2021年秋九年级数学上册人教版习题课件：第21章期末总复习
人教版九年级上册数学 21
人教版九年级上册数学21. 2.4一元二次方程根的判别式 专项训练一、填空题：1. 一元二次方程0422=-+y y 的根的情况是 ；2. 方程02)6(92=-++-m x m x 的两根相等，则_______=m ；3. 若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k______．4. 如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.5.已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m=_______,n=_______.二、选择题6．对于一元二次方程01532=-+y y ，下列说法正确的是 （ ）A 、 方程无实数根B 、方程有两个相等的实数根C 、 方程有两个不相等的实数根D 、方程的根无法确定7．方程x x 220-+=根的情况是 （ ）A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D. 没有实数根8. 若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）A 、 k ＜1B 、 k ≠0C 、 k ＜1且k ≠0D 、 k ＞19．如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是 （ ）A 、m ＜1B 、 0＜m ≤1C 、 0≤m ＜1D 、 m ＞010. 下列一元二次方程中，没有实数根的是A 、0122=-+x xB 、02222=++x x C 、0122=++x x D 、022=++-x x11.一元二次程0122=-+x x 的根的情况是( )A 、有两个不相等的实数根B 、没有实数根C 、有两个相等的实数根D 、不能确定12. 方程07)1(82=----k x k x 的一个根为零，则=k （ ）A 1- B163 C 4 D 7 13. 若方程0522=+-m x x 有两个相等实数根，则m = （ ）A ． 2-B 0C 2=D 81314. 关于x 的方程0)(242=---ab x b a x 的判别式是A. 2)(4b a +B. 2)(b a +C. 2)(b a -D. ab b a 4)(2--15. 关于x 的一元二次方程02322=-+-m x x 的根的情况是A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实数根D. 不能确定三、解答题16. 已知关于x 的方程x 2+mx+2m-n=0根的判别式的值为0，方程的一个根为1.求m 、n 的值.17．不解方程，判别方程根的情况（1）2y 2+5=6y (2)5（x 2+1）-7x=018.若关于x 的一元二次方22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.19. m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）没有实数根20.已知a、b、c为⊿ABC的三边，试判断关于x的方程=cb≠--的根的情况x+-b2(0))(2cbcax。
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习
第十九页，共二十二页。
课外作业
如OC图=，55AcmO，=5蚂0c蚁m，甲以2cm/sA P O
B
的速度(sùdù)从A爬到0，蚂蚁
乙以3的面积为
Q
300cm2?
12/11/2021
第二十页，共二十二页。
C
2021/12/11
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直接(zhíjiē)开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1
左边是完全(wánquán)平方式，右边是非负
数
解: (2x-1)=±1
两边(liǎngbiān)直接开平 方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
12/11/2021
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算出b 2-4ac的值，并 判断根的情况。
y=
(2)
121
3 代入求根公式x1•2 b
b2 4ac 2a
22
2
y = 1 2 3, 1 12/11/2021
y2= 1 3 2 第十三页，共二十二页。
四、因式分解 法 (yīn shìfēn jiě)
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
（3）得到形如： x = a . 的一元一次方程。
x x （4）写出方程的解
=1 ?
=?
2
12/11/2021
第九页，共二十二页。
典型例题(lìtí)讲解
例 用配方法解下列(xiàliè)方程
x2+6x=7
解 ：x26x7
x26x979
x32 16
x34
2021年初中九年级《数学(全国版)》-配套课件-第21章一元二次方程-本章整合
答:第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元.
知识构建导图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
专题归纳复习
中考聚焦体验
10
1.(2020·湖南怀化中考)已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的
实数根,则k的值为( C )
A.k=4
B.k=-4
力求解法简捷.一般来说,首先考虑分解因式法,其次若二次项及一
次项的系数容易配方,则选用配方法来解,否则选用公式法求解.
(1)解析:根据分解因式法,易知x1=0,x2=3.
答案:x1=0,x2=3
(2)解:观察方程的系数特点,可知该方程采用配方法或公式法求
解都比较简单.
原方程可化为x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,
答案:(1)答案不唯一,如x2=1
(2)C
跟踪训练
2 +1
1.若关于x的方程(a-1)
+5x=4是一元二次方程,则a=
-1
.
知识构建导图
专题一
专题二
专题三
专题归纳复习
中考聚焦体验
专题四
专题二:一元二次方程的解法
【例2】 (1)方程2x(x-3)=0的解是
;
(2)解方程:x2-2x-1=0.
分析在解一元二次方程时,应根据题目形式灵活选择合适的方法,
判断方程根的情况,也可在已知根的情况下求解字母系数的取值范
围,应用较广.另外,需要注意一元二次方程若有实数根,应包括“有
两个不相等的实数根”或“有两个相等的实数根”两种可能.
人教版九年级数学上册课件第21章 小结与复习
针对训练
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 系数是 -2 ，常数项是 0 .
，一次项
例2 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个 根为0，则m= -1 .
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定 会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为 未知数的方程m2-1=0，解得m=±1.这里应填-1.这种题的解题 方法我们称之为“有根必代”.
即3x-4=0，或x+2=0.
所以x1=
4 3
，x2=-2．
拓展：(x2-2x)2-5x2+10x+6=0．
解：方程整理得(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0，
换元法
设x2-2x=m，则原方程变为m2-5m+6=0，
解得m1=3，m2=2， 当m=3时，x2-2x=3，解得x=3或-1，
当m=2，x2-2x=2，解得x=1± 3，
5. 解下列方程： x2－2x=0；
解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2
x2－2x+2=0. 解：x2-2x+1=-1
(x-1)2=-1 方程无解
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产 品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能 售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成 本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应为多少?
解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
新人教版九年级数学第21章同步练习题及答案全套第二十一章 二次根式(复习课)
第21章 二次根式(复习课)◆随堂检测1、下列各式有意义的范围是x>3的为( ) A.3+x B.3-x C.31+x D.31-x2、计算的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43、mm m m m m 15462-+的值( ) A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负4、已知y<0．5、比较大小: ◆典例分析观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121=--1，32=-，同理可得从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算:+的值． 分析:由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解:原式……×=(2009-1)(2009+1)=2009-1=2008.◆课下作业●拓展提高1、下列二次根式中，最简二次根式是( )2、下列化简中，正确的是( )3、计算:2008200923)(23)⋅=_________．4、化简3232-+点拨:利用(32)(32)1=，可将分母化为有理式.53131+-a ，小数部分为b ，求22a ab b ++的值. 注意:正确求出a 和b 是解好本题的关键.6、已知53,53a b b c -=-=222a b c ab bc ca ++---的值.提示:由已知可先求出a c -(或c a -)的值,再将222a b c ab bc ca ++---转化为2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦代入即可得解. ●体验中考1、(2021年，荆州)已知a 为实数,2284a a a +--.(提示:首先要依据二次根式有意义的条件判定a 的值，然后再进行二次根式的加减运算.)2、(2021年，烟台)已知2,2a b ==,的值为( )A ．3B ．4C ．5D ． 6(点拨:222()2a b a b ab +=+-,而a b +=2)1ab ==,即,a b 的和与积比较简单,容易计算.)参考答案:◆随堂检测1、1、D 综合考虑被开方数是非负数且分母不为零,故选D.2、A 利用平方差公式即可.3、B 由题意得:0m >，∴原式350=+=-<，故选B.4、23x y - ∵y<02323x y x y ===-.5、解:=====∵3314172<<，∴<< ◆课下作业●拓展提高1、B 只有B 符合最简二次根式的要求.2、D 选项A 中0a <时不成立；选项B 和C 中，等号两边的值不相等.只有选项D 正确，故选D.3原式2008⎡⎤=⎣⎦=2008(1)-⋅=4、解:原式=+=5、解:2=又∵324<，∴3,(231a b ==+-=.∴2222()(21)433)10a ab b a b ab ++=+-=+-=+-=6、解:∵a b b c -=-=∴()()a b b c -+-=+=a c -=∴2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦=22211((53)(53)201822⎡⎤⎡⎤++-=++-+=⎣⎦⎣⎦. ●体验中考1、解:∵20a +≥且840a -≥且20a -≥,∴0a =,∴原式==2、C ∵a b +=2)1ab ==,∴2222()22118a b a b ab +=+-=-⨯=,5==.故选C.。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习题(答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键． 2．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠B ．1a ≥且5a ≠C ．1a ≥D ．1a <且5a ≠B解析：B【分析】 由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．3．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x =解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =， 故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．4．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-B ．1C ．17-D ．17B 解析：B【分析】根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441m n -+=-=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，34=-+，1=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．5．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．6．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．A ．6B ．3532C ．532D ．535D解析：D【分析】 仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为52，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．【详解】解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为255045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭， ∴57525352⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．7．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．0B【分析】把0x =代入，求出a 的值即可．【详解】解：把0x =代入可得210a -=，解得1a =±，∵一元二次方程二次项系数不为0，∴1a ≠，∴1a =-，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．8．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn 的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1C 解析：C【分析】先把已知条件变形得到a 2+ (m +n ) a +mn ﹣2＝0，b 2+( m +n ) b +mn ﹣2＝0，则可把a 、b 看作方程x 2+( m +n ) x +mn ﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab ＝mn ﹣2，从而得到ab ﹣mn 的值．【详解】解：∵(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，∴a 2+( m +n )a +mn ﹣2＝0，b 2+( m +n )b +mn ﹣2＝0，而a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，∴可以把a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两个实数根，∴ab ＝mn ﹣2，∴ab ﹣mn ＝﹣2．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，把“a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两实数根”是解题关键．9．一元二次方程x 2=4x 的解是（ ）A ．x=4B ．x=0C ．x=0或-4D ．x=0或4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明解析：D【分析】先移项，利用因式分解法解一元二次方程.【详解】解：x 2=4xx 2-4x=0x （x-4）=0x=0或x=4，故选：D.【点睛】此题考查解一元二次方程，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.10．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根B解析：B【分析】求出根的判别式，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵△＝b 2﹣4ac ＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 二、填空题11．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．12．一元二次方程（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4化为一般形式可得_________．x2﹣5x ﹣7＝0【分析】利用多项式乘多项式的法则展开再利用等式的性质进行移项合并进行计算【详解】（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4x2﹣2x ﹣3＝3x ＋4x2﹣5x ﹣7＝0故答案是：x2﹣5x ﹣7＝0解析：x 2﹣5x ﹣7＝0 ．【分析】利用多项式乘多项式的法则展开，再利用等式的性质进行移项、合并，进行计算．【详解】（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4，x 2﹣2x ﹣3＝3x ＋4，x 2﹣5x ﹣7＝0．故答案是：x 2﹣5x ﹣7＝0．【点睛】本题考查一元二次方程的变形，属于基础题型．13．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则11a b+=_____．【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值再对代数式变形整体代入即可【详解】解：∵ab 是方程的两个实数根∴∴故答案为：【点睛】本题考查根与系数关系熟记根与系数关系的公式是解题关键 解析：22019【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值，再对代数式11a b+变形整体代入即可． 【详解】解：∵a ，b 是方程2220190+-=x x 的两个实数根，∴2a b +=-，2019ab =-，∴112220192019a b a b ab +-+===-． 故答案为：22019． 【点睛】 本题考查根与系数关系．熟记根与系数关系的公式是解题关键．14．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 15．如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，竖彩条的宽度为________．3cm 【分析】设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 根据如果要使彩条所占面积是图案面积的19可列方程求解【详解】解：设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 则（30-3x ）（20-2x ）= 解析：3cm【分析】设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，根据“如果要使彩条所占面积是图案面积的19%”，可列方程求解．【详解】解：设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则（30-3x ）（20-2x ）=20×30×（1-19%），解得x 1=1，x 2=19（舍去）．所以3x=3．答：竖彩条的宽度是3cm ．故答案为：3cm【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．16．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114x =，22x =- 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．【详解】解：()422x x x +=+ ()()4220x x x +-+=()()4120x x -+=114x =，22x =-． 故答案是：114x =，22x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．17．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人根据经过两轮传染后共有81人患了流感可求出x 进而求出第三轮过后共有多少人感染【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人由题意可列得解得（舍去）即每轮传解析：729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，可求出x ，进而求出第三轮过后，共有多少人感染．【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人，由题意可列得，()1181x x x +++=，解得18x =，210x =-（舍去），即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人，经过三轮传染后患上流感的人数为：81881729+⨯=（人）.故答案为：729.【点睛】本题考查理解题意的能力，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人，然后求出三轮过后，共有多少人患病．18．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x 步，列出方程_______．x （16-x ）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x ）步再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程【详解】解：矩形的长为x 步则宽为（16-x ）步∴x （16-x ）=60解析：x （16-x ）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x ）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程．【详解】解：矩形的长为x 步，则宽为（16-x ）步，∴x （16-x ）=60．故答案为：x （16-x ）=60【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ．∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 20．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=， ∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题21．（1）x 2﹣8x+1＝0；（2）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．解析：（1）x 1＝x 2＝4﹣2）x 1＝2，x 2＝6．【分析】（1）先配方、然后运用直接开平方求解即可；（2）先将等式右边因式分解，然后移项，最后用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）x 2﹣8x+1＝0，x 2﹣8x ＝﹣1，x 2﹣8x+16＝﹣1+16，（x ﹣4）2＝15，∴x ﹣4＝∴x1＝x 2＝4（2）∵2（x ﹣2）2＝x 2﹣4，∴2（x ﹣2）2﹣（x+2）（x ﹣2）＝0，则（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，∴x ﹣2＝0或x ﹣6＝0．解得x 1＝2，x 2＝6．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．22．解方程：（1）26160x x +-=．（2）22430x x --=．解析：（1）18x =-，22x =；（2）122x +=，222x =． 【分析】（1）运用因式分解法求解即可；（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）26160x x +-= ()()820x x +-=解得18x =-，22x =．（2）22430x x --=，∵2a =，4b =-，3c =-，∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，x ===∴1x =，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性．23．设,a b 是一个直角三角形的两条直角边的长，且()()2222112a ba b +++=，求这个直角三角形的斜边长c 的值．【分析】对题目中所给的条件进行变形，利用整体思想求解出22a b +的值，从而结合勾股定理求解斜边长即可．【详解】由题意得()()22222120a b a b +++-=， ()()2222340a b a b +∴+-+=223a b ∴+=或224a b +=-(不合题意，舍去）则2223c a b =+=c ∴=负舍）．【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理的应用，能够准确从条件中求解出直角边的平方和是解题关键．24．（1）用配方法解：221470x x --=；（2）用因式分解法解：()()222332x x -=-．解析：（1）172x +=，272x -=；（2）x 1=1，x 2=-1． 【分析】（1）先移项，把二次项系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进而开平方解方程即可得答案；（2）先根据完全平方公式把方程两边展开，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可得答案．【详解】（1）221470x x --=移项得：2x 2-14x=7，二次项系数化为1得：x 2-7x=72， 配方得：x 2-7x+27()2=72+27()2，即（x-72）2=634，开平方得：x-72=，解得：172x +=，272x -=． （2）()()222332x x -=-展开得：4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得：5x 2-5=0，分解因式得（x+1）(x-1)=0，解得：x 1=1，x 2=-1．【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 25．解方程：2420x x ++=．解析：12x =-22x =-【分析】方程利用配方法求出解即可．【详解】∵2420x x ++=，∴242x x +=-，∴24424x x ++=-+，∴()222x +=， ∴2x =-±∴12x =-22x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 26．解方程：（1）x 2+6x ﹣2＝0．（2）（2x ﹣1）2＝x （3x +2）﹣7．解析：（1）x 1＝﹣，x 2＝﹣3；（2）x 1＝2，x 2＝4．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程整理后，利用分解因式分解法求出解即可．【详解】解：（1）方程整理得：x 2+6x ＝2，配方得：x 2+6x +9＝11，即（x +3）2＝11，开方得：x +3＝，解得：x 1＝﹣，x 2＝﹣3（2）方程整理得：x 2﹣6x +8＝0，分解因式得：（x ﹣2）（x ﹣4）＝0，可得x ﹣2＝0或x ﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．27．用适当的方法解一元二次方程：（1）()229x -=；（2）2230x x +-=．解析：（1）15=x ，21x =-；（2）13x =-，21x =【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1）∵()229x -=，∴23x -=±，∴23x -=或23x -=-，∴15=x ，21x =-．（2）∴ 1a =，2b =，3c =-，则()22413160=-⨯⨯-=>△， ∴2162x -±=， 即13x =-，21x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程．通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．公式法解一元二次方程的一般步骤，把方程化为一般形式确定各系数的值利用242b b c aa -±- 求解． 28．如图，在ABC 中，13AB AC ==厘米，10BC =厘米，AD BC ⊥于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动．设动点运动时间为t 秒．（1）求AD 的长；（2）当PDC △的面积为15平方厘米时，求t 的值；（3）动点M 从点C 出发以每秒2厘米的速度在射线CB 上运动．点M 与点P 同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得112PMD ABCS S=？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t的值为2或或得S△PMD=112S△ABC．【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×12=15即可求出t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2-CD2∴AD=12cm．（2）AP=t，PD=12-t，又∵由△PDM面积为12PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S△PMD=112S△ABC．①若点M在线段CD上，即0≤t≤52时，PD=12-t，DM=5-2t，由S△PMD=112S△ABC，即12×(12−t)(5−2t)＝5，2t2-29t+50=0解得t1=12.5（舍去），t2=2．②若点M在射线DB上，即52≤t≤12．由S△PMD=112S△ABC得12(12−t)(2t−5)＝5，2t2-29t+70=0解得 t 1，t 2综上，存在t的值为2或或，使得S△PMD=112S△ABC．【点睛】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》习题(答案解析)(1)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．x = ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=C解析：C【分析】 根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【详解】A 、22730x x ++=的解为722x -±=⨯，不符合题意；B 、22730x x --=的解为x =C 、22730x x +-=的解为722x -±=⨯，符合题意；D 、22730x x -+=的解为x =故选：C ．【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 3．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠D解析：D【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.【详解】是一元二次方程， 0k ∴≠．有两个不相等的实数根，则Δ0>，2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，解得1k >-．1k ∴>-且0k ≠．故选D【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.4．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16B 解析：B【分析】设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b 关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴影面积即可.【详解】图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，设大正方形边长为a ，小正方形的边长为b ，∴a -b +2=b ，如图2，阴影部分面积=a 2-2b 2+(b -2a b -)2=44，解得：b =6，∴a =10， 如图3，两个小正方形重叠部分的面积=()2b b a ⨯-=12．故答案为：B ．【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2104x x -+= B ．2390x x ++= C ．2250x x -+= D ．25130x x -=D 解析：D【分析】先把各方程化为一般式，再分别计算方程根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、()221414104b ac =-=--⨯⨯=，方程有两个相等的两个实数根； B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<，方程没有实数根；C 、()2242415160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程没有实数根；D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的两个实数根； 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．(2)(2)0x x -+=B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++=D 解析：D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得．【详解】A 、由因式分解法得：122,2x x ==-，此项不符题意；B 、由直接开平方法得：120x x ==，此项不符题意；C 、由直接开平方法得：121x x ==，此项不符题意；D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=，此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<，则此方程没有实数根，此项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各解法是解题关键．7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（ ）A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长D ．线段DF 的长B解析：B【分析】 根据勾股定理求出BF ，利用求根公式解方程，比较即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD 中，由勾股定理得，2224BD BC CD a =+=+，∴BF=24a a +-， 解方程2240x ax +-=得22241642x a a a a -±+=±=-+， ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．8．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．A ．6B ．32C ．2D ．5D解析：D【分析】 仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为52，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．【详解】解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为255045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭， ∴5252⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．9．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．14mC ．14m <D ．14m >B 解析：B【分析】 由方程有实数根即△＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得．【详解】解：根据题意得，△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0，解得：14m， 故选：B ．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 10．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x +=D 解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二、填空题11．已知12,x x 是一元二次方程21402x mx m -+-=的两个实数根且12111x x +=，则m 的值为______．-8【分析】先利用根与系数的关系得到再把变形为从而代入得到方程解之即可【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根∴∵∴即解得：m=-8故答案为：-8【点睛】本题考查了根与系数的关系根据根与系数的关系找 解析：-8【分析】先利用根与系数的关系得到12x x m +=，12142x x m ⋅=-，再把12111x x +=变形为1212x x x x +=，从而代入得到方程，解之即可．【详解】解：∵12,x x 是一元二次方程21402x mx m -+-=的两个实数根， ∴12x x m +=，12142x x m ⋅=-， ∵12111x x +=， ∴1212x x x x +=，即142m m =-， 解得：m=-8，故答案为：-8．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出12x x m +=，12142x x m ⋅=-是解题的关键． 12．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）249【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公解析：49814 92 【分析】运用配方法的运算方法填写即可．【详解】解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x 2-9x+814=（x-92）2， 故答案为：814，92． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．13．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．14．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________．；【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1mn=-2将其代入中即可求出结论【详解】解：∵方程x2+x ﹣2＝0的两个根分别为mn ∴m+n ＝﹣1mn ＝﹣2故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系牢 解析：12； 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ，∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2， 111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：12 ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a是解题的关键． 15．某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．3【分析】设共有个班级参加比赛根据共有45场比赛列出方程求出方程的解即可得到结果【详解】解：设共有个班级参加比赛根据题意得：整理得：即解得：或（舍去）则共有3个班级球队参加比赛故答案为：3【点睛】此解析：3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛， 根据题意得：(1)62x x -=， 整理得：260x x --=，即(3)(2)0x x -+=， 解得：3x =或2x =-（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”． 16．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=4x2=2再利用三角形三边的关系得到x=4然后根据勾股定理的逆定理进行判断【详解】解：x2-6x+8=0（x-4）（x-2）=0x-4=0或x-2=解析：直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=4，x 2=2，再利用三角形三边的关系得到x=4，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．【详解】解：x2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0，x-4=0或x-2=0，所以x1=4，x2=2，∵两边长分别为3和5，而2+3=5，∴x=4，∵32+42=52，∴这个三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、勾股定理的逆定理和三角形三边的关系，熟练掌握相关的知识是解题的关键．17．一元二次方程x2=2x的解为__________0或2【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可【详解】解：x2=2xx2-2x=0x（x-2）=0x=0x-2=0x=0或2故答案为：0或2【点睛】本题考查了解一元二次方程的应解析：0或2．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x2=2x，x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0，x-2=0，x=0或2．故答案为：0或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．18．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．10【分析】设这个百分率为x然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解：设这个百分率为x由题意得：300（1-x）2=243解得x=10或x=190（舍）故答案为10【点睛】本题主要考查了一解析：10%【分析】设这个百分率为x%，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可．【详解】解：设这个百分率为x%，由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．故答案为10%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键．19．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案【详解】解：∵是方程的两根∴故答案为：4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键解析：4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-32，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵a ，b 是方程22430x x +-=的两根， ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．20．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________．—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系解题的关键是根据公式正确计算解析：—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可.【详解】∵1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，∴122x x +=，125x x =，∴()()2222112*********x x x x x x x x ++++=+-=-=， 故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是根据公式正确计算.三、解答题21．关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=． （1）判断方程根的情况，并说明理由．（2）若1x =是方程的一个根，求k 的值和方程的另一根．解析：（1）有两个实数根，证明见解析；（2）1k =，2x =【分析】（1）利用根的判别式进行判断根的情况，即可得到答案；（2）把1x =代入方程，即可求出k 的值，然后解一元二次方程，即可得到另一个根．【详解】解：（1）根据题意，在一元二次方程()2220x k x k -++=中， ∵2(2)42k k ∆=+-⨯，244k k =-+，2(2)0k =-，∴对于任意的实数k ，原方程总有两个实数根．（2）∵1x =是方程2(2)20x k x k -++=的一个根．∴1(2)120k k -+⨯+=，解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，∴原方程的另一根为22x =．【点睛】 本题考查了解一元二次方程以及根的判别式，牢记当0∆≥时方程有两个实数根是解题的关键．22．水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．（1）设这种水果每斤的售价降低x 元（02x ≤≤），每天的销售量为y 斤，求y 与x 的关系式；（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 解析：（1）300150y x =+；（2）只需将每斤的售价降低1元．【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．【详解】（1）当02x ≤≤时，150303001500.1x y x =+⨯=+ （2）由题意得：()()64300150450x x --+=解得：112x =，21x = 当12x =时，13001503003602y =⨯+=<（舍去） 当1x =时，3001150450360y =⨯+=> ∴只需将每斤的售价降低1元．【点睛】本题考查了理解解题的能力，销售量×每斤利润=总利润，掌握利润公式是解题的关键． 23．解方程：2420x x ++=．解析：12x =-22x =-【分析】方程利用配方法求出解即可．【详解】∵2420x x ++=，∴242x x +=-，∴24424x x ++=-+，∴()222x +=， ∴2x =-±∴12x =-22x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 24．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件200元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低1元，月销售件数就增加2件．（1）已知该农产品的成本是每件100元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件200元，买五送一，在(1)的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？解析：（1）售价应定为150元；（2）选择在线上购买更优惠【分析】（1）设售价应定为x 元，则每件的利润为()100-x 元，月销售量为(5002)-x 件，列出方程计算即可；（2）分别算出线上购买和线下购买的费用，再进行比较即可；【详解】解：(1)当售价为200元时月利润为()2001001001000-⨯=(元)．设售价应定为x 元，则每件的利润为()100-x 元，月销售量为2001002(5002)1x x -+⨯=-件， 依题意，得：()()100500210000x x --=，整理，得：2350300000--=x x ，解得：1150x =，2200x =(舍去)．答：售价应定为150元．(2)线上购买所需费用为150385700⨯=(元)；∵线下购买，买五送一，∴线下超市购买只需付32件的费用，∴线下购买所需费用为200326400⨯=(元)．57006400<．答：选择在线上购买更优惠．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键．25．解方程：（1）x 2+6x ﹣2＝0．（2）（2x ﹣1）2＝x （3x +2）﹣7．解析：（1）x 1＝﹣，x 2＝﹣3；（2）x 1＝2，x 2＝4．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程整理后，利用分解因式分解法求出解即可．【详解】解：（1）方程整理得：x 2+6x ＝2，配方得：x 2+6x +9＝11，即（x +3）2＝11，开方得：x +3＝，解得：x 1＝﹣，x 2＝﹣3（2）方程整理得：x 2﹣6x +8＝0，分解因式得：（x ﹣2）（x ﹣4）＝0，可得x ﹣2＝0或x ﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．26．请回答下列各题：（1）先化简，再求值：2319369x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中3x =． （2）已知关于x 的方程2320x x m +-=没有实数根，求实数m 的取值范围． 解析：（1）13-；（2）13m <-． 【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可，求值时注意分母有理化.（2）根据方程没有实数根，可知∆<0，进而求得m 得取值范围.【详解】（1）由题意得：原式23193(3)x x x x x x +--⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭2(3)(3)(1)(3)(3)9x x x x x x x x ⎡⎤+----=⨯⎢⎥--⎣⎦2229(3)(3)9x x x x x x x --+-=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯--3x x-=． 3x =，∴原式333331333--===-． （2）该方程没有实数根，2242430b ac m ∴∆=-=+⨯⨯<，故4120m +<，解得13m <-． 【点睛】本题考查分式的混合运算以及一元二次方程根的判别，熟练掌握分式运算法则以及根的判别公式是解题关键.27．用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2800cm 时，该盒子的高．解析：（1）18000cm 3；（2）15cm【分析】（1）根据图中给出的信息，设四个相同的小正方形边长为x ，先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据底面积=900即可得到方程，求解即可；（2）该盒子的高为y ，根据底面积为800列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设四个相同的小正方形边长为x ，由题意可得：（70-2x ）2=900，解得：x 1=20，x 2=50（舍），∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3；（2）设该盒子的高为y ， 根据题意得：()7027028002y y -⨯-=， 解得：y 1=15，y 2=55（舍）， 因此当底面积是800平方厘米时，盒子的高是15厘米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答．28．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1和点()1,1-（1）求一次函数的表达式；（2）若点()222,a a +在该一次函数图象上，求a 的值；（3）已知点()()1122,,,A x y B x y 在该一次函数图象上，设()()1212m x x y y =--，判断正比例函数y mx =的图象所在的象限，说明理由．解析：（1）21y x =-+；（2）a 的值是－1或－3；（3）在第二、四象限．【分析】（1）把点()0,1和点()1,1-两点坐标分别代入一次函数y kx b =+，进而求得k 、b 的值，即可求出一次函数的表达式；（2）将点()222,a a +代入一次函数21y x =-+，即可求得a 的值；（3）根据点()()1122,,,A x y B x y 在一次函数21y x =-+图象上，由()()1212m x x y y =--可得()()()212121222112m x x x x x x =--+=--+-，据此可以判断m 的取值，结合正比例函数的性质解答即可．【详解】解：（1）∵一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1和点()1,1-，根据题意得： 11b k b =⎧⎨-=+⎩， 解得21k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的表达式为21y x =-+；（2）∵点()222,a a +在一次函数21y x =-+的图象上，∴22(22)1a a =-++，解得1a =-或3a =-，即a 的值是－1或－3；（3）正比例函数y mx =的图象在第二、四象限．理由：∵点()()1122,,,A x y B x y 在一次函数21y x =-+图象上，()()1212m x x y y =--，∴()()()212121222112m x x x x x x =--+=--+-， ∴m ＜0，∴正比例函数y mx =的图象在第二、四象限．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．。
人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习课件(共25张PPT)
2018/6/30
判别式的用处
1.不解方程.判别方程根的情况, 2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数 的值或取值范围, 3.进行有关的证明,
2018/6/30
一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
x1+x2=
b a
,
x1x2=
2018/6/30
本章知识结构图
实际问题
设未知数，列方程
数学问题 2 ax bx c 0 a 0
配方法 公式法
解 方 程
降 次
检验
因式分解 法
实际问题的答案
2018/6/30
数学问题的解
b b2 4ac 2 x b 4ac≥0 2a
定义及一般形式:
二次 只含有一个未知数,未知数的最高次数是______
整 的___式方程 ,叫做一元二次方程。
一般形式:
ax2+bx+c=o (a≠o)
.
2018/6/30
1.直接开平方法
对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可以 用直接开平方法解
解方程： （1） 3 (x
（2）
c a
.
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回顾与复习 5
解应用题
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
初中数学人教版九年级上册 21
化简二次根式的步骤：
1、把被开方数分解因式(或因数) ；
2、 把各因式(或因数)积的算术平方 根化为每个因式(或因数)的算术平 方根的积； 3、如果因式中有平方式(或平方
数 a) 2 ，a(a 应0) 用 关 系 式
把这个因式(或因数)开出来，将 二次根式化简。
练习 1.下列运算正确的是 A
[]
2
2
ab a b
积的算术平方根,等于 积中各因式的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
例2.化简： （1）1681；（2） 2000;
解 : (1) 16 81 16 81 49 36
(2) 2000 102 22 5
102 22 5 10 2 5 20 5
想一想？ (4)(9) (4) (9)
如图，将一个正方形分割成面积分别为S
和2S的两个小正方形和两个小长方形，
求图中每个长方形的面积。
分析：图中每个长
2 S
S
方形的相邻两边的 长分别是面积为的S 和2S的两个S 小正2S 方 形的边长，即
和 ，其中S>0,
由此可知每S 个 长2S方
形的面积是
如何S计 算2S 呢？
——乘 法
ab a • b（a ≥0 ， b≥0）
(a 0,b 0....k 0)
例题1 计算：
（1）3
×5
（2）1
3
× 27
解：
（1）3 × 5 ＝ 35 ＝ 15
（2） 1 × 27 ＝ 1 27
3
3
＝ 9 ＝3
练习:计算
(1) 6 7
(2) 1 32 2
解:
(1) 6 7 6 7 42
(2) 1 32 1 32 16 4
人教版数学九年级上册第二十一章《第二十一章章末复习》名师教案
第21章一元二次方程章末回忆〔胡雯雯〕一.本章思维导图.二.典型例题.例1.用适当方法解以下一元二次方程.1.〔2x＋1〕2=2x＋1．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：∵〔2x＋1〕2－〔2x＋1〕=0，∴〔2x＋1〕〔2x＋1－1〕=0，即2x〔2x＋1〕=0，那么x=0或2x＋1=0，解得：x1=0或x2=12 -．【思路点拨】因式分解法求解可得．【答案】x1=0或x2=12 -．2. x2－4x＋1=0【知识点】解一元二次方程－配方法. 【解题过程】解：∵x2－4x＋1=0，∴x2－4x=－1，∴x 2－4x ＋4=4－1，⇒〔x －2〕2=3，⇒2x -=∴2x =±解得122x x ==【思路点拨】此题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【答案】122x x ==3. 4x 2－3=12x【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：原方程整理为：4x 2－12x －3=0，∵a=4，b=－12，c=－3，∴∆=144－4×4×〔－3〕=192＞0，那么x=123=82±±． 【思路点拨】利用公式法求解可得．【答案】32x ±= 4. x 2＋x －2=0．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：分解因式得：〔x －1〕〔x ＋2〕=0，可得x －1=0或x ＋2=0，解得：x 1=1，x 2=－2．【思路点拨】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】x 1=1，x 2=－2．例2.关于x 的一元二次方程〔a ＋c 〕x 2＋2bx ＋〔a －c 〕=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．〔1〕如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；〔2〕如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【知识点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理.【解题过程】解：〔1〕∵方程有两个相等的实数根，∴〔2b〕2－4〔a＋c〕〔a－c〕=0，∴4b2－4a2＋4c2=0，∴a2=b2＋c2，∴△ABC是直角三角形；〔2〕∵当△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∵〔a＋c〕x2＋2bx＋〔a－c〕=0，∴2ax2＋2ax=0，∴x1=0，x2=－1．【思路点拨】〔1〕利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；〔2〕利用△ABC是等边三角形，那么a=b=c，进而代入方程求出即可．【答案】〔1〕△ABC是直角三角形；〔2〕x1=0，x2=－1．例3. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克到达一定的单价时，政府将投入储藏猪肉以平抑猪肉价格．〔1〕从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购置2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？〔2〕5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储藏猪肉并规定其销售价在每千克40元的根底上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储藏猪肉，该超市在非储藏猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储藏猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：〔1〕设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×〔1+60%〕x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；〔2〕设5月20日猪肉总销量为1，那么5月21日两种猪肉的总销量为1+a%.根据题意得：40〔1﹣a%〕×34〔1+a%〕+40×14〔1+a%〕=40〔1+110a%〕， 令a%=y ，原方程化为：40〔1﹣y 〕×34〔1+y 〕+40×14〔1+y 〕=40〔1+110y 〕， 整理得：5y 2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0〔舍去〕，那么a%=0.2，∴a=20；【思路点拨】〔1〕设今年年初猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；〔2〕设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【答案】〔1〕25元；〔2〕20.章末检测题一．选择题1．有以下关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c=0，②3x 〔x －4〕=0，③x 2＋y －3=0，④21x ＋x=2，⑤x 3－3x ＋8=0，⑥12x 2－5x ＋7=0，⑦〔x －2〕〔x ＋5〕=x 2－1．其中是一元二次方程的有〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4D ．5 【知识点】一元二次方程的定义.【解题过程】解：一元二次方程有②⑥，共2个，【思路点拨】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【答案】A ．2．假设m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，那么2021－m 2＋5m 的值是〔 〕A ．2021B ．2021C ．2021D ．2021【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，∴m 2－5m=2，∴2021－m 2＋5m=2021－〔m 2－5m 〕=2021－2=2021．【思路点拨】把m 代入方程得出m 2－5m=2，再代入到2021－m 2＋5m 即可求解．【答案】B ．3．一元二次方程4x2－2x＋14=0的根的情况是〔〕A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【知识点】根的判别式.【解题过程】解：在方程4x2－2x＋14=0中，∆=〔－2〕2－4×4×14=0，∴一元二次方程4x2－2x＋14=0有两个相等的实数根．【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出∆=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【答案】B．4．一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为〔〕A．〔x－3〕2=15 B．〔x－3〕2=3 C．〔x＋3〕2=15 D．〔x＋3〕2=3【知识点】解一元二次方程－配方法.【解题过程】解：方程整理得：x2－6x=6，配方得：x2－6x＋9=15，即〔x－3〕2=15，【思路点拨】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【答案】A.5．x=2是关于x的方程x2－〔m＋4〕x＋4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，那么△ABC的周长为〔〕A．6 B．8 C．10 D．8或10【知识点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质.【解题过程】解：把x=2代入方程x2－〔m＋4〕x＋4m=0得4－2〔m＋4〕＋4m=0，解得m=2，方程化为x2－6x＋8=0，解得x1=4，x2=2，因为2＋2=4，所以三角形三边为4、4、2，所以△ABC的周长为10．【思路点拨】先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2－〔m＋4〕x＋4m=0得m=2，那么方程化为x2－6x＋8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．【答案】C．6. 新年里，一个小组有假设干人，假设每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，那么全组送贺卡共72张，此小组人数为〔〕A．7 B．8 C．9 D．10【考点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设这个小组有x人，那么根据题意可列方程为：〔x﹣1〕x=72，解得：x1=9，x2=﹣8〔舍去〕．【思路点拨】设这个小组的人数为x个，那么每个人要送其他〔x﹣1〕个人贺卡，那么共有〔x﹣1〕x张贺卡，等于72张，由此可列方程．【答案】C．7.如图，是用4个一样的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，假设用x，y表示小矩形的两边长〔x＞y〕，请观察图案，指出以下关系式中不正确的选项是〔〕A．x+y=7 B．x﹣y=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用〔x+y〕来表示，故x+y=7正确；B、因为矩形长和宽的差为中间小正方形的边长，即x﹣y=2，故B选项是正确的；C、x2+y2=〔x+y〕2﹣2xy=49﹣2×454=532，故x2+y2=25是错误的；D、由B可知4xy+4=49．应选C．【思路点拨】此题中正方形图案的边长7，同时还可用〔x+y〕来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是〔x+y〕2，还可以是〔4xy+4〕，接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．【答案】C8．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2021年为10.8万人次，2021年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，那么〔〕A．10.8〔1＋x〕=16.8 BC．10.8〔1＋x〕2=16.8 D．10.8[〔1＋x〕＋〔1＋x〕2【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8〔1＋x〕2=16.8，【思路点拨】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×〔1＋增长率〕2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．【答案】C．9．中国古代数学家杨辉的?田亩比类乘除捷法?有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？〞意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多〔〕A．12步B．24步C．36步D．48步【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设矩形田地的长为x步〔x＞30〕，那么宽为〔60－x〕步，根据题意得：x〔60－x〕=864，整理得：x2－60x＋864=0，解得：x=36或x=24〔舍去〕，∴x－〔60－x〕=12．【思路点拨】设矩形田地的长为x步〔x＞30〕，那么宽为〔60－x〕步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x－〔60－x〕中，即可求出结论．【答案】A．10．假设关于x的方程kx2－3x－94=0有实数根，那么实数k的取值范围是〔〕A．k=0 B．k≥－1且k≠0C．k≥－1 D．k＞－1【知识点】根的判别式.【解题过程】解：当k=0时，方程化为－3x－94=0，解得x=34；当k≠0时，Δ=〔－3〕2－4k•〔－94〕≥0，解得k≥－1，所以k的范围为k≥－1．【思路点拨】讨论：当k=0时，方程化为－3x－94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=〔－3〕2－4k•〔－94〕≥0，然后求出两个中情况下的k的公共局部即可．【答案】C．11．关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，那么a－b的值为〔〕. A．3 B.1 C .－1 D.2【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，∴b2－ab＋b=0，∵－b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b－a＋1=0，∴a－b=1．【思路点拨】由于关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，那么代入方程中即可得到b2－ab＋b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【答案】B．2－4x＋1=0的两根是x1，x2，那么x1〔1＋x2〕＋x2的值为〔〕．A．4 B.5 C .6 D.7【知识点】根与系数的关系.【解题过程】解：根据题意得x1＋x2=4，x1x2=1，所以x1〔1＋x2〕＋x2=x1＋x1x2＋x2=x1＋x2＋x1x2=4＋1=5．【思路点拨】先根据根与系数的关系得到x1＋x2=4，x1x2=1，然后把x1〔1＋x2〕＋x2展开得到x1＋x2＋x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．【答案】B．二．填空题13．一元二次方程－12x2＋4x=3的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为．【知识点】一元二次方程的一般形式.【解题过程】解：－12x2＋4x=3，－12x2＋4x－3=0，∵二次项系数是-12，一次项系数是4，常数项是-3，∴-12×4×〔－3〕=6，【思路点拨】移项，化成一元二次方程的一般形式，找出各个项系数，即可得出答案．【答案】6．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20－20×2x－30x＋2x•x=532，整理，得：x2－35x＋34=0．【思路点拨】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【答案】x2－35x＋34=0．15．假设方程3x2－5x－2=0有一根是a，那么6a2－10a=．【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：由题意，把是a的根代入3x2－5x－2=0，得：3a2－5a=2，∴2×〔3a2－5a〕=2×2，∴6a2－10a=4．【思路点拨】将a代入方程3x2－5x－2=0，得到3a2－5a=2，等式的两边都扩大为原来的2倍，问题可求．【答案】4.16．整数k＜5，假设△ABC的边长均满足关于x的方程x2－x＋8=0，那么△ABC的周长是．【知识点】根的判别式；解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系.【解题过程】解：根据题意得k≥0且〔3〕2－4×8≥0，解得k≥329，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．【思路点拨】根据题意得k≥0且〔2－4×8≥0，而整数k＜5，那么k=4，方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【答案】6或12或10．17．现定义运算“☆〞，对于任意实数a、b，都有a☆b=a2－3a＋b，假设x☆2=6，那么实数x 的值是．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：x☆2=6，x 2－3x ＋2=6，x 2－3x －4=0，〔x －4〕〔x ＋1〕=0，x －4=0，x ＋1=0，x 1=4，x 2=－1，【思路点拨】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【答案】4或－1．18．x=2b -b 2－4c ＞0〕，那么x 2＋bx ＋c 的值为 ． 【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：∵b 2－4c ＞0〕， ∴x 2＋bx ＋c=2＋b ＋c=22244b b c --＋22b -+ c=222242244b bc b c ---+ =0．【思路点拨】把x 的值代入代数式，再进展计算即可．【答案】0．三．解答题以下方程：〔1〕〔2x －1〕2=25．【知识点】解一元二次方程－直接开平方法.【解题过程】解：〔2x －1〕2=25开方得：2x －1=5或2x －1=－5，解得：x 1=3或x 2=－2．【思路点拨】方程利用平方根定义开方即可求出解．【答案】x 1=3或x 2=－2．〔2〕2x 2－x=1【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】2x 2－x －1=0，〔2x ＋1〕〔x －1〕=0，2x ＋1=0或x －1=0，所以x 1=－12，x 2=1； 【思路点拨】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；【答案】x 1=－12，x 2=1. 〔3〕x 2＋4x ＋2=0．【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】∆=42－4×2=8，x=42-±=－所以x 1=－2，x 2=－2．【思路点拨】利用求根公式法解方程．【答案】x 1=－2，x 2=－2．20.根据以下问题，列出关于x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式〔1〕有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．〔2〕如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm ，面积为24cm 2，求它的两条直角边的长．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕设十位数字为x ，那么个位数字为x+3，百位数字为x+2，根据题意得：[100〔x+2〕+10x+〔x+3〕]﹣9[〔x+3〕2+x 2+〔x+2〕2]=20，化简为27x 2-21x ﹣66=0；〔2〕设其中一条直角边的长为x ，那么另一条直角边为〔14﹣x 〕，根据题意得：12x 〔14﹣x 〕=24，整理得：x2﹣14x+48=0．【思路点拨】〔1〕个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；〔2〕设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可．【答案】〔1〕27x2-21x﹣66=0；〔2〕x2﹣14x+48=0．21. 如图，为美化环境，某校方案在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．〔1〕用含a的式子表示花圃的面积；〔2〕如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕由图可知，花圃的面积为〔40﹣2a〕〔60﹣2a〕；〔2〕由可列式：60×40﹣〔40﹣2a〕〔60﹣2a〕=38×60×40，解得：a1=5，a2=45〔舍去〕．答：所以通道的宽为5米．【思路点拨】〔1〕用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；〔2〕根据通道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进展计算即可；【答案】〔1〕〔40﹣2a〕〔60﹣2a〕；〔2〕通道的宽为5米．22.为创立和谐社会，大力开展民生工程，其中一项就是拓展市民视野，增加农民生活科技含量．为此市财政部门于2021年投资160万创立社区书屋和农村阅读室，并方案2021年投资360万元．假设每年投资增长率不变，那么年投资增长率应为多少？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设年投资增长率为x，由题意得：160×〔1+x〕2=360，解得：x1==50%，x2=﹣2.2〔不合题意舍去〕．【思路点拨】首先设年投资增长率为x，2021年的投资×〔1+增长率〕2=2021年投资，把相关数值代入求解即可．【答案】年投资增长率为50%．23. 随着柴静纪录片?穹顶之下?的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数一样．〔1〕求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？〔2〕在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢送．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进展降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此根底上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为〔x+300〕元，由题意得，60007500300x x=+，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，那么x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；〔2〕设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；〔x﹣1200〕〔4+180050x-〕=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【思路点拨】〔1〕设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为〔x+300〕元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量一样，列方程求解；〔2〕根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【答案】〔1〕1500元，1200元；〔2〕1600元.24.关于x的一元二次方程〔m－2〕x2＋2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根．〔1〕求m的取值范围；〔2〕当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【知识点】根的判别式.【解题过程】解：〔1〕根据题意得m－2≠0且△=4m2－4〔m－2〕〔m＋3〕＞0，解得m＜6且m≠2；〔2〕m满足条件的最大整数为5，那么原方程化为3x2＋10x＋8=0，∴〔3x＋4〕〔x＋2〕=0，∴x1=－43，x2=－2．【思路点拨】〔1〕根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m－2≠0且△=4m2－4〔m－2〕〔m＋3〕＞0，然后解不等式即可；〔2〕根据〔1〕的结论得到m满足条件的最大整数为5，那么原方程化为3x2＋10x＋8=0，然后利用因式分解法解方程．【答案】〔1〕m＜6且m≠2；〔2〕x1=－43，x2=－2．25. 某校初2021届学生会进展了爱心义卖活动，准备将义卖获得的利润全部用于易书吧购置图书，免费借阅给全校学生，首次购进的义卖商品单价为25元，共卖出120件，第二次购进的义卖商品的单价是20元，共卖出150件．首次义卖的每件售价比第二次多20元，但第二次比第一次少获得600元．〔1〕求第二次义卖的商品每件售价是多少元？〔2〕为了让全校更多同学借阅到图书，初2021届学生会决定再进展一次义卖活动，此次义卖购进的商品单价为15元，每件售价比第二次上调了a%，那么卖出的件数比第二次减少2a%，假设第三次获利4500元，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕设第二次义卖的商品每件售价为x元，那么第一次义卖的商品每件售价为〔x+20〕元，根据题意得：120〔x+20﹣25〕=150〔x﹣20〕+600，解得：x=60．答：第二次义卖的商品每件售价是60元．〔2〕第三次义卖的商品每件售价为60〔1+a%〕元，售出的件数为150〔1-2a%〕，根据题意得：150〔1﹣2a%〕[60〔1+a%〕﹣15]=4500，解得：a=25或a=﹣50〔舍去〕．答：a的值为25．【思路点拨】〔1〕设第二次义卖的商品每件售价为x元，那么第一次义卖的商品每件售价为〔x+20〕元，根据总利润=单件利润×销售数量结合第二次比第一次少获得600元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；〔2〕第三次义卖的商品每件售价为60〔1+a%〕元，售出的件数为150〔1+2a%〕，根据总利润=单件利润×销售数量即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【答案】〔1〕60元；〔2〕25.26. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停顿．在一样时间内，假设BQ=xcm〔x≠0〕，那么AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．〔1〕当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形；〔2〕当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1211，x2=211〔舍去〕．因为BQ+CM=x+3x=421﹣1〕＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=21﹣1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x211．〔2〕由〔1〕知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20﹣〔x+3x〕=20﹣〔2x+x2〕，解得x1=0〔舍去〕，x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20﹣〔x+3x〕=〔2x+x2〕﹣20，解得x1=﹣10〔舍去〕，x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．〔3〕过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．假设以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，那么点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x﹣x=x2﹣3x．解得x1=0〔舍去〕，x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【思路点拨】〔1〕以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．〔2〕以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．〔3〕如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，那么必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．【答案】〔11；〔2〕x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕不能.。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典复习题(答案解析)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM B解析：B【分析】 设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12， 在Rt △ABE 中，∴AE 2＝AB 2+BE 2，∴（x +12）2＝1+（12）2， ∴x 2+x -1＝0，∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD ，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为54平方米，设垂直于墙的边长为x 米，则x 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或5D ．3或4.5D解析：D【分析】设AD 长为x 米，四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB 的长；根据题意可得方程x （30−4x ）＝54，解此方程即可求得x 的值．【详解】解：设与墙头垂直的边AD 长为x 米，四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝MN ＝PQ ＝x 米，∴AB ＝30−AD−MN−PQ−BC ＝30−4x （米），根据题意得：x （30−4x ）＝54，解得：x ＝3或x ＝4.5，∴AD 的长为3或4.5米.故选：D ．【点睛】考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．3．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5%A 解析：A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-=D解析：D【分析】根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B 、()()224541261290b ac =-=--⨯⨯-=>，则方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<，则方程没有实数根，所以D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣74）2＝8116 D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23）2＝109B 解析：B【分析】 将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：A 、由x 2﹣2x ﹣99＝0得x 2﹣2x=99，则x 2﹣2x+1=100，即（x ﹣1）2＝100，故本选项正确，不符合题意；B 、由x 2+8x+9＝0得x 2+8x=-9，则x 2+8x+16=-9+16即（x+4）2＝7此选项错误，符合题意；C 、由2x 2﹣7x ﹣4＝0得2x 2﹣7x=4，则x 2﹣72x ＝2，∴x 2﹣72x+4916＝2+4916，即274x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝8116，故本选项正确，不符合题意； D 、由3x 2﹣4x ﹣2＝0，得3x 2﹣4x=2，则x 2﹣43x ＝23，∴故x 2﹣43x+49＝23+49，即（x﹣23）2＝109，故本选项正确，不符合题意； 故选：B ．【点睛】 本题主要考查解一元二次方程−配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为a 2x ＋bx ＋c ＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．6．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-4B 解析：B【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出k 的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．【详解】解：当k=0时，原方程为-4x+1=0，解得：x=14， ∴k=0符合题意；当k≠0时，∵方程kx 2-4x-1=0有实数根，∴△=（-4）2+4k≥0，解得：k≥-4且k≠0．综上可知：k 的取值范围是k≥-4．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．3D解析：D【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．【详解】解：由题意得21112210,2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．8．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．222-=x x xB ．215x x +=C ．220++=ax bx cD ．223x x +=D 解析：D【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．【详解】解：A 、移项得：20x -=，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项错误； B 、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；C 、ax 2+bx+c=0，当a=0时，它不是一元二次方程，故C 错误；D 223x x +=符合一元二次方程的定义，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．9．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2104x x -+= B ．2390x x ++= C ．2250x x -+= D ．25130x x -=D 解析：D【分析】先把各方程化为一般式，再分别计算方程根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、()221414104b ac =-=--⨯⨯=，方程有两个相等的两个实数根； B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<，方程没有实数根；C 、()2242415160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程没有实数根；D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的两个实数根； 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0C 解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题11．对于任意实数a ，b ，定义：22a b a ab b =++◆．若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ，则22m n +=______．6【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2+2x ﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论【详解】解：∵（x ◆2）﹣5=x2+解析：6【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5=x 2+2x+4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn=6．故答案为6．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 12．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____．【分析】把（x+3）看成一个整体另一个方程和已知方程的结构形式完全相同所以x+3与已知方程的解也相同根据此题意解题即可【详解】解：∵是已知方程的解由于另一个方程与已知方程的形式完全相同∴x+3=1或 解析：122,6x x =-=-【分析】把（x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以x+3与已知方程的解也相同，根据此题意解题即可．【详解】解：∵ 1213x x ==-，是已知方程2230x x +-=的解，由于另一个方程()()232330x x +++-=与已知方程的形式完全相同，∴x+3=1或x+3=﹣3，解得：1226x x =-=-，．故答案为：1226x x =-=-，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1和x+3=-3是解此题的关键，此题属于换元法解方程．13．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则11a b+=_____．【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值再对代数式变形整体代入即可【详解】解：∵ab 是方程的两个实数根∴∴故答案为：【点睛】本题考查根与系数关系熟记根与系数关系的公式是解题关键 解析：22019【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值，再对代数式11a b+变形整体代入即可． 【详解】解：∵a ，b 是方程2220190+-=x x 的两个实数根，∴2a b +=-，2019ab =-， ∴112220192019a b a b ab +-+===-． 故答案为：22019．【点睛】本题考查根与系数关系．熟记根与系数关系的公式是解题关键．14．用配方法解方程x 2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．3【分析】先移项再两边配上4写成完全平方公式即可【详解】解：∵∴即故答案为：3【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可 解析：3【分析】先移项，再两边配上4，写成完全平方公式即可．【详解】解：∵241x x +=-，∴24414x x ++=-+，即()223x +=，故答案为：3．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可． 15．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．16．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根，∴a+b=1，ab=-1， ∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.17．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．18．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ． ∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 19．若()22214x y +-=，则22x y +=________．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．【详解】解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．20．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____．【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题即【详解】解：∵x2+2x ﹣m2﹣m ＝0m ＝123…2020∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2α2β2＝﹣2×3；…α 解析：40402021【分析】 由一元二次方程根与系数的关系解题，即+=-b c a aαβαβ=，． 【详解】解：∵x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0，m ＝1，2，3， (2020)∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2020+β2020＝﹣2，α2020β2021＝﹣2020×2021； ∴原式＝3320202020112211223320202020++++++++αβαβαβαβαβαβαβαβ 2222=++++12233420202021⨯⨯⨯⨯ 1111111=2(1)2233420202021⨯-+-+-++- 1=2(1)2021⨯-4040=2021故答案为：40402021． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题21．在国家的调控下．某市商品房成交价由今年8月份的50000元2/m 下降到10月份的40500元2/m ．（1）同8～9两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/2m ？请说明理由．解析：（1）8、9两月平均每月降价的百分率是10%；（2）12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m ，见解析【分析】（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x ，那么9月份的房价为50000（1-x ），10月份的房价为50000（1-x ）2，然后根据10月份的40500元/m 2即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/m 2进行比较即可作出判断．【详解】解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x ，根据题意得：()250000140500x -=解得：1210% 1.9x x ==，（不合题意，舍去）答：8、9两月平均每月降价的百分率是10%（2）不会跌破30000元2/m ． ()22405001405000.93280530000x -=⨯=>∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？解析：（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 解析：每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）用配方法解：221470x x --=；（2）用因式分解法解：()()222332x x -=-．解析：（1）1x =，2x =2）x 1=1，x 2=-1． 【分析】（1）先移项，把二次项系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进而开平方解方程即可得答案；（2）先根据完全平方公式把方程两边展开，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可得答案．【详解】（1）221470x x --=移项得：2x 2-14x=7，二次项系数化为1得：x 2-7x=72， 配方得：x 2-7x+27()2=72+27()2，即（x-72）2=634，开平方得：x-72=2±，解得：1x =2x =． （2）()()222332x x -=-展开得：4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得：5x 2-5=0，分解因式得（x+1）(x-1)=0，解得：x 1=1，x 2=-1．【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 25．先化简，再求值：（1﹣1a ）21a a -，其中a 满足方程a 2﹣a ﹣2＝0． 解析：11a +，13． 【分析】 先根据分式的基本性质化简，再求解关于a 的一元二次方程，代入求解即可；【详解】 解：原式＝()()11111a a a a a a -=++-， 解方程a 2﹣a ﹣2＝0得，a 1＝2，a 2＝﹣1，当a ＝2时，原式＝11=2+13， 当a ＝﹣1时，分式无意义， 则分式的值为13． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，与一元二次方程的求解，准确分析计算是解题的关键． 26．用适当的方法解一元二次方程：（1）()229x -=；（2）2230x x +-=．解析：（1）15=x ，21x =-；（2）13x =-，21x =【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1）∵()229x -=，∴23x -=±，∴23x -=或23x -=-，∴15=x ，21x =-．（2）∴ 1a =，2b =，3c =-，则()22413160=-⨯⨯-=>△，∴22x -±=， 即13x =-，21x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程．通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．公式法解一元二次方程的一般步骤，把方程化为一般形式确定各系数的值利用求解． 27．计算题（1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解析：（1）123x x ==-； （2）23x <<【分析】（1）利用因式分解法求解即可．（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．【详解】解：（1）2690x x ++=因式分解得：()230x +=解得：123x x ==-．（2）()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩解不等式1得：2x >解不等式2得：3x <∴不等式组的解集是23x <<．【点睛】 本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．28．解方程（1）2420x x -+=（2）()255210x x ++= （3）2560x x -+=（4）()3133x x x +=+解析：（1）1222x x ==2）121x x ==-；（3）1232x x ==，；（4）1211x x =-=， 【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案即可；（2）方程整理后，利用利用配方法解方程得出答案即可；（3）利用分解因式法解方程即可；（4）方程整理后，利用提取公因式法分解因式进而解方程即可．【详解】（1）2420x x -+=，移项得：242x x -=-，配方得：24424x x -+=-+，即2(2)2x -=，开方得：2x -=，解得：1222x x ==（2）()255210x x ++=， 整理得：2210x x ++=，即2(1)0x +=，∴121x x ==-；（3）2560x x -+=，因式分解得：()()320x x --=，∴30x -=，20x -=，∴1232x x ==，；（4）()3133x x x +=+，整理得：()()110x x x +-+=，因式分解得：()()110x x +-=，∴10x +=，10x -=， ∴1211x x =-=，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。
人教课标版 初中数学九年级上册第二十一章复习(共17张PPT)
归纳：设共有x个队，
பைடு நூலகம்
x(x 1)
若单循环，则比赛总场数为_______2________.
若双循环，则比赛总场数为___x_(_x___1)_______.
考点四:一元二次方程的应用
我市要组织一次少年组足球比赛，参赛的每两 个球队之间都要比赛一场，根据场地和时间 等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比 赛，那么我市有多少个球队参加比赛？
x1
2, x2
5 2
⑻4x2－4x+1＝x2+6x+9
x1
4, x2
2 3
考点三:一元二次方程根的判
别式，根与系数的关系
1．根的判别式：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根的 判别式为Δ＝__b_2－__4a_c______． (1)Δ>0方程有__两__个_不__相_等______的实根； (2)Δ＝0方程有__两__个_相__等_______的实根； (3)Δ<0方程___无_____实数根； (4)Δ≥0方程___有_____实数根． 2．根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 两 那根么为x1x＋1， x2x＝2，__－_ba_____，x1x2＝_ac _______．
则
x＝－b±
b2－4ac
2a
.
4．因式分解法：提公因式法、公式法
例如 x2－4x－5＝(x－5)(x＋1)，
则方程 x2－4x－5＝0 的根为 x1＝5，x2＝－1.
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.2521.8.25Wednesday, August 25, 2021
2021年九年级上学期数学人教版第21章《一元二次方程》-21
拓展点三
解:(1)由原方程,得 x-1=± 3,
解得 x1=1- 3,x2=1+ 3.
(2)由原方程,得 x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5,
解得 x1=1- 5,x2=1+ 5.
(3)在 x2-3x+1=0 中,a=1,b=-3,c=1,
2
-(-3)± (-3) -4×1×1
则 x=
2
3+ 5
实数根.
(2)当a=3是等腰三角形的底时,则Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,则方
程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此时等腰三角形的周长为2+2+3=7;
当a=3是等腰三角形的腰时,则a=3是方程的一个根,将x=3代入
x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此时方程变为x2-5x+6=0,解方程得
x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底为2,周长为3+3+2=8.
综合知识拓展
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题,首先根据根的判别式确定字母的取值范围,同
时注意结合等腰三角形的相关概念及三角形的三边关系分
类讨论解答.
分析:(1)因为方程的左边是完全平方形式,右边是正整数,所以利
用直接开平方法求解;
(2)由于方程的左边二次项的系数为1,并且一次项系数是偶数,所
以利用配方法求解较好;
(3)虽然方程的左边二次项的系数为1,但是一次项系数是奇数,如
果用配方法会出现分数,所以利用公式法解方程.
综合知识拓展
拓展点一
拓展点二
3- 5
,x2=
.
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人教版九年级数学上册 21
21.1一元二次方程同步练习1．关于x的方程（m2﹣3m+2）+5x﹣6m＝0是一元二次方程，则m＝．2．已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于．3．已知a、b为正整数，a＝b﹣2021，若关于x方程x2﹣ax+b＝0有正整数解，则a的最小值是．4．若m是方程x2﹣x﹣110＝0的根，则（m﹣1）2+m＝．5．若两个关于x的方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0（a≠b）只有一个公共根，则a，b 的关系是．6．方程（m2﹣1）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（）A．m≠1 B．m≠0 C．|m|≠1 D．m＝±1 7．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定8．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．99．关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（）A．7 B．﹣3 C．1或﹣3 D．010．已知x＝1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，则常数k的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 11．关于x的一元二次方程ax2+2＝0的一个根是﹣2，则a的值是（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．12．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1＝0的一个根，则实数k的值（）A．1 B．﹣1 C．0 D．213．已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定14．如果2+是方程x2﹣cx+1＝0的一个根，那么c的值是（）A．2﹣B．﹣4 C．﹣4或2﹣D．415．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（）A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x 16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+3a﹣4＝0有一个实数根是x＝0，则a的值为（）A．1或﹣4 B．1 C．﹣4 D．﹣1或4 17．一元二次方程a（x2+1）+b（x+2）+c＝0化为一般式后为6x2+10x﹣1＝0，求以a、b为两条对角线长的菱形的面积．18．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）x2+1＝2x；（2）﹣2＝3x2；（3）x（2x﹣1）＝x；（4）（x+1）（x﹣1）＝2x﹣4．19．a是方程x2﹣3x+1＝0的根，试求的值．。