14【苏教版高考数学导航(第1轮)理数】第83讲 含有绝对值的不等式PPT课件

2 因 为 | a x 1 | | a x a | | a 1 | ，
所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 R 等 价 于 | a－1 | 1 .
所 以 a 2或 a 0.
因 为 a 0， 所 以 a 2.
故 实 数 a的 取 值 范 围 是 [ 2， ＋ )．
含有绝对值不等式 的证明
【 例 4】 已 知 0, |xa|, |yb|， 求 证 ： |2x3y2a3b| 5.
【解析】因为 |x -a|<ξ, |y -b|<ξ, 所以|2x+3y -2a -3b|=|(2x -2a)+(3y -3b)| =|2(x-a)+3(y-b)| ≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b| <2ξ+3ξ =5ξ. 所以|2x+3y -2a -3b|<5ξ.
理解和掌握含有绝对值的不等式的两 个性质：|a+b|≤|a|+|b| (a , b∈R , ab>0时 等号成立)；|a -c|≤|a-b|+|b-c| (a , b∈R , (a-b)(b-c)≥0时等号成立)，能解决一些 证明和求最值的问题.
【变式练习4】求证：不等式
ab a b
1ab 1a 1b
所以原不等式x的 解3或集x是 2{ x|2≤x≤4 或 x= -3}.
方法2：原不等式
x30 (x3)x29x3
x 3
x
3或
x
2
x = -3或 2≤x≤4.
3 x 4
所以原不等式的解集是{x|2≤x≤4 或 x= -3}.
含有参数的绝对值不 等式的解法
【例2】解关于 x 的不等式｜x -a｜< ax(a>0).
2
当 x >2时，原不等式可化为 2x+1+x -2 >4,
所以 x > 5 .
3
又 x>2 , 所以 x>2. 综上，得原不等式的解集为
{x|x＜-1 或 x >1}.
解含绝对值的不等式，需先去掉绝对值
符号. 含多个绝对值的不等式可利用零
点分段法去掉绝对值符号求解. 如本题
中，令 2x+1=0，x -2=0，得两个零点
所以 aa3351，解得a＝2.
2当a 2时，f x | x 2 | . 设g x f x f (x 5)，
2x1 (x3)
于是gx | x2| | x3|5 (3 x2)，
2x1 (x 2)
所以gx＝| x－2|＋| x＋3|的图象如右图所示，
所以gx 5，故m5.
本题主要考查绝对值的意义、绝对值 不等式的解法等基础知识，考查运算 求解能力．不等式恒成立问题一般转 化为函数最值问题，再利用函数图象 求最值．
x1=
1 2
，x2=2. 故分 x≤
，1 2
1＜x≤2 和
2
x＞2三种情况.
【解析】方法1：
原不等式
(1)
x x
2 2
9 9
0 x
3
或(2)
x 9
29 x2
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0 x
3
不等式(1)
x 3或x 3 3 x 4
x= -3 或 3≤x≤4；
不等式(2)
2≤x＜3.
3 x 3
【例3】已知函数f(x)＝|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求 实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切 实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】1由f x 3得 | x a | 3，解得a 3 x
a 3，
又已知不等式f x 3的解集为{x | 1 x 5}，
{x｜
a 1a
x a 1a
}.
(1)｜f(x)｜<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)； (2)｜f(x)｜>g(x) f(x)>g(x)或f(x)< -g(x)； (3)带参数的含有绝对值的不等式是高
考的热点和难点问题，要求处理好如 何去绝对值符号和解一元一次(或一元 二次)不等式的问题. 此题也可用图解 法.作出函数 y=｜x -a｜, y=ax (a>0)的
当
a
0时
，
x
x 2a或
a x
a
,即
x
2a;
当
a
0时
，
x
x 2a 2a或 x
a
,即
x
a;
综 上 ， 当 a 0时 ， x | x－ a | 2 a 2的 解 集 是
{ x | x 2 a}；
当 a 0时 ， x | x－ a | 2 a 2的 解 集 是 { x | x － a}．
与含参数的绝对值 不等式有关的问题
【变式练习3】已知关于x的不等式| ax1|
| axa|1a 0． 1当a＝1时，求此不等式的解集； 2若此不等式的解集为R，求实数a的取值
范围．
【 解 析 】1 当 a 1时 ， 得 2 | x 1 | 1， 所 以 | x - 1 | 1 ，
2
即x 3或x 1.
2
2
所 以 不 等 式 的 解 集 为 ( ，1 ] [ 3 ， + )． 22
【解析】原不等式等价于 –ax < x –a < ax,
即
(1 a )x a
(1
a
)
x
a
.
当a=1时，x
>
1 2
.
当0< a <1时， a x a ;
1a 1a
当a >1时，x a .
1 a
综上所述, 当a≥1时，原不等式的解集
为{x｜x
a 1 a
};
当 0< a <1时，原不等式的解集为
第83讲
不含参数的绝对值不 等式的解法
【例1】解不等式 |2x+1|+|x -2|＞4.
【解析】当x≤
1 2
时，
原不等式可化为-2x -1+2 -x>4，
解得 x< -1;
当 1 < x≤2时，原不等式可化为
2
2x+1+2 -x>4,
所以 x >1.
又 1 < x≤2 , 所以 1< x≤2；
【解析】(1)当|a+b|=0时，显然成立； (2)当|a+b|≠0时，
ab
1 ab
1 1
1
1 1
ab 1 1 a b
ab
ab
a
b
1 a b 1 a b
ab
1 a 1 b 所以原不等式成立.
图象，联立方程组求交点，结合图象 得解集，读者不妨一试.
【变式练习2】解关于x的不等式： x|x-a|≥2a2.
【
解
析
】
原
不
等
式
等
价
于
x2
x ax
a
2a
2
①
或
x2
x ax
a
2a2
②
由
①
得
x2
xa ax2a2
， 0
此
不
等
式
组
无
解
；
由
②
得
(
x
x 2 a )( x
a
a)
0
,
【 解 析 】 当 a 0时 ， x 0;