期权定价培训

t 2 S 2
（5）
由于式（5）中不含有z，该组合的价值在一个小的时间 间隔后 t必定没有风险，因此该组合在 中t的瞬时收益率 一定等于 中的t 无风险收益率。因此：
rt
(6)
把式（3）和（5）代入上式得：
(f 1 2 f 2 S 2 )t r( f f S)t
t 2 S 2
S
化简为：
时间的连续性 变量取值范围的连续性
离散时间随机过程 连续时间随机过程 离散变量随机过程 连续变量随机过程
从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散 时间随机过程，为了研究方便，可以把它近似为连续变量的连 续时间的随机过程。
一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率
为μS、方差率为 S22 的伊藤过程来表示：
dS Sdt Sdz
两边同除以S得： dS dt dz
S
该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S 表示证券价格，μ
表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益
率）， 表示证2券收益率瞬间的方差， 表示证券收益率瞬间的
3、几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而 不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。
在短时间 t后，证券价格比率的变化值 为S：
S t t
S
S
可见， S也具有正态分布特征，其均值为 S
差为 ，t 方差为 。2 t
，标t准
也就是说 S ~ (t, t )
S
其中 (m,表s)示均值为 m ，标准差为 s 的正态分布。
普通布朗运动的离差形式为ຫໍສະໝຸດ Baidux at b t ，显然，Δx 具
有正态分布特征，其均值为 a，t标准差为 b ，t方差为 b 2 t
1、遵循普通布朗运动的变量 x是关于时间和 dz 的动态过程， 其中第一项 adt 为确定项，它意味着 x 的期望漂移率是每单 位时间为 a。第二项 bdz 是随机项，它表明对 x 的动态过程 添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的 b 倍给出的。
2、在任意时间长度 T 后 x 值的变化也具有正态分布特征， 其均值为 aT，标准差为 b T，方差为 b2T。
3、标准布朗运动的漂移率 a 为 0,方差率为 1。
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x
的漂移率和方差率当作变量 x 和时间 t 的函数，就可以得
到
dx a(，x, t这)d就t 是b伊(x藤, t过)d程z （Ito Process）
其中，dz 是一个标准布朗运动，a、b是变量 x 和 t的 函数，变量x的漂移率为 a ，方差率为 b2。
K.Ito(随机分析简介)
随机分析学是概率论的一个重要分支,它诞生于20世纪40 年代, 创始人K.Ito获得1987年Wolf数学奖.在对获奖工作的评价中写到: “他的随机分析可以看作随机王国中的牛顿定律.它提供的支配自然现 象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程。.……。 其主要成分是Brown运动函数的微分和积分运算.由此产生的理论是 近代纯粹与应用概率论的基石.
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它 涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整个 金融工程学科的重要基础。
期权价格的影响因素
期权价格的影响因素主要有六个: （一）标的资产的市场价格与期权的协议价格 （二）期权的有效期 （三）标的资产价格的波动率 （四）无风险利率 （五）标的资产的收益 （六）红利
因此，z（T）- z（0）也具有正态分布特征，其均值为0， 方差为 N Δt =T，标准差 T 。
普通布朗运动
若变量 x 遵循普通布朗运动： dx adt bdz
其中：1、a和b均为常数，dz 遵循标准布朗运动。 2、a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量 z 均值的变化值。 3、b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。
对（8）右边求值是一种积分过程，结果为：
c SN (d1 ) Xe r(T t) N (d 2 ) （9）
其中，
d1
ln(S / X ) (r 2 T t
/ 2)(T t)
d2
ln(S
/
X ) (r 2 T t
/
2)(T
t)
d1
T t
2、符合标准布朗运动的变量 z 在一段较长时间T中的变化情 形：令z（T）－z(0)表示变量 z 在 T 中的变化量，显然该变 量又可被看作是在 N 个长度为的小时间间隔中 z 的变化总量， 其中 N=T/Δt 。
很显然，这是 n 个相互独立的正态分布的和：
N
z(T ) z(0) i t
i 1
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要就是标的 资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。(相对定价 法)
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约 执行价格之间的预期差异变化。
证券价格的变化还要受到市场的影响，也就是说市场状况使所 有证券价格发生变化的基础和环境。
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率 市场假说。该假说认为，1）投资者都力图利用 可获得的信息获得更高的报酬；2）证券价格对 新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价 格能完全反应全部信息；3）市场竞争使证券价 格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而 与新信息相应的价格变动是相互独立的
1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预 测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得 超过平均收益率的收益。
2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获 得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以 及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。
标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz 表示标准布
朗运动。
其中，μ和σ的时间度量单位一般都采用年。几何布朗运动的离
散形式为：
S t t
S
为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？
1、市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”，而几何 布朗运动的随机项来源于标准布朗运动 dz，具有马尔可夫性质， 符合弱式效率的假说。 2、投资者感兴趣的不是股票价格 S，而是独立于价格的收益率。 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票 价格以一定的增长率在增长。
在一个小的时间间隔 中t ，S 的变化值 为S ：
S St Sz （1）
设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和 t 的函
数，根据伊藤引理可得：
df ( f S f 1 2 f 2 S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
在一个小的时间间隔中，f 的变化值 为f ：
:
1、几何布朗运动中的期望收益率。
2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无
风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，2 / 小2
于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较
短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是 算术平均的结果。
:
1、证券价格的年波动率，是股票价格对数收益率的年标准差
2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标
:
准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计
值。
* 一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太长也不好； 一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。
假设：
1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数；
3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获 得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信 息”）对挑选证券都没有用处。
从定性到定量 从规范到实证
效率市场假说是从定性的角度研究证券市场的，为进一步的
研究提供了基础和背景，但是它并不能告诉我们证券价格是怎样
变动的。为此，需要找到某种方法描述证券价格的运动，并从中
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中， 只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量 从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率 分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是 一致的。
布朗运动（Brownian Motion）起源于物理学中对 完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。
标准正态分布
当 t0时，可以得到极限的标准布朗运动：
dz dt
1、为何定义 z= 而t非 ？ t
当需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时， 独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具 有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时 间划分方法的影响。 相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年
18
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出： 若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 和 t 的函数 G 将遵循如下过 程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz 是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
在研究证券价格变化过程的时候，目标是尽量找到一个合适 的随机过程表达式，来准确地描述证券价格的变动过程，同时 尽量实现数学处理上的简单性。
假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管 这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于 投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
风险中性定价原理: 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益 率都可以等于无风险利率 r，所有现金流量都可以通过无风险利率 进行贴现求得现值。
布莱克-舒尔斯期权定价方程的推导
在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为：
E[max(ST X ,0)] 其中，E 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价 原理，欧式看涨期权的价格 c 等于将此期望值按无风险利率 进行贴现后的现值，即：
c e r(T t) E[max(ST X ,0)] （8）
找到证券价格变动的规律。
人们在对证券的价格进行研究时发现，随机过程能够很好地
反映证券价格的变化，从而实现了从定性研究到定量研究，从规
范研究到实证研究的转变。
随机过程（Stochastic Process）是指某变量的值以某种不 确定的方式随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做 如下的划分：
2、允许卖空标的证券； 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、不存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
由于证券价格 S 遵循几何布朗运动，有： dS Sdt Sdz
f rS
f
1 2 S 2 2 f rf
t S 2
S 2
（7）
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分方程，适用于其价格 取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价。
风险中性定价原理
受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率（ ） 并未包括
在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态 如何，都不会对 f的值产生影响。
f
f (
S
S f t
1 2
2 S
f
2
（ 22 S）2 )t
f S
Sz
构建一个包括一单位衍生证券空头和 f单位标的证券多头的
S
组合。令 代表该投资组合的价值，则：
f f S
(3)
x
在 t时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S
(4)
S
将式（1）和（2）代入式（4），可得：
( f 1 2 f 2 S 2 )t
对于标准布朗运动来说：设 t 代表一个小的 时间间隔长度，z 代表变量 z 在 t 时间内的变化， 遵循标准布朗运动的 具有z 两种特征： 特征1：z 和 t 的关系满足：
z = t 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准 差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ，z 的值 相互独立。