《电动力学》第7讲§2.1静电场的标势

D E B H J E
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4
积分形式：
Ñ Egdl
l
d dt
S
BgdS
Ñ Hgdl
l
I
d dt
S
DgdS
Ò DgdS Q I＝ JgdS
S
S
Ò
S
BgdS
0 Q＝
V
dV
D E B H J E
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5
法向分量的跃变
f D2n D1n
gE / 0
引入： E
则有：
2 0
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静电势的微分方程
E 2
0
ρ为自由电荷密度。 上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松
（Poisson）方程。 给定边界条件就可以确定电势 的解。
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LORENTZ 力公式
对于带电粒子系统来说，若粒子电荷为q，速度为υ， 则J等于单位体积内qυ之和。把电磁作用力公式应用 到一个粒子上，得到一个带电粒子受电磁场的作用力
uv uv v uv F qE qv B
这公式称为洛仑兹力公式。
10
场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式
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本讲主要内容
静电场的标势 静电势的微分方程 静电势的边值关系 静电场能量
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静电场的标势
在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场 部分为
E 0
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gE
0
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静电场的标势
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静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于 无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电 场，和力学中用势函数描述保守力场的方法 一样。
《电动力学》第9讲
第二章 静电场(1)
§ 2.1 静电场的标势及其微分方程
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院
2016年10月9日
MAXWELL方程组
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uv
uv E
B
t uv
uv B
0
v J
0 0
E t
uv
gE
uv 0
gB 0
2
MAXWELL方程组
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电荷激发的电势为
(P)
Qi
i 4 0ri
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静电场的标势
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若电荷连续分布，电荷密
度为ρ ，设r为由源点x' 到场点x的距离，则场点x
处的电势为
(x)
1
4
0
(x)dV
r
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静电场的标势
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由上式，假如空间所有电荷分布都给定，电势 就确
定 ，因而电场 E 就完全确定。
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(P2) (P1)
P1 E dl P2 E dl
P2
P1
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静电场的标势
由定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的 电势的绝对数值是没有物理意义的。
因此，电场强度E 等于电势 的负梯度
E
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静电场的标势
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但是实际情况往往不是所有电荷分布都能够预先给定 的。
例如，在某一给定电荷附近放着一个导体，则导体表
面上就会产生感应电荷分布，这个电荷分布正是要从
电场与电荷相互作用的规律求出来，而不是预先给定
的。
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静电势的微分方程
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真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为：
E 0
能量守恒的积分形式是
Ñ S
dσ
f
vdV
d dt
wdV
,
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相应的微分形式为
S f v w . t
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电磁场能量密度和能流密度表示式
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Ñ S
dσ
f
vdV
d dt
wdV
,
S w f v. t
S 1 E B,
0
w
1 2
(0E2
1
0
B2 )
P P2n P1n f P 0 (E2n E1n )
B2n B1n
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切向分量的跃变
f H2t H1t M M 2t M1t f M (B2t B1t ) / 0
E1t E2t
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矢量形式
n (E2 E1) 0 n (H2 H1) α
无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的
环量等于零，
Ñ E dl 0
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静电场的标势
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设C1和C2为由P1点到P2点的任意两条不同路径。 C1与−C2合成闭合回路，因此
E dl E dl 0
C1
C2
E dl E dl 0
C1
C2
E dl E dl
ng(D2 D1)
ng(B2 B1) 0
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LORENTZ 力密度公式
若电荷连续分布，其密度为ρ，则电荷系统单位体积 所承受的力密度 f 为
v uv v uv
f EJB
洛仑兹把这结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作 用力，因此上式称为洛仑兹力密度公式。
C1
C2
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静电场的标势
因此，电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的 功与具体路径无关,只和两端点有关。
把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所 作的功为
W P2 E dl P1 17
静电场的标势
这功的定义为P1点和P2点的电势差。 若电场对电荷作了正功，则电势 下降。由此，
Qr
E 4
0 r3
其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向由
场点到无穷源点积分，把积分变数写为r'，
得
(r)
r
4
Q 0r2
dr
1
4
Q 0r
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静电场的标势
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由电场的叠加性，多个电荷激发的电势 等
于每个电荷激发的电势的代数和。设有一组
点电荷Qi ，与场点P的距离为ri ，则这组点
uv
uv v
B v
Ñ Egdl
l
uv v
Ñ Bgd l 0
l
I
s
t
gd S uv
00
s
E gd t
v S
ÒsÒsEuvBugvdwenku.baidu.comdSvSvQ00
Q dV
Vv v
I JgdS S
3
介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为：
E B t
H
J
D t
gD
gB 0
只有势的差值才有物理意义。
在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考点，规 定其上的电势为零，这样整个空间的电势就单值地确 定了。参考点的选取是任意的，在电荷分布于有限区 域的情况下，常常选无穷点作为参考点。令
(∞)=0， 则
(P) P E dl
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静电场的标势
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已知点电荷Q激发的电场强度为