10.2边值问题的格林函数法

本节作业
§10.2泊松方 程的狄氏问题
习题 10.2：1（2）
Wuhan University
Good-by!
§10.2泊松方 程的狄氏问题
Wuhan University
附：证明∫τ[uΔv− v源自u]dτ=∫σ(u
∂v ∂n
−v
∂u )dσ
∂n
G(M1, M2) = G(M2, M1)
⎧ΔG(M , M1) = −δ (M − M1)
⎧Δu = −h(M ) ⎩⎨u σ = g(M )
(1) 之解。
(2)
Wuhan University
一、格林公式
§10.2泊松方 程的狄氏问题
3、球面平均值公式
（1）定义
∫∫ u(r,t) = 1
u(M ,t)ds
π4 r 2 srM0
∫∫ = 1
u(M ,t)dΩ
4π srM0
r
•
M0
sM0 r
3、格林第二公式
=
∫σ
v
∂udσ
∂n
(4)
∫τuΔvdτ
−
∫τvΔudτ
=
∫σ
(u
∂v ∂n
−v
∂u )dσ
∂n
(5)
意义：(1) 将u, v, Δu, Δv的值与u, v, ∂v , ∂u 的边值联系起来 .
(2) u, v对称
∂n ∂n
(3) 若已知 v, Δv = 0, 及v σ , 则由格林公式可能求得
dσ 0
QG(M , M0) = G(M0, M )
Wuhan University
－狄氏积分公式
二、积分公式－格林函数法
§10.2泊松方 程的狄氏问题
2、狄氏积分公式的物理意义： 第一项：体内源产生的场的和。
第二项： 边界面上源产生的场的和。
3、(二维）狄氏积分公式 ⎧Δu(M) = −h(M) M ∈σ ⎩⎨u |l = f (M)
(4)
∫ ∫ σ
(G
∂u ∂n
−u
∂G )dσ
∂n
− u(M 0)
=
−
G(M
τ
, M 0)h(M
)dτ
将边界条件(2)(4)代入上式有:
∫ ∫ u(M 0 ) =
G(M
τ
,
M
0 )h(M
)dτ
−
σ
f (M ) ∂G dσ
∂n
∫ ∫ u(M ) =
G
τ
(M
,
M
0
)h(M
0
)dτ
0
−
σ
f
(M 0)
∂G ∂n0
⎧ΔG = −δ (M − M 0 ) (3)
⎩⎨G σ = 0
(4)
则(3) → G = 1 (10.3.4),
4π r
r=
(x − x0 )2 ( y − y0 )2 (z − z0 )2
[(1) ⋅G − (3) ⋅ u]在[τ −τε ]中积分有 :
∫ ∫ ∫ [GΔu −uΔG]dτ
τ −τε
= =
−h(M ) f (M )
,M
∈τ
(1) (2)
∫∫∫ ∫∫ u(M ) =
τ G(M , M 0 )h(M 0 )dτ 0 −
σ
f
(M
0
)
∂G ∂n0
dσ 0
(6)
⎧ΔG = −δ (M − M 0 ) (3)
⎩⎨G σ = 0
(4)
G(M , M0) = G(M0, M )
Wuhan University
Methods in Mathematical Physics
第十章格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
Wuhan University
第十章格林函数法
§10.2泊松方程的狄氏问题
Dirichlet Problem for the Poisoon’s Equations
G(M
τ
,M
0 )h(M
)dτ
Wuhan University
§10.2泊松方
二、积分公式－格林函数法 程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式
狄氏格林函数
⎪⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎪⎩⎨u σ = f ( M ) ( 2 )
⎧ΔG = −δ (M − M 0 ) (3)
⎩⎨G σ = 0
设u( x, y, z), v( x, y, z)在τ 中具有连续的二阶 导数，在 τ 上具有连续的一阶导数 ，则有
如下格林公式：
Wuhan University
一、格林公式
§10.2泊松方 程的狄氏问题
∫ ∫ 2、格林第一公式
uΔvdτ + ∇u ⋅∇vdτ
τ
τ
=
∫σ
u
∂v ∂n
dσ
(3)
∫τvΔudτ + ∫τ∇u ⋅∇vdτ
⎧Δu = −h(M ) , M ∈τ (1)
⎩⎨u σ = g(M )
(2)
Wuhan University
一、格林公式 1、为何引入格林公式
§10.2泊松方 程的狄氏问题
(1)积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将 未知函数从微分号下解脱出来
(2).我们要求解的三类数值 方程中均含有 Δ, 格林公式是将未知函数 ,从微分算符Δ下 解脱出来的工具.
Wuhan University
∫∫ ∫ u(M ) =
σ G (M , M 0 )h(M 0 )dσ 0 −
l
f
(M 0)
∂G ∂n0
dl 0
Wuhan University
三、小结：
§10.2泊松方 程的狄氏问题
1、
∫τuΔvdτ
− ∫τvΔudτ
=
∫σ
(u
∂v ∂n
− v ∂u )dσ
∂n
(5)
2、
⎪⎧ Δ u ⎪⎩⎨u σ
= τ −τε uδ (M − M0 )dτ −
Gh(M )dτ
τ −τε
对左边用格林第二公式有：
∫ ∫ ∫ (G ∂u − u ∂G )dσ
σ +σε ∂n
∂n
=
τ −τε uδ (M − M 0 )dτ −
Gh(M )dτ
τ −τ ε
∫ ∫ σ
(G
∂u ∂n
−u
∂G )dσ
∂n
−
u(M 0)
=
−
⎩⎨G(M , M1) σ = 0
(7) (8)
⎧ ΔG(M , M ⎩⎨G(M , M 2 )
2)
σ
= −δ
=0
(M
−
M2)
(9) (10)
∫ ∫∫τ [(7) ⋅G(M , M 2 ) − (9) ⋅G(M , M1)]dτ : ∫ ∫∫τ [G(M , M 2 ) ⋅ ΔG(M , M1) − G(M , M1) ⋅ ΔG(M , M 2 )]dτ
∫∫ ∫ = τ [−G(M , M 2 )δ (M − M1) + G(M , M1)δ (M − M 2 )]dτ
∫∫σ
[G(M
,
M
2
)
∂ ∂n
G
(
M
,
M
1
)
−G
(
M
,
M
1
)
∂ ∂n
G
(M
,
M
2
)
]
= −G(M1, M 2 ) + G(M 2 , M1)
(8), (10)
0 = −G(M1, M 2 ) + G(M 2 , M1) → G(M1, M 2 ) = G(M 2 , M1)
dΩ
=
ds r2
=
sinθ
dθ
dϕ
－u(M
,
t)在以M
0为中心，r为半径的球面
sM0 r
上的平均值。
（2）显然
u(M
0
,
t0
)
=
limu
r →0
(r,
t0
)
Wuhan University
§10.2泊松方
二、积分公式－格林函数法 程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式 M , M 0 ∈τ
⎪⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎪⎩⎨u σ = f ( M ) ( 2 )