幂函数-习题课课件
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《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
《幂函数》_课件(新人教版必修1)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x -3 -2 -1 0 1 2 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8
-3 -4
1
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y=x 2
2
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(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
公共点
(1,1)
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1); (2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且 在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向 于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当 x趋向于+∞时，图象在X轴上方无限地逼近x轴； (4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数．
数学2.3《幂函数》课件(湘教版必修1)
§2.3幂函数
问题引入
几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付 p=w元, 这里p是w的函数;
(2)
如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
2
a
,
这里S是a的函数;
(3)
如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
3
a
,
这里V是a函数;
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
这里S是a的函数;
y x2
S
2
a
,
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
这里V是a函数;
y
3
x
3
a
,
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
边长 a
1
s2
,
这里a是S的函数;
1
y x2
(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度
t v 1 km/ s,这里v是t的函数.
y=x y=x2 形状
定义域 R
R
y=x3 y=x1/2
y=x-1
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R ［0,+∞）
奇偶性 奇
偶
R ［0,+∞）
奇
非奇
非偶
{y|y≠0}
奇
增 单调性
在[0，+∞)上增 在(-∞，0]上减
增
增
在（0，+∞）上减 在（-∞，0）上减
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
y t (t 0)
问题引入
几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付 p=w元, 这里p是w的函数;
(2)
如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
2
a
,
这里S是a的函数;
(3)
如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
3
a
,
这里V是a函数;
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
这里S是a的函数;
y x2
S
2
a
,
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
这里V是a函数;
y
3
x
3
a
,
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
边长 a
1
s2
,
这里a是S的函数;
1
y x2
(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度
t v 1 km/ s,这里v是t的函数.
y=x y=x2 形状
定义域 R
R
y=x3 y=x1/2
y=x-1
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R ［0,+∞）
奇偶性 奇
偶
R ［0,+∞）
奇
非奇
非偶
{y|y≠0}
奇
增 单调性
在[0，+∞)上增 在(-∞，0]上减
增
增
在（0，+∞）上减 在（-∞，0）上减
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
y t (t 0)
幂函数ppt课件
问题引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_x___元.
2、如果正方形的边长为x，则面积y=_x_2___.
2024年6月3日
肇庆加美学校
1
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，
1
那么y=__x__2__.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
1
y x 2 y x1
R
R
[0，+∞） {x| x ≠ 0}
值域 R
[0，+∞） R
[0，+∞） {y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 奇函数 函数
R上是 单调性 增函数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
R上是 增函数
在（ －43;∞） 上是增函数 上是减函数
（1）y = 1
x2
（3）y=x2 + x
（2）y=2x2
（4）y 5 x3
（5）y = 2x
2024年6月3日
答案（1）（4）
肇庆加美学校
6
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。
1
y x2
3、如果函数
f (x) = (m2－m－1) x m 是幂函数，
2024年6月3日
肇庆加美学校
4
探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a
名称
a
x
y
底数
指数
幂值
指数
底数
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_x___元.
2、如果正方形的边长为x，则面积y=_x_2___.
2024年6月3日
肇庆加美学校
1
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，
1
那么y=__x__2__.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
1
y x 2 y x1
R
R
[0，+∞） {x| x ≠ 0}
值域 R
[0，+∞） R
[0，+∞） {y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 奇函数 函数
R上是 单调性 增函数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
R上是 增函数
在（ －43;∞） 上是增函数 上是减函数
（1）y = 1
x2
（3）y=x2 + x
（2）y=2x2
（4）y 5 x3
（5）y = 2x
2024年6月3日
答案（1）（4）
肇庆加美学校
6
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。
1
y x2
3、如果函数
f (x) = (m2－m－1) x m 是幂函数，
2024年6月3日
肇庆加美学校
4
探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a
名称
a
x
y
底数
指数
幂值
指数
底数
幂函数(优秀课件)
（2）考察幂函数 在区间(0, +∞)上是单调减函数. 因为 所以
3
2
3
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.
1
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.
1
2
,
)
2
)(
2
(
;
,
)
1
)(
1
(
-
-
+
+
a2
a
a
例2
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 这里a是S的函数; (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数.
正确
不正确
不正确
不正确
正确
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83 ② 0.8-1 ,0.9-1
②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数.
解：① ∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数。
又∵1.7<1.8
∴1.73<1.83
(5) 图像不过第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时， 越大图象越高
(3) 当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数．
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）； 2 . 幂函数 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减,因此幂函数 在定义域内单调递减； 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 >0时，幂函数在第一象限均为增函数；
3
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a
a
例2
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 这里a是S的函数; (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数.
正确
不正确
不正确
不正确
正确
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83 ② 0.8-1 ,0.9-1
②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数.
解：① ∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数。
又∵1.7<1.8
∴1.73<1.83
(5) 图像不过第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时， 越大图象越高
(3) 当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数．
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）； 2 . 幂函数 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减,因此幂函数 在定义域内单调递减； 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 >0时，幂函数在第一象限均为增函数；
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
《幂的运算复习》课件
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
乘方运算
概念：乘方运算是一种特殊的乘法运算，表示一个数自乘若干次
符号：乘方运算的符号为“^”，如2^3表示2的3次方
运算规则：a^m * a^n = a^(m+n)，如2^3 * 2^2 = 2^5
幂的运算方法：包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等
《幂的运算复习》PPT课件
单击添加副标题
Ppt
汇报人：PPT
目录
01
单击添加目录项标题
03
幂的运算方法
05
幂的运算注意事项
02
幂的定义与性质
04
幂的运算应用
06
幂的运算易错点分析
07
幂的运算练习题与答案解析
添加章节标题
01
幂的定义与性质
02
幂的定义
幂是指一个数自乘若干次
幂的表示方法：a^n，其中a是底数，n是指数
幂的运算分配律：a^m*(b+c)=a^mb+a^mc
幂的运算结合律：a^m*a^n=a^(m+n)
幂的运算优先级：乘方>乘除>加减
底数与指数的符号问题
底数与指数的符号对幂的运算结果有重要影响
底数为负数时，幂的运算结果也为负数
指数为负数时，幂的运算结果也为负数
底数为正数时，指数为正数或负数，幂的运算结果都为正数
指数方程的解法：利用指数函数的性质和指数方程的性质进行求解
指数方程的性质：指数函数的单调性、奇偶性、周期性等
指数方程的求解步骤：确定指数方程的类型、利用指数函数的性质进行求解、验证解的正确性
幂函数的性质与图像
幂函数ppt
05
幂函数的计算机实现
幂函数在编程中的表示
数学表达式
使用数学表达式表示幂函数，如 `a^b = a * a * ... * a`（b个 a相乘）。
算法实现
介绍常用的幂函数计算算法，如快速幂、迭代乘法、多项式 乘法等。
幂函数计算的性能优化
缓存优化
使用缓存来避免重复计算，提 高计算效率。
数据类型优化
思路2
通过图像观察幂函数的奇偶性和单调性， 并利用性质解决一些问题。
思路4
结合实际生活，分析幂函数的应用场景和 作用，并解决一些实际问题。
THANKS
感谢观看
幂函数在电磁学中的应用
总结词
描述电荷分布
详细描述
在电磁学中，幂函数可以描述电荷分布，如电荷密度、电场强度等物理量。 电荷分布的幂函数形式可以反映电荷分布随位置变化的规律，从而有助于理 解电磁现象的本质。
幂函数在热学中的应用
总结词
描述热辐射
详细描述
热辐射是热力学中一个重要的现象，其辐射强度和辐射温度之间的关系可以用幂 函数表示。幂函数的热辐射公式可以定量地描述物体在不同温度下的辐射特性， 从而在研究物体加热和热交换过程中具有重要应用。
幂函数ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 幂函数概述 • 幂函数的运算性质 • 幂函数的数学应用 • 幂函数的物理应用 • 幂函数的计算机实现 • 幂函数的相关习题及解答
01
幂函数概述
定义与性质
定义
形如$y=x^a$的函数，其中$a$为常数。
基本性质
幂函数在$(0,0)$点处的导数为0；当$a>0$时，在$(0,+\infty)$区间内单调递 增；当$a<0$时，在$(0,+\infty)$区间内单调递减。
高一数学幂函数ppt课件.ppt
（4）只有1项； （5）这些例子中涉及的函数都是形 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
幂函数的定义
一 般 地 ,函 数 y x 叫 做 幂 函 数 ,其 中 x 是 自 变 量 ,
下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用：
（基础练习）例4：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶
性和单调性．
(1)y x4
1
(2) y x 4
(3)y x3
解：（1）函数 y x4的定义域为R，它是偶函数，在 [0,)上是增函数，
在(,0)上是减函数．
1
（2）函数 y x 4 的定义域为[0,)，它是非奇非偶函数，在[0,)上是增函数．
（3）yx2 x（×）（4）yx2 （1 ×）
（5）y x2
（×） （6）y
1 x3
（√）
［总结］要判断一个函数是幂函数，判断的标准是它的定
义．根据定义，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系
数为１，只有一项．
4
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（巩固提升）例3：已知函数f(x)(m 22m )xm 2m 1,m为何值
时，是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次
函数；（4）幂函数．
解 ：
（感受理解）例5：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由．
1
幂函数ppt课件
5
(5) = 2 ;
(6) = 2 3 ;
3;
【答案】 (1),(4)
辨析2.(1) 在函数 =
1
2
、0
, = 2 2 , = 2 + , = 1 中，幂函数的个数为（
、1
、2
、3
(2) 若函数 是幂函数，且满足 4 = 3 2 ，则
【答案】
1
(1)，(2)
3
)
1
2
的值等于___________.
新知探究
问题1：结合前面学习函数的经验，应该如何研究 = , =
2,
=
3,
=
−1
这五个幂函数？
提示：先求函数的定义域
画出函数图象
研究函数的 单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等.
新知探究
名称
图象
y
=
定义域
值域
奇偶性
单调性
> 0， = 在第一象限内单调递增；
< 0， = 在第一象限内单调递减。
问题4：2.3−0.2 和2.2−0.2 可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
= −02 在 0， + ∞ 上单调递减，所以2.3−0.2 < 2.2−0.2
练习巩固
练习3：比较下列各组数中两个数的大小.
1
1
(2)4
=
1
16
.
(2)由f(2a + 1) = f(a)，可得(2a + 1)−4 = a−4 .
2 + 1 = ±
1
即 2 + 1 ≠ 0 ,解得 = −1或 = −
3
2.3《幂函数》_优质课课件
1 a 2
1
已知y＝ (m 2m 2) x
2
m 2 1
＋2n－3是幂函数，求m，n的值
[解]
m2＋2m－2＝1 2 由题意得m －1≠0 2n－3＝0
，
m＝－3 解得 ， 3 n＝2 3 所以 m＝－3，n＝ . 2
3.图像与性质
下面我们在同一坐标系内作出下列函数的图 像
2 m 2 2 m 3
是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，
求满足条件的实数m的集合。
-4
3.图像与性质
(-2,4)
y
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
o
-1
2
4
6
x
(-1,-1)
-2
x
1 2
0
1
2
4
-3
yx 0
1
2
2
-4
3.图像与性质
(-2,4)
y
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
x
-3
-4
a<0
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x
1
在第一象限内， 图象随x增大而下降。 图象只过点(1,1)
(-1,1)
-6 -4 -2
3
2
y=x 2 (4,2)
1
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
a>0 a>0
高中数学幂函数PPT课件可修改文字
4
第4页/共18页
探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a
a 底数 指数
名称 x
指数 底数
y 幂值 幂值
探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？
看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
第5页/共18页
尝 试 练 习：1、下面几个函数中，
情境引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，
则所需的钱数y=__x__元.
2、如果正方形的边长为x，则面积y=__x_2__.
2024年8月17日
1
第1页/共18页
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为y， 那么y=______.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的 速度为y公里/秒，那么y=______
第11页/共18页
2024年8月17日
练习2
1） 1.30.5＜ 1.50.5
2） 5.12 ＜ 5.092
1
1
3） 1.794 ＞ 1.814
4）
(2
a
2
)
2
3≤
2
23
12
第12页/共18页
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
限内的图象，已知 k分别取 1,1, 1 , 2 四个 2
幂函数
的图象随 的变化规律。
第17页/共18页
感谢您的观看！
2024年8月17日
肇庆加美学校
18
第18页/共18页
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名师伴你行
3.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值 范围分别为 (-∞,0) ， (1,+∞) ， (0,1) .
4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限 的形状及函数的 奇偶性 作出.
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名师伴你行
学点一 幂函数的定义
已知函数y=(a2-3a+2) x a2 -5a5 (a为常数).
∵函数y= x 4 在(0,+∞)上是递增的，又
3
3
2
3
3
1.1 4 1.4 4 ;综上，1.1 3 1.1 4 1.4 4 .;
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学点三 奇偶性的判定
名师伴你行
判断下列函数的奇偶性：
1
2
（1）y = x3（; 2）y = x3（; 3）y = x ；-2 （4）y
1
= x2（; 5）y
由已知
3 k 1 k 2 22
>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又
3
∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)= x 2 不是偶函数；
当k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时， 3
f(x)= x 2不是偶函数,∴f(x)=x2.
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学点二 比较大小
名师伴你行
比较下列各组数的大小：
∵f(-x)=
1 (-x)2
1 x2
=f(x),
∴f(x)为偶函数.
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名师伴你行
1
（4）∵f(x)= x2 = x 的定义域为{x|x≥0}，定义域不
关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数.
（5）∵f(x)=
x
3 2
=
1
3
x2
=
1 x3
,
∴f(x)的定义域为(0,+∞).
∴f(x)为非奇非偶函数.
8
7 8
-(
数，又因为
1) 8
1 8
7
8，函数y=
1 ,则
9
(1) 8
7
x8
7
8 (
1 9
在(0,+∞)上为增函
7
)8
，从而
7
1
- 8 8 -( )
9
7
8.
（3）(
2 2 )3
3
2
2 2 ( )3 3
(
π) 6
π 2 ( )3 6
，
函数y= x 3 在(0,+∞)上为减函数，又因为
1
，5 而
4
5，
6
56
(
5)
1
5
即(4Biblioteka 1)5(
1
5) 5
5
6
5
6
5
6
（3）∵π>0,而(a-1)π=a-π,(bπ)-1=b-π,
∴a-π<b-π,即(a-1)π<(bπ)-1.
（4）函数y=1.1x在(-∞,+∞)上是递增的，
∵
3 4
2 3
3
3
2
, 1.1 4 1.13 ;
2 3
π 6,
所以
(
2
2
)3
(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
(
π
2
)3
即(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
3
3
6
6
3
6
【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特
别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进
行分组，常数0和1是常用的参数.
返回目录
名师伴你行
比较大小:
4
4
(1)(6.3) 3 与(6.2) 3 ;
（3）由题意得
a2-5a+5=-1 a2-3a+2≠0,
解得 a 4 解得 a3
名师伴你行
【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有 利于温故知新.
返回目录
名师伴你行
已知幂函数f(x)=
x
3 2
k
1 2
k
2
(k∈Z)为偶函数,且在区
间(0,+∞)上是增函数，求函数f(x)的解析式.
3
= x 2.
【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义.
1
1
【解析】 （1）∵f(-x)=（-x）3=-x3=-f(x)，又∵定义域为R,
∴y=x
1 3
为奇函数.
2
2
（2）f(x)=x3 ,定义域为R，且f(-x)=(-x)3
1
2
=［(-x)2］3 =x3 为偶函数.
1
（3）∵f(x)=x-2= x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又
进入
学点一
学点二 学点三
学点四
学点五
名师伴你行
名师伴你行
1.一般地,函数y=xa叫做 幂函数 ，其中x是自变量,a是常数. 2.幂函数y=xa具有下面性质： （1）所有的幂函数在区间 (0,+∞) 上都有定义，并且 函数图象都通过 (1,1) 点. （2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点 (0,0) ，并且 在区间 ［0,+∞) 上是增函数. （3）如果a<0，则幂函数在区间 (0,+∞) 上是减函数， 当x从右边趋向于 y轴 时，图象在y轴右方无限地逼 近 y轴 ；当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼 近 x 轴.
数值，根据幂函数的性质知函数y=x3 (x>0)是增函数，即
4
4
4
4
(6.3)3>(6.2)3, ∴(-6.3) 3 >(-6.2) 3 .
返回目录
名师伴你行
（2）则 (4
1 51
)5
0,(-
4 1 )5
5
5 (
(
4
)
1
5
,-(
5
1
)5
56
)
1
,5∴
(
4
)
1 5
(
5
)
【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式， 确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特 征来判断.
返回目录
名师伴你行
判 定 下 列 函 数 的 奇 偶 性：
（1）y
3
= x 2；(2)y
1
4
= x 2 ;(3)y = x 3 .
3
（1）y= x 2 = x3 ,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称,
（1）当a为何值时，此函数为幂函数？ （2）当a为何值时，此函数为正比例函数？ （3）当a为何值时，此函数为反比例函数？
【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定 义可求.
【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0,
∴a= 3 5 . 2
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（2）由题意得
a2-5a+5=1 a2-3a+2≠0,
（1）3
5
2和
5
3.1 2
;
（2）- 8
（3）(-
7 8
和
2 2 )3
3
17 -( )8
9 和 (-
;
π
6
2
) 3.
【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.
返回目录
【解析】（1）函数y=
5
32
在(0,+∞)上为减函数，名师伴你行
又 3<3.1，所以
5
32
5
3.1 2 .
（2）-
(2)
(
4
)
1 5
5
与
(
5
1
)5
6
;
3
3
2
(3)(a-1)π与 (b )-（1 其中a>b>0）; (4) 1.1 4 ,1.4 4 ,1.1 3 .
4
（1）∵(6.3) 3
4
4
(6.3) 3 , 4
4
(6.2) 3
4
(6.2) 3 且
4
4 3
>1,6.3>6.2,
∴(6.3) 3与(6.2) 3实际上是幂函数y=4 x3 在x=6.3与x=6.2的函
名师伴你行
3.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值 范围分别为 (-∞,0) ， (1,+∞) ， (0,1) .
4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限 的形状及函数的 奇偶性 作出.
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名师伴你行
学点一 幂函数的定义
已知函数y=(a2-3a+2) x a2 -5a5 (a为常数).
∵函数y= x 4 在(0,+∞)上是递增的，又
3
3
2
3
3
1.1 4 1.4 4 ;综上，1.1 3 1.1 4 1.4 4 .;
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学点三 奇偶性的判定
名师伴你行
判断下列函数的奇偶性：
1
2
（1）y = x3（; 2）y = x3（; 3）y = x ；-2 （4）y
1
= x2（; 5）y
由已知
3 k 1 k 2 22
>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又
3
∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)= x 2 不是偶函数；
当k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时， 3
f(x)= x 2不是偶函数,∴f(x)=x2.
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学点二 比较大小
名师伴你行
比较下列各组数的大小：
∵f(-x)=
1 (-x)2
1 x2
=f(x),
∴f(x)为偶函数.
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名师伴你行
1
（4）∵f(x)= x2 = x 的定义域为{x|x≥0}，定义域不
关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数.
（5）∵f(x)=
x
3 2
=
1
3
x2
=
1 x3
,
∴f(x)的定义域为(0,+∞).
∴f(x)为非奇非偶函数.
8
7 8
-(
数，又因为
1) 8
1 8
7
8，函数y=
1 ,则
9
(1) 8
7
x8
7
8 (
1 9
在(0,+∞)上为增函
7
)8
，从而
7
1
- 8 8 -( )
9
7
8.
（3）(
2 2 )3
3
2
2 2 ( )3 3
(
π) 6
π 2 ( )3 6
，
函数y= x 3 在(0,+∞)上为减函数，又因为
1
，5 而
4
5，
6
56
(
5)
1
5
即(4Biblioteka 1)5(
1
5) 5
5
6
5
6
5
6
（3）∵π>0,而(a-1)π=a-π,(bπ)-1=b-π,
∴a-π<b-π,即(a-1)π<(bπ)-1.
（4）函数y=1.1x在(-∞,+∞)上是递增的，
∵
3 4
2 3
3
3
2
, 1.1 4 1.13 ;
2 3
π 6,
所以
(
2
2
)3
(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
(
π
2
)3
即(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
3
3
6
6
3
6
【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特
别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进
行分组，常数0和1是常用的参数.
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比较大小:
4
4
(1)(6.3) 3 与(6.2) 3 ;
（3）由题意得
a2-5a+5=-1 a2-3a+2≠0,
解得 a 4 解得 a3
名师伴你行
【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有 利于温故知新.
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名师伴你行
已知幂函数f(x)=
x
3 2
k
1 2
k
2
(k∈Z)为偶函数,且在区
间(0,+∞)上是增函数，求函数f(x)的解析式.
3
= x 2.
【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义.
1
1
【解析】 （1）∵f(-x)=（-x）3=-x3=-f(x)，又∵定义域为R,
∴y=x
1 3
为奇函数.
2
2
（2）f(x)=x3 ,定义域为R，且f(-x)=(-x)3
1
2
=［(-x)2］3 =x3 为偶函数.
1
（3）∵f(x)=x-2= x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又
进入
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1.一般地,函数y=xa叫做 幂函数 ，其中x是自变量,a是常数. 2.幂函数y=xa具有下面性质： （1）所有的幂函数在区间 (0,+∞) 上都有定义，并且 函数图象都通过 (1,1) 点. （2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点 (0,0) ，并且 在区间 ［0,+∞) 上是增函数. （3）如果a<0，则幂函数在区间 (0,+∞) 上是减函数， 当x从右边趋向于 y轴 时，图象在y轴右方无限地逼 近 y轴 ；当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼 近 x 轴.
数值，根据幂函数的性质知函数y=x3 (x>0)是增函数，即
4
4
4
4
(6.3)3>(6.2)3, ∴(-6.3) 3 >(-6.2) 3 .
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（2）则 (4
1 51
)5
0,(-
4 1 )5
5
5 (
(
4
)
1
5
,-(
5
1
)5
56
)
1
,5∴
(
4
)
1 5
(
5
)
【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式， 确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特 征来判断.
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判 定 下 列 函 数 的 奇 偶 性：
（1）y
3
= x 2；(2)y
1
4
= x 2 ;(3)y = x 3 .
3
（1）y= x 2 = x3 ,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称,
（1）当a为何值时，此函数为幂函数？ （2）当a为何值时，此函数为正比例函数？ （3）当a为何值时，此函数为反比例函数？
【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定 义可求.
【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0,
∴a= 3 5 . 2
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（2）由题意得
a2-5a+5=1 a2-3a+2≠0,
（1）3
5
2和
5
3.1 2
;
（2）- 8
（3）(-
7 8
和
2 2 )3
3
17 -( )8
9 和 (-
;
π
6
2
) 3.
【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.
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【解析】（1）函数y=
5
32
在(0,+∞)上为减函数，名师伴你行
又 3<3.1，所以
5
32
5
3.1 2 .
（2）-
(2)
(
4
)
1 5
5
与
(
5
1
)5
6
;
3
3
2
(3)(a-1)π与 (b )-（1 其中a>b>0）; (4) 1.1 4 ,1.4 4 ,1.1 3 .
4
（1）∵(6.3) 3
4
4
(6.3) 3 , 4
4
(6.2) 3
4
(6.2) 3 且
4
4 3
>1,6.3>6.2,
∴(6.3) 3与(6.2) 3实际上是幂函数y=4 x3 在x=6.3与x=6.2的函