第8章三维图像处理技术

得：
F(u,v) f(x',y')ej2((x'c o sy'sin)u(x'siny'c o)sv)dxdy

f(x,y')'ej2(u(c o svsin)x'(usinvc o)sy')d'xd'y --
上式恰好符合频率上的坐标旋转公式： u’= ucosθ＋vsinθ v’=－usinθ＋vcosθ
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(C)
现在，说明Fourier变换重构的理论。假定f(x,y)表 示图像函数，其二维Fourier变换
F (u,v) f(x,y)ej2(u x v)y dxdy
图像在x轴上的投影为： gy(x)f(x,y)dy
投影的一维Fourier变换为：
（图8-4）
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(C)
8.2.2.1距离方程
假设坐标为(X0,Y0,Z0) 的点P，被放置在摄像机前方，
并分别成像于两个摄像机平面上。那么，利用zx和yz
平面中的相似三角形，可以看到从点P穿过透镜中心的
直线与Z f (图像）平面相交于
X
l


X
0
所以 G’(u’,0)= F(u’,0)。
由于在二重积分中变量变换时，其积分的改变中遵 照以下形式：
对二重积分：
f (x, y)dxdy
如果作变换: x=x(ξ,η),y=y(ξ,η) 则可以证明，二重积分改变为：
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(C)
f(x(,)y ,(,)J )(,)d d
f Z0
Yl

Y0
f Z0
同样，从P穿过右摄像机的中心的直线将与图像平面相交于
X
r

(X 0

d)
f Z0

d
Yr

Y0
f Z0
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(C)
现在在每个成像面上设置一个二维坐标系。为了 方便起见将这两个坐标系位置处旋转180°，这样就抵 消了成像过程中固有的旋转。因此
对于物体是不透明的表面。依照表面的反射特性， 照射在其上的一部分光线被反射，向各个方向散射。一 部分散射光线穿过了透镜的光圈，在摄像机的成像面上 形成了一幅物体的图像。
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(C)
图8-3
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(C)
如果要将图像数字化，可以认为图像中平面被一个 像素阵列覆盖。在图8-3中，其中的一个像素向回投影穿 过透镜，在物体的表面上，生成了此像素的一个像。
得到平面上F(u,v)各点的值后，进行反变换计算得
到图像函数
f(x,y) F (u,v)ej2(u x v)y dudv
这些结果变可以方便地扩展到三维场合。令 f(x1,x2,x3)表示一物体，三维Fourier变换
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(C)
F ( u 1 , u 2 , u 3 ) f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) e j 2 ( u 1 x 1 u 2 x 2 u 3 x 3 ) d 1 d 2 d x 3 x x
X0
xl
Z0 f
xr
Z0 f
d
从中解出Z0得到法向深度方程
fd Z0 xr xl
(8-1)
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(C)
这个方程将距离的法向成分Z0与两幅图像偏移的像素 数联系起来。值得注意的是在方程中，Z0仅是xr和xl之差 的函数，而与他们单个值大小无关。由于Z0必须取正值，
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(C)
图8-1表示了利用能量的透射、发射和反射 的性质，搜集信息的三种方式。透射方式搜集的 信息是反映物体对能量吸收的强弱特性和物体的 性质。能量源通常采用X射线束、电子束、光和 热。发射方式确定物体位置的原理是依据衰变的 正电子在相反方向发射出两束γ射线，通过检测 这两个事件发生的时间来确定原有正电子的湮没 位置。采用能量反射方法可以确定物体表面的特 性，能量源可以是光、电子束或超声波。
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图 8-1
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图像重构在医学上获得的重要应用之一是利 用该技术构造了计算机层析X射线系统(CT)。图82表示了一个X射线透射系统的基本部件。在普通 的X射线照片中，如图中示出的大脑血管照片，三 维物体信息是以二维形式迭加在胶卷上，而计算 机层析X射线系统所获得的照片是物体的横断面 图像。在该断面内构成的图像矩阵是由预先确定 了大小的正方形元素组成。在计算机层折X射线 的脑图像系统中，元素的尺寸是1～3mm的正方形。 生成的矩阵必须包含需要反映的目标。例如在目 标为头部的情况下，可以使用典型的148个元素， 长度近似25cm。
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8.2.2 立体投影成像 下图示出了一对适合于立体成像放置的摄像机。一个三
维坐标系以左投影机的投影中心为原点。在该例中，两个摄 像机的光轴平行，并位于xz平面上。在这种条件下，摄像机 被称为是处于平行对准状态。z轴与左摄像机的光轴重合。 两个摄像机焦距均为f,他们之间的距离是d
注意到，令f3(x1,x2)的二维Fourier变换是完全等同于上 面三维Fourier变换的中心截面的方程式的。如果取得的投
影相对于u1,u2平面为θ角，那么，在变换空间内其变换截面 相对于u1,u2平面成相同的θ角度。因此，可以取不同θ角方 向的投影变换，插入到三维变换空间。为了构造Fourier变
G y(u ) g ye j2 ud x x f(x ,y )e j2 ud x xdy
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(C)
而f(x’, y ’))二维Fourier变换的中心直线F(u ’,0)为：
F (u',0) f(x',y')ej2 u'x'd'd x'y
xl X l yl Yl xr X r d yr Yl
这样一来该点在其图像中的坐标为
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f Xl X 0 Z0
Yl

Y0
f Z0
X
r

(X
0

d
)
f Z0
Yr

Y0
f Z0
注意两图中心的y坐标相同。重新整理可得:
像素与物体的相交定义了与此像素对应的物体表面区
域。照射到与此像素对应区域的部分光线散射回透镜光 圈。所有这些光线被透镜会聚，投影到给定像素上，因 而确定了其灰度值。
除了亮度之外，还可以将另一个值与所考虑的像素 联系起来。从镜头中心到点P 的距离定义了该像素的行程。 需强调的是，如果有另外的表面在此物体后面，他们是 不可见的。因此，一个像素的进程是从镜头中心到所遇 见的第一个不透明表面之间的距离。我们可以通过给每 个像素按与长度成正比而不是亮度成正比来赋值的方式 生成一幅距离图像。
第八章 三维图像处理技术
• 三维图像重构技术 • 立体投影技术 • 体视图像显示 • 光学切片图像
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8.1 三维图像重构技术
8.1.1三维图像重构原理 由物体的一组横断面的投影重构物体的图像是一种
独特的处理问题的方法。在许多应用中，唯有采用这种 方法可以在不损坏物体的条件下，产生物体内部的断面 图像。重构技术已被广泛应用于放射学和核医学、非破 坏性工业测试和数据压缩等许多领域，显示出了它的重 要价值。
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(C)
因此，变换公式可写为：
F (u ,v ) f(x ',y')e j2 (u 'x' v'y')d'd x' y
说明F(u,v)同F(u’,v’)是相同的。同时说明，当空域 中的坐标(x,y)转动θ角时，在x轴上的投影经过Fourier 变换得到的频域数值也正好旋转θ角。
应有xr xl 。还要注意的是分子的值与之相比可能非常
小。这就意味着对于大的Z0分母可能会非常小。因此，在 两幅图中特征定位的微小偏差可能会导致深度计算的大
误差。
同样在三维空间中，利用相似三角形，我们有
R f 2 xl2 yl2
换空间从理论上来说，需要取无数的投影变换，但实际上
投影变换数总是有限数。然后，由Fourier反变换重构图像
f(x1,x2,x3)。
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8.2立体投影技术
8.2.1 物体成像原理
立体投影技术是一种通过一个立体图像对推导出物 体三维形状的技术。为此，必须首先为图像的成像几何 建模。图8-3中给出了一个物体，一个光源及一个摄像机 系统。我们建立一个以透镜系统的光学中心为原点的三 维坐标系。摄像机的光轴与z轴重合。
变换的中心截面是
F ( u 1 , u 2 , 0 ) [ f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) d 3 ] e x j 2 ( u 1 x 1 u 2 x 2 ) d 1 d 2 x x
根据定义，在x1,x2轴上的投影是
f3(x1,x2) f(x1,x2,x3)d3x
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8.1.2 Fourier变换重构方法
Fourier变换重构图像所依据的原理是，一 个三维（二维）物体的二维（一维）投影的 Fourier变换是精确地等于物体的Fourier变换的 中心截面（中心直线），当投影旋转时，其 Fourier变换的中心截面（中心直线）随之旋转。 因而重构图像的过程，首先由不同角度位置时的 投影变换构成物体完整的Fourier变换，然后， 通过取反Fourier变换重构物体。
图8-1表示三维重构的一般化问题和各种可能的解决 方法。假定嵌入的两个数只能由侧面方向观察，但是， 要确定从顶部观察两个嵌入的数是什么数，如果把物体 切成若干断面，显然可以很容易确定嵌入的两个数字。 但是，在许多情况下采用切片的方法来了解物体内部的 状态是不切实际的。
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其中
J(,)yx//
x/ y/
称为Jacobi行列式，以纪念首先研究此问题的德国数学家 Jacobi。
由于f(x,y)二维Fourier变换为：
F (u,v) f(x,y)ej2(u x v)y dxdy
作变量变换：
x=x’cosθ－y’sinθ
y=x’sinθ＋ y’cosθ
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图 8-2
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为了采集形成图像的透射数据，X射线源与检测器 安置成一直线，使并行射线为一个图像元素的宽度。 扫描装置的横向部分作线性运动，对148行或更多的行 （每行包括148个元素或更多的元素）逐行查询，在扫 描部件横向运动时148个数据点各自地送入计算机，扫 描部件每横向线性扫描一次之后，射线能源与检测器 的整个几何体旋转预先规定的角度值（例如，角度增 量值为1°），横向的线性扫描运动再重新开始。如果 使 用 180 个 角 度 的 投 影 ， 送 入 计 算 机 的 投 影 数 据 为 180l48＝26640。采集的数据信息是在扫描进行的同 时存入计算机内。计算机层折X射线透射图像的信息强 度是可控制的，已经证实，扫描器可以测量百分之几 级别的X射线吸收系数的变化，这相当于脂肪、肌肉和 其他组织之间的微小差别。
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x/ x' x/ y' c os sin
J(x',y') y/ x'
y/ y'sinc o s1
将f(x,y)用f(x’,y’)代替,同时替换 x=x’cosθ－y’sinθ,y=x’sinθ＋ y’cosθ