2015江西理工大学专升本高等数学真题

2015年江西理工大学专升本数学

部分试题答案解析

一、填空题（每小题5分 ，共15分）

1.设()f x 为连续函数，且2()

lim 2

x f x x →-存在，则(2)f = ．

2.一质点按规律()kt

s t ae -=（,a k 为常数）做直线运动，则它的初始加速度为 ． 3.设方程2z e xyz e +=确定了函数(,)z z x y =，则(,)z z x y =在点(1,,1)e 处的全微分dz = ．

二、（10分）设数列211{}:13,22,1,2,n n n n u u u u u n +<<=-+=，试写出数列的通

项表达式，并讨论此数列的敛散性．

三、（10分）计算不定积分()

5

1

.2dx x x +⎛⎜⎠

四、（10分）求满足方程0

()()x

x

f t dt x tf x t dt =+-⎰⎰的可微函数()f x ．

五、（10分）设曲线(),()x x t y y t ==由方程组,

2t

t y

x te e e e

⎧=⎪⎨+=⎪⎩确定，试求曲线在1t =处的切线方程．

六、（10分）已知平面区域(){},|1,11D x y x y x =≤≤-≤≤，且()f x 是定义在

(1,1)-上的任意连续函数．

(1)判断函数()()()1F x f x f x =--及()()()2F x f x f x =+-的奇偶性； (2)求2[(1)()(1)()]D

I y x f x x f x dxdy =++--⎰⎰．

七、 (10分)设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()0,

f a f b ⋅>

()0,2a b f a f +⎛⎫

⋅< ⎪⎝⎭

试证：至少存在一点(),,a b ξ∈使得()().f f ξξ'=

八、（10分）分析以下求极限的方法是否正确？若不正确，说明理由，并给出正

确的求解方法．

九、（15分） 设直线(1)y ax a =<与抛物线2y x =所围成的平面图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的平面图形面积为2S ．

（1）试确定a 的值，使1S +2S 达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．

2015年江西理工大学专升本数学

标准答案

一，1.0 2. 2ak 3. 112

2dx dy

e -- 二．解：由递推关系式可得：

2

22211(1)(1)(1),n

n n n n u u u u +-=-=-=

=-

故， 1

2

11(1).n n

u u -=+- 当112u <<时，数列{}n u 收敛，且lim 1;

n n u →∞

=

当123u <<时，数列{}n u 发散，且lim .

n n u →∞=+∞

三．解：原式()

()455

55555

1111ln .1021022x x dx d x C x x x x x ⎛⎫==-=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 四．解：令x t u -=，则0

()()()x

x

tf x t dt x t f t dt -=-⎰⎰，

从而有

0()()()x

x

f t dt x x t f t dt =+-⎰

⎰,

两边同时对x 求导，整理得：

()1()x

f x f t dt =+⎰， （*）

再求导得： ()()f x f x '=，

解之得：(),(x f x Ce C =为任意常数），又由（*）知(1)0f =，于是1C =， 从而,()x f x e =.

五．解：由曲线方程知：当1t =时，, 1.x e y ==

由t x te =得：

(1)t dx

t e dt

=+, 对隐式方程2t y e e e +=两边对t 求导并整理得:

,2t t

y t

dy e e dt e e e =-=--

故，1

(1)(2)t

dy

dy dt dx dx t e e dt

==-+-，11.2t dy dx e ==- 曲线在1t =处的切线方程为1

1().

2y x e e -=--

六．解:因()f x 是定义在(1,1)-上的连续函数，则()()f x f x --为连续的奇函数，

()()f x f x +-为连续的偶函数。于是有

2[()()]2[()()]D

D

I y f x f x dxdy xy f x f x dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰

=[]1

111

11[()()]2()()2x

x

f x f x dx ydy x f x f x dx ydy ----++-⎰⎰⎰⎰

=

[]1

1

2

21

1

(1)[()()](1)()()x f x f x dx x x f x f x dx -----+-+-⎰

⎰

=000+=。

七．

证明：由()()0,f a f b ⋅>不妨设()()0,0,f a f b >>又因为

()0,2a b f a f +⎛⎫

⋅< ⎪⎝⎭

故

0,2a b f +⎛⎫< ⎪⎝⎭

由闭区间上连续函数的零点定理得12,,,22a b a b x a x b ++⎛⎫⎛⎫

∃∈∈ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭使得 ()()120,f x f x ==再令()(),x x e f x ϕ-=显然在闭区间[]12,x x 上满足罗尔定理的条件,

故至少存在一点()()12,,,x x a b ξ∈⊂使得()()()()0,x

x x e

f x e f x ϕξϕ--'''==-而

()()()()0.

e f e f f f ξξξξξξ--'-='=故即

八．解： 22000

11111

lim sin(sin )lim sin lim sin 0x x x x x x x x

x

x

x

→→→=⋅==．

说明:此求解方法不正确。

当0x →时，无穷小21sin(sin )x x 不能用无穷小21

sin x x 来代替。因为当

0x x →时，无穷小α与β作比较的前提条件是做分母的β不能等于零，而这里的

21

sin x x

β=在x 取1

n x n π

=

时等于零，n N +∈. 正确解法：

解：因当0x ≠时，22211

0|sin(sin )||sin |x x x x x

≤≤≤，故