向量共线定理的证明讲课教案

∴ = ，而这与 ≠ 的假设矛盾，由此证明 存在是唯一的。 把向量共线定理再表述一遍 ：
向量 与非零向量 共线当且仅当有
唯一一个实数 使得 = 。
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；当 <0
时，
；当 =0 时， =0. 由此可知 平行（共线）。
对于向量 （ ）、 ，如果有一个实数 ，使得 = 那么， 与 一样大且 与 方向同。
所以， 与 共线。 （2） 第二需要证明如果向量 与 共线，那么， = 。
如果向量 与 共线，则向量 与 方向相同或相反。若 的长度是向量
的 倍，
则有│ │=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ││ │；
当 与 方向相同时，有 >0,使得 =
始终有一个
。
（3） 第三
存在的唯一性。
用反证法 ：
假设 ≠
；当 与 方向相反时，有 <0,使得 =
.所以
∵ = （（2）的结论）
= （（1）的证明假设前提条件“对于向量 （ ）、 ，如果有一个实数
，使得 = 那么， 与
一样大且 与 方向同。”）
∴=
∴=
∵ 是非零向量
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向量共线定理的证明
向量共线定理 向量 与非零向量 共线当且仅当有唯一一个实数 使得 = 。 证明：
（1） 首先需要证明如果 = ，那么，向量 与 共线。 由数乘向量的定义知：一般地，实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长
度和方向规定如下：○1 │ │=│ ││ │；○2 当 >0 时，