高等数学练习题(附答案)

《高等数学》

专业 年级 学号 姓名

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）

（ ）1. 收敛的数列必有界.

（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.

（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.

（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.

（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.

（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.

（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则

)0(f 为)(x f 的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1. 设2

)1(x x f =-，则=+)1(x f .

2. 若1

212)(11+-=

x

x

x f ，则=+→0

lim x .

3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则

=')3(g .

4. 设y

x

xy u +

=, 则=du . 5. 曲线3

2

6y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .

6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2

x f x

f x F f +==',则=')1(F . 7. 若

),1(2)(0

2x x dt t x f +=⎰

则=)2(f .

8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分

=-+∞⎰

dx e x 20

.

10. 设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D

5

2

2

1,

1 . 三、计算题（每题5分，共40分）

1. 计算))2(1

)1(11(lim 2

22n n n n ++++

∞→Λ. 2. 求10

3

2

)10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数.

3. 求不定积分

dx x x ⎰

-)

1(1.

4. 计算定积分

dx x x ⎰

-π

53sin sin .

5. 求函数2

2

3

24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==

,围成，计算dxdy y

y

D

⎰⎰

sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.

8. 求微分方程y

x

y y 2-

='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）

1.

证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f

dt t f dt t f x F x x

b

⎰⎰

+=0

)

(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）

1.√ ；

2.× ；

3.×；

4.× ；

5.×；

6.× ；

7.× ；

8.× ；

9.√ ；10.√.

二、 填空题.（每题2分，共20分）

1.442

++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2

-++；

5. 2/3 ；

6. 1 ；

7.

3

36 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.

三、计算题（每题5分，共40分）

1.解：因为

21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 2

1

n n + 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，2

1

lim n n n →∞+=0

由迫敛性定理知： ))2(1

)1(11(

lim 2

22n n n n ++++∞

→Λ=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ

10

1022111++++++='∴

x x x y y Λ

)(

10()1(++='∴x x y Λ)10

102211++++++x x x Λ 3.解：原式=⎰

-x d x

112

=⎰

-x d x 2

)

(112

=2c x +arcsin

4.解：原式=

dx x x ⎰

π

23cos sin

=

⎰

-20

2

3

sin cos π

xdx x ⎰ππ

2

2

3sin cos xdx x

=

⎰

-

20

2

3sin sin π

x xd ⎰

ππ

2

2

3sin sin x xd

=2

025][sin 52πx ππ2

25

][sin 52x -

=4/5

5.解： 02832

=--='y x x f x 022=-='y x f y

故 ⎩⎨

⎧==00y x 或⎩⎨⎧==2

2

y x

当 ⎩⎨

⎧==0

y x 时8)0,0(-=''xx

f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆Θ 且A=08<-

∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f

当 ⎩⎨

⎧==2

2

y x 时4)2,2(=''xx

f ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f