宁夏银川一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题

宁夏银川一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．5sin 3π的值是A ．12B ．12-C D ．2．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知1tan 2α=，则2sin sin cos ααα+=（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．函数f (x )=lg (1+2cosx )的定义域为（ ）A ．-2233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k Z ∈B ．22-2233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈ C ．-2266k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈D ．22263k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈5．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+的值为（ ）A ．3B ．C ．13D ．13-6．已知点(0,0)O ，(1,3)A -，(2,4)-B ，OP OA mAB =+.若点P 在y 轴上，则实数m 的值为 A ．13B ．14C ．15D ．167．已知13sin cos ,844ππααα=-<<，则sin cos αα+的值等于（ ）A B ．C ．34D ．34-8．在ABC 中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知函数()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>的图象如图所示，则()f x 的解析式为A ．()2sin 263f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()13sin 236f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 366f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭10．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AB =，AD 3CAB π∠=，点F是线段AB 上的一点，M 为直线BC 上的动点，若2BC CE =，AF AB λ=，且17=4AE DF －，则MF DM 的最大值为（ ） A ．14B ．6364－C ．1－D ．2364－11．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论：①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称；③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根.其中正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．如图，已知ABC 为钝角三角形，AC AB BC ，点P 是ABC 外接圆上的点，则当PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取最小值时，点P 在（ ）A ．BAC ∠所对弧上（不包括弧的端点）B ．ABC ∠所对弧上（不包括弧的端点） C ．ACB ∠所对弧上（不包括弧的端点）D ．ABC 的顶点二、填空题13．已知角α终边上一点(3,4)(0)P t t t ≠，则sin α=______________.14．已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________．15．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是_________． 16．如图，在ABC 中，12AD AB =，13AE AC =，CD 与BE 交于点P ，2AB =，4AC =，2AP BC ⋅=，则AB AC ⋅的值为______.三、解答题17．已知α为第四象限角，()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--⋅--． （1）化简()f α；（2）若π1cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α的值．18．在平行四边形ABCD 中，AB a →=，AD b →=（1）若E 为DC 上一点，且2DE EC →→=，用基底{},a b →→表示AE ； （2）若()1,2a →=，()3,2b →=-，且2k a b →→+与24a b →→-平行，求实数k 的值. 19．已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（1）当a b ⊥时，求x 的值.（2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.20．已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42f x x x x =-⋅+.（1）求f (x )的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈(0，π)，且f (4a －8π)＝2，求tan(α＋3π)的值．21．某同学用“五点法”画函数()()πsin 02f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表的1x 、2x 、3x ，并直接写出函数的解析式；（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小及OQP 的面积．22．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）若方程()()230f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有解，求实数m 的取值范围． （2）设()π1122g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，已知区间[],a b （,R a b ∈且a b <）满足：()y g x = 在[],a b 上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[],a b 中求b a -的最小值．参考答案1．D 【详解】试题分析：5sinsin 2sin sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 考点：三角函数值 2．B 【分析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可 【详解】 因为向量()3,1a =，()3,1b =-，所以·31cos ,231?·a b a b a b-===+,又因为[],0,a b π∈,所以,3a b π=,故选B. 【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，121·cos ,·x x a b a b a bx ==+3．C 【分析】根据三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】 因为1tan 2α=， 由2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+222211()tan tan 32211tan 51()2ααα++===++. 故选：C. 4．B 【分析】根据真数大于零，再解三角不等式得结果. 【详解】由题意得12cos 0x +>，所以1cos 2x >-，即得222233x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈ 故选：B 【点睛】本题考查对数定义域以及解三角函数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 5．D 【分析】 根据题意，得出()424πππαα+=+-，进而由cos()cos[()]sin()4244ππππααα+=+-=--，即可求解．【详解】由1sin()43πα-=且()442πππαα+--=，即()424πππαα+=+-，则1cos()cos[()]sin()42443ππππααα+=+-=--=-．故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的化简、求值，其中解答中得到()424πππαα+=+-，结合诱导公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．A 【分析】利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P 在y 轴上，即横坐标为0，可得结果. 【详解】由题，可得()()1,3,3,7OA AB =-=- 所以()31,37OP OA mAB m m =+=-- 点P 在y 轴上，即1310,3m m -==故选A 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及运算，属于基础题. 7．A【分析】首先确定sin cos αα+的正负，再计算()2sin cos αα+的值. 【详解】1sin cos 08αα=-<，344ππα<<，324ππα∴<<，sin cos 0αα∴+>，()22213sin cos sin cos 2sin cos 144αααααα+=++=-=，即sin cos αα+=. 故选：A 8．A 【分析】首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据A B C π++=把C 换成A 与B 的关系，进一步化简即可． 【详解】 211cos cos222C C =+，A B C π++=， ()()2111111111cos cos cos cos cos cos sin sin 2222222222C C A B A B A B A B π⎡⎤∴=+=+-+=-+=-+⎣⎦111sin sin cos cos sin sin 222A B A B A B ∴=-+ ()cos 1A B ∴-=0,0A B ππ<<<<()cos 1cos00A B A B A B ∴-==⇒-=⇒=,选A.【点睛】本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题． 9．D 【详解】 试题分析：，解得，由图像可知函数的周期是，即，，当时，，解得，所以函数解析式是，故选D.考点：的图像【方法点睛】本题考查了的图像，函数的最大值，函数的最小值，解方程组求，根据周期求的值，相邻最高点或是最低点的横坐标的长度是,相邻最大值和最小值的横坐标的差值是,有时也会出现等，,一般可通过五点法求解，即带入“五点”中的一个点，求，有时也可通过图像平移求.10．D 【分析】以A 为原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由向量的共线定理和向量的坐标表示，即可求出结果. 【详解】以A 为原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系如图//,,2,3AB CD AB AD AB AD CAB π⊥==∠=,易求得1DC =由已知可得()(()()(0,0,,2,0,2,0,A D F B C λ设(),E m n ，则()(1,3,1,BC CE m n =-=-由2BC CE =可得((22,2m n -=--解得1,2m n ==所以(1133,,,2,222E AE DF λ⎛⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由174AE DF ⋅=-得117224λ⋅=-，解得14λ=，此时1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设BM xBC =，则(DM BM BD xBC BD x =-=-=-+3,2MF BF BM BF xBCx ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭所以())231324322MF DM x x x x ⎛⎫⋅=-+-+=-+- ⎪⎝⎭当1316x =时，MF DM ⋅取得最大值2364- 故选：D 【点睛】方法点睛：用坐标法来解决平面几何和向量的综合题是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 11．D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-，由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误；对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误； 对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 12．C 【分析】先利用平面向量线性运算与数量积将已知向量关系转化为2222222a b c PA PB PC ++++-，再利用三角形重心在平面向量中的应用进一步转化为23PG λ+，得到所求量只与PG 有关，最后由AC AB BC 确定点P 的位置． 【详解】因为()22222AB PB PA PA PB PA PB =-=+-⋅，所以()()2222221122PA PB PA PB AB PA PB c ⋅=+-=+-，同理()()22222211,22PB PC PB PC a PC PA PC PA b ⋅=+-⋅=+- 故 2222222a b c PA PB PB PC PC PA PA PB PC ++⋅+⋅+⋅=++-，设ABC 的重心为G ，可证22222223PA PB PC PG GA GB GC ++=+++所以22222222233a b c PA PB PB PC PC PA PG GA GB GC PG λ++⋅+⋅+⋅=+++-+=（λ为定值），故只需要P 到重心G 最小，所以点P 在圆心O 与重心G 的连线上， 因为AC AB BC ，易得点P 在C ∠所对弧上．故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，还考查了三角形重心性质在向量中的应用，属于较难题． 13．45±【分析】由任意角三角函数定义得4sin 5||tt α==，讨论0t >和0t <即可得解.【详解】由任意角三角函数定义得：4sin 5||t t α=.当0t >时，4sin 5α；当0t <时，4sin 5α=-；故答案为：45±.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，涉及分类讨论的思想，属于基础题. 14．9 【分析】记圆心角为α，弧长为l ，扇形所在圆的半径为r ，根据题中条件，由扇形面积公式，即可求出结果. 【详解】记圆心角为α，弧长为l ，扇形所在圆的半径为r ， 由题意可得，2α=，6l =，所以3lr α==，因此扇形的面积为192S lr ==.故答案为：9. 【点睛】本题主要考查求扇形的面积，熟记公式即可，属于基础题型.15【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为()6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，即可求得实数a 的最小值.【详解】()13sin cos sin sin sin 6226f x x x x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()max 6f x π==a ≥因此，实数a16．2【分析】利用C 、P 、D 三点共线以及B 、P 、E 三点共线，可以推出2155AP AB AC =+，再根据2AP BC ⋅=结合向量的运算法则求解即可.【详解】令BP mBE =，CP nCD =，13=-+BE AB AC ，12=-+CD AC AB ，13⎛⎫=+=+=+-+ ⎪⎝⎭AP AB BP AB mBE AB m AB AC ，()13mm AB AC =-+， 12⎛⎫=+=+=+-+ ⎪⎝⎭AP AC CP AC nCD AC n AC AB ，()12nAB n AC =+-， 所以1213n m m n⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3545m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155AP AB AC =+， 因为()AP BC AP AC AB ⋅=⋅-， ()21255AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，即221122555AC AB AC AB +⋅-=， 又因为2AB =，4AC =， 所以2AB AC ⋅=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查平面向量基本定理及平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于难题. 17．（1）cos α-；（2）【分析】（1）由诱导公式可直接化简；（2）由π1cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1sin 5α=-，即可求出cos α，得出()f α的值.【详解】（1）()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--⋅-- ()()()cos sin tan cos tan sin αααααα-⋅⋅-==--⋅.（2）因为π1cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 5α-=，从而1sin 5α=-．又α为第四象限角，所以cos α==， 所以()cos f αα=-=． 【点睛】本题考查利用诱导公式化简，考查同角三角函数的求解，属于基础题. 18．（1）23AE a b =+；（2）1k =-．【分析】（1）根据三角形法则和共线定理即可求出结果；（2）首先根据坐标运算求出2k a b →→+与24a b →→-的坐标表示，再根据平面向量平行的坐标运算公式，列出关于k 方程，即可求出结果. 【详解】解：（1）222333AE AD DE AD DC b a a b =+=+=+=+（2）因为()1,2a =，()3,2b =-所以()()()2,26,46,24ka b k k k k +=+-=-+ ()()()242,412,814,4a b -=--=-由于()()2//24ka b a b +- 则()()-461424k k -=+ 所以1k =-. 【点睛】本题主要考查了平面向量的三角形法则、共线定理、以及平面向量坐标运算再向量平行中的应用，属于基础题.19．（1）()4x k k Z ππ=+∈；（2）max 3()2f x =，min ()1f x =【分析】（1）根据平面向量垂直的性质，结合二倍角正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据平面向量加法和数量积的坐标表示公式，结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】 （1）因为a b ⊥，所以10sin cos (1)0sin 2122()22a b x x x x k k Z ππ⋅=⇒+⨯-=⇒=⇒=+∈，即()4x k k Z ππ=+∈；（2）111cos 21()()(sin cos ,)(cos ,1)sin 22222x f x a b b x x x x +=+⋅=+-⋅-=++，即11()sin 2cos 21)1224f x x x x π=++=++，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，有32444x ，所以max 3()12f x ==，min ()(1)11f x -+=.20．（1）2T π=；5,,216216k k k Z ；（2）2.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间； （2）根据条件可以求出34πα=，代入即可计算tan(α＋3π). 【详解】（1）f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )sin(4x ＋4π)，∴f (x )的最小正周期T ＝242ππ=， 令3242,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈，得5,Z 216216k kx kππππ+≤≤+∈，∴f(x)的单调递减区间为5,, 216216k kkZ ；（2）48afπ⎛⎫-⎪⎝⎭，sin14πα⎛⎫∴-=⎪⎝⎭，∵α∈(0，π)，3444πππα-<-<，42ππα∴-=，故34πα=，因此3tan tan43tan2331tan tan43πππαππ+⎛⎫+===⎪⎝⎭-.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.21．（1）1232410333x x x=-==，，；()ππ23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）π6OQP∠=；【分析】（1）由函数的最值求出A的值，由表中的数据列关于ω和ϕ的二元一次方程组可得ω和ϕ的值，即可得函数的解析式，进一步可求出1x、2x、3x；（2）由三角函数图象的平移变换求出()g x的解析式，可得,,P Q M的坐标，利用平面向量的夹角公式可求解OQP∠，根据函数图象的对称性可知线段PQ必过点M，由OQP POM QOMS S S=+即可求得面积.【详解】（1）由题意可得A=1π32ωϕ+=，73π32ωϕ+=，解得：π2=ω，π3ϕ=，所以()ππ23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，由1ππ23x+=，2πππ23x+=，3ππ2π23x+=，可得：123x=-，243x=，3103x=；（2）将()fx的图象沿x轴向右平移23个单位得到π2ππ()2332g x x x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为P、Q分别为该图象的最高点和最低点，所以(P ，(Q 3,，所以(QO =-，(QP =-，23QO =4QP =，()3212QO QP ⋅=-⨯-，12cos 2QO QP OQP QO QP⋅∠=== 因为0πOQP <∠<，所以π6OQP ∠=． （3）22TOM ==，根据函数图象的对称性可知线段PQ 必过点M ，（如图）， 所以1122OQPPOMQOMP Q SS Sy OM y OM =+=⋅+⋅ 112222=+=22．（1）1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）148π3 【分析】（1）令()t f x =，根据π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求出112t ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，，将方程转化为关于t 的方程，再分离m ，转化为求关于t 的二次函数函数值域即可；（2）求出()g x 的解析式，令()0g x =，得零点x 的值，可得零点间隔为π3和2π3，若b a -最小，则a b ，均为零点，再结合至少含有100个零点即可求解. 【详解】（1）已知()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ7π2666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2162x ⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即()112f x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，令()t f x =，则112t ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，， 所以方程()()230f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有解， 即方程23m t t =-+在112t ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，上有解， 又221133612y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在1126t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，在116t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递减， 当16t =时，取得最大值112，当1t =时取得最小值2-， 所以222311y t t -+≤=-≤，即1212m -≤≤．所以实数m 的取值范围为1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）()ππ1π1sin 2sin 2126232g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()0g x =，得π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36x k +=+或π5π22πZ 36x k k +=+∈，， 所以ππ12x k =-或ππZ 4x k k =+∈， 所以函数()g x 的零点间隔依次为π3和2π3， 若b a -最小，则a b ，均为零点．因为函数()g x 在[]()a b a b <，上至少含有100个零点，()min π2π148π5049333b a -=⨯+⨯=，所以b a -的最小值为148π3.。