因式分解三 十字相乘法 超经典
因式分解第三讲——-十字相乘法
----十字相乘法因式分解、分组分解法
温故知新
1.什么是因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式的积的形式， 叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个 多项式分解因式.
2.前面我们都学习了那些分解因式的方法？ 提取公因式法、公式法.
探究新知
思考1：如何把x2+(p+q)x+pq分解因式？
解： x2+(p+q)x+pq =x2+px+qx+pq =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q)
上面的分解因式的方法可以叫做分组分解法，
想一想2.把下列多项式分解因式：
（1）(a+b)2-c2；
（2）x2－6xy+9y2－1.
练习： （1）a2－b2＋c2＋2ac； （2）2ab－a2－b2+c2.
(x-5)(x-b),则a,b的值为（ ）
法1：x2-3x+a x -5
x -b
-3=(-b)+(-5) +a=(-5)(-b)
b=-2 a=-10
法2：x2-3x+a= (x-5)(x-b) =x2-(5+b)x+5b
对应系数相等，则 3=5+b,a=5b 可得 b=-2 , a=-10
例4.【思考】如何把下列多项式分解因式：
当堂训练2：将下列各式用十字相乘法进行因式分解.
(1)2x2 + 13x + 15 (2)2x2+5x-3
(3)3x2 -15x -18
(4)3x2-8x+4
(5)5a2+7a-6
三阶十字相乘法
三阶十字相乘法学命理的人都知道，命是由三个部分组成：先天命、后天命和自我。
后天命理是指自己的运，也就是我们平常所说的自己能做什么，这个我们称之为命。
每个人生活中都有属于自己的命格和特性。
比如说我们出生时是阴天还是阳天，有什么样的生辰八字？我们怎样才能知道自己有哪些好的命格？当然还有很多时候我们不认识或者不会认识某些人和事，也正是这些原因导致了这几种命格很难判断出来。
所以这一期在这里给大家介绍一下由三阶十字相乘法所组成的一个非常科学有效的方法：三阶十字相乘法。
一、选择自己的生辰八字，然后把这八个字的本命信息都写在本命生辰页上面，每个字用三张不同的图案，如果这八个字上面有两组图案是相同的可以分别把两组图案相乘。
先把生辰八字的三张相同图案对应的字取出来，三个字放在一起，要记住如果要相乘一个命数理理的生辰八字至少都要用三张相同图案相乘。
另外也可以把两组图案结合起来分别乘以某一组合数字。
第一组是天乙和地丁的组合，第三组是寅卯、巳午、申酉、亥亥、子年与癸亥。
如果两个组合是相同的也可以分别乘以生肖这几个字，也就是前面说的八个字中有“天”这组，而四个字头上的数字都对应着四种不同的命理学算式。
根据这些信息来计算这个八字的吉凶祸福。
如果其中三号相乘图案里各只有一组数字，那就需要再取三种相乘图案中最相同的数来计算这三个字头上的数字相乘。
每一张图中各只有一张相同数字，那么就会得到三种命理算式，分别是：亥卯未甲乙庚丙丁丁戊己壬癸癸癸壬癸。
当然这是根据最开始所说生辰八字来计算这个算式和计算方法的，并不是说直接就把它放在一起比较科学，我们还要看具体情况来决定是否需要调整这个八字算式或计算这个生辰八字算式。
二、在每一张上用印把两组相乘色对齐，颜色相同的两组相乘值是相同的但不同。
这样就很容易区分出同一个命格有什么样的特性。
当然对于不会看五行或者不会用印的人来说可以不管。
而对于有印的人来说，这个方法同样非常简单。
只要拿着印在两组相乘色上随便换换，就能非常轻松准确地判断出两组命格中的哪个命格最好。
因式分解法十字相乘法
十字相乘法因式分解
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数为1时，可表达为x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
初高中数学衔接材料之三 十字相乘法及三次式的因式分解
初高中数学衔接材料之三 十字相乘法及三次式的因式分解一．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习 1．多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．二．双十字相乘法例4.因式分解:2223116xxy y x y .练习: 因式分解:⑴2223372xxy y x y .⑵224443xy x y .⑶22536x xy x y y .三.解三次方程例5:解方程:⑴3431150x x⑵3760x x练习: :解方程3221360x x x四．练习:1．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3.分解因式:⑴~⑺⑴22010(2009*2011)2010x x⑵22423a b a b⑶(1)(2)(3)(4)120x x x x )⑷233x xy y x⑸22243x y x y⑹(1)(1)2x x y y xy⑺2224912x y z yz4.解下列三次方程:⑴322560x x x⑵322540x x x⑶32284510x x。
专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)(学生版)
专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。
知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
初中因式分解中的“十字相乘法”
初二因式分解解读之五：编制人：平生曜曜因式分解中的“十字相乘”1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。
2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“一次因式”的乘积。
3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。
当然如果你领悟了其中的技巧，就可以大大缩减“尝试”的次数。
4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好把多项式先按“主元”作“降幂排列”。
6、下面通过举例，对“十字相乘法”作一些具体的解读。
（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。
〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀。
一排顺序是指：先将原式按“二次项；一次项；常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。
分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。
〈疑问〉：你觉得尝试的过程有技巧吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3…………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
第三讲 分解因式三十字相乘法
分解因式（三）方法三-------十字相乘法一、知识点(1)对于二次项系数为1(2)对于二次项系数不是1的二次三项式例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x -- (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x (5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．。
因式分解(三) 分组分解及十字相乘(经典)
初二数学（下）因式分解（三）分组分解、十字相乘法【知识要点】[要点一] 十字相乘法1、对于二次三项式q px x ++2，若ab q b a p =+=,，则()ab x b a x q px x +++=++22可分解为()()b x a x ++．2、对于二次三项式：c bx ax ++2，若12212121,c a c a b c c c a a a +===，则c bx ax ++2可分解为()()2211c x a c x a ++．这样借助十字交叉线分解系数，得出二次三项式的分解方法，通常叫做“十字相乘法”。
[要点二] 分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
分组分解法的要点在于： （1）使分组后能直接提公因式；（2）使分组后能直接运用公式【经典例题】例1．分解因式：（1）2914x x ++ （2）122--x x（3）2295x x +- （4）6732--x x（5）31082---x x （6）527102---x x例2．分解因式： （1）22149y xy x ++ （2）2212y xy x --()pxx b a bx ax bxbxax a x =+=++()bxx c a c a x c a x c a xc a c xa x c a c x a =+=++2112211221221211初二数学（下）（3）22592y xy x -+（4）22673y xy x --（5）22823y xy x --（6）221435y xy x ++-例3．用分组分解法分解下列因式 （1）bc ac ab a -+-2 （2）cy bx ay cx by ax 222---++（3）22bm bm am am --+ （4）123+--a a a（5）b a b ab a -++-222 （6）22296x z y xy -+-例4．分解因式（1）223102ab b a a -+ （2）2)(3)(2++-+y x y x（3）2222-+--+y y x xy x （4）233222++-+-y y x xy x例5．特殊法分解因式 （1）44+x （2）222287x y x y x --（3）6)25)(35(22--+-+x x x x （4）2222)(6)(5)(y x y x y x -+--+例6、 已知248－1可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数。
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解三十字相乘法超经典
因式分解三十字相乘法超经典第一篇：因式分解三十字相乘法超经典因式分解（三）——十字相乘法【知识要点】（1）x2+px+q 型的二次三项式中p和q都是整数：1.找出a,b使a+b=p且ab=q2.把q分解成两个整数的积的符号规律：q>0则a,b同号,若p>0,a,b同正,若p<0,a,b同负;q<0则a,b异号,若p>0,a,b中正数绝对值大,若p<0,a,b中负数的绝对值大.3.当二次项系数为负时,先提负号.4.注意题目中换元思想的运用.（2）十字相乘法的步骤: 1 把二次项系数和常数项分别分解因数尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次系数3 确定合适的十字图并写出因式分解的结果 4 检验(我们形象的把它比喻成“拆两头,凑中间”)【经典例题】例1 分解因式（1）x2+3x+2（2）x2+x-20（3）x2+6x-27（4）x2-x-2例2 分解因式(1)2x2-7x＋3；(2)6x2-7x-5；(3)-3x2－7x-2；(4)5x2＋6xy-8y2．例3 分解因式（1）x2-xy-2y2（2）x＋6xy＋8y；（3）x2+2xy-3y2（4）x2+8xy+15y2例4 分解因式（1）2x2-xy-y2（2）4x2-xy-5y2（3）6x2+xy-y2（4）7x2+41xy-6y2（5）2x2-5xy-3y2（6）12x2-5xy-2y2例5 分解因式（1）x2+2xy-x-y+y2-2（2）x2-2xy+3x-3y+y2+2思考题：1、分解因式：mnx2-(m2+n2)xy+mny2=2、已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（）（A）3个（B）4个（C）6个（D）8个【经典练习】一，选择题1．下列从左到右的变形是分解因式的是（）A．(x+1)(x-1)=x2-1.B．a2-C．x2+x+111=(a+)(a-)bbb211=(x+)D．3x2-6x2+4=3x2(x-2)+4 422．下列各式从左到右的变形错误的是（）A．(y-x)2=(x-y)2B．-a-b=-(a+b)C.(a-b)3=-(b-a)3D.-m+n=-(m+n)3.下列各式分解正确的是（）A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xy)B.3a2y-3ay+3y=3y(a2-a+1)C.-x2 +xy-xz=-x(x+y-z)D.a2b+5ab-b=b(a2+5a)4.在多项式x2-4x+4,1+16a2,x2-1,x2+xy+y2中，是完全平方式的有（）A．1个B.2个 C.3个 D.4个 5．把(a+b)2-c2分解因式的结果为（）A．(a+b-c)(a-b+c)B.(a+b+c)(a+b-c)C.(a+b+c)(a-b-c)D.(a-b+c)(a-b-c)6.如果a2+8ab+m2是一个完全平方式，则m应是（）A．b2 B.2b C.16b2 D.4b 7．若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)则n等于（）A．2 B．4 C.6 D.8 8．对于多项式（1）x2-y2；（2）-x2-y2；（3）4x2-y；（4）-4+x2中，能用平方差公式分解的是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）9．若a+b=7,ab=10,则a2b+ab2的值应是（）A．7 B．10 C．70 D．17 10．对于任意正整数m多项式(4m+5)2-9都能被（）整除。
三次方十字相乘法
三次方十字相乘法
三次方十字相乘法是一种用于计算代数式的方法。
它的基本原理是，将代数式拆分成两个三次方之差或和的形式，然后利用差的平方或和的平方公式进行展开，最后再根据三次方的规律进行合并和化简。
例如，对于代数式(a+b)^3-(a-b)^3，可以将其拆分成两个三次方之差的形式，即(a+b-a+b)(a^2+ab+b^2)-(a-b-a+b)(a^2-ab+b^2)，然后利用差的平方公式和和的平方公式进行展开，最终得到6ab(a+b)。
三次方十字相乘法不仅适用于求解代数式，还可以用于证明一些数学定理和解决实际问题。
它是代数学中重要的计算工具之一，也是大多数数学竞赛中必备的知识点。
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因式分解（三）
——十字相乘法
【知识要点】
（1）x 2+px+q 型的二次三项式中p 和q 都是整数：
1. 找出a,b 使a+b=p 且ab=q
2. 把q 分解成两个整数的积的符号规律：
q>0则a,b 同号,若p>0,a,b 同正,若p<0,a,b 同负;
q<0则a,b 异号,若p>0,a,b 中正数绝对值大,若p<0,a,b 中负数的绝对值大.
3. 当二次项系数为负时,先提负号.
4. 注意题目中换元思想的运用.
（2）十字相乘法的步骤:
1 把二次项系数和常数项分别分解因数
2 尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次系数
3 确定合适的十字图并写出因式分解的结果
4 检验
(我们形象的把它比喻成“拆两头,凑中间”)
【经典例题】
例1 分解因式
（1）232++x x （2）202-+x x
（3）2762-+x x （4）22--x x
例2 分解因式
(1)2x 2-7x ＋3； (2)6x 2-7x-5；
(3)-3x 2－7x-2； (4)5x 2＋6xy-8y 2．
例3 分解因式
（1）222y xy x -- （2）x 2＋6xy ＋8y 2
；
（3）2232y xy x -+ （4）22158y xy x ++
例4 分解因式
（1）222y xy x -- （2）2254y xy x --
（3）226y xy x -+ （4）226417y xy x -+
（5）22352y xy x -- （6）122252x xy y --
例5 分解因式
（1）2222-+--+y y x xy x （2）233222++-+-y y x xy x
思考题：1、分解因式：2222()mnx m n xy mny -++=
2、已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）
（A ）3个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个
【经典练习】
一，选择题
1．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A ．1x )1x )(1x (2-=-+.
B ．)1)(1(122b a b a b a -+=-
C ．22)2
1(41+=++x x x D ．4)2(3463222+-=+-x x x x 2．下列各式从左到右的变形错误的是（ ）
A ．22)()(y x x y -=-
B ．)(b a b a +-=--
C.33)()(a b b a --=-
D.)(n m n m +-=+-
3.下列各式分解正确的是（ ）
A.)34(391222xy xyz y x xyz -=-
B.)1(333322+-=+-a a y y ay y a
C.)(2z y x x xz xy x -+-=-+-
D.)5(522a a b b ab b a +=-+
4.在多项式22222,1,161,44y xy x x a x x ++-++-中，是完全平方式的有（ ）
A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个
5．把分解因式的结果为22)(c b a -+（ ）
A ．c)b -c)(a -b (a ++ B.))((c b a c b a -+++
C.))((c b a c b a --++
D.))((c b a c b a --+-
6.如果228m ab a ++是一个完全平方式，则m 应是（ ）
A ．2b B. b 2 C. 216b D. 4b
7．若)32)(32)(94(81)2(2-++=-x x x x n 则n 等于（ ）
A ．2
B ．4 C.6 D.8
8．对于多项式（1）22y x -；（2）22y x --；（3）y x -24；（4）24x +-中，能用平方差
公式分解的是（ ）A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（4）
9．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（ ）A ．7 B ．10 C ．70 D ．17
10．对于任意正整数m 多项式9)54(2-+m 都能被（ ）整除。
A ．8
B ．m
C ．m-1
D ．2m-1
11、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（
） A 、1,3-==c b
B 、2,6=-=c b
C 、4,6-=-=c b
D 、6,4-=-=c b
二．填空题
1．把一个多项式化为_________________的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2.分解因式1822-x =_________________.
3.如果2216y mxy x ++是一个完全平方式，则m=____________.
4.y x xy x 2221239-+-的公因式是__________________.
5.分解因式=++-+9)(6)(2b a b a ________________.
6.计算2003*200220032-=____________.
7.若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________.
8.计算=-2224.476.5__________.
9.若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为_____________.
10.分解因式224
1b ab a +-的结果是_____________. 三．把下列因式用十字相乘法分解；
(1)x 2-6x -7 (2)x 2+6x -7
(3)x 2-8x +7
(4)x 2+8x +7
(5)x 2-5x +6
(6)x 2-5x -6
(7)x 2+5x -6
(8)x 2+5x +6
四．把下列因式用十字相乘法分解；
（1）12632-+x x （2）1522482-+x x
（3）2142312-+x x
（4）623352-+x x
（5）2282y xy x --
（6）22632y xy x -+
（7）3
8y 6x 16y 24xy 9x 22--++-
例1 分解因式
（1）22x ax y ay --+ （2）27321a b ab a -+-
（3）y b x b y a x a 2222+++；
（4）nx n mx mx --+2
例2 把下列各式分解因式：
（1）b a b a 2423---； （2）2222b ab a x -+-；
（3）a ax ax ax -+-23； （4）2242x x y y --+；
二、将下列各式分解因式：
（1）bx b ax ax --+2
（2）a ab b a --+332
（3）3223y xy y x x -+-
（4）x x x x 812793234--+
三、将下列各式分解因式：
（1）22)()(an bm bn am -++
（2）2322)2(b b a b b a +--+
（3）12222+--a ab b a
（4）4422)()(b a b a b a +--+
（5）277x x x -+-
（6）22699y y x --+ （7）222x xy y ax ay ++++
（8）42469x a a ---
（9）22362b c bc --+ （10）222ax bx cx a b c +-++-。