运筹学第二章-线性规划

3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
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线性规划问题的数学模型
例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 1 2 1 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
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例1.3 已知资料如下表所示， 问如何安排生产才能使利润 最大？
设备 产 品 利润 （元）
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2 2.目标函数：设总利润为z，则 有： max z = 2 x1 + 3x2
A 2 2 12
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
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生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
解：
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为：x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160 2x 1 +4 x3 +2 x4 ＝200 ≤180
要求：生产A种药物至少160 单位；B种药物恰好200单位， C种药物不超过180单位，且 使原料总成本最小。 2018/11/19
目标函数：
max (min) z c1 x1 c 2 x 2 c n x n a1 1 x1 a1 2 x 2 a1 n x n ( ) b1
约束条件：
a m 1 x1 a m 2 x 2 a m n x n ( ) bm x1 0 x n 0
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1. 规划问题

例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮 所围成的容积最大？
v a 2 x x
2
x
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
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例1.2 某厂生产两种产品， 下表给出了单位产品所需资 源及单位产品利润
约束条件
Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
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3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值（max 或 min）来表示； (2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示； (3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
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4. 建模步骤
(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般 情况下，题目问什么就设什么为决策变量；
(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束； (3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。
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5. 线性规划数学模型的一般形式
项目 设备 A（h） 设备 B（h） 调试工序（h） 利润（元） Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x 1+ x 2 ≤ 5 x1， x2≥0
x1 + x2 + 2x3 + x4 2x1 + 2x3 ≤ 30 ≤ 34
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52 25x1+20x2 ＝200 40x3+20x4 ＝400 xj ≥ 0 （ j = 1,2,3,4）
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2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective function
B 1 2 8
C 4 0 16
D 0 4 12
3.约束Leabharlann Baidu件：
2x1 + 2x2 ≤ 12
Ⅰ Ⅱ
有效台时
2 3
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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例1.4 某厂生产三种药物， 这些药物可以从四种不同的 原料中提取。下表给出了单 位原料可提取的药物量
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船只种类 拖 轮
船只数
30
航线号
1 2
合同货运量
200 400
A型驳船
B型驳船
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问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？
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线性规划问题的数学模型
解： 设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本 则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
其中： C (c1 c 2 c n )
x1 X xn
简写为： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
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xj 0
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向量形式： m ax (min) z CX
p j x j ( ) B X 0