浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用教学文案

浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用

文［1］介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换

的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简 化•笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿 射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.

点，若椭圆上存在点P （异于点A ）,使得PO PA ，贝S 椭圆离心率的取 值范围为 ________ .

分析 此题中的点P 满足PO PA ，即点P 在以AO 为直径的圆上，

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也即椭圆笃占1（a b 0）与以AO 为直径的圆有不同于点 A 的公共 a b 点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点P',则点P 与点P'的 纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.

解 作仿射变换，令x' x,y' a y ，可得仿射坐标系x'O'y'，在此 b

坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2 y'2 a 2，原坐标系中以AO 为直径的

圆的方程为x 2 ax y 2 0，则b 上.? x ： . x

o,-2，不难 a y' V a 2 x'2 \ a x' 2 求得椭圆离心率e —,1 . 2

说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果 ，但由上

述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思 路•

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例2已知椭圆笃爲i (a b 0),印F 2分别为椭圆左右焦点，

a b

过F i F 2作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于 M 、N 、P 、Q 四点，若 当两2

例1已知椭圆笃

a b 2 1(a b 0），O 为坐标原点, A 为椭圆右顶

条弦垂直于x轴时，点M、N、P、Q所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 ________________ .

分析利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M、N、P、Q四点分别变换为M'、N'、P'、Q'四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M '、N'、P'、Q' 四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点F i F2，当OF! 为多少时，能使得过邱F2的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.

解作仿射变换，令x' x,y'旦y，可得仿射坐标系x'0'y'，在此

b

坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2 y'2 a2，点F r F2坐标分别为(c,0)、(c,0)，过F「F2作两条平行的弦分别与圆交于M '、N '、P'、Q'四点•由平行四边形性质易知，三角形O'P'Q'的面积为M '、N'、P'、Q'四点所形成的平行四边形面积的1,故只需令三角形O'P'Q'面积的最大

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值在弦P'Q'与x轴垂直时取到即可.由文［2］中的结论，易得当 c 0,-^a

时，三角形O'P'Q'面积的最大值在弦P'Q'与x轴垂直时取

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到.故此题离心率的取值范围为0,丄.

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说明此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算

较为简便，故使得本题的解答过程大大简化 •本题以面积的求解为载 体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨 用仿射变换的办法尝试求解.

弦与椭圆交于P 、Q 两点，若使得三角形OPQ 面积为• . 3的弦PQ 存在两 条，则m 取值范围为 _____ .

例3 （ 2014年常州期末第18题）在平面直角坐标系xOy 中，椭

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圆E:笃再1（a b 0）的右准线为直线丨，动直线y kx m （k 0,m 0） a b

交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直 线l 于点P 、Q ，如图，当A 、B 两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时， 点Q 的纵坐标为1 （其中e 为椭圆的离心率），且OQ . 5OM .

e （1） 求椭圆E 的标准方程；

（2） 如果OP 是OM 、OQ 的等比中项，那么m 是否为常数？若

是，

k

求出该常数；若不是，请说明理由.

分析此题按照常规解法较为繁琐，但利

用仿射变换会使得问题的解决变得简单•仿射

变换后，点A B 、M 、P 、Q 分别变换为点

A'、B'、M '、P'、Q'，对应直线的斜率变换为

原来的a 倍，且根据圆的性质，可得A'B' O'Q'，利用此性质可较容

b

易求得m 与k 的比值关系.

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例2变式已知椭圆-

4 1，A （1,m ）为椭圆内一定点， 过点A 的

解 作仿射变换，令x' x,y' a y ，可得仿射坐标系x'0'y'，在此 b

坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2 y'2 a 2，点A 、B 、M 、P 、Q 分别变换

为点 A'、B'、M '、P'、Q'，由 M '为 A'B'中点，可得 A'B' O'Q'.

（1） 当A 、B 两点分别是原坐标系中椭圆 E 的右顶点及上顶点

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时，经仿射变换得到A' a,0 ,B' 0,a ,Q —,M a ,a ，此时线段A'B' c be 2 2 2 2 2 所在直线斜率为1，则O'Q'斜率为1，即—=—b 1,— ,5 -，计 c be

c 2 2 算易得a ,5,c 2，即椭圆E 的标准方程为-y 2

1. 5

（2） 经仿射变换后，O'P'是O'M'、O'Q'的等比中项A'B'所在直

O'Q' — g ；2 1 5 1 咏，O'P' 5，因为 O'Q'gO'M ' （O'P'）2，即 求得 O'M'「2=5k =，又因为 tan M'O'y' -ak = .5k ，则

V 1 5k 2 b m O'M 'g.. 1 a k £，化简计算易得 m O'M 'g 1 a k £ 2k ，即-为 V b a = b a k

定值2.

说明本题原答案是利用直线AB 与椭圆联立求得M 点坐标，进而 求

得直线OQ 后，继续令直线OQ 与椭圆联立，求得P 点坐标，再利用 三条线段成等比中项求得m 与k 的比值，运算量较大•但利用仿射变换 的办法，把椭圆仿射变换为圆后，各线段间几何关系明显且使得问题 简洁易解，运算量大大简化.

线斜率变换为a k ，则根据A'B'

b O'Q'，可得O'Q'斜率为—1， V5k