向量共线定理的证明讲课教案
共线向量定理教案
2．2．4向量共线定理教学目标：1、掌握两向量共线条件判定两向量是否平行2、学会用共线向量的条件处理一些几何问题教学重点：向量共线的条件教学难点：向量共线与几何共线的区别教材分析：在学生掌握向量数乘概念的基础上，重点研究向量数乘的几何意义即共线向量。
向量共线的条件是由实数与向量的积推出的。
要让学生理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行教学方法：教学过程：一、情景创设：(一)复习向量数乘(二)引例：P66 例2二、数学建构：向量共线定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=．三、数学应用：例1 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．当0a ≠时， 12121121(4)10454b e e e e a =-=-=，∴b 与a 共线． （3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ=∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线．若1λ≠-时，221b a λλ-=+， ∴b 与a 共线．例2 。
如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AC 与AE 共线．例3．(1)P68 ex 2(2) 设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-， 若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解：()()1212122)34BD CD CB e e e e e e =-=--+=-∵A ，B ，D 三点共线，∴AB 与BD 共线，即存在实数λ，使得AB BD λ=，即是12122(4)e ke e e λ+=-. 由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨=-⎩，∴8k =-． A B C D E例4、P67 (1)例4(2)P69 10四、课堂练习：导学：P29 1、2五、小结：理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线．。
苏教版高中数学必修四《向量共线定理》教案1
2.2.4 向量共线定理教学目标：1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：共线向量定理的应用.教学难点：共线向量定理的应用.教学过程：一、问题情境问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a ，记b ＝3a ，b 与a 共线吗？aO A（给出线性表示：如果b λ=a (a ≠0)，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示）二、学生活动问题2 对于向量a 和b ，如果有一个实数λ，使得b λ=a ，那么a 与b 共线吗？ （可以引导学生从λ的不同取值来探讨）（若有向量a 和b ，实数λ，使b λ=a ，则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量）问题3 如果向量a 和b 共线，是否存在一个实数λ，使b λ=a ？（若a ≠0，a 与b 共线且|b |:|a |μ=，则当a 与b 同向时b μ=a ；当a 与b 反向时b =-μa ，从而向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b λ=a .）三、构建教学1．整理归纳向量共线定理．B D A CE 如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.2．对定理的理解与证明问题4 为什么要求a 是非零的？b 可以为0吗？若a ＝0，则a , b 总共线，而b ≠0时，则不存在实数λ，使b λ=a 成立；而b = a ＝0时，不管λ取什么值，b λ=a 总成立，λ不唯一.问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？四、教学运用1. 例题.例1 如图，E D ,分别为ABC ∆的边AB和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示.例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）a =4e 1-25e 2，b =e 1-110e 2；（2）a = e 1＋e 2，b =2 e 1-2 e 2，且1e ，2e 共线．例3 如图2-2-11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB 求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC . 例题提高：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？ 2．练习．（1）已知向量a =2e 1-2e 2，b =-3（e 2-e 1），求证：a 与b 是共线向量．（2）已知4MP =e 12+e 2 ,2PQ =e 1＋e 2，求证：M ，P ，Q 三点共线．（3）如图，在△ABC 中，12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b ==，求证： 13DE （b －a ）． 五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1．两个向量共线的含义；2．两个向量共线（平行）的充要条件；3．能判断两个向量共线. ABDC E。
高一数学课程教案平面向量的共线与垂直关系的判定与应用
高一数学课程教案平面向量的共线与垂直关系的判定与应用高一数学课程教案：平面向量的共线与垂直关系的判定与应用引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。
了解平面向量的性质与关系，对于学生理解数学知识的整体框架具有重要作用。
本教案将重点介绍平面向量的共线与垂直关系的判定与应用，以帮助学生更好地理解与应用相关知识。
一、平面向量共线与垂直关系的判定1. 共线关系的判定共线向量指的是方向相同或相反的向量，即它们的起点与终点在同一直线上。
判定共线向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量共线的定义根据向量共线的定义，若向量A，A共线，则存在非零实数A，使得A=AA。
换言之，A与A的坐标分量之比相等。
因此，我们可以通过计算向量坐标分量之比来判断向量的共线关系。
- 方法二：向量共线的判定定理向量共线的判定定理指出，若向量A，A不共线，则向量A与向量A，A共线当且仅当存在实数A，使得A=AA+A。
通过判断向量A与向量A，A之间是否满足这个关系，我们可以判断共线关系。
2. 垂直关系的判定垂直向量指的是两个向量的夹角为90°的向量。
判定垂直向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量垂直的定义根据向量垂直的定义，向量A与向量A垂直，当且仅当A·A=0，即两个向量的数量积为零。
因此，可以通过计算向量的数量积来判断两个向量的垂直关系。
- 方法二：向量垂直的判定定理向量垂直的判定定理指出，向量A与向量A垂直，当且仅当有A1，A2∈A，使得A=A1A+A2A。
通过判断向量A是否满足这个关系，我们可以判断垂直关系。
二、平面向量共线与垂直关系的应用1. 平行四边形的性质平行四边形是具有两组相对平行边的四边形。
在平行四边形中，如果一对对角线的交点与其中一条对角线的中点重合，那么这两条对角线所代表的向量是共线向量。
通过共线向量的性质，我们可以解决平行四边形相关的证明与计算问题。
2. 角平分线的性质角平分线是将一个角等分为两个相等的角的线段。
向量共线的条件讲课教案
向量共线的条件讲课教案第一章：向量共线的概念引入1.1 教学目标：(1) 了解向量共线的定义及其数学表达。
(2) 理解向量共线的直观含义及其在几何中的应用。
1.2 教学内容：(1) 向量共线的定义：如果两个非零向量a 和b，存在一个实数λ，使得a = λb，这两个向量叫做共线向量。
(2) 向量共线的数学表达：a // b 或者a 和b 共线。
(3) 向量共线的直观含义：在几何中，如果两个向量共线，它们表示的直线是平行的或者重合的。
1.3 教学方法：(1) 通过几何图形引导学生直观地理解向量共线的概念。
(2) 通过实例让学生理解向量共线的数学表达。
1.4 教学活动：(1) 利用投影仪展示几何图形，引导学生直观地理解向量共线的概念。
(2) 利用具体例子，让学生理解向量共线的数学表达。
(3) 学生进行小组讨论，分享自己对向量共线的理解和例子。
(4) 教师进行讲解和解答学生的疑问。
第二章：向量共线的判定条件2.1 教学目标：(1) 学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。
(2) 理解向量共线的判定条件的数学推导过程。
2.2 教学内容：(1) 向量共线的判定条件：如果两个向量a 和b 都为零向量或者不为零向量，并且它们的坐标成比例，这两个向量共线。
(2) 向量共线的判定条件的数学推导过程：通过向量的线性组合和坐标表示，推导出向量共线的判定条件。
2.3 教学方法：(1) 通过数学推导引导学生理解向量共线的判定条件。
(2) 通过实例让学生学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。
2.4 教学活动：(1) 教师引导学生进行数学推导，理解向量共线的判定条件。
(2) 利用具体例子，让学生学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。
(3) 学生进行小组讨论，分享自己对向量共线的判定条件的理解和例子。
(4) 教师进行讲解和解答学生的疑问。
第三章：向量共线的应用3.1 教学目标：(1) 学会使用向量共线解决实际问题。
两向量共线的充要条件及应用平面向量及其应用PPT课件
两向量共线的充要条件
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.则 a，b(b≠0)共线的充 要条件是___x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0____． ■名师点拨
由A→B与C→D共线，所以 x2＝1×4， 所以 x＝±2. 又A→B与C→D方向相同，所以 x＝2. 所以当 x＝2 时，A→B与C→D共线且方向相同． 此时，A→B＝(2，1)，B→C＝(－3，2)， 而 2×2≠－3×1，所以A→B与B→C不共线， 所以 A，B，C 三点不在同一条直线上． 所以 A，B，C，D 不在同一条直线上．
已知两点 A(2，－1)，B(3，1)，与A→B平行且方向相反的向量 a 可能是( ) A．a＝(1，－2) B．a＝(9，3) C．a＝(－1，2) D．a＝(－4，－8) 解析：选 D.由题意得A→B＝(1，2)，结合选项可知 a＝(－4，－8)＝ －4(1，2)＝－4A→B，所以 D 正确．
向量共线的判定方法
1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量 a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若
a＋b 与 a 平行，则 λ＝( )
A．－5
B．52
C．7
D．－12
解析：选 D.a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由 a＋b 与 a 平行，
可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得 λ＝－12.
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
2．设点 A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当 x 为何值 时，A→B与C→D共线且方向相同，此时 A，B，C，D 能否在同一 条直线上？
向量共线关系教案
向量共线关系教案教案标题：向量共线关系教案一、教学目标：1. 理解向量共线的概念，并能够判断两个向量是否共线。
2. 掌握判断向量共线的方法和技巧。
3. 能够应用向量共线的概念解决实际问题。
二、教学内容：1. 向量共线的定义和判断方法。
2. 向量共线的性质和特点。
3. 向量共线的应用。
三、教学过程：第一步：导入新知1. 引入向量的概念，复习向量的表示方法和运算规则。
2. 引出向量共线的概念，通过示例向学生展示共线向量的特点。
第二步：向量共线的判断方法1. 教师介绍向量共线的几种判断方法，包括向量的数乘关系、向量的坐标关系和向量的夹角关系。
2. 通过具体的例题，引导学生掌握判断向量共线的方法和技巧。
第三步：向量共线的性质和特点1. 教师讲解共线向量的性质和特点，包括共线向量的模长比例关系、方向相同或相反等。
2. 引导学生通过实例理解和应用共线向量的性质。
第四步：向量共线的应用1. 教师引导学生通过向量共线的概念解决实际问题，如力的平衡问题、平面几何问题等。
2. 学生进行个别或小组练习，巩固向量共线的应用能力。
四、教学资源：1. 教科书或课件：包含向量共线相关知识的教材或课件。
2. 示例和练习题：提供向量共线判断的示例和相关练习题。
五、教学评估：1. 教师通过课堂练习、小组讨论等方式，检查学生对向量共线的理解和应用能力。
2. 布置作业，要求学生解决一些实际问题，检验他们对向量共线的掌握程度。
六、教学延伸：1. 引导学生深入研究向量共线的相关知识，拓展应用领域。
2. 引导学生进行实际问题的建模和解决，培养他们的创新思维和问题解决能力。
七、教学反思：1. 教师根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，确保教学效果。
2. 教师对教案进行反思和总结，为今后的教学提供参考和改进。
人教A版高中数学必修第二册教学课件 第6章 向量共线定理
探究 1：若 m＋n＝1，A，P，B 三点是否共线？ 提示：∵m＋n＝1， ∴O→P＝mO→A＋(1－m)O→B＝O→B＋m(O→A－O→B)， ∴O→P－O→B＝m(O→A－O→B)，即B→P＝mB→A， ∴B→P与B→A共线． 又∵B→P与B→A有公共点 B， ∴A，P，B 三点共线．
探究 2：若 A，P，B 三点共线，则 m，n 满足什么条件？ 提示：若 A，P，B 三点共线，则B→P∥B→A， ∴存在唯一一个实数 λ，使得B→P＝λB→A， ∴O→P－O→B＝λ(O→A－O→B)． 又∵O→P＝mO→A＋nO→B，
(1)用 a，b 表示向量A→D，B→E，B→F； 解：如图，延长 AD 到 G，使 DG＝AD，连接 BG，CG，则四边
形 ABGC 是平行四边形，∴A→G＝A→B＋A→C＝a＋b．
∴A→D＝12A→G＝12(a＋b)＝12a＋12b． ∵A→E＝23A→D＝13(a＋b)，A→F＝12A→C＝12b， ∴B→E＝A→E－A→B＝13(a＋b)－a＝－23a＋13b，
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 第2课时 向量共线定理
学习任务目标 1．理解并掌握向量共线定理． 2．会用向量共线定理处理向量共线、点共线问题．
01
自主化知识预习
知识衔接 自主学习
(1)0 与任__何__向__量__共线． (2)已知向量 a 与 b 共线，且向量 b 的长度是向量 a 的长度的 μ 倍，则__|_b_|＝__μ_|a_|_____．
【类题通法】 1．由向量共线定理知，只要找到一个实数 λ，使得 b＝λa，即可 得到 b∥a．当 a＝b＝0 时，λ 为任意实数． 2．对任意两个向量 a，b，若存在 λ，μ 不全为 0 的实数对(λ，μ)， 使得 λa＋μb＝0，则向量 a∥b．
向量共线的条件与轴上向量坐标运算教案
向量共线的条件与轴上向量坐标运算教案教案标题：向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学目标：1.理解向量共线的概念及其条件；2.能够运用向量的基本性质进行轴上向量的坐标运算；3.能够解决与向量共线和轴上向量坐标运算相关的问题。
教学重点：1.向量共线的条件；2.轴上向量坐标运算的方法。
教学难点：1.向量共线条件的证明；2.轴上向量坐标运算的灵活应用。
教学工具：1.教学板书；2.教辅资料。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师简要回顾向量的概念及性质，引出向量共线的概念；2.引导学生思考，什么样的向量才能称为共线？二、理论讲解（20分钟）1.向量共线的条件：a) 定义：若存在非零数$k$，使得向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$满足$\vec{u}=k\vec{v}$，则称$\vec{u}$和$\vec{v}$共线。
b) 条件一：向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$的方向相同或相反。
c) 条件二：向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$的长度之比为一个常数。
d) 条件三：向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$的线性组合为零向量。
e)学生通过教师的指导，尝试使用向量的坐标进行条件的证明。
2.轴上向量坐标运算：a) 定义：若向量$\vec{u}$与坐标轴重合，则称$\vec{u}$为轴上向量。
b)懂得$x$轴和$y$轴上向量的性质，并掌握其坐标的计算方法。
c)学生通过教师的引导，尝试解决一些具体的轴上向量和坐标的运算问题，如向量的加减、乘法等。
三、练习与讨论（30分钟）1.学生进行一些练习题的解答，教师进行批改和点评；2.学生互相讨论并交流问题，教师进行解答和指导。
四、拓展与应用（30分钟）1.对所学内容进行扩展，引导学生思考如何推广向三维空间的向量共线条件；2.提供一些真实生活中与向量共线和轴上向量坐标运算相关的问题，引导学生运用所学知识解决问题。
五、总结与作业布置（10分钟）1.教师对本节课内容进行总结，强调向量共线条件的重要性和应用价值；2.布置课后作业，要求学生运用向量共线和轴上向量坐标运算的知识解决一些练习题，并列出下节课的预习内容。
高一下学期数学人教A版必修第二册6.2.3向量共线定理课件
数学运算、逻辑推理——破解向量的数乘运算
设点 O 在△ABC 内部,且有Ԧ+2Ԧ+3Ԧ =0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比
为(
C ).
A.2∶1
B.3∶2
C.3∶1
D.5∶3
解析 如图,延长 OB 至点 B1,使 BB1=OB,延长 OC 至点 C1,使 CC1=2OC,连接 AB1,AC1,B1C1,则
C.垂心
D.外心
如图,在△ABC 中,O 为外心,可得 OA=OB=OC,
∵Ԧ+Ԧ+Ԧ =Ԧ,∴Ԧ+Ԧ=Ԧ-Ԧ =Ԧ.
设 AB 的中点为 D,则 OD⊥AB,Ԧ=2Ԧ ,
∴CM⊥AB,可得 CM 在 AB 边的高线上.
同理可证,AM 在 BC 边的高线上.
A，B，D
的三个点是___________.
2.已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若 Ԧ=xԦ+yԦ,求 x+y 的值.
解析 因为 A,B,P 三点共线,所以 Ԧ=λԦ,
即 Ԧ-Ԧ=λ(Ԧ-Ԧ),所以 Ԧ=(1-λ)Ԧ+λԦ,故 x=1-λ,y=λ,即 x+y=1.
故 M 是△ABC 两高线的交点,可得 M 是△ABC 的垂心.
故选 C.
C
).
课前预学
已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P
满足 Ԧ=Ԧ+λ
Ԧ
Ԧ
+ Ԧ
|Ԧ|
| |
A.内心
解析
,λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
B.垂心
C.重心
1՜ 3՜
՜
向量共线的条件讲课教案
第一章：向量共线的概念引入1.1 课程背景：在之前的课程中，我们已经学习了向量的基本概念，包括向量的定义、向量的运算等。
本节课我们将学习向量共线的概念，并了解向量共线的条件。
1.2 教学目标：1. 理解向量共线的概念；2. 掌握向量共线的条件；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。
1.3 教学内容：1. 向量共线的概念引入；2. 向量共线的条件讲解；3. 向量共线条件的应用实例。
第二章：向量共线的条件2.1 课程背景：在第一节课中，我们已经了解了向量共线的概念。
本节课我们将学习向量共线的条件，并能够运用这些条件判断两个向量是否共线。
2.2 教学目标：1. 掌握向量共线的条件；2. 能够判断两个向量是否共线；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。
2.3 教学内容：2. 判断两个向量是否共线的实例；3. 向量共线条件的应用实例。
第三章：向量共线定理3.1 课程背景：在第二节课中，我们已经学习了向量共线的条件。
本节课我们将学习向量共线定理，并能够运用向量共线定理解决实际问题。
3.2 教学目标：1. 掌握向量共线定理；2. 能够运用向量共线定理解决实际问题；3. 能够运用向量共线定理进行证明。
3.3 教学内容：1. 向量共线定理的讲解；2. 向量共线定理的应用实例；3. 向量共线定理的证明。
第四章：向量共线的坐标表示4.1 课程背景：在第三节课中，我们已经学习了向量共线定理。
本节课我们将学习向量共线的坐标表示，并能够运用坐标表示判断两个向量是否共线。
4.2 教学目标：1. 掌握向量共线的坐标表示；2. 能够运用坐标表示判断两个向量是否共线；3. 能够运用坐标表示解决实际问题。
4.3 教学内容：1. 向量共线的坐标表示讲解；2. 判断两个向量是否共线的坐标表示实例；3. 向量共线的坐标表示应用实例。
第五章：向量共线条件的应用5.1 课程背景：在第四节课中，我们已经学习了向量共线的坐标表示。
本节课我们将学习向量共线条件的应用，并能够运用这些条件解决实际问题。
中职数学教案：向量的线性运算(全4课时)
中等专业学校2023-2024-1教案AC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做，记作a ＋b ，即 AB ＋BC =AC 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做Aaab中等专业学校2023-2024-1教案AD=BC，AB＋AD=AB＋BC=ACD CAC所表示的向AB与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，AB表示船速，AC为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际行速度，22=+=22AD AB AC+125中等专业学校2023-2024-1教案+++=AB BC CD DE AE：判断下列各等式是否正确：AB BC CD DA ++=二．向量的减法：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做-(-a)=a ， ,a b ，如果a 是b 与另一个向量x 相加 ，即b x a +=；那么怎样求出x ?由作图得出：图b BC a +=；即：a b BC -=；图3：()a b AC +-=；即：a b AC -=. 向量的减法：在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. CBAbaa-b图1图2,,AB AD AC 表,BD DC,,a b c ；求作：a b c -+ a b c --提示：可以用减去一个向量等于加上这个向量 的相反向量来考虑作图D B A中等专业学校2023-2024-1教案。
向量共线条件的坐标表示教案
向量共线条件的坐标表示教案教学目标：1. 理解向量共线的概念；2. 学会用坐标表示向量共线；3. 掌握向量共线的判断方法；4. 能够运用向量共线条件解决实际问题。
教学重点：向量共线的概念及坐标表示教学难点：向量共线的判断方法及应用教学准备：课件、黑板、粉笔教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，引导学生回顾向量的定义及基本运算；2. 提问：同学们，你们知道什么是向量共线吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解向量共线的概念，给出向量共线的定义；2. 讲解向量共线的坐标表示，引导学生理解坐标表示的意义；3. 通过示例，讲解向量共线的判断方法，引导学生掌握判断技巧。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 挑选几位学生的作业进行讲解，指出其中的错误及注意事项。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结向量共线的概念、坐标表示及判断方法；2. 强调向量共线条件在实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，要求学生巩固向量共线条件的坐标表示及判断方法；2. 提醒学生在做作业时注意向量共线条件的灵活运用。
教学反思：本节课通过讲解向量共线的概念、坐标表示及判断方法，使学生掌握了向量共线的相关知识。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对向量共线的理解有所提高。
但在课后作业的布置上，需要进一步关注学生的个体差异，设计不同难度的题目，以满足不同学生的学习需求。
六、向量共线定理的应用（10分钟）1. 通过具体例题，展示向量共线定理在解决几何问题中的应用；2. 引导学生运用向量共线定理解决实际问题，如线段长度、角度计算等；3. 强调向量共线定理在解决几何问题时的优越性。
七、向量共线与线性方程组（10分钟）1. 引入线性方程组的概念，引导学生理解线性方程组的含义；2. 讲解向量共线与线性方程组之间的关系，展示向量共线在解决线性方程组中的应用；3. 通过例题，让学生学会运用向量共线条件解线性方程组。
《空间向量及其运算》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《空间向量及其运算》教学设计1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 重点：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；难点：掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． (一)复习：空间向量的概念及表示； (二)新课讲解：1．共线(平行)向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.读作：a 平行于b ，记作：//a b ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=(λ唯一)． 推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量.在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行： 如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．(三)例题分析：al PBA O例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-，∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面． 说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ (其中1x y z ++=)的四点,,,P A B C 是否共面？解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP yAB zAC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，(1)求证：四点,,,E F G H 共面；(2)平面AC //平面EG ． 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+，∵EG OG OE =-，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OEEF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面；(2)∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业： E1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.。
高中数学新人教版B版精品教案《2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算》
§2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算三维目标：
1．通过探究向量共线的条件，理解向量平行共线概念和平行向量基本定理，会证明几何中简单的平行问题．2．理解轴和轴上向量的概念，理解轴上向量的坐标．建立轴上向量与实数的一一对应关系．
3．通过轴上向量的探究，能用向量的观点理解数轴，用轴上向量运算证明解析几何基本公式，并能用向量确定直线上点的位置．
重点难点
教学重点：平面向量基本定理，轴上向量的坐标及其运算．
教学难点：平行向量基本定理的应用
课时安排
1课时
教学内容安排：。
向量共线定理教案
向量共线定理教案摘要：本文以三角形向量共线定理为主要内容，通过较为详细的介绍，介绍了三角形的向量共线定理的含义及其推导过程，以及推广到多重三角形的情况下的证明定理，以及这些定理的应用。
一、定义三角形的向量共线定理认为，若在一个三角形中，两个向量相加等于另一个向量，那么这三个向量一定共线。
二、数学推导设三角形ABC的三条边分别为a，b，c，根据向量共线定理，若AB+BC=AC，则AB，BC，AC共线。
将AB分解为两个向量AB1+ AB2，将BC分解为BC1+BC2，有： AB1+AB2+BC1+BC2= AC同时，AB1=BC1，AB2=BC2，有：AB1+AB2= BC1+BC2因此，可以得出结论：AB1，AB2，BC1，BC2共线，故AB，BC，AC共线。
三、推广到多重三角形情况有时可以将多边形分解成一些三角形，若每个三角形满足向量共线定理，则这些三角形之间的边也满足向量共线定理。
设有一个多重三角形ABC，它可以分解成三个三角形，ABC，ABD，BCD，若满足向量共线定理，则有：AB+BD=BC，AB+DC=AC，BC+CD=AD因此，AB，BD，BC共线；AB，DC，AC共线；BC，CD，AD共线。
四、定理的应用三角形的向量共线定理可以应用在数学中的各个方面。
例如：（1）几何中的直线判定：若在几何图形中，有三个点满足向量共线定理，则这三个点共线。
（2）数学分析中的判断函数是否极小：若数学函数的一阶导数与二阶导数满足向量共线定理，则该函数在当前点处极小。
（3）矩阵求解：若在矩阵中，存在三个矩阵满足向量共线定理，则可以应用这一定理进行求解。
五、总结本文以三角形向量共线定理为主要内容，通过较为详细的介绍，介绍了三角形的向量共线定理的含义及其推导过程，以及推广到多重三角形的情况下的证明定理，以及这些定理的应用。
它可以用于几何中的直线判定，数学分析中的判断函数是否极小，矩阵求解等等。
向量共线与平面向量的基本定理学生教案
1对1个性化辅导教案§3从速度的倍数到数乘向量1．(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . (2)长度：|λa |＝|λ||a |.(3)方向：λa 的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ＞0时，与a 的方向相同；当λ＜0时，与a 的方向相反.(4)几何意义：将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．2．运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝λμ a ； (3)λ(a ＋b )＝λ a ＋λ b .1．是一个非零向量，若存在一个实数＝λ b 与非零向量a 共线．2．性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λ a .计算：(1)3(6a ＋b )－9(a ＋3b )； (2)2[(3a ＋2b )－(a ＋2b )]－2(2a ＋38b )；(3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．(1)化简23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －23b )＋(2b －a )．已知两个非零向量a 、b 不共线，OA ＝a ＋b ，OB ＝a ＋2b ，OC ＝a ＋3b .(1)证明：A 、B 、C 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．2．证明两个向量a 与b 共线时，只需证明a ＝λb (b ≠0)．若已知a 与b (b ≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a ＝λ2b .利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB →＝λAC →或AB →＝kBC →(λ，k ∈R )等；要证AB ∥CD ，只需证AB →＝λCD →(λ∈R )．也可解决相关求参问题．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1.若a 与b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．λ＝0或e 1∥e 2如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK ＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．(2013·大连高一检测)如图所示，D ，E 分别是△ABC 中边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a 、b 分别表示DE →、CE →、MN →.数形结合思想在向量线性运算中的应用(12分)如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.建立已知向量与未知向量之间的关系时，应注意结合几何图形，利用平面几何中的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系．课堂小结1．学习了数乘向量的概念以及数乘的运算律，明确了λa 的大小、方向以及几何意义． 2．学习了向量共线的判定定理和性质定理．3．掌握了向量加、减、数乘的线性运算，从而进行化简求值． 4．能够应用向量共线的判定定理证明三点共线或两直线平行．1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有( ) (1)a 与－λa 的方向相反； (2)|－λa |≥|a |；(3)a 与λ2a 方向相同；(4)|－2λa |＝2|λ|·|a |.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列各式计算正确的是( ) A ．a ＋b －(a ＋b )＝2a B ．2(a ＋b )＋c ＝2a ＋b ＋c C ．3(a －b )＋3(a ＋b )＝0 D ．a ＋b －(b －3c )＝a ＋3c3．(2013·郑州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b 4．如果向量AB →＝i －2j ，CB →＝i ＋m j ，其中向量i 、j 不共线，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．一、选择题1．已知|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，若a ＝λb ，则λ的值为( ) A.57 B ．－57 C.75D ．－75图2－3－42．如图，已知AM 是△ABC 的边BC 上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →等于( ) A.12(a －b ) B ．－12(a －b ) C.12a ＋b ) D ．－12(a ＋b )3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，且a 、b 不共线，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23 二、填空题6．设a 、b 是两个非零向量，若8a －k b 与－k a ＋b 共线，则实数k ＝________.7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a 、b 表示)8．如图，△ABC 中，CD DA ＝AE EB ＝12，若BC →＝a ，CA →＝b ，DE →＝λa ＋μb ，则λ＋μ________.三、解答题9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，点N 在对角线BD 上，且BN ＝13BD . 求证：M 、N 、C 三点共线．10．设e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．11．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，若CM →＝tCP →，则t 等于多少？在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，求λ＋μ的值．证明向量OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ，μ且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →.3．2 平面向量基本定理如果e 12的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λe 1＋λ2e 2(如图2－3－7②)，其中不共线的向量e 1和e 2叫作表示这个平面内所有向量的一组基底．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ、μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量．1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e 1，e 2是基底，则必有e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线，如0与e 1、e 1与2e 1、e 1＋e 2与2(e 1＋e 2)等均不能构成基底．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)在平行四边形ABCD 中，设AC ＝a ，BD ＝b ，试用基底a ，b 表示AB →，BC →.1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法的三角形法则或平行四边行法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．本例条件不变，设M 为DC 中点，则AM →用a ，b 表示结果如何？转化思想在平面向量中的应用如图，在平行四边形ABCD 中，F 是CD 的中点，AF 与BD 交于E ，求证：E 为线段BD 的三等分点．用向量解决平面几何问题的一般步骤如下：(1)选取不共线的两个平面向量作为基底；(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．课堂小结1．学习了平面向量基本定理，明确了其含义及特征．2．学习了基底的概念，明确了基底的两个特性：即不共线、不唯一．3．初步掌握了平面向量基本定理的应用，并且待定系数法解题的方法得到巩固．1．已知平行四边形ABCD ，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) A.AB →，DC → B.AD →，BC → C.AD →，CB → D.AB →，DA → 2．下列关于基底的说法正确的序号是( ) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③3．(2013·四川高考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.4．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.一、选择题1．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.可作为该平面其他向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④2．如果e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，那么( ) A ．若实数m 、n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2为实数C ．对于实数m 、n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m 、n ，使a ＝m e 1＋n e 23．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m ≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP →用OA →，OB →表示为( )A.OP →＝OA →＋mOB →B.OP →＝mOA →＋(1－m )OB →C.OP →＝OA →＋mOB →1＋mD.OP →＝1m OA →＋11－mOB →4．如图所示，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1)5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB→|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题6．设G 是△ABC 的重心(即三条中线的交点)，AB →＝a ，AC →＝b .试用a ，b 表示AG →＝________.7．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．8．如图2－3－11所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．三、解答题9．判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．10．已知AP →＝λAB →(λ∈R )，O 是平面内任意一点(O 不在直线AB 上)． (1)试以OA →，OB →为基底表示OP →； (2)当λ＝12时，试确定点P 的位置．11．如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG →.如图所示，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC上，且BN ＝13BC .求证：M 、N 、D 三点共线．设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？课后反馈旭光教育师生1对1。
2022年《向量共线定理》参考优秀教案2
教学反思
当与反方向时,令
假设,那么令
从而有一个实数,使,
假设有两个,使, ,那么,故
因为,所以
三、精讲点拨
例1、如图，△ABO中，C为直线AB上一点，〔-1〕.
求证：
分析:将条件中,用结论式中的表示,进而解出
证
四、矫正反应
五、迁移应用
如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于M，试用向量法证明：M是BD的一个三等分点。
向量的共线
教学
目标
1、理解两个向量共线的含义，能根据条件判断两个向量是否共线，
2、能运用它们证明简单的几何问题。
重点难点
两个向量共线的含义
向量共线与几何共线的区别
教学过程
一、问题情境：
问题：如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，
求证：与共线，并将用线性表示.
证：因为D,E分别为AB,AC的中点，
所以D
你能从这道题目中发现什么吗?
二、互动探究
向量共线定理：如果有一个实数,使,那么与是共线向量;反之,如果
与是共线向量,那么有且只有一个实数,使
证:由向量数乘的定义可知,对于向量和,如果有一个实数,
使,那么与是共线向量.
反过来,如果与是共线向量,
当与同方向时,令
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向量共线定理的证明
向量共线定理 向量 与非零向量 共线当且仅当有唯一一个实数 使得 = 。 证明：
（1） 首先需要证明如果 = ，那么，向量 与 共线。 由数乘向量的定义知：一般地，实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长
度和方向规定如下：○1 │ │=│ ││ │；○2 当 >0 时，
∴ = ，而这与 ≠ 的假设矛盾，由此证明 存在是唯一的。 把向量共线定理再表述一遍 ：
向量 与非零向量 共线当且仅当有
唯一一个实数 使得 = 。
精品文档
当 与 方向相同时，有 >0,使得 =
始终有一个
。
（3） 第三
存在的唯一性。
用反证法 ：
假设 ≠
；当 与 方向相反时，有 <0,使得 =
.所以
∵ = （（2）的结论）
= （（1）的证明假设前提条件“对于向量 （ ）、 ，如果有一个实数
，使得 = 那么， 与
一样大且 与 方向同。”）
∴=
∴=
∵ 是非零向量
；当 <0
时，
；当 =0 时， =0. 由此可知 平行（共线）。
对于向量 （ ）、 ，如果有一个实数 ，使得 = 那么， 与 一样大且 与 方向同。
所以， 与 共线。 （2） 第二需要证明如果向量 与 共线，那么， = 。
如果向量 与 共线，则向量 与 方向相同或相反。若 的长度是向量的 倍，ຫໍສະໝຸດ 则有│ │=│ ││ │；