专题06 配方法题研究(原卷版)

备战2020中考数学解题方法专题研究

专题6 配方法专题

【方法简介】

配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．

运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．

【真题演练】

1. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）

A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝8

2. 用配方法解下列方程：

(1)x2＋3x－4＝0；(2)x(x＋8)＝609.

3. 已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．

4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.

【名词释义】

把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．

用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：

1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；

4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．

“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．

【典例示例】

例题1：有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x－8×22＝0；…；x 2＋2nx －8n 2

＝0.

小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”

(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；

(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0(用含n 的式子表示方程的根)．

例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题

完全平方公式a 2±2ab+b 2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x 2+12x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：

解：原式＝2(x 2+6x ﹣2)

＝2(x 2+6x+9﹣9﹣2)

＝2[(x+3)2﹣11]

＝2(x+3)2﹣22

因为无论x 取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x ＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x ＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．

解决问题：

(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x 2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x 的值；

(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x 2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x 的值．

的值．

【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。②配方法在化简二次根式中的应用，在二次根式的化简中，也经常使用配方法。③配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用，在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。④配方法在解某些二元二次方程中的应用，解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。⑤配方法在求最大值、最小值中的应用，在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们很跨求出所要求的最值。⑥配方法在一元二次方程根的判别式中的应用，配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。⑦配方法在恒等变形中的应用，配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。

【强化巩固】

1. 用配方法解方程

，应在方程两边同时（ ） A ．加上

B ．减去

C ．加上

D ．减去 2. 用配方法解方程x 2+4x ＝10的根为（ ）

A ．2±

B ．﹣2±

C ．﹣2+

D ．2﹣ 3. (2019，山西，3分）一元二次方程0142=--x x 配方后可化为（ ）

A.3)2(2=+x

B.5)2(2=+x

C.3)2(2=-x

D.5)2(2=-x

4. （2019•湖南怀化•4分）一元二次方程x 2+2x+1＝0的解是（ ）

A ．x 1＝1，x 2＝﹣1

B ．x 1＝x 2＝1

C ．x 1＝x 2＝﹣1

D ．x 1＝﹣1，x 2＝2 5. 用配方法说明m 2－8m ＋17的值恒大于零．

6. 用配方法解下列方程.

(1)x 2＋4x －1＝0； (2)2t 2－7t －4＝0； (3)2x 2－4x －8＝0.

7. “a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2＋4x ＋5＝x

2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2)2＋1.∵(x ＋2)2≥0，∴(x ＋2)2＋1≥1，∴x 2＋4x ＋5≥1.试利用“配方法”解决下列问

题：

(1)填空：x 2－4x ＋5＝(x________)2

＋________；

(2)已知x 2－4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，求x ＋y 的值；

(3)比较代数式x 2－1与2x －3的大小．

8. 小明在解方程2210x x --=时出现了错误，其解答过程如下：

解：221x x -=-（第一步） 22111x x -+=-+（第二步）

2(1)0x -=（第三步）

121x x ==（第四步）

（1）小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因.