3.3 排序不等式 课件(人教A选修4-5)

又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个
排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1· x＋x·2＋…＋xn－1·n＋xn· x x 1≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－ x x
1· x＋xn· 1，
得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.② 将①和②相加得
1＋x＋x2＋，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排 列，且b1<b2<…<bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…， an的一个排列，且c1<c2<…<cn－1，
1 1 1 则 > >…> 且 b1≥1，b2≥2，…，bn－ 1≥n－1，c1≤2， c1 c2 cn－1 c2≤3，…，cn－1≤n. 利用排序不等式，有 an－1 b1 b2 bn－1 1 2 n－1 a1 a2 ＋ ＋…＋ a ≥ ＋ ＋…＋ ≥ ＋ ＋…＋ n . a2 a3 c1 c2 cn－1 2 3 n ∴原不等式成立．
[研一题] [例3] 设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn. [精讲详析] 本题考查排序不等式的应用．解答本题 需要注意：题目中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有 明确，因此需要进行分类讨论． (1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn， 由排序原理：顺序和≥反序和，得 1· 1＋x· 2·2＋…＋xn·n x＋x x x ≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－1· n· x x x＋x 1， 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ①
a2b2＋…＋anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…， bn)的 顺序 和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组(a1， a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的乱序 和．
2．排序原理或排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…， a cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么， 1bn＋a2bn－1＋…＋
需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序， 且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，
再利用排序不等式加以证明．
1 1 1 由对称性，不妨设 a≥b≥c，于是 a ≥b ≥c ，bc≥ca≥ab，
12 12 12
故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc ＋ ca ＋ ab ≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ b ＋ c ＋ a . 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ，a≤b≤ c.
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，
其 中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝ 4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排 列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最
3 [答案] 2
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考查学生变形求解的能力． [解析] 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0.
则 a＋b≥a＋c≥b＋c. a b c 由排序不等式得 ＋ ＋ b＋c a＋c a＋b a b c ≥ ＋ ＋ ， a＋c a＋b b＋c
a b c c a b ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ， b＋c a＋c a＋b a＋c a＋b b＋c a b c ∴2( ＋ ＋ )≥3， b＋c a＋c a＋b a b c 3 ∴ ＋ ＋ ≥ . b＋c a＋c a＋b 2
大值和最小值分别为何值？
提示：由顺序和最大知 最大值为：a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304， 由反序和最小知 最小值为：a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.
[研一题]
[例 1] 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证： 1 1 1 (1)bc≥ca≥ab； a5 b5 c5 1 1 1 (2) 3 3＋ 3 3＋ 3 3≥a＋b＋c. bc ca ab
中地位的对称性，限定一种大小关系．
[通一类]
a1a2 a2a3 a3a1 2．设 a1，a2，a3 为正数，求证： ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2 证明：不妨设 a1≥a2≥a3>0，于是
1 1 1 ≤ ≤ ，a a ≤a a ≤a1a2， a1 a2 a3 2 3 3 1 由排序不等式：顺序和≥ 乱序和得 a1a2 a3a1 a2a3 1 1 1 ＋ ＋ ≥ ·a＋ ·a＋ ·a a a a a3 a2 a1 a2 2 3 a3 3 1 a1 1 2 ＝a3＋a1＋a2. a1a2 a2a3 a3a1 即 ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2
1 1 1 (2)由(1)bc≥ca≥ab，于是由顺序和≥乱序和得， a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 2 2 2 ＝ 3 ＋ 3＋ 3(∵a ≥b ≥c ， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ c＋a＋b＝a＋b＋ c. c a b
anb1 ≤ a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≤
a1b1＋a2b2＋…＋anbn .
当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等
于顺序和．
[小问题· 大思维] 1．排序不等式的本质含义是什么？ 提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单 调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向 单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成 立条件是其中一序列为常数序列．
根据排序不等式得：乱序和>反序和． ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α> 1 (sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ). 2
[研一题]
[例 2] 设 a，b，c 为正数，求证： a12 b12 c12 ＋ ca ＋ ab ≥a10＋b10＋c10. bc [精讲详析] 本题考查排序不等式的应用，解答本题
[精讲详析]
本题考查排序不等式的直接应用，解
答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式， 构造数组，利用公式求解．
1 1 (1)∵a≥b>0，于是a≤b， 1 1 1 又 c>0，∴c >0，从而bc≥ca. 1 1 同理，∵b≥c>0，于是b≤ c， 1 1 1 ∵a>0，∴a>0，于是得ca≥ab. 1 1 1 从而bc≥ca≥ab.
(2)当0<x<1时，1>x>x2>…>xn， 但①②仍然成立，于是③也成立． 综合(1)(2)，证毕．
[悟一法]
在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，
必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才 可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分 类讨论．
[通一类]
1 2 3．设 a1，a2，…，an 是 1,2，…，n 的一个排列，求证： ＋ 2 3 n－1 a1 a2 an－1 ＋…＋ n ≤ ＋ ＋…＋ a . a2 a3 n
11 11 11
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋a. 所以由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
[悟一法] 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，
对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式
[读教材· 填要点]
1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是两组 实数，c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何 一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组(a1，
a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的 反序 和；S2＝a1b1＋
[悟一法]
利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式 中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c， 所以可直接利用已知构造两个数组．
[通一类]
π 1．已知 0<α<β<γ< ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos 2 1 α> (sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2 π π 证明：∵0<α<β<γ< ，且 y＝sin x 在(0， )为增函数， 2 2 π y＝cos x 在(0， )为减函数， 2 ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.
排序不等式在证明不等式中的应用是本节课的重点 知识.2012年无锡模拟以填空题的形式考查了排序不等式 在求最值中的应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证]
a b c (2012· 无锡模拟)若 a， c 为正数， b， 则 ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b 的最小值为________． [命题立意] 本题考查排序不等式在求最值中的应用，