数学建模-运筹学模

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第二章——运筹学建模方法

1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据数学建模模型求解检验模型准备应用模型实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。

包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。

2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。

典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。

另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。

2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣客户，期望以合理的价格获得可靠的产品供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。

这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。

在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。

大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。

82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。

n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。

数学建模与运筹学

数学建模与运筹学数学建模与运筹学是运用数学的方法和技巧解决实际问题的一门学科。

它在现实生活中有着广泛的应用，不仅在工程领域中扮演着重要的角色，也在各个领域中发挥着巨大的作用。

通过对问题进行数学建模和优化，我们能够得到有效的结果和决策，帮助人们更好地应对挑战和实现目标。

1. 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。

它是一种抽象思维和数学思维相结合的过程，能够将复杂的问题简化，提取出重要的因素和变量。

数学建模的核心是构建数学模型，根据模型的特点和要求进行问题的描述和求解。

数学建模广泛应用于科学研究、工程设计、经济管理等领域，为决策提供了科学的依据。

2. 运筹学运筹学是解决优化问题的一门学科，它通过数学建模和分析，寻求最优解。

运筹学包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法，能够解决多种实际问题。

例如，在物流管理中，通过优化路径和资源分配，可以降低成本和提高效率；在生产计划中，通过优化生产调度和资源利用，可以提高产能和降低库存成本。

运筹学的应用可以帮助组织和企业做出更好的决策，实现资源的合理利用和效益的最大化。

3. 数学建模与运筹学的应用数学建模与运筹学广泛应用于各个领域，以下以几个典型的应用为例进行介绍。

（1）交通运输规划：通过数学建模和运筹学方法，可以优化城市道路网、航空航线和火车运行图，提高交通运输的效率和安全性。

（2）物流配送优化：数学建模和运筹学方法可以确定最优的配送路径和运输方式，降低成本、减少时间和资源的浪费。

（3）资源分配与计划：在能源领域，通过数学建模和运筹学方法，可以进行电网调度、电力优化和能源供应的规划，实现可持续发展和低碳经济。

（4）金融风险管理：数学建模和运筹学方法可以用于评估和管理金融市场的风险，帮助投资者和机构做出科学的决策。

4. 数学建模与运筹学在实践中的挑战数学建模与运筹学在实践中也面临一些挑战。

首先，实际问题往往具有复杂性和不确定性，需要进行合理的简化和假设。

运筹学数学建模的结果分析怎么写

运筹学数学建模的结果分析怎么写
1、示例：综上所述，由运筹学数学建模模型求解可知，在满足模型条件的假设（4）的条件下，当所给阳性的先验概率大于0.3066时，在不分组的条件下每个人一次一次的检验可以使总次数最少；当所给先验概率大于等于0.2929，先验概率小于0.3066时，进行一次检验比分两次组和不分组均可使总次数最少；当先验概率小于0.2929且大于0时，分两次组总次数比分一次组总次数要少。

2、运筹学数学建模结果分析包括：结果表示；结果分析、检验；模型检验及模型修正；灵敏度分析，稳定性分析。

3、最终运筹学数学建模数值结果的正确性或合理性是第一位的。

4、对运筹学数学建模的数值结果或模拟结果进行必要的检验。

结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进。

5、题目中要求回答的问题，运筹学数学建模的数值结果，结论，须一一列出；
6、列运筹学数学建模的数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据，对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；
7、运筹学数学建模的结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比
较分析。

《运筹学建模》课件

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在本课程中，我们将探讨运筹学建模的基础知识和实际应用，介绍常用的数学建模方法并通过案例分析和实践操作，帮助您掌握运筹学建模的基本方法。
课程介绍
课程目标和重要性
了解运筹学建模的基础知识，掌握数学建模方法，应用于实际问题中。
课程内容概述
学习运筹学基础知识，数学建模方法以及案例分析和实践操作。
模型，规划模型和分类模型。
3
优化模型
掌握最优化方法，了解规划和线性规划等优化模型。
案例分析与实践
通过案例分析掌握运筹学建模的基本方法
通过典型案例，让学生了解运筹学建模的基本方法。
联系实际问题进行实践操作
通过实际问题，让学生实践运筹学建模的技巧。
课程总结与展望
总结课程的学习内容和收获
回顾主要的课程内容和知识点，总结学习内容和收获。
展望运筹学建模在未来的发展
讨论运筹学建模在未来的应用和发展，探讨新的研究方向和趋势。
QA
什么是运筹学建模？
运筹学建模是运用数学建立数学模型对复杂问题进行求解的过程。
运筹学模型有哪些类型？
运筹学模型主要有优化模型、规划模型和分类模型等。
如何学好运筹学建模？
通过理论学习和实际操作相结合，不断实践和提高建模技能。
运筹学基础知识
1 运筹学的定义和背景
掌握运筹学的定义和起源，了解当前运筹学的研究热点和趋势。
2 运筹学在实际生活与工作中的应用
通过典型案例，介绍运筹学在各个领域的实际应用。
数学建模方法
1
建模的步骤和方法论

数学建模运筹学模型(一)

运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2.进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1.营养配餐问题的数学模型或更简洁地表为其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2.合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有或更简单地写为3.运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而∑∑===m i n j ji b a11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为4.目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1：检验和销售费每月不超过4600元；p 2：每月售出产品I 不少于50件；p 3：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设4600305021≤+x x 检验销售费用802≥x 120221≤+x x 设d 1表检验销售费偏差，则希望+1d 达最小，有,11+d p 相应的目标约束为+--++1121305d d x x = 4600； 2d 表产品I 售量偏差，则希望-2d 达最小，有,22-d p 相应的目标约束以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望--43,d d 达最小，考虑到费用比例为80：20=4：1，有)4(433--+d d p .相应的目标约束应为12023321=-+++-d d x x 和+--++44213d d x x =150，以d 5表甲车间加班偏差，则有,54+d p 相应目标约束为 20553=-++-+d d d ，以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望-6d 达最小，有相应约束为80662=-++-d d x .最后优先级p 6可利用+++43d d 表示，考虑到权系数，有),4(436+++d d p 其目标约束由于利用超生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为5.最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树．意味着该图是连通的无圈的简单图.在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6.最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切0≥ij w w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下： P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.售出量两车间总工时开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ， v j ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号.以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号.这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号.这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，}{\s v V S =为临时标号点集，再令0)(=i v P ，S v t ∈；2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， v j ）的终点S v j∈，计算并令 3°从一切S v j ∈中选取并令选取相应的弧（v i ， v r ）.再令4°若∅=S ，则停止，)(j v P 即v s 到v j 的最短路长，特别)(t v P 即v s 到v t 的最短路长，而已选出的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令i rv v ⇒，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为4°若r = t 则结束，)(r v P 即为所求最短路长；否则令i r v v ⇒，返2°.。

数学建模：第五章运筹与优化模型

max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制（吨）
前仓中仓后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制（米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束；若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数

运筹学运输问题例题数学建模

运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。

运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。

本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。

同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。

运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。

在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。

这种情况下，上述数学模型可以直接应用。

产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。

这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。

这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。

这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。

这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。

数学建模运筹模型

X={1,2,4}
w1=0
w2=2
2
6
1
2
3
1
10
w4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
w6=3
8 8
min {c16,c23,c25,c47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, w6=3
X={1,2,4,6}
w1=0
例有一份说明书，需要译成英、日、德、俄四种文字，现有甲
乙丙丁四个人，他们将说明书译成不同文字所需要的时间如
下表所示，问应指派哪个人完成哪项工作，耗用的总时间最
少？
英语日语德语俄语
甲
2
15 13
4
乙
10
4
14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8
11
9
指派问题
一般地，有n项任务、n个完成人，第i人完成第j项任务的代
运输问题
闭回路：
ai
3
113
1
9
2
8
4
3
1
7
4
10
5
9
6
3
bj
3
6
5
6
20
运输问题
迭代及新基本可行解的检验数计算：
-2
4
-2
5
ai
3
11
3
10
5
7
[0]
[2]
5
2

运筹学模型

运筹学模型运筹学发展至今已有五十多年的历史，其作用是为决策者在作决策时提供科学依据。

运筹学在生产管理、工程技术、军事科学、科学试验、经济和社会科学中都有着极其广泛的应用。

运筹学的分支很多，我们只介绍数学建模中常见的：线性规划、非线性规划、库存、决策、对策和动态规划等几个方面的几个数学模型。

第一节线性规划问题的数学模型在生产管理、工程投术、交通运输以及工商贸易等各项经济活动中，都有提高经济效益，做到耗费较少的人力物力，创造出较多经济效益的问题。

提高经济效益可以通过两种途径：一种是技术方面的各种改进，改革生产工艺，使用新设备和新材料等。

另一种是改进计划和生产管理安排，合理安排人力物力，合理组织生产过程，在条件不变的情况下，统筹安排，使总的经济效益最好。

后者就是运筹学研究的主要内容。

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用较广、比较成熟的一个分支。

它研究的问题主要有两类：一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用最少的人力物力资源去完成这一任务。

二是已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用它们，使得完成任务最多。

其实这两类问题是一个问题的两个方面，就是所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题。

在经济领域中，这类问题特别多。

(一) 运输问题在某个区域内，有某种产品的产地与销地若干个，把这种产品从各个产地调运到各个销地，调运方案可以很多，应如何组织调运，才能使总的费用或运输量(即总的运行吨公里数)最少。

(二) 生产的组织与计划问题一个工厂或车间有各种不同类型的车床各若干台，各种不同类型车床生产各种零件的效率不同，在一个生产周期，应如何安排各车床的生产时间，使得成套的产品总量最大。

类似的还有劳动力的安排问题(三) 合理下料问题在加工中需要将某种条材或板材下不同规格的毛坯，各种毛坯的数量也可能不同，应如何选取合适的裁法，使毛坯数量符合要求，并且使总料头最少(即所用原材料最少)。

(四) 配料问题在食品、化工、冶炼等企业，常常用几种原料，制成达到含有一定成分的产品，而这些不同原料价格不同，应如何决定配料的方案，才能使生产的产品所含成分合乎要求，而产品的成本最低。

数学建模_运筹学模型(四)

产品生产规划某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ，热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？（2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ，热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：m i n 21814x x z+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧..t s ,0,30008001000,800200400,556050212121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买31（kg ），B 购买310（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3485个单位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为,55605010021≥+≥x x在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；（2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间. 解：（1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x（2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ；将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .运输规划问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。

运筹学中求解数学模型的方法

运筹学中求解数学模型的方法
运筹学中求解数学模型的方法包括以下几种常用方法：
1. 线性规划：线性规划是一种在给定约束条件下求解线性目标函数最优解的方法。

常用的线性规划求解方法包括单纯形法、内点法等。

2. 整数规划：整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量为整数。

常用的整数规划求解方法包括分枝定界法、割平面法等。

3. 动态规划：动态规划是求解具有重叠子问题的最优化问题的一种方法。

它将原问题分解为若干个子问题，并通过递推的方式求解子问题，最终得到原问题的最优解。

4. 随机模型求解方法：对于涉及随机变量的运筹学问题，可以使用概率论和数理统计的方法求解。

常用的方法包括随机模拟、蒙特卡洛方法等。

5. 启发式算法：启发式算法是通过模拟人类的启发式思维过程求解问题的一类算法。

常用的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索等。

这些算法能够在较短时间内找到较好的解，但不能保证找到最优解。

6. 网络流模型求解方法：网络流模型用于描述网络中物体、信息或流体的流动，常用于求解最小费用最大流、最短路径、最小割等问题。

求解网络流模型的方法
包括Ford-Fulkerson算法、最短路径算法、最小割算法等。

以上是运筹学中常用的求解数学模型的方法，根据具体问题的特点选择相应的方法进行求解。

数学建模运筹学模型(三)

运筹学模型（三）二、分析判断题：1.一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务.根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日.公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元.春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职.（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划.（建立数学模型）（2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划.（建立数学模型）解：（1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x 1， x 2， x 3， x 4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S 1， S 2， S 3， S 4人.以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s .t .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+=+=+=+=+≥+≥+≥+≥+++=0,,,,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065min 4321432143432321211443322114321S S S S x x x x x S S x S S x S S x S x S x S x S x S S S S S Z （2）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x 1， x 2， x 3， x 4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y 1， y 2， y 3， y 4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S 1， S 2， S 3， S 4人.以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s .t .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-+=-+=-+=+=+≥+≥+≥+≥+++=0,,,,,,,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065min 4321321432134342323121211443322114321S S S S y y y x x x x y x S S y x S S y x S S x S x S x S x S x S S S S S Z 2.在文字教材4.1中给出了营养配餐问题的数学模型min Z=4x 1+3x 2s .t .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,)3(,4256)2(,4085)1(,5051021212121x x x x x x x x其中21,x x 表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量.并用图解法给出了其最优解T *)6,2(=x ，试分析解决下述问题：（1）假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？（2）本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.解：（1）因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题具有无界解；（2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式.这说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位.3.某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？表1单位：元/件上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由. 解：可以转化为运输模型，具体做法如下：首先确定总的产销量. 总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件.因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M （M 是一个充分大的正数）. 综合上述讨论得产销平衡运价表如下：表2单位：元/件。

数学建模之运筹学

第一讲数学建模简介及数学规划模型
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数学模型的分类
1、按模型的应用领域分类：生物数学模型医学数学模型地质数学模型数量经济学模型数学社会学模型 2、按是否考虑随机因素分类：确定性模型随机性模型 3、按是否考虑模型的变化分类：静态模型动态模型
第一讲数学建模简介及数学规划模型
形成一个比较清晰的‘问题’
模型假设
针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
第一讲数学建模简介及数学规划模型
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模型建立
用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具
模型求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析
16.6 3.55
18 3.54
21 3.31
24 2.89
27 2.22
30 1.29
33.3 0
第一讲数学建模简介及数学规划模型
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上面的表中，我们给出了外侧刹车痕迹的有关值，而且，经过测量还发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r的圆做圆周运动。假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽车的速度v是一个常数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为μ, 则
第一讲数学建模简介及数学规划模型
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汽车的最终位置
刹车痕迹
现在，让我们帮警察计算一下司机所报速度的真实性。连接刹车痕迹的初始点和终点，用x表示沿连线汽车横向所走出的距离，用y表示竖直的距离，如下图

数学建模运筹学模型

运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2.进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1.营养配餐问题的数学模型或更简洁地表为其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2.合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有或更简单地写为3.运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而∑∑===m i n j j i b a11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为4.目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1：检验和销售费每月不超过4600元；p 2：每月售出产品I 不少于50件；p 3：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设4600305021≤+x x 检验销售费用802≥x 120221≤+x x 设d 1表检验销售费偏差，则希望+1d 达最小，有,11+d p 相应的目标约束为+--++1121305d d x x = 4600； 2d 表产品I 售量偏差，则希望-2d 达最小，有,22-d p 相应的目标约束以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望--43,d d 达最小，考虑到费用比例为80：20=4：1，有)4(433--+d d p .相应的目标约束应为12023321=-+++-d d x x 和+--++44213d d x x =150，以d 5表甲车间加班偏差，则有,54+d p 相应目标约束为 20553=-++-+d d d ，以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望-6d 达最小，有相应约束为80662=-++-d d x .最后优先级p 6可利用+++43d d 表示，考虑到权系数，有),4(436+++d d p 其目标约束由于利用超生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为5.最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边.一个图被称为是树．意味着该图是连通的无圈的简单图. 在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6.最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.售出量两车间总狄克斯屈（）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切0≥ij w w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下： P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了. 开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ， v j ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号.以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号.这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号.这意味着已求得了v s 到v t 的最短路. 狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，}{\s v V S =为临时标号点集，再令0)(=i v P ，S v t ∈；2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， v j ）的终点S v j∈，计算并令 3°从一切S v j ∈中选取并令选取相应的弧（v i ， v r ）.再令4°若∅=S ，则停止，)(j v P 即v s 到v j 的最短路长，特别)(t v P 即v s 到v t 的最短路长，而已选出的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令i rv v ⇒，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为4°若r = t 则结束，)(r v P 即为所求最短路长；否则令i r v v ⇒，返2°.。

运筹学建模

x1 + x2 + d1− − d1+ = 500
d－1、d＋1要尽可能小，又要求尽可能多地卖出产品，故有目标约束条件：
− x1 + d 2 = 300, x2 + d 3− = 400
32
d－2、d－3要尽可能小，多卖出A产品的要求可体现在目标函数的权系数中，于是可得到目标规划模型为:
i =1
n
i
大于产量
∑a
i =1
m
i
的情形类同.
9
2.应用实例应用实例例1 生产时序的安排.
(1)问题的提出. 北方飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机.其生产过程之最后阶段为生产喷射引擎，然后装置于制成的机体，该公司有若干近期必须交付使用的合同，现需安排今后四个月飞机喷射引擎的生产计划，并需于每月末分别提供10、15 、25、20台引擎.已知该公司各月的生产能力和生产每台引擎的成本如表4-6所示，又如果生产出来的引擎当月不能交货的，每台引擎每积压一个月需存储和维护费用0.015百万元，试在完成合约的情况下，制定一引擎数量的生产安排方案，以使该公司今后四个月的生产费用最小.
第四章运筹学模型
4.1 线性规划模型 4.2 运输问题模型 4.3 目标规划模型 4.4 0—1型整数规划模型型整数规划模型 4.5 非线性规划问题
1
运筹学的分支较多，本章我们只介绍线性规划、整数规划、目标规划及非线性规划等方面的内容，重点讲解运筹学模型的分析和建立，模型的求解通常使用LINGO软件来完成.
2

4.2 运输问题模型
1.运输问题模型概述运输问题模型概述
运输问题是一类特殊的线性规划模型，该模型的建立最初用于解决一个部门的运输网络所要求的最经济的运输路线和产品的调配问题，并取得了成功.然而，在实际问题的应用中，除运输问题外，许多非运输问题的实际问题一样可以建立其相应的运输问题模型，并由此而求出其最优解.下面以“产销平衡模型”为例对运输问题进行简单的概括和描述 .

2023年运筹学模型与数学建模竞赛

运筹学模型与数学建模竞赛一、引言一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型涉及数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表注：从1999年起，全国大学生数学建模竞赛开始设立专供大专院校学生做的C ，D 题。

下面重点介绍运筹学模型的数学规划。

二、数学规划的一般形式))(m ax ()(m in x f or x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤==ub x lb m j x g li x h t s j i ,,2,1,0)(,,2,1,0)(.. 线性规划：整数规划：非线性规划：三、数学规划问题举例1 下料问题现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。

问如何裁剪，才干最省料？解：先设计几个裁剪方案记 A---------40×40；B-----------50×20注：尚有别的方案吗？显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。

最佳方法应是三个方案的优化组合。

设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。

共用原材料f 件。

则根据题意，可用如下数学式子表达：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥+++=)3,2,1(03053252..min 32121321j x x x x x x t s x x x f j，整数这是一个整数线性规划模型。

2 运送问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，方案1方案2方案3试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采用哪个运送方案，才干使总运费达成最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要拟定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。

故设ij x 表达从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表达总运费.则运送模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 321210251540305042232231322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运送模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1111n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij mi j ij nj i ij m i nj ijij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。

运筹学数学建模7-9

a21 x1 a22 x2 L a2n xn (, )b2 , L
am1 x1
am2 x2
L
amn xn
(, )bm ,
xi 0, x j 0, i i1 ,L , ik , j j1,L , jl .
线性规划模型标准型:
线性规划模型标准型矩阵表示：
maxz= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
X [x1, x2,L , xn ]T ,
xi 0, i 1,L , n.
b [b1, b2 ,L , bm ]T , b 0,
1.线性规划的一般形化为标准型的一般步骤 (1) Min f = cX 转化为max z = cX
(2) ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn bi 加松弛变量yi ai1 x1 ai2 x2 L ain xn yi bi
模型分析与假设对目标函数的贡献与x取值成正比对约束条件的贡献与x取值成正比对目标函数的贡献与x取值无关对约束条件的贡献与x取值无关每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和时间是与各自产量无关的常每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和是与时间相互产量无关的常数加工a的牛奶桶数是实数线性规划模型其临床表现为持续性进行性的多个智能功能域障碍的临床综合征包括记忆语言视空间能力应用辨认执行功能及计算力等认知功能的损害
(1) x3 = x4 x5 , x4 , x5 0 (2) x1 +x2 +x3 +x6 =7 (3) x1 x2 +x3 x7 =2
合理下料问题
设按第i种下料方式的
有长度为8米的某型号圆钢，现需要长度为2.5米的毛坯
圆钢xi根，i=1,2,3,4

数学建模运筹学模型(一)汇总

运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1. 进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2. 进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型. 具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单. 运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单. 你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求. 目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型. 另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型. 这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型. 还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到. 另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1. 营养配餐问题的数学模型m i Z n =C 1x 1+C 2x + C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≥b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≥b 2, ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≥b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简洁地表为m i Z n =∑C x jj =1n j⎧n ⎪∑a ij x j ≥b i ⎪j =1s ⋅t ⋅⎨⎪x ≥0(i =1, 2, , m j ⎪j =1, 2, , n ⎩其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2. 合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品. 单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位. 问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有m a Z x =C 1x 1+C 2x 2+ +C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≤b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≤b l , ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≤b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简单地写为m a z x =∑Cj =1n j x j⎧n ⎪∑a ij x j ≤b i ⎪j =1 s ⋅t ⋅⎨i =1, 2, , m ⎛⎫⎪x ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪j ⎝⎭⎩3. 运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量. 假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而写成为∑a i =1m i =∑b j =1n j 表示产销平衡. 那么产销平衡运输问题的一般模型可以min Z =∑∑c ij x iji =1j =1m n⎧n ⎪∑x ij =a i ⎪j =1⎪⎪m s ⋅t ⋅⎨∑x ij =b j ⎪i =1⎪⎛i =1, 2, , m ⎫⎪x ij ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪⎝⎭⎩4. 目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理. 已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1：检验和销售费每月不超过4600元；p 2：每月售出产品I 不少于50件；p 3：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设50x 1+30x 2≤4600x 1≥50 售出量x 2≥80 2x 1+x 2≤120 两车间总工时x 1+3x 2≤150+ 设d 1表检验销售费偏差，则希望d 1达最小，有p 1d 1+, 相应的目标约束为 5x 1+30x 2+d 1--d 1+ = 4600； --达最小，有p 2d 2, 相应的目标约束 d 2表产品I 售量偏差，则希望d 2-+x 1+d 2-d 2=50,以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望d 320=4：1，有--p 3(4d 3+d 4 . 相应的目标约束应为 --达最小，考虑到费用比例为80：, d 4-+-+=150， -d 42x 1+x 2+d 3-d 3=120和x 1+3x 2+d 4以d 5表甲车间加班偏差，则有+-+d 3+d 5-d 5=20， p 4d 5+, 相应目标约束为以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望d 6达最小，有相应约束为-+x 2+d 6-d 6=80.++++表示，考虑到权系数，有p6(4d 3+d 4, 其目标约束由于利用超生+d 4- 最后优先级p 6可利用d 3产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为---+-++m i z n =p 1d 1++p 2d 2+p 3(4d 3+d 4 +p 4d 5+p 5d 6+p 6(4d 3+d 4 ⎧50x 1+30x 2+d 1--d 1+⎪-+x 1+d 2-d 2⎪⎪-+2x +x +d -d 1233⎪⎪-+s ⋅t ⋅⎨x 1+3x 2+d 4-d 4⎪+-+d +d -d 355⎪⎪x 2+d 6--d 6+⎪-+⎪⎩x 1, x 2≥0, d l , d l≥0=4600=50=120=150=20=80(l =1, 2, , 65. 最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单图. ．在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6. 最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（E.D.Dijkstra ）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切w ij ≥0 w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下：P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一. 若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ，vj ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号. 以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号. 这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号. 这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，=V \{v s }为临时标号点集，再令P (v i =0，v t ∈S ； 2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， vj ）的终点v j∈，计算并令 min{T (v j , P (v i +w ij }⇒T (v j3°从一切v j∈中选取并令 min{T (v j }=T (v r ⇒T (v r 选取相应的弧（v i ， vr ）. 再令 S {v r }⇒S , \{v r }⇒=∅，则停止，P (v j 即v s 到v j 的最短路长，特别P (v t 即v s 到v t 的最短路长，而已选出 4°若的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令v r ⇒v i ，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为 4°若r = t 则结束，P (v r 即为所求最短路长；否则令v r ⇒v i ，返2°.。

《运筹学建模》PPT课件

线性规划一般模型
• 其它形式
n
M a x f c j x j j 1
s. t.
n j 1
aij x
j
bi
i 1,
,m
xj 0
j 1,
,n
M ax f C T X
s
.t
.
A
X X
b 0
线性规划中的一些名词和术语
• 线性规划模型三要素： • 决策变量 • 约束条件 • 目标函数
限制，满足于
线性规划例
• 求解方法一：图解法
线性规划例
• 求解方法二：单纯形法
Max f 1500 x1 2500 x2
3x1 2 x2 x3
65
s.
t.
2
x1
x2 3x2
x4
40
x5 75
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5
线性规划例
• 第一次迭代：
运筹学分支
• 运筹学一般包含：线性规划，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划，随机规划，模糊规划；
• 图论与网络，排队论，存贮论，对策论，搜索论，维修更新理论，排序与运筹方法等。
运筹学定义
• （1）为决策机构在对其控制下的业务活动进行决策时，提供以数量化为基础的科学方法（P.M.Morse 和G.E.Kimball给出的）。
对偶问题
产品设备
A1
A2
A3 总工时限
制/h
甲
2
1
3
70
乙
4
2
2
80
丙
3
0
1
15
丁
2
2
0
50
单位利润 8