经历待定系数法的应用过程，提高解决数学问题的能力.2.体验一次函数中数形结合思想的运用.【情感态度】能把实际问题与数学问题相互转化，认识数学与生活的密切关系. 【教学重点】待定系数法确定一次函数解析式.【教学难点】灵活运用有关知识解决实际问题.一、情境导入，初步认识已知两个函数的图象如图所示，请根据图象写出每条直线的表达式.【教学说明】从图象知，图1中直线表示的是正比例函数，其解析式为y=kx形式，关键是如何求出k的值；由图可知图象过点（1，2），所以该点坐标必适合解析式，将坐标代入y=kx即可求出k的值.图2中直线表示的是一次函数，其解析式为y=kx+b形式，代入直线上两点坐标（2，0）与（0，3），通过解方程组即可求出k、b，确定解析式.学生讨论后，由教师小结.确定正比例函数解析式需要1个条件，确定一次函数的解析式需要2个条件，先设出相应的解析式，然后将条件代入得到方程或方程组，求解后确定解析式.二、典例精析，掌握新知先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.例1已知正比例函数的图象经过点（-4，3），求它的解析式.【分析】求解正比例函数的解析式，我们可以首先设它的解析式为y=kx，根据已知条件，求解出k的值即可.根据这个正比例函数图象经过点（-4，3），意味着当x=-4时，y=3，从而得到k的值.解：由题意可知3=-4k，k=-34所以，这个正比例函数解析式为y=-34x.例2问点A（-1，3），B（1，-1），C（3，-5）是否在同一条直线上. 解：设直线AB的解析式为y=kxb，由题意得3 1k b k b=-+⎧⎨-=+⎩解得错误!未找到引用源。
用待定系数法求二次函数的解析式教案
用待定系数法求二次函数的解析式教案用待定系数法求二次函数的解析式教案(1)年级九年级课题 26.1 用待定系数法求二次函数的解析式教学媒体多媒体教学目标知识技能会用待定系数法求二次函数解析式.过程方法根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.情感态度体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.教学重点运用待定系数法求二次函数解析式.教学难点根据条件恰当设二次函数解析式形式.教学过程设计教学程序及教学内容一、情境引入已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标?应该怎样求出二次函数解析式?引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.二、探究新知1.二次函数中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?抛物线经过点(-1，10)，(1，4)，(2, 7)，求出这个二次函数的解析式。
得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.二次函数中有几个待定系数?需要知道图像上几个点的坐标才能求出来?抛物线的顶点坐标为(1, 2)，点(1，-1)也在图像上，能求出它的函数解析式吗?得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是先代入顶点坐标(1, 2)得到，再代入点(1，-1)即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.用待定系数法求二次函数的解析式教案(2)《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式;.因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用.另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用.一.教学目标：1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。
待定系数法求函数解析式(1)
(2) 把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方 程或方程组．
(3) 解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式．
2
3. 函数解析式
k 反比例函数 y (k 0) x 正比例函数 y kx(k 0)
一次函数 y kx b(k 0)
y ax 2 bx c(a 0) 二次函数
5
m y 的图 例2、已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 x 象的两个交点. (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
6
例3、已知：反比例函数 y 和一次函数 y mx n 图象的一个交点为A(-3,4)且
次函数的解析式.
待定系数法求函数解析式（1）
北京市数学高级教师 郭洁
1
内容提要：
1. 待定系数法：在许多数学问题或实际问题中，建立了函数的模型后，
需要求出其中的待定的系数（这可以通过列方程组并且解这个方程组 求出），从而求出函数的解析式，这种方法叫做待定系数法．
2. 待定系数法的步骤：
(1) 写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数(需要确定这些系数， 因此叫做待定系数）
y
A(-2,1) 与x轴的交点到原点的距离为5. 分别确定反比例函数和一
7
m 例4、如图，一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y 的图象交于A，B两 x 点．则反比例函数的解析式为_________________，一次函数的解析式为 _________________，SAOB _________________．
3
典型例题：
例1、已知y与x成反比例，并且x=3时，y=7．求：
人教版八年级下册第十九章一次函数-求函数解析式及其应用教案
最后，关于教学评价，我认为除了课堂表现和作业完成情况外，还应关注学生在解决问题过程中的思维过程和方法。这样，才能更全面地了解学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学质量。
3.增强学生的数学建模意识：将实际问题转化为数学模型，培养学生的数学建模能力，强化数学与现实生活的联系。
4.培养学生的团队协作和交流能力：在小组讨论和问题解决过程中，鼓励学生相互交流、协作，共同完成任务。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-一次函数的定义：强调形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数是一次函数，理解k和b分别代表的意义。
4.一次函数的应用：解决实际问题，如行程问题、价格问题等。
本节课将重点探讨如何求一次函数的解析式及其在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过分析实际问题，引导学生运用一次函数的解析式进行逻辑推理，解决具体问题。
2.提高学生的数据分析能力：学会从实际问题中提取数据，运用一次函数的知识分析数据，为解决问题提供依据。
人教版八年级下册第十九章一次函数-求函数解析式及其应用教案
一、教学内容
人教版八年级下册第十九章“一次函数”中的求函数解析式及其应用，主要包括以下内容：
1.一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数。
2.求一次函数的解析式：通过已知点斜率k和截距b，或两个已知点坐标来求解。
3.一次函数的性质：斜率k的正负与函数的增减性；截距b的几何意义。
二次函数的图像和性质、解析式求法(教师版)
二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x知识图谱错题回顾知识精讲的最高次数是2．一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1D ． y=x 2+【答案】C【解析】 A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误； B 、y=ax 2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确； D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1【答案】A【解析】 根据二次函数的定义可得212m +=且10m -≠，解得1m =-，故答案为A 选项．例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．【答案】 2【解析】 由二次函数的定义可知2m =．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5 【答案】B 【解析】∵二次函数y=ax 2+bx -1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∵a+b -1=1，三点剖析题模精讲∵a+b=2，∵1-a -b=1-（a+b ）=1-2=-1． 故选：B ．随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x =-+，其中二次函数的个数为（ ） 【答案】 B 【解析】 本题考查的是二次函数概念． ①54y x =-，③32283y x x =-+，⑤2312y x x=-+不符合二次函数解析式， ②2263t x x =-，④2318y x =-符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．【答案】 1-【解析】 本题考查的是二次函数概念． ∵()2113m y m x x +=-+是二次函数，∴212m +=，∴1m =-或1m =（舍去，因为此时二次项系数10m -=）． 故答案为1-．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____． 【答案】 -2 【解析】把点（1，2）和（-1，-6）分别代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得： 26a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩①②， 随堂练习∵+∵得：2a+2c=-4， 则a+c=-2； 故答案为：-2．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质a 的符号图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2） 【答案】A知识精讲三点剖析题模精讲【解析】∵二次函数y=ax 2的对称轴为y 轴， ∵若图象经过点P （-2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选A ．例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．【答案】 2-【解析】 二次函数有最大值，则开口向下，得出2m =-．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．【答案】【解析】 由描点法画出函数图像．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y << C ． 321y y y << D ． 213y y y <<【答案】C【解析】 因为1a <-，所以110a a a -<<+<，因为2y x =对称轴为y 轴，且开口向上，所以321y y y <<，故答案为C 选项．随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的坐标为（ ）A ． ()3,3-B ． ()3,3-C ． ()3,1-D ． ()1,3- 【答案】A【解析】 由二次函数的对称性可知点()3,3B -．随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．【答案】 1【解析】 二次函数有最小值，则开口向上，得出1m =．随堂练习随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．【答案】【解析】 有描点法画出函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x -h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3-B ． ()2,3C ． ()2,3--D ． ()2,3-【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数．二次函数顶点式：()2y a x h k =-+，顶点坐标为(),P h k ，本题中，()223y x =++，顶点坐标()2,3-，故答案是A ．例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例 3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数性质． ∵二次函数的解析式()231y x k =--+，∴二次函数的对称轴为1x =， 根据二次函数解析式可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，题模精讲∴123y y y >>，故选A ．题模二：y=a （x -h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数图象的几何变换． 因为函数2y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位长度， 所以根据左加右减，上加下减的规律， 直接在函数上加1可得新函数21y x =+；然后再沿x 轴向右平移2个单位长度，可得新函数()221y x =-+． 故选A随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-【答案】A 【解析】 由()2y a x h k=-+的性质可知，开口向下，顶点为()5,3．随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =--D ． 22(4)33y x =--【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数一般式与顶点式的转换． 通过配方，可得22(2)9y x =--．故选C随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2 【答案】A 【解析】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图， ∵对称轴是x=-1，∵点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ．随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D【解析】 该题考查的是二次函数图像平移． 二次函数的平移法则是：左右平移变动的是x ，如将()20y ax bx c a =++≠左平移m 个单位，即可得到 ()()()2++0y a x m b x m c a =++≠，右平移m 个单位，即可得到 ()()()20y a x m b x m c a =-+-+≠，上下平移变动的是y ，如将()20y ax bx c a =++≠上平移m 个单位，即可得到()2+0y ax bx c m a =++≠，下平移m 个单位，即可得到()20y ax bx c m a =++-≠总结为：左加右减在括号，上加下减在末梢，本题中，()2312y x =-+-经过向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23y x =-，故答案是D ．随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数的基本性质．当抛物线不动，而把坐标轴平移时，相当于抛物线向反方向平移，故把x 轴、y 轴分别向上、 向右平移2个单位，相当于把抛物线向下、向左平移两个单位， ∴抛物线221y x =+向下平移两个单位变为221y x =-， 再向左平移两个单位变为：()2221y x =+-， 故选C ．y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象开口方向 对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac ba a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：知识精讲1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3 【答案】B【解析】 ∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h ＜1≤x ≤3，x=1时，y 取得最小值5， 可得：（1﹣h ）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x ≤3＜h ，当x=3时，y 取得最小值5， 可得：（3﹣h ）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h 的值为﹣1或5例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3 【答案】D【解析】 ∵y=﹣x 2+2x+c ， ∵对称轴为x=1，P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵3＜5， ∵y 2＞y 3，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称， 故y 1=y 2＞y 3，三点剖析题模精讲例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ． B ． 2C ．D ．【答案】D【解析】 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=n 时y 取最大值，即2n=﹣（n ﹣1）2+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=1时y 取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5， 解得：n=，所以m+n=﹣2+=．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．【答案】 （1）49（2）17或2241p p ++（3）1或5- 【解析】 该题考查二次函数的最值． （1）∵抛物线的对称轴为直线∴当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为：22444149⨯+⨯+= （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1x =-， ∴由对称性可知，4x =-和2x =时函数值相等. ∴若42p -<≤，则2x =时，y 的最大值为17. 若4p ≤-，则x p =时，y 的最大值为2241p p ++. （3）2t <-时，最大值为：224131t t ++=，整理得，22150t t +-=，解得13t =（舍去），25t =- 2t ≥-时，最大值为：()()22242131t t ++++=整理得，()()2222150t t +++-=，解得11t =，27t =-（舍去） 所以t 的值为1或5-题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个【答案】B【解析】 ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴， ∴b ＞0，c ＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确， 令方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2， 由对称轴x ＞0，可知122x x +＞0，即x 1+x 2＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x ＜0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故④正确．例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】 A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．【答案】 10a -<<【解析】 由图像可知，0a <，且满足1002c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-<⎩，解得a 的取值范围是10a -<<．随练 4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<【答案】BO y x11随堂练习【解析】 因为抛物线对称轴为22bx a=-=-，所以A ，B ，C 三点到对称轴的距离分别为135244-+=，53244-+=，19244+=，因为开口向上，所以213y y y <<，故答案为B 选项．随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3 【答案】B 【解析】 第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x=12a -＞3，即a ＞7， 第二种情况：当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即： x=12a -≥132+，即a≥5（此处若a 取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值） 综合上所述a≥5． 故选B ．随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】C【解析】 ∵抛物线开口向下， ∵a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∵b=2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，所以①正确； ∵抛物线与x 轴有2个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0，所以②正确； ∵b=2a ，∵2a ﹣b=0，所以③错误； ∵x=﹣1时，y ＞0，∵a ﹣b+c ＞0，所以④正确．随练4.4 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图 【答案】D【解析】 该题考查的是函数的图象． 本题考虑0m >和0m <两种情况：当0m >时，一次函数图象斜率为正且纵截距为正，二次函数图象开口向下且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，没有符合要求的图象；当0m <时，一次函数图象斜率为负且纵截距为负，二次函数图象开口向上且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，只有D 图符合． 所以该题的答案是D ．随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）【答案】 ②④【解析】 该题考察的是二次函数图象与系数的关系．∵抛物线开口向上， ∴0a >∵抛物线对称轴为直线x b =-，2 1a =-， ∴2b a =，则20a b -=，所以③错误； ∴0b >，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴0c <，∴0abc <，所以①错误；∵12x =时，0y =， ∴11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ∵12a b =，0a b c ++>，∴1202b bc ++>，即320b c +>，所以④正确； ∵1x =-时，函数最大小，∴()21a b c m a mb cm -+<-+≠，∴()a b m am b -≤-，所以⑤错误．故答案是②④．随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．【答案】 见解析 【解析】()()()22a c b a c b a c b +-=+-++，由图像可知0a c b +-<，0a c b ++>，故()220a c b +-<，即()22a c b +<二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式．【答案】 （1）2x =；()3,0（2）243y x x =-+ 【解析】 该题考查二次函数解析式的求法．（1）抛物线的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为()3,0；…2分； （2）∵抛物线经过点()1,0C ，()3,0D ，∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =--．…………………3分； 由抛物线经过点()0,3A ，得1a =．…………………………4分；知识精讲三点剖析题模精讲∴抛物线的解析式为243y x x =-+．………………………5分．题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．【答案】 y=-x 2+4x -3 【解析】设抛物线的解析式为y=a （x -2）2+1， 将B （1，0）代入y=a （x -2）2+1得， a=-1，函数解析式为y=-（x -2）2+1， 展开得y=-x 2+4x -3． 故答案为y=-x 2+4x -3． 题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式． 【答案】 2224y x x =+-【解析】 该题考查的是抛物线性质． 解方程220x x +-=可得，11x =，22x =-， ∴抛物线与x 轴交点坐标为()1,0，()2,0-，将三点代入解析式可得， ()()220022822a b c a b c a b c=++⎧⎪=⨯-+⨯-+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得2a =，2b =，4c =-，所以抛物线解析式为2224y x x =+-．例 5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．【答案】 21462y x x =-+-【解析】 该题考查的是抛物线的性质．由题可知，抛物线对称轴为0842x +==， ∴顶点坐标为()4,2， 将三点坐标代入解析式可得，226688244c a b c a b c-=⎧⎪-=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得12a =-，4b =，6c =- ，所以抛物线解析式为21462y x x =-+-．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式． 【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．随堂练习随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，()2224144525y x x x x x =--=-+-=--，故答案是D随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式． 【答案】 y=2x 2-4x 【解析】设这个二次函数的关系式为y=a （x -1）2-2， ∵二次函数的图象过坐标原点， ∵0=a （0-1）2-2 解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x -1）2-2，即y=2x 2-4x ．随练 5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____． 【答案】 y=x 2-7x+12 【解析】设二次函数的解析式为y=a （x -3）（x -4）， 而a=1，所以二次函数的解析式为y=（x -3）（x -4）=x 2-7x+12． 故答案为y=x 2-7x+12．随练 5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．【答案】 21322y x x =-+或22y x x =- 【解析】 由题意可得抛物线的顶点坐标为()1,1或()1,1-，设抛物线解析式为()()133y a x x =+-+，将顶点坐标分别代入可得21322y x x =-+或22y x x =-．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： ()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x = 242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b 【答案】A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<； （2）至少有一个正根．题模精讲【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =-＋＋＋；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．题模二：二次函数与x 轴交点例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2 【答案】A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，图1图3()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=， 由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0， ∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，随堂练习∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且【答案】D【解析】 该题考查的是一元二次方程根的判别式． 对于一元二次方程20ax bx c ++= ，判别式24b ac ∆=-： 0∆>，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点， 0∆=，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点， 0∆<，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点，本题中，二次函数()2231y m x x =+-+与x 轴有两个交点，故()()22034210m m +≠⎧⎪⎨∆=--⨯+⨯>⎪⎩，解得：14m <且2m ≠-，故答案是D ．随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2【答案】A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根； 点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0． 故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2． 故选：D ．随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ． 22y x =+D ． 2122y x x =-【答案】C【解析】 由二次函数的概念可知22y x =+为二次函数．作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和【答案】D【解析】 由题意得2278x x +-=，解得3x =或5x =-，故答案为D 选项．作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？【答案】 2m =【解析】 根据二次函数定义，只要满足20m m +≠且22m m -=即可，解得2m =作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ）A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对【答案】A【解析】 由二次函数2y ax =的对称性可知点'A 在2y ax =的图像上．作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ） A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<【答案】A【解析】 由二次函数()20y ax a =>的对称性和增减性可知123y y y <<．作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．【答案】 最大；1【解析】 由二次函数2y ax =的最值可得出结论．课后作业。
三角函数解析式的求法教师版
第5页（共17页）
令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ， 所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风 车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点 离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变 式 1 ． 函 数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
第4页（共17页）
C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )
第3讲 一次函数的解析式与图象变换(教师版)
板块一
此处需要添加知识点1
已知：正比例函数
1
1
1
一次函数
板块二
此处需要添加知识点1
把函数
1
1
阅读下面的材料：
∵直线分别与轴、轴交于点、，∴点∵，∴直线为．∴点的坐标为∵，∴．∴点在轴的正半轴上．
当点在点的左侧时，
当点在点的右侧时，
1
⑴2
3
如图，在平面直角坐标系中，
板块三
1
在直角坐标系中画函数
1
求在直角坐标平面中不等式1
如图，已知直线
1
已知一次函数图象经过点
1
一辆汽车在行驶过程中，路程1
已知一次函数
1
已知一次函数1
若将直线
1
如图，将直线
1
在同一坐标系中，对于函数①2
某一次函数的图象与直线
1
已知：一次函数2
已知点
1
在直角坐标系中画函数
的值对应取绝对值所得，
图象中位于轴下方部分翻折到轴上方所得，直1
已知
1
如果一条直线
1
已知一次函数
1
函数
1
平面直角坐标系中，正方形
1
解关于
标注函数>二次函数。
高中数学求解析式教案模板
课时：2课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握求函数解析式的基本方法，包括待定系数法、换元法、配凑法、消元法、赋值法等。
2. 过程与方法：通过实际问题引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学问题的兴趣，激发学生的学习热情，树立正确的数学观念。
教学重点：1. 求函数解析式的基本方法。
2. 应用所学方法解决实际问题。
教学难点：1. 待定系数法的应用。
2. 换元法在解决实际问题中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件2. 教学案例3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 回顾已学过的函数类型及其表示方法。
2. 引入求函数解析式的问题，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 待定系数法- 介绍待定系数法的概念及步骤。
- 通过实例讲解待定系数法的应用。
- 练习：根据已知条件求函数解析式。
2. 换元法- 介绍换元法的概念及步骤。
- 通过实例讲解换元法的应用。
- 练习：根据已知条件求函数解析式。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题和练习题。
2. 学生互评、教师点评。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后复习巩固。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，检查学生对基本方法的掌握情况。
2. 提出本节课的学习目标。
二、新课讲授1. 配凑法- 介绍配凑法的概念及步骤。
- 通过实例讲解配凑法的应用。
- 练习：根据已知条件求函数解析式。
2. 消元法- 介绍消元法的概念及步骤。
- 通过实例讲解消元法的应用。
- 练习：根据已知条件求函数解析式。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题和练习题。
2. 学生互评、教师点评。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后复习巩固。
教学反思：1. 课后检查学生的学习情况，了解学生对本节课内容的掌握程度。
2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。
函数解析式的七种求法(教师版)
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
高中数学函数解析式解法教案
高中数学函数解析式解法教案教学目标：1. 学生能够理解函数的概念和解析式的定义；2. 学生能够根据题意，找出函数的解析式，并进行简化；3. 学生能够运用解析式解法，解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念和解析式的定义；2. 解析式的求法和简化；3. 解析式解法在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔、教学PPT等教学工具；2. 学生准备笔记本、铅笔等学习工具。
教学过程：一、导入（5分钟）教师向学生提问：什么是函数？函数的解析式是什么？引导学生了解函数的概念和解析式的定义。
二、讲解与示范（15分钟）1. 解析式求法：通过例题，讲解如何根据函数的题意，找出解析式的求法。
2. 解析式简化：通过例题，讲解如何对解析式进行简化。
三、练习与讨论（20分钟）1. 学生进行练习：学生完成相关练习题，学生可以相互讨论求解过程。
2. 教师辅导：教师对学生的求解过程进行点评和指导。
四、应用与拓展（15分钟）1. 实际问题解析：教师给出相关实际问题，学生根据解析式解法进行求解。
2. 拓展练习：学生对所学知识进行拓展，进行更加复杂的问题求解。
五、总结与反思（5分钟）教师总结本节课的重点内容，学生进行知识点的吸收和反思。
教学延伸：1. 学生可通过课后练习，加深对函数解析式的理解和应用；2. 学生可以自主探索更多实际问题的解析式解法。
教学反思：本节课通过讲解和示范，引导学生掌握了函数解析式的求法和简化方法，在实际问题中进行运用。
希望通过这节课的学习，学生能够更深入地理解解析式解法的重要性和实用性。
1高一函数初步定义域、解析式(教师版)
函数初步一、 教学目标1． 理解映射、函数的概念 2． 了解求函数解析式的几种方法 3． 会求具体函数、抽象函数定义域二、 教学重难点重点：求函数解析式、定义域的方法 难点：复合函数解析式、抽象函数定义域问题三、 基础知识必备（一）映射的定义：映射定义：设A,B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →:(注：A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B A f →:中，集合A 叫做映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。
补充：映射有“三性”：①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. （二）函数的概念： 1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2. 映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ⊆B ．3．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.（三）函数的表示法 1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 3．对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y四、 典型例题分析 考点一：映射与函数（一）映射例1. ①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；③{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应_____是A 到B 的映射． 例2.已知映射B A f →:,其中A B R ==,对应法则x x y f 2:2+-=,对于实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 ( )A.1>kB.1≥kC. 1<kD. 1≤k练习: 1.已知}{,,A a b c =，}{0,1B =，映射:f A B →.满足：()()()f a f b f c =，则这样的映射有（ ）个A. 0B. 2C. 3D. 42、给定映射),(),(y x y x y x f -+→，则点（1,2）在f 下的象是 点（1,2）的原象是（二） 函数概念例3. 下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)例4. 函数的图象与直线的公共点数目是( )A ．B ．C ．或D ．或（三）复合函数与分段函数例5. 设231,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,22,1()2,1x x g x x ⎧-≤=⎨>⎩求1[(3)],[()]2f g g f -的值例6. 已知函数2,[1,1](),[1,1]x f x x x ∈-⎧=⎨∉-⎩，若[()]2f f x =，则x 的取值范围是( )A ．φB ．[－1,1]C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．{}2[1,1]-例7. 设函数()21|||4|f x x x ＝＋－－. 解不等式()2f x ＞ ；练习：1.已知21()(1)x f x f x +⎧=⎨+⎩11x x ≥<，求)2(-f2. 已知函数 221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =,则实数a 等于（ ）A.21 B. 54C. 2D. 9 考点二：函数的定义域求函数的定义域（x 的取值范围）的方法①如果)(x f 为分式，其定义域是使分母不为0的实数集；②如果)(x f 是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0的实数集合；③如果)(x f 是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；④0)(x x f =的定义域是}.0|{≠∈x R x ⑤实际问题中要考虑实际意义； (一)给出函数解析式，求其定义域 例8. ① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③xx x f -++=211)( ④14)(2--=x x f练习：求下列函数的定义域373132+++-=x x y例9. 求下列函数的定义域，并用区间法表示： （1）2143)(2-+--=x x x x f （2）=)(x f x11111++（3） x x x x f -+=0)1()(（二）抽象函数的定义域：例10. 已知函数()f x 的定义域是[]0,9，求函数()2f x 的定义域例11. 已知函数()32f x +的定义域是(],3-∞，求函数()f x 的定义域。
二次函数解析式(2014-2015)-教师版
2015年中考解决方案二次函数解析式学生姓名：上课时间：内容基本要求 略高要求较高要求 二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题二次函数解析式的确定1. 待定系数法确定解析式解析式已知点 备注 一般式：2y ax bx c =++(0)a ≠已知任意3点顶点式：2()y a x h k =-+(0)a ≠已知顶点和图象上的任意一点 已知对称轴时，也可以设顶点式交点式：12()()y a x x x x =--(0)a ≠已知二次函数与x 轴的两个交点坐标，和图象上任意一点对称式：12()()y a x x x x k =--+(0)a ≠已知抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 和图象上任意一点补充说明：① 当已知抛物线对称轴时，我们可以根据抛物线的对称性求出已知点关于对称轴的对称点，从而得到未知的点坐标；② 当已知二次函数与x 轴的交点坐标()()12,0,,0x x ，可知二次函数的对称轴为122x x x +=； ③ 对于任意的二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，利用求根公式可得2142b b ac x a-+-=，2242b b ac x a---=，可知22212444||22b b ac b b ac b ac x x a a a -+------=-= ④ 根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点()()12,,,x a x a ，如果它们有相同的纵坐标，则自检自查必考点二次函数解析式中考说明可知二次函数的对称轴为122x x x +=． 2. 平移法确定解析式 1.化成顶点式后平移①先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；再利用顶点的平移来确定新的顶点坐标； 再写出新的函数解析式；②在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”。
待定系数法求一次函数的解析式--教案
教学设计
（1）设：设一次函数的一般形式；
（2）代：把图象上的点（x 1，y 1）（x 2，y 2），代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得k,b ； （4）写：把k,b 的值代入一次函数的解析式.
练习：已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（-1, 1）和点(1,－5) , 求这个函数解析式，并求当x=5时,函数y 的值.
练习：小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是多少？
练习：一次函数的图象经过点(2,1)和点(1,5)，则这个一次函数是( )
A.y=4x+9
B. y=4x -9
C. y=-4x+9
D. y=-4x -9
练习：若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，则m 的值是( )
A.8
B.4
C.-6
D.-8
练习：一次函数的图象如图所示，则k 、b 的值分别为( ) A.k=-2,b=1 B.k=2,b=1 C.k=-2,b=-1 D.k=2,b=-1
练习：已知一次函数的图像经过点(9,0)和点(24,20)，求
这个一次函数的解析式.
练习：若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y 轴于同一点，且过点(2,-6)，求此函数解析式
x -2 -1 0 1 y
3
1
1
1 2
1
x
y。
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1.【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+12. 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f(1)已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求f (x )的解析式。
(1)解法一：【换元法】设t ＝x ＋1≥1，则x ＝t －1，∴x ＝（t －1）2 ∴f （t ）＝（t －1）2＋2（t －1）＝t 2－1（t ≥1）∴f （x ）＝x 2－1（x ≥1）3.【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，用换元法有困难时(2)已知f （x ＋x 1）＝x 3＋x1，求f (x )的解析式。
(2)∵x 3＋31x ＝（x ＋x 1）（x 2＋21x－1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x 1）2－3]∴f （x ＋x 1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x1）2－3]∴f （x ）＝x （x 2－3）＝x 3－3x ∴当x ≠0时，x ＋x 1≥2或x ＋x1≤－2 ∴f （x ）＝x 3－3x （x ≤－2或x ≥2）4. 【消元法】【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等）若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（7）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x12()()3f x f x x +=①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②，①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．5.【赋值法】(特殊值代入法)在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
例已知()()()()12,10+--=-=b a b a f b a f f ，求)(x f 的解析式分析：等式()()()12+--=-b a b a f b a f 中，含有两个未知量，令其中一个未知量为某些特殊值，就可以使等式减少一个变量，从而达到求解目的。
解： 令0=a ，则()()()12+--=-b a b a f b a f 为()()()10+--=-b b f b f 即()12+-=-b b b f ，再令x b =-，得()12++=x x x f6．利用函数性质（奇偶性、周期性、对称性等）（本质是相关点法）题6．设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， x e x e x f +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.练习6．对x ∈R ， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x ∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x ∈[9，10]时)(x f 的表达式.（11）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-。
①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式。
①证明：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-， ∴(1)(4)0f f +=．②解：当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．③解：∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01f x k x x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =- ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+． 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩1奇偶性：例5设f （X ）是定义在R 上的奇函数，当X>0时，f x x x ()lg()=+-+1212.试求此函数的解析式.解：（1）当X ＝0时，f f f ()()()000=-=-，于是f()00=；（2）当X<0时，->x 0，则f x x x ()lg()()-=-+--+1212，由于f （X ）是定义在R 上的奇函数，则f x f x x x ()()lg()=--=--++-1212此函数的解析式为f x x x x x x x x ()lg()()()()=--++-<=-+>⎧⎨⎪⎩⎪121000210232变式思考：上式若改为偶函数，利用f(X)= -f(-X)求解析式. 2周期性：例6 已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()1f x x =+. 求()f x 在(1,2)上的解析式. 解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵(1,2)x ∈ , 则(2,1)x -∈-- ∴2(0,1)x -∈, ∵ 2T =，是偶函数∴ ()()(2)213f x f x f x x x =-=-=-+=- (1,2)x ∈ 解法2：（从图象入手也可解决，且较直观）()(2)f x f x =+如图：(0,1)x ∈, ()1f x x =+.∵是偶函数 ∴(1,0)x ∈-时()()1f x f x x =-=-+ 又周期为2，(1,2)x ∈时2(1,0)x -∈- ∴()(2)(2)13f x f x x x =-=--+=-3轴对称性例7已知函数y ＝f (X )的定义域为R ，函数y ＝f (X )的图象关于直线X ＝2对称； 若X>2时，f (X )＝2X －1，求X<2时的f (X )的表达式．解 任取X<2,则4－X>2,由于函数关于直线X ＝2对称，则有f (X )＝f (4－X )，故 f (X )＝f (4－X )=2（4－X ）－1=－2X +7.上式用到函数y ＝f (X )的图象关于直线X ＝a 对称,则有f(X)=f(2a-X)这一结论.4点对称例8求与函数f(X)=X 2+2X-5关于点A （1，2）对称函数g(X)的解析式.解：在y=g(X)上任取一点p(X,y),则点p 关于点A 的对称点为P `′(2-X,4-y)在函数y=f(X)上，有4-y=(2-X)2+2(2-X)-5. 则有y=g(X)=-X 2+6X+1若对称点为原点，则变为大家熟悉的将X 变为-X ，将y 变为-y .例10、已知函数)(x f 是以4为周期的周期函数，且当]2,2[-∈x 时，1)(+=x x f ，求当]42,2[+∈n n x 时，)(x f 的解析式。
解：①当n 为奇数时，)1(222+=+n n 为4的倍数，当]42,2[+∈n n x ，则]2,2[)22(-∈+-n x ，又)(x f 是以4为周期的周期函数，⎩⎨⎧=+-++-=+-∴)()]22([1)22()]22([x f n x f n x n x f ，所以121)22()(时，]42,2[--=++-=+∈n x n x x f n n x ②当n 为偶数时，42,2+n n 都是4的倍数， 当]22,2[+∈n n x 时，]2,0[2∈-n x 类似①可得12)2()(+-=-=n x n x f x f当]0,2[)42(时，]42,22[-∈+-++∈n x n n x 同理有321)42()]42([)(--=++-=+-=n x n x n x f x f故当n 为奇数时，]42,2[,12)(+∈--=n n x n x x f ， 当n 为偶数时，⎩⎨⎧++∈--+∈+-=])42,22[(,32])22,2[(,12)(n n x n x n n x n x x f7．归纳递推法题7．设11)(+-=x x x f ，记{})]([)(x f f f x f n =，求)(2004x f . 例13：已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f . 解：a a f f a f 2124212)1(212)2(,)1(+-=+=+== a a f f 202124)212(212)2(212)3(+-=++=+=a a f f 312124)413(212)3(212)4(+-=++=+=-a a f f 422124)81213(212)4(212)5(+-=++=+=-………………………………，依此类推，得a x f x x 132124)(--+-=8．相关点法题8．已知函数12)(+=x x f ，当点P(x ，y)在y=)(x f 的图象上运动时，点Q(3,2x y -)在y=g(x)的图象上，求函数g(x).9. “即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。
例8. 对定义域分别是g f D D 、的函数)x (g y ),x (f y ==，规定：函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈⋅=g f g f g f d x D x ),x (g ,D x D x ),x (f D x D x ),x (g )x (f )x (h 且当且当且当若2x )x (g ,1x 1)x (f =-=，写出函数)x (h 的解析式。
解：⎪⎩⎪⎨⎧=+∞-∞∈-=1x ,1),,1()1,(x ,1x x )x (h 210.十、递推法：例11、设定义在*N 集上的函数)(x f ，满足,1)1(=f 且对于*,N y x ∈∀，xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f 的解析式。