2012高考二轮复习综合检测专题七 不等式、推理与证明、算法与复数综合检测 新人教A版
2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题六-概率统计、算法、复数
2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题六-概率统计、算法、复数概率统计、算法、复数1．（2012唐山市高三上学期期末统一考试文）复数1(1)(1)i i-+= （ ）A ．2iB ．-2iC ．2D ．-2 2．（2012江西师大附中高三下学期开学考卷文）设复数113iz=-，232iz=-，则21z z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限。
3. (2012三明市普通高中高三上学期联考文)已知i 是虚数单位，则(1)i i -= A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -4.(2012三明市普通高中高三上学期联考文)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为A ．32B ．0.2C ．40D ．0.255．(2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文)阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．0 B ．21+ C ．221+D ．12-6．（2012唐山市高三上学期期末统一考试文）执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k <7．(2012黄冈市高三上学期期末考试文)复数121ii ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．1B ．3C ．12D ．32 8．（2012金华十校高三上学期期末联考文）复数31x i z i+=-（,x R i ∈是虚数单位）是实数，则x 的值（ ） A ．2 450 B ．2 550 C ．5 050 D ．4 90013．（2012武昌区高三年级元月调研文）通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，算得22110(40302020)~7.8.60506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯附表：参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”14. （2012年西安市高三年级第一次质检文）复数的实部是A.-1B. 1C.OD. -215.（2012年西安市高三年级第一次质检文）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. -3B.C. D. 216. （2012年西安市高三年级第一次质检文）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为，则=A. B. C. D.217. (2012•粤西北九校联考理) 已知Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}x y x y x y{(,)|6,0,0}=≤≥-≥，若向区域Ω上A x y x y x y开10n S ==， S p<? 是 输入p结输出n12n S S -=+ 否1n n =+随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( )A ．31 B ．32 C ．91D ．9218. (2012•粤西北九校联考理)执行如图的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是（ ） A ．6 B.7 C.8 D.15(第7题图)19.（2012•宁德质检理）运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是（ ） A ．2()f x x = B ．()cos 2f x x = C ．()xf x e = D ．()sin f x x π=20.（2012•韶关第一次调研理）在复平面内，复数311i i+-对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限21（2012•韶关第一次调研理）执行如图的程序框图，那么输出S 的值是（ ）A ．1-B ．12C ．1D ．222（2012•韶关第一次调研理）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒 之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________. 23.(2012•深圳中学期末理)在右图的程序框图中，输出的s 的值为 ( )A ． 12B ． 14C ． 15D ． 2024（2012•黑龙江绥化市一模理）已知复数2(1)(2)z a a i=-+-，(a R ∈),则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C.开s=0 i=5 s=s i=i结i<1 输是 否充要条件 D. 非充分非必要条件25.（2012•黑龙江绥化市一模理）输入ln0.8a =，12b e =，2ec -=，经过下列程序运算后，输出a ，b 的值分别是（ ）?b a >?c a >?c b >是是是x a=a b =b x=x a =a c =c x=x b=b c =c x=否否否,,a b c输出,,a b c输入开始结束ABC1B 1A 1C26．（2012• 浙江瑞安期末质检理）右图是一算法的程序框图，若输出结果为720=S ，则在判断框中应填入的条件是（ ▲ ）A ．?6≤kB ．?7≤kC ．8?k ≤D ．9?k ≤27（2012• 浙江瑞安期末质检理）设复数z 满足ii z 46)32(+=-，则z = ▲ .【答案】i 228（2012•延吉市质检理）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为 （ ） A ．2 B ．12- C ．3- D ．1329.（2012浙江宁波市期末文）已知i 为虚数单位，则=+31i i（ ）(A)(B)i-1(C)i 2 (D)i2-30（2012浙江宁波市期末文）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为（ ） （A ）65辆 （B ）76辆（C ）88 辆 （D ）辆95 31（2012浙江宁波市期末文）执行如右图所示的程序框图，其输出的结果是 . 32（2012安徽省合肥市质检文）复数11z i=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 是（ ）A ．1-iB ．1+iC ．1122i +D ．1122i -33.（2012安徽省合肥市质检文）在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ） A ．34B ．23C ．15D ．1334.（2012安徽省合肥市质检文）如图所示的程序框图运行的结果是 （ ）A ．20112012B ．20122013C ．12012D ．1201335.（2012吉林市期末质检文）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350 分到650分之间的名学生成绩，并 根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图（如右图），则总成绩在 ［400，500）内共有350 400 450 500 550 600 6500.0010.0020.003 0.004频率/组距 总成绩 (分)A. 5000 人B. 4500人C. 3250人D. 2500人36.（2012吉林市期末质检文）执行如图所示的程序框图，输出的M的值为A.17B.53C.161D.485；37.（2012江西南昌市调研文）集合M={4,-3m+(m-3)i} (其中i为虚数单位)，N={-9,3},若M∩N≠∅,则实数m的值为（）A．-1 B．-3 C．3或-3 D．3【答案】D【解析】由题可知3(3)m m i-+-必为实数，则3m=，检验符合题意。
2012届高考理科数学第二轮综合验收评估复习题有参考答案
适用精选文件资料分享2012 届高考理科数学第二轮综合查收评估复习题（有参照答案）一、选择题 1 ．f(x) ＝x(2 011 ＋ln x)，若f′(x0)＝ 2 012，则x0等于 A ．e2 B ．1 C．ln 2 D．e 分析 f ′(x)＝2 011 ＋ln x ＋x×1x＝ 2 012 ＋ln x ，故由 f ′(x0) ＝ 2 012，得 2 012＋ln x0＝2 012，因此 ln x0＝0，解得 x0＝1，应选 B. 答案B 2．(2011?湖南 ) 曲线 y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为 A ．－ 12 B.12 C ．－ 22 D.22 分析y′＝x＋－－＋＝＋，∴曲线在点 Mπ4， 0 处的切线的斜率为 12. 答案 B 3．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f ′(x) ＝ 2x＋1，则 12f( －x)dx的值等于 A.56 B.12 C.23 D.16 分析 f ′(x) ＝ mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴ f(x) ＝x2＋x， f(－x) ＝x2－x，∴ 12f( －x)dx ＝12(x2 －x)dx ＝13x3－12x221＝56，应选 A. 答案 A 4．(2011?海淀模拟 ) 已知点 P2 012π3，－ 1 在函数 f(x) ＝acos x 的图象上，则该函数图象在 x＝3π4 处的切线方程是 A ．2x＋2y＋4－3π2＝0 B．2x－2y＋4－3π2＝0 C．2x－2y－4－3π2＝0 D．2x＋2y－4－3π2＝0分析由点 P 在函数 f(x) 的图象上，可得 f2 012π3＝－ 1，即 acos2 012 π3＝acos 670 π＋2π3＝－ a2＝－ 1，解得 a＝2. 故 f(x) ＝2cos x.因此f3π4＝2cos 3π4＝－2，f′(x)＝－2sin x.由导数的几何意义，可知该函数图象在 x＝3π4 处的切线斜率 k＝f ′3π4 ＝－ 2sin 3 π4＝－ 2. 因此切线方程为 y－( －2) ＝－ 2x－3π4，即2x＋y＋2－32π4＝0，也就是 2x＋2y＋4－3π2＝0，应选 A. 答案 A 5．(2011?浙江模拟 ) 设函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a ，b，c∈R)，若 x ＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则以下图象不行能为 y＝f(x)图象的是分析设 h(x) ＝f(x)ex ，则 h′(x) ＝ (2ax ＋b)ex ＋(ax2 ＋bx＋c)ex＝(ax2 ＋2ax＋bx＋b＋c)ex. 由 x＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，适合 x＝－ 1 时， ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴ c＝a. ∴f(x) ＝ax2＋bx＋a. 若方程 ax2＋bx＋a＝ 0 有两根 x1，x2，则 x1x2＝aa＝1，D中图象必定不满足该条件．答案 D 6．(2011?湖南 ) 设直线 x＝t与函数 f(x) ＝x2，g(x) ＝ln x 的图象分别交于点 M，N，则当 |MN|达适用精选文件资料分享到最小时 t 的值为 A ．1 B.12 C.52 D.22 分析由题意画出函数图象以以下图，由图可以看出 |MN|＝y＝t2 －ln t(t ＞0) ． y′＝ 2t－1t ＝2t2 －1t ＝2t ＋22t －22t. 当 0＜t ＜22 时，y′＜ 0，可知 y 在此区间内单调递减；当 t ＞22 时， y′＞ 0，可知 y 在此区间内单调递加．故当 t ＝22 时，|MN|有最小值．答案 D 二、填空题 7 ．如图，直线 y＝1 与曲线 y＝－ x2＋2 所围图形的面积是 ________．解析令－ x2＋2＝1，得 x＝± 1，答案 43 8．已知函数 f(x) ＝12mx2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为________．分析当x＞0时，f′(x)＝mx＋1x－2≥0恒成立，即m≥－ 1x2＋2x 恒成立，又∵－ 1x2＋2x＝－ 1x－12＋1≤1，∴ m≥1.答案 m≥1 9 ．函数 f(x) ＝excos x 的图象在点 (0 ，f(0)) 处的切线的倾斜角为 ________．分析 f ′(x) ＝ excos x ＋ex( －sin x)，设切线的倾斜角为α，则 k＝ tan α＝f ′(0) ＝ 1，又α∈(0 ，π) ，∴α＝π4. 答案π4 三、解答题 10 ．(2011?江苏 ) 请你设计一个包装盒，以以下图， ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E，F 在 AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x(cm) ． (1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2) 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．分析设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x) ，0＜x＜30. (1)S ＝4ah＝8x(30 －x) ＝－ 8(x －15)2＋1 800 ，因此当 x＝15 时， S获得最大值． (2)V ＝a2h＝22( －x3＋30x2) ，V′＝ 62x(20 －x) ．由 V′＝ 0，得 x＝0( 舍) 或 x＝20. 当x∈(0,20) 时， V′＞ 0；当 x∈(20,30) 时， V′＜ 0. 因此当 x＝20时，V获得极大值，也是最大值．此时 ha＝12. 即包装盒的高与底面边长的比值为 12. 11 ．已知函数 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x. (1) 求函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值和最小值； (2) 求证：在区间 [1 ，＋∞) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方．分析 (1) 由 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x ，知 f ′(x) ＝ x＋2x－3＝x2－3x＋2x＝－－当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴ f(x)在[1,2]上是减函数；当x∈(2，e)时，f′(x)＞0，∴ f(x)在[2，e]上是增函数．∴当 x＝2 时，f(x)min ＝f(2) ＝2ln 2－4. 又 f(1) ＝－ 52，f(e)＝12e2－3e＋2， f(e) －f(1) ＝12e2－3e＋2－－ 52 ＝12(e2 －6e＋9) ＝12(e －3)2 ＞0，∴f(e) ＞f(1) ，∴ f(x)max ＝ f(e) ＝12e2－3e＋2. 综上，函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值为 12e2－3e＋2，最小值为2ln 2 －4.(2) 证明设F(x)＝12x2－3x＋2ln x－x3＋3x，则F′(x)＝－3x2＋x＋2x＝－ 3x3＋x2＋2x＝－－＋2x＋当x∈(1，＋∞ ) 时， F′(x) ＜ 0，∴ F(x) 在[1 ，＋∞ ) 上是减函数，且F(1)＝－12＜0，故当 x∈[1 ，＋∞ ) 时， F(x) ＜0，∴12x2－3x＋2ln x ＜x3－3x. ∴在区间 [1 ，＋∞ ) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方． 12 ．设 f(x) ＝ex－1. (1) 当 x＞－ 1 时，证明： f(x)＞2x2＋x－1x＋1； (2) 当 a＞ln 2 －1 且 x＞0 时，证明： f(x)＞x2－2ax. 证明 (1) 当 x＞－1 时，f(x) ＞2x2＋x－1x＋1，即 ex－1＞2x2＋x－1x＋1＝2x－1，故结论成立当且仅当 ex＞2x，即 ex－2x＞0. 令 g(x) ＝ex－2x，则 g′(x) ＝ex－2. 令 g′(x) ＝ 0，即ex－2＝0，解得 x＝ln 2. 当 x∈( － 1，ln 2) 时，g′(x) ＝ ex－2＜0，故函数 g(x) 在( －1，ln 2] 上单调递减；当 x∈(ln 2，＋∞ ) 时，g′(x)＝ex－2＞0，故函数 g(x) 在[ln 2 ，＋∞ ) 上单调递加．因此 g(x)在( －1，＋∞ ) 上的最小值为 g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，因此在 ( －1，＋∞ ) 上有 g(x) ≥g(ln 2) ＞ 0，即 ex＞2x. 故当x∈( － 1，＋∞ ) 时，有 f(x) ＞2x2＋x－1x＋1. (2)f(x)＞x2－2ax，即 ex－1＞x2－2ax，也就是 ex－x2＋2ax－1＞0. 令 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1，则 g′(x) ＝ ex－2x＋2a. 令 h(x) ＝ex－2x＋2a，则 h′(x)＝e x－2. 由(1) ，可知当 x∈( －∞， ln 2) 时，h′(x) ＜ 0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(ln2，＋∞ ) 时，h′(x) ＞ 0，函数 h(x) 单调递加．所以 h(x) 的最小值为 h(ln 2) ＝eln 2 －2ln 2 ＋ 2a＝2－2ln 2 ＋2a. 因为 a＞ln 2 －1，因此 h(ln 2) ＞2－2ln 2 ＋2(ln 2 －1) ＝0，即 h(x)≥h(ln 2) ＞ 0. 因此 g′(x) ＝ h(x) ＞0，即 g(x) 在 R 上为增函数．故g(x) 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，因此 g(x) ＞g(0) ．而 g(0)＝0，因此 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1＞0，即当 a＞ln 2－1 且 x＞0 时，f(x) ＞x2－2ax.。
高考数学二轮复习专题综合测试卷(6)不等式与线性规划、推理与证明、框图
6不等式与线性规划、推理与证明、框图时间120 分钟，满分150 分。
一、选择题(本大题共12 个小题，每题 5 分，共60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．(文 )(2015山·东文，1)已知会合A＝ { x|2＜x＜4} ，B＝{ x|(x－ 1)(x－ 3)＜ 0} ，则A∩B＝()A ． (1,3)B． (1,4)C．(2,3)D． (2,4)[答案 ]C[分析 ]观察1.会合的基本运算； 2.一元二次不等式的解法．因为 B＝ { x|1＜ x＜ 3} ，所以 A∩B＝ (2,3)，应选 C.x81}， B＝ { x|log22－ x)>1} ，则 A∩B＝ ()(理 )(2015 南·昌市一模 )若会合A＝ { x|1 ≤3(xA ． (2,4]B． [2,4]C．( －∞，0)∪[0,4]D． (－∞，－ 1)∪[0,4] [答案 ]A[分析 ]x0x 422－因为 A＝{ x|1 ≤3 81}＝ { x|3≤3≤3}＝ { x|0 ≤x≤ 4}， B＝ { x|log2( x － x)>1} ＝ { x|xx>2} ＝ { x|x<－ 1或 x>2} ，所以 A∩B＝{ x|0 ≤x≤ 4} ∩{x|x<－1或 x>2} ＝ { x|2<x≤ 4}＝(2,4] ．2． (2015 ·东文，广3)以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A ． y＝ x＋ sin 2x2B． y＝ x － cos xC．y＝ 2x＋1x D． y＝ x2＋ sin x 2[答案 ]D[分析 ]观察函数的奇偶性．函数 f(x) ＝ x＋sin2x 的定义域为R，对于原点对称，因为f(－ x)＝－ x＋ sin(－ 2x)＝－ x －sin 2x＝－ f(x)，所以函数 f(x)＝ x＋ sin2x 是奇函数；函数f(x)＝ x2－ cos x 的定义域为R，对于原点对称，因为f(－ x)＝ (－ x)2－ cos(－ x)＝ x2－ cos x＝ f(x)，所以 f(x)＝x2－ cos x 是偶函数；函数 f(x)＝x 1R，对于原点对称，因为－ x11x，2＋ x的定义域为f(－x)＝ 2 ＋－x＝ x＋2＝f(x) 222所以函数 f(x)＝x 122＋x是偶函数；函数f( x)＝x＋sin x的定义域为R，对于原点对称，因为f(1) 2＝1＋ sin 1，f(－ 1)＝ 1－ sin 1，所以函数 f(x)＝ x2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；应选D．3．(文 )(2015福·建文， 1)若 (1＋ i) ＋ (2－ 3i)＝ a＋ bi(a，b∈R， i 是虚数单位 )，则 a，b 的值分别等于 ()A．3，－ 2B． 3,2C．3，－ 3D．－ 1,4 [答案 ]A[分析 ]观察复数的观点．由已知得3－ 2i＝ a＋bi ，所以 a＝ 3， b＝－ 2，选 A.(理 )(2015新·课标Ⅱ文， 2)若 a 为实数，且2＋ai＝ 3＋ i，则 a＝ () 1＋ iA．－ 4B．－ 3C．3D． 4[答案 ]D[分析 ]观察复数运算与复数相等的条件．由题意可得2＋ai ＝ (1＋ i)(3＋ i) ＝ 2＋ 4i? a＝ 4，应选 D ．4． (文 )(2015 浙·江文， 3)设 a，b 是实数，则“a＋ b>0”是“ab>0”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]D[分析 ]观察1.充足条件、必需条件； 2.不等式的性质．此题采纳特别值法：当a＝ 3， b＝－ 1 时， a＋ b>0，但ab<0，故不是充足条件；当a＝－3，b＝－ 1 时， ab>0，但 a＋ b<0，故不是必需条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充足也不用要条件，应选 D ．(理 )已知 a1、a2∈ (1，＋∞)，设 P＝1＋1，Q＝1＋1，则 P 与 Q 的大小关系为 () a1a2a1a2A．P>Q B． P<Q C．P＝ Q D．不确立[答案 ]B[分析 ]∵ a1>1，a2>1，1 11a1＋ a2－ 1－a1a2∴ P－ Q＝ (a1＋a2)－(a1a2＋ 1)＝a1a2－a1－a2－<0，∴ P<Q，应选 B ．＝a1a25．履行以下图的程序框图．若输出y＝－ 3，则输入角θ＝ ()ππA. 6B ．－ 6ππ C.3D ．－ 3[答案 ] D[分析 ]由输出 y ＝－3得，πππ π|θ|< ，或 4 ≤|θ|< ，42∴ θ＝－ .sin θ＝－ 3，tan θ＝－ 33.x ＋ y ≥－1，6．( 文 )(2015 湖·南理， 4) 若变量 x ，y 知足拘束条件 2x － y ≤1， 则 z ＝ 3x － y 的最小值y ≤1，为()A ．－ 7B ．－ 1C ．1D ． 2[答案 ]A[分析 ] 以以下图所示，画出线性拘束条件所表示的地区，如图，进而可知当直线 3x － y＝z 经过点 A 时，－ z 最大，即当 x ＝－ 2， y ＝ 1 时， z ＝3x － y 取到最小值－ 7，应选 A.x ＋y ≥0，(理 )(2015 南·昌市二模 )若实数 x ，y 知足条件 x －y ＋ 1≥0， 则 x － 3y 的最小值为 ()0≤x ≤1， A ．－ 5B ．－ 3C．1D． 4[答案 ]A[分析 ]不等式组表示的平面地区以下图，平移直线x－ 3y＝ 0知，当直线z＝ x－ 3y 经过点 B(1,2)时， z 获得最小值，z min＝ 1－3×2＝－ 5.7． (文 )(2015 四·川文， 6)履行以下图的程序框图，输出S 的值为 ()33A．－2B．211C．－2D．2[答案] D[分析 ]观察程序框图．k＝ 4 时，不知足k>4，第四次履行循环体，第四次循环后，k＝ 5，此时不知足条件，∴5π11S＝ sin 6＝2，故输出2，选 D．(理 )(2015 湖·南理， 3) 履行以下图的程序框图．假如输入n＝3，则输出的 S＝ ()63 A. 7B．784 C.9D．9 [答案 ]B[分析 ]观察 1.程序框图； 2.裂项相消法求数列的和．由题意得，输出的 S 为数列1的前三项和，而1n－n＋n－n＋11－1＝22n＋ 1 ，2n－ 111n3∴ S n＝21－2n＋ 1＝2n＋1? S3＝7，应选 B．8．已知 a、b 分别为直线y＝ x＋1 的斜率与纵截距，复数a－b＋在复平z＝i面上对应的点到原点的距离为()A ． 1B． 2C．4D． 2 [答案 ]B[分析 ]由已知得， a＝ 1， b＝ 1， z＝－＋1＋ i－ i＋ 1＝2＝－2i，故复数i＝i iz 在复平面上对应的点的坐标为(0，－ 2)，所求距离为2，选 B．x＋ 1≥0，9． (文 )设实数 x、 y 知足条件 x－ y＋1≥0，则 y－ 4x 的最大值是 ()x＋ y－2≤0，1A．－ 4B．－2C．4D． 7[答案] C[分析 ]作出可行域如图，令y－4x＝ z，则当直线y＝ 4x＋z 经过点 A( － 1,0)时， z max＝4.x－ y≥0，(理 )(2015 安·徽文， 5)已知 x，y 知足拘束条件x＋ y－ 4≤0，则 z＝－ 2x＋ y 的最大值是y≥1，()A．－ 1B．－ 2C．－ 5D． 1[答案 ] [分析 ]A依据题意作出拘束条件确立的可行域，以以下图：由 z＝－ 2x＋ y 得， y＝ 2x＋z，可知在图中A(1,1) 处， z＝－ 2x＋y 取到最大值－1，应选A.x－ y－ 1≤0，10． (文 )已知 x、y 知足拘束条件当目标函数z＝ ax＋ by(a>0，b>0)在该2x－ y－3≥0，拘束条件下取到最小值 2 5时， a2＋ b2的最小值为 ()A ． 5B． 4C. 5D． 2[答案] B[分析 ]此题观察线性规划与点到直线的距离．以下图x－y－ 1＝ 0，x＝ 2，由解得2x－ y－ 3＝ 0.y＝ 1.∴ A 点坐标为 (2,1) ，z＝ ax＋ by 在 A 点处获得最小值25，即2a＋ b＝ 2 5.22a ＋ b可看作两点(0,0)(a，b)的距离的平方，原点到直线2a＋ b＝ 2 5的距离的平方是(25)2＝ 4.5x≥1，(理 )不等式组x＋ y－ 4≤0，表示面积为 1 的直角三角形地区，则k 的值为 () kx－ y≤0A．－ 2B．－ 1C．0D． 1[答案 ]D[分析 ]因为不等式组表示面积为 1 的直角三角形地区，∴直线或与直线x＋y－ 4＝ 0 垂直，再由围成面积为 1 的直角三角形地区知y＝ kx 与直线k＝ 1.x＝ 1 垂直x≥111． (文 )已知 x、 y∈R，且知足x－ 2y＋ 3≥0，则 x2＋ y2－ 6x 的最小值等于 ()y≥x9A．－2B．－ 4C．0D．－ 1[答案]A[分析 ]作出可行域如图，x2＋ y2－ 6x＝ (x－ 3)2＋ y2－ 9表示平面地区ABC内的点到点P(3,0)距离的平方减去 9，因为 |PA|＝ 5， P 到直线 y＝x 的距离 d＝32，2∴x2＋ y2－ 6x≥－9，应选A. 2(理 )(2014 新·课标Ⅱ文， 8)履行下边的程序框图，假如输入的x、 t 均为 2，则输出的S ＝()A ． 4B． 5C．6D． 7[答案 ]D1 [分析 ]程序运转过程挨次为：x＝ 2， t＝ 2， M＝1， S＝ 3，k＝ 1→M＝1×2＝ 2， S＝ 2＋23＝ 5， k＝ 2→M＝2×2＝ 2， S＝ 2＋5＝ 7， k＝3，∵ 3>2，不知足k≤t，输出 S＝7 后结束．12． (文 )(2015 北·京理， 6) { a n} 是等差数列．以下中正确的选项是()A ．若 a1＋ a2＞ 0， a2＋ a3＞ 0B．若 a1＋ a3＜ 0， a1＋ a2＜ 0C．若 0＜ a1＜ a2， a2＞a1a3D．若 a1＜ 0， (a2－a1)(a2－ a3)＞ 0[答案] C[分析 ]考等差数列通公式；作差比法．先剖析四个答案， A 一反例a1＝2，a2＝－ 1，a3＝－ 4，a1＋ a2>0，而 a2＋ a3<0，A； B 同反例 a1＝ 2，a2＝－ 1， a3＝－ 4， a1＋ a3<0 ，而 a1＋ a2>0， B ；下边 C 行研究， { a n} 是等差数列，若 0< a1 <a2， a1>0，公差 d， d>0，数列各均正，因为 a22－ a1a3＝ (a1＋ d)2－ a1(a1＋ 2d)＝ a21＋ 2a1d＋d2－ a21－ 2a1d＝ d2>0， a22>a1a3? a2> a1a3，C.(理 )(2015 广· 文， 10)若会合 E＝ {( p，q，r ，s)|0 ≤p＜ s≤ 4,0q≤＜ s≤ 4,0r≤＜ s≤4且 p，q，r，s∈N } ，F ＝ {( t， u，v，w)|0 t≤＜ u≤ 4,0v≤＜ w≤4且 t，u， v，w∈N} ，用 card (X) 表示会合X 中的元素个数，card(E)＋ card(F)＝ ()A．200 C．100B． 150 D． 50[答案 ]A[分析 ]当s＝4，p，q，r都是取0,1,2,3中的一个，有4×4×4＝64种，当s＝3，p，q， r 都是取 0,1,2 中的一个，有3×3×3＝ 27 种，当 s＝2 ， p，q， r 都是取 0,1 中的一个，有 2×2×2＝8 种，当 s＝ 1 ， p， q， r 都取 0，有 1 种，所以 card(E)＝ 64＋ 27＋ 8＋ 1＝100，当 t＝ 0 ， u 取 1,2,3,4 中的一个，有 4种，当 t＝ 1， u 取 2,3,4 中的一个，有 3 种，当 t ＝2 ， u 取 3,4 中的一个，有 2 种，当 t ＝3 ， u 取 4，有 1 种，所以 t 、u 的取有1＋ 2＋3＋ 4＝ 10 种，同理， v、 w 的取也有10 种，所以 card(F)＝ 10×10＝100，所以 card(E)＋card(F)＝ 100＋ 100＝200，故 A.二、填空 (本大共 4 个小，每小 5 分，共 20 分，将正确答案填在中横上)13． (文 )(2014 哈·三中二模 )称数是指从左到右与从右到左都一的正整数，如22,121,3443,94249 等，然 2位称数有9 个： 11,22,33，⋯， 99,3 位称数有 90个：101,111,121，⋯，191,202 ，⋯， 999， 2n＋1(n∈N* )位称数有 ________个．[答案 ]9×10n[分析 ]易知称数的位数与个数如表：位数2345⋯个数99090900⋯∴ 2n＋1 位称数有9×10n个．(理 )(2014 ·北三省三校二模) 察以下等式： 3 2, 3 3 2, 3 332, 3 ＋ 3 ＋1 ＝ 1 1 ＋2 ＝3 1 ＋2 ＋3 ＝ 6 1 2 3323 ＋4 ＝10 ， ⋯ ，依据上述 律，第 n 个等式 ______________．[答案 ]13＋ 23＋ ⋯＋ n 3＝n 2n ＋ 24[分析 ] 本 考 推理，等式左 是 n 个正整数的立方和，右 的数都是整数的平方，因为 1＝ 1,1＋ 2＝ 3,1＋ 2＋ 3＝6,1＋ 2＋ 3＋ 4＝ 10，∴第 n 个等式右 是 (1＋ 2＋3＋ ⋯＋n) 2，即 [n n ＋] 2，222故填 13＋23＋⋯ ＋ n 3＝nn ＋.4[方法点 ] 由几个表达式 得出一个包括已知表达式在内的一般 ，要注意从数字 律、 构特点、符号 律等多方面 行观察，最重要的切入点 是 构特点．14． (文 )如 所示，程序框 (算法流程 )的 出 果是 ________．[答案 ] 15[分析 ]由 T ＝ T ＋ k 可知 T 是一个累加 量，原 求 1＋ 2＋ 3＋⋯ ＋ k 的和，其和 k k ＋.令kk ＋ ≤ 105，得 k ≤ 14故.当 k ＝ 15 ， T ＝ 1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋15＝ 120>105，22此 出 k ＝15.(理 )(2014 河·南豫 、豫北十所名校 考) 假如 行如 所示的程序框 ，那么 出S 的________．[答案 ] 2548[分析 ]程序运转程：k＝ 1，S＝ 0， k≥－ 50 足→ S＝ 0－ 2×1＝－ 2， k＝ 1－ 1＝ 0，k≥－ 50 足→ S＝－ 2－ 2×0＝－ 2，k＝ 0－1＝－ 1，k≥－ 50 足→ S＝－ 2－ 2×(－ 1)，k＝－ 1－1＝－ 2，k≥－ 50 足⋯挨次行下去，到 k＝－ 50 仍足 k≥－ 50，S 的减去 2×(－ 50)，k＝－ 50－1＝－ 51，此不再足条件 k≥－ 50，出 S 的后束循，故出 S 的＋－2－ 2×(－ 1)－ 2×(－ 2)＋⋯－ 2×(－ 50)＝－ 2＋2(1＋ 2＋ 3＋⋯＋ 50)＝－ 2＋2×2＝2548.x－ 2≤0，15． (文 )不等式 y≤0，表示的平面地区D，地区 D 的面 ________， zx＋ y≥0＝x＋ y 的最大 ________．[答案] 2 2[分析 ]作出地区 D 如，其面1S＝ 2×2×2＝ 2，当直z＝x＋ y点A(2,0) ， z max＝2.(理 )假如直ax－ by＋ 5＝ 0(a>0，b>0)和函数 f(x)＝ m x＋1＋1(m>0，m≠1)的象恒同一个定点，且定点始落在( x－a＋ 1)2＋ (y＋ b＋1)2＝85的内部或上，那么ab 的取242a＋b范是 ________．[答案 ][3，5] 79[分析 ]依据指数函数的性，可知函数x＋1，m≠1)恒定点 (－ 1,2)，将f( x)＝ m ＋ 1(m>0点( －1,2)代入 ax－ by＋ 5＝ 0，能够获得 a＋ 2b＝5.ab 作以下形：2a＋bab ＝ 12＝522a＋ b1a＋ 2b 1＋b ＋ba a＝5.b＋ a5＋a b因为 (－ 1,2)始 落在所 的内部或 上，252 85所以 a ＋( b ＋2) ≤4 .a ＋2b ＝ 5，a ＝ 1， a ＝3，由解得明点 (a ，b)在以 A(1,2)和 B(3,1)2＝ 85，或b ＝ 1， a 2＋ b ＋ 5b ＝ 224b1b a10端点的 段上运 ，所以a 的取 范 是 [3， 2]，进而 a ＋b 的取 范 是 [2 ， 3 ] ， 一步能够推得 ab3 5的取 范 是 [， ] ．2a ＋ b79[点 ]于指数函数恒 定点的 ，就是 指数 零， 函数 必定 1.同于点在 内和 上的文字 言，只有正确翻 符号 言，才能获得 a ，b 的关系式， 一步求解后边的 ．此外，我 获得a ，b 表达式后，可否利用 b ，来表示 b ＋a的范 ，即a ab所求的 果， 个是 点，体 了数学中的 化思想的运用．x 2y 216．(文 )(2014 河·北衡水中学二) 中有以下 ：a 2＋b 2＝ 1(a>b>0)上斜率 1的弦的中点在直x yx 2y 2a 2＋b 2 ＝ 0 上， 比上述 ：双曲 a 2－ b 2＝ 1(a ，b>0)上斜率 1 的弦的中点在直 ________上．xy[答案 ]a 2 －b 2＝ 0x 2 y 2x y[分析 ]a2＋b2＝ 1(a>0，b>0)上斜率 1 的弦的中点在直a2＋b 2＝ 0 上． 比上述可知，双曲x 2y 2＝ 1(a>0， b>0) 上斜率 1 的弦的中点在直 x y＝0 上．a 2－ b 2 a 2 － b 2 (理 )平面向量也叫二 向量，二 向量的坐 表示及其运算能够推行到n(n ≥ 3) 向量，n 向量可用 (x 1，x 2，x 3，⋯，x n )表示． 向量 a ＝ (a 1，a 2，a 3，⋯ ，a n )，b ＝ (b 1，b 2，b 3，⋯ ，na ib ii ＝ 1b n )， 定向量 a 与 b 的 角 θ的余弦 cos θ＝.当 a ＝ (1,1,1，⋯ ，1n 个 1 ，nna i 2b i 2i ＝1i ＝1b ＝， cos θ＝________.(－ 1，－ 1，1,1， ⋯ ，1n － 2个 1[答案 ] n － 44[分析 ]依照 n 向量的坐 表示及n 向量 a 与 b 的 角余弦公式得， 当 a ＝(1,1,1，⋯ ，n1 ， b ＝ (－ 1，－ 1， 1,1， ⋯ ， 1 ，a ib i ＝ 1×(－ 1)＋ 1×(－1) ＋1×1＋ ⋯＋ 1×1＝ n －4.n个n －2个i ＝1na 2i ＝ 12＋ 12 ＋⋯ ＋ 12＝ n ，i ＝1nb 2i ＝ (－ 1)2＋ (－ 1)2＋ 12＋ ⋯＋ 12＝ n ，i ＝1∴ cos θ＝n －4＝n － 4.n ·n n三、解答 (本大 共 6 个小 ， 共 70 分，解答 写出文字 明、明 程或演算步)17．(本 分10 分 )(文 )如 所示，在复平面内有三点P 1、P 2、P 3 的复数分1＋ a 、1＋ 2a 、1＋ 3a ，且 OA ＝ 1，|a|＝ 2，O 原点，若 S △ P 1OP 2＋ S △ P 2OP 3＝ 2，求 的复数 a.[分析 ]由向量加法的运算法 知， → →→OA ＋ AP i ＝ OP i ，i ＝ 1,2,3. ∵ P 1、P 2、 P 3 的复数分 1＋a 、 1＋ 2a 、 1＋ 3a ， →→→a 、 2a 、 3a ，∴ AP 1、 AP 2、 AP 3 的复数→ 1→ 1→∴ AP 1＝ 2AP 2＝ 3AP 3，即 A 、 P 1、 P 2、 P 3 共 ，→θ.AP 3与 x 正方向 角 ∵ |a|＝ 2，∴ S △ AOP 3＝1 → →1|OA| |AP ·3|sin θ＝ ×1×|3a| sin ·θ＝ 3sin θ.221 → →1∴ S △AOP 1＝ 2|OA| |AP ·1|sin θ＝ 2×1×|a| sin ·θ＝ sin θ. 然 S △ P 1OP 2＋ S △ P 2 OP 3＝ S △OAP 3－ S △OAP 1＝ 2sin θ.π进而 2sin θ＝2， sin θ＝ 1，∵ θ∈ (0， π)，∴ θ＝ ，2所以 a ＝ 2i.(理 ) 于随意的复数 z ＝ x ＋ yi(x 、 y ∈ R )，定 运算 P(z)＝ x 2[cos( y)π＋isin( y)]π． (1)会合 A ＝{ ω|ω＝ P(z)， |z| ≤1，x 、y 均 整数 } ， 用列 法写出会合 A ；(2)若 z ＝ 2＋ yi(y ∈ R )，P(z) 虚数，求 |z|的最小 ；(3)直 l ： y ＝x － 9 上能否存在整点 (x ， y)(坐 x 、 y 均 整数的点 )，使复数z ＝ x ＋yi运算 P 后， P(z) 的点也在直l 上？若存在， 求出全部的点； 若不存在， 明原因．[分析 ] (1)z＝ x＋ yi ，? x2＋ y2≤1，|z| ≤1x＝±1， x＝ 0，x＝ 0，因为 x、y∈Z，得y＝±1， y＝ 0.y＝0，∴P( ±1) ＝ 1， P( ±i) ＝ 0， P(0) ＝ 0，∴ A＝ {0,1} ．(2)若 z＝ 2＋ yi(y∈R)， P(z)＝ 4[cos( y)π＋ isin( y)]π．y ＝0，若 P(z)虚数，y，∴y＝ k＋12， k∈Z，2212∴ |z|＝2＋y＝k＋2＋ 4，k∈Z，当 k＝ 0 或－ 1， |z|min＝17.2(3)P(z) 点坐 (x2cos( πy)， x2sin( y))π，y＝ x－9，由意得22y － 9，x y ＝ xx、 y∈Z，∴x2sin(xπ－ 9π)＝x2cos(xπ－ 9π)－9，∴x2sin( x)π＝ x2cos( πx)＋ 9.∵ x∈Z，2∴①当 x＝ 2k， k∈Z，得 x ＋ 9＝ 0 不建立；∴ x＝±3 建立．x＝ 3，x＝－ 3，此或y＝－ 6y＝－ 12，即 z＝ 3－6i 或 z＝－ 3－ 12i.18． (本分12 分)察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，⋯⋯： (1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2012是第几行的第几个数？(4)能否存在n ∈ N * ，使得第n 行起的10 行的全部数之和227－ 213－ 120？若存在，求出n 的 ；若不存在， 明原因．n[分析 ] (1)∵第 n ＋1 行的第 1 个数是 2 ，n∴第 n 行的最后一个数是2 － 1.(2)2n －1＋ (2n － 1＋ 1)＋ (2 n －1＋ 2)＋ ⋯ ＋ (2n － 1)n －1＋ 2n －n －12n －3 n －2＝＝ 3·2 － 2 .2(3)∵ 210＝ 1024,211＝ 2048,1024<2012<2048 ，∴ 2012 在第 11 行， 行第 1 个数是 210＝ 1024 ，由 2012－1024 ＋ 1＝ 989，知 2012 是第11 行的第 989 个数．(4) 第 n 行的全部数之和a n ，第 n 行起 10 行的全部数之和S n .a n ＝ 3·22n － 3－ 2n －2， a n ＋1＝ 3·22 n － 1－ 2n －1，a n ＋2 ＝ 3·22n ＋ 1－2n ， ⋯ ， a n ＋ 9＝ 3·22n ＋ 15－ 2n ＋7，∴ S n ＝ 3(2 2n － 3＋ 2 2n － 1 2n ＋ 15)－ (2 n － 2 n － 1 n ＋ 722n －310－＋⋯＋2＋ 2 ＋⋯＋2 )＝ 3·－4－ 1n － 2102－ ＝22 n ＋ 17－ 22 n － 3－ 2n ＋ 8＋2n －2，n ＝ 5 ， S 5＝ 227－ 128－ 213＋ 8＝ 227－ 213－ 120.2－1∴存在 n ＝ 5 使得第 5 行起的 10 行的全部数之和227－ 213－120.19．(本 分12 分 )(文 ) 看下边一段 数学公式的 程，指出各自运用了哪一种推理方式．公式： S 2(n)＝ 12＋ 22 ＋ 32＋ ⋯ ＋ n 2(n ∈ N * )．(1)第一列表 算 察：n 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯ S 2(n)1514305591140204⋯此 思 程运用了什么推理？(2)从上表中的数据没有明 的 ，于是 想到正整数之和的公式S 1(n)＝ 1＋ 2＋ 3＋ ⋯1＋n ＝ 2n(n ＋ 1)，两者可否相关系呢？此 思 程运用了什么推理？(3)再列表 算、比 ：n 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯ S 1(n)1 3 6 10 15 21 28 36 ⋯ S 2(n)1514305591140204⋯此 思 程运用了什么推理？(4)从上表中数据没有看出明 的 律，再 一步列表 算：n 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯ S 1(n) 1 3 6 10 15 21 28 36 ⋯ S 2(n) 1 5 14 30 55 91 140 204 ⋯ S 2 n 3 5 7 9 11 13 15 17 ⋯S 1 n33333333此 思 程运用了什么推理？(5)从上表 了 律：S 2 n ＝2n ＋ 1，于是猜想： S 2(n)＝1n(n ＋1)(2 n ＋ 1)．S 1 n36此 思 程运用了什么推理？[分析 ] (1)通 直接 算获得 的数字，用的是演 推理．(2)通 比 ，用的是 比推理．(3)通 直接 算获得 的数字，用的也是演 推理．(4)通 直接 算获得 的数字，用的 是演 推理．(5)通 剖析 律，加以 ，用的是 推理．(理 )先 以下框 ，再解答相关 ：(1)当 入的n 分 1,2,3 ， a 各是多少？(2)当 入已知量n ，① 出a 的 果是什么？ 明之；② 出 S 的 果是什么？写出求S 的 程．[分析 ]1；当 n ＝ 2 ， a ＝ 1；(1)当 n ＝ 1 ， a ＝ 315当 n ＝3 ， a ＝ 351.(2)( 方法一 )当 入 n ，①中 出 果a n ，②中 出 果S n ，1 2n － 3a n ＝2n － 3a 1＝ ， a n ＝a n － 1( n ≥ 2)，所以(n ≥ 2)32n ＋ 1a n － 1 2n ＋ 1所以 a n ＝ a n a n －1 a 22n － 3 2n － 5 2n －7 1 11·11.· · ·a 1＝·· ⋯ ·＝＝ 2－1a n －1 n －2a 12n ＋ 1 2n － 1 2n － 3 5 32n ＋ 1 2n － 14na111 1111 (方法二 )由 a 1＝ 3＝ 4×12－ 1， a 2＝ 15＝4×22－ 1，a 3＝35＝4×32－1，猜想 a n ＝4n 2－ 1.明： (1)当 n ＝ 1 ， 建立，*a k ＝ 1，(2)假 当 n ＝k(k ≥1， k ∈N ) 建立，即24k － 1 当 n ＝ k ＋ 1 ，a k ＋1＝k ＋ － 3 2k －1 1k ＋＋ a k ＝· 2－112k ＋3 4k ＝1＝12－1.k ＋k ＋k ＋所以当 n ＝ k ＋ 1 ， 建立，*1故 n ∈ N ，都有 a n＝4n 2－ 1建立．因 a n ＝1＝12n ＋ n －4n － 1 1 1 － 1 )，＝ (2 2n － 1 2n ＋ 11 1 1 1 11 1 －1)所以 S n ＝a 1＋a 2＋ ⋯ ＋ a n ＝ (1－ )＋ ( －)＋⋯＋ (2 32352 2n －1 2n ＋ 1 1 1 )＝ n .＝ (1－2 2n ＋1 2n ＋ 120． (本 分 12 分 )(文 )(2015 唐·山一模 ) 数列 { a n } 的前 n 和 S n ， 足 (1－ q)S n ＋qa n ＝1，且 q(q － 1) ≠0.(1)求 { a n } 的通 公式；(2)若 S 3， S 9， S 6 成等差数列，求 ：a 2，a 8， a 5 成等差数列．[分析 ] (1)当 n ＝ 1 ，由 (1－ q)S 1＋ qa 1＝1 得， a 1＝ 1.当 n ≥2 ，由 (1 －q)S n ＋qa n ＝ 1，得 (1－ q)S n － 1＋ qa n － 1＝ 1，两式相减得 a n ＝ qa n － 1，又 q(q － 1) ≠0，所以 { a n } 是以 1 首 ， q 公比的等比数列，故 a n＝ q n －1.(2)由 (1) 可知 S n ＝1－ a n q 1－ a 3q 1－a 6q－a 9q ，又 S 3＋ S 6＝ 2S 9，得＋ ＝，1－ q1－q 1－ q1－ q化 得 a 3＋ a 6＝ 2a 9，两 同除以 q 得 a 2＋ a 5＝ 2a 8.故 a 2， a 8， a 5 成等差数列．(理 )在数列 { a n } 中， a 1＝1， a n ＋ 1＝ 1－1， b n ＝1 ，此中 n ∈ N *.4a n2a n －1(1)求 ：数列 { b n } 是等差数列；1＋1＋ 1＋ ⋯ ＋ n 1－1(n ∈N * ， n ≥2)．(2)求 ： 2 342 － 1<b n[分析 ](1) 明： b n ＋1－ b n ＝ 1 － 12a n ＋ 1－ 1 2a n － 1＝1－112a n － 1－ 1－4a n1 1＝1 － 2a n － 1＝ 1，2－ 2a n －1∴数列 { b n } 等差数列．1(2)因 b 1＝2a 1－ 1＝1，所以 b n ＝1＋ (n － 1)＝ n ，b n －1＝ n － 1(n ≥2)，原不等式即 明1＋ 1＋1＋ ⋯ ＋ n 1<n － 1(n ∈ N * ， n ≥2)，2 34 2 － 1即 1＋1＋1＋ 1＋ ⋯＋ n1 <n(n ∈N *， n ≥2)建立． 2 3 42 － 1用数学 法 明以下：1 1当 n ＝2 ， 1＋ 2＋ 3<2 建立，所以 n ＝ 2 ，原不等式建立；假 当 n ＝ k ， 1＋ 1 112＋3＋⋯ ＋ 2k － 1<k 建立；当 n ＝k ＋ 1 ，1 1 1 1 1 1 1 1＋ ＋ ＋ ＋ ⋯ ＋ k ＋ k ＋ k ＋ ⋯ ＋ k ＋ 1－ 12 3 4 2 － 1 2 2 ＋ 1 2 <k ＋ 1 1 ＋ ⋯ ＋ k 1k ＋ k ＋1 ＋ k2 2 2 2 － 11 1 1 2k<k ＋ k ＋k ＋⋯ ＋k ＝k ＋2 k ＝ k ＋ 1，2 2 2所以当 n ＝ k ＋ 1 ，不等式建立，所以 n ∈ N *，n ≥2， 有 1 1 112＋ 3＋4＋⋯ ＋ 2n － 1<b n－1 建立．21．(本 分12 分 )(文 )已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c(a>0)的 象 (如 )与 x 有两个不一样的公共点，若 f(c)＝ 0，且 0<x<c ， f(x)>0.1与 c 的大小；(1)试比较 a(2)证明：－ 2<b<－ 1.[分析 ] (1)由已知， f(x)的图象与 x 轴有两个不一样的公共点，所以f(x)＝ 0 有两个不一样的实数根 x 1、 x 2.因为 f(c)＝ 0，且 x 1·x 2＝ c ，所以 f(x)＝ 0 的两个根就是 c 和 1.假如 1<c ，因为 a>0，故 1>0，aa a a 1 <c ，而当 0< x<c 时， f( x)>0 ，所以有 1 )>0. 这与 1 是 f(x)＝ 0 的根矛盾，所以 1即 0< f( a >c.a a a(2)证明：因为 f(c)＝ 0，所以 ac 2＋ bc ＋c ＝ 0.又 c>0，故 ac ＋ b ＋ 1＝ 0. 因为 a>0， c>0，所以 ac>0.于是 b ＋ 1<0.故 b<－1.b1 1 b 1又 f(x) 的图象的对称轴为 x ＝－ 2a ，且 f(x)＝ 0 的两根为 c 和 a ，且 c<a ，所以－2a <a ? b>－2.故－ 2<b<－ 1.x 2(理 )(2015 河·南省高考适应性测试 )已知函数 f(x)＝ lnx .(1)求 f(x)的单一区间；x(2)证明： x>1 时， x ＋ (x － 3)e 2lnx>0.[分析 ] x2，其定义域为 (0,1)∪ (1，＋ ∞)． f ′(x)＝ x2ln x －2，由 f ′(x)>0(1)因为 f(x)＝ln xx得 f(x)的单一递加区间为 ( e ，＋ ∞)，由 f ′(x)<0 得 f(x)的单一递减区间为 (0,1)，(1 ， e)e 2(2)由 (1) 知，当 x>1 时， f(x)的最小值为 f( e)＝＝2e ；ln e2x－1 21x ＝－ 1 x ，令 g(x)＝ (－ x ＋ 3x)e ， x ∈(1，＋ ∞)，则 g ′(x)＝2x－e 2 2(x － 2)(x ＋ 3)e 222x ＋ 3 由 g ′(x)>0 得函数 g(x)在区间 (1,2)上单一递加；由 g ′(x)<0 得函数 g(x) 在区间 (2，＋ ∞)上单一递减．2x所以 g(x)＝ (－ x ＋ 3x)e ≤g(2) ＝2e.所以当 x>1 时， f(x)＝x 2 2xx ＋ (x － 3)e xlnx >g(x)＝ ( －x＋3x)e ，整理即得 lnx>0.222 n22．(本 分 12 分)( 文 )(2015 ·西文， 21) f n (x)＝x ＋ x ＋ ⋯ ＋ x － 1，x ≥0，n ∈ N ，n ≥2.(1)求 f ′n (2) ；2 (a n )，且1 12 n(2) 明： f n (x)在0，3 内有且 有一个零点 0<a n － 2<3 3 .[分析 ] 考 1. 位相减法； 2.零点存在性定理； 3.函数与数列．(1)由 f n ′(x)＝ 1＋ 2x ＋⋯ ＋ nx n －1，所以 f n ′ (2)＝ 1＋2×2＋ ⋯ ＋ n2n －1①由 2f n ′ (2)＝ 1×2＋2×22＋ ⋯ ＋ n2n ②①－②得－ f n ′ (2)＝ 1＋ 2＋22＋ ⋯ ＋ 2n －1－ n2nn＝1－ 2－ n ·2n ＝(1 －n)2n － 1，1－ 2所以 f n ′ (2)＝ (n － 1)2n ＋ 1.(2)因 f n (0) ＝－ 1＜ 0，2 2 n2 3[1 －3] f n (3)＝2－ 11－3＝ 1－ 2×(23)n ≥1－ 2×(23)2＞0，2所以 fn (x)在(0， 3)内起码存在一个零点，又 f n ′(x)＝ 1＋ 2x ＋⋯ ＋ nx n －1＞ 0,2所以 f n (x)在 (0， 3)内 增，2所以， f n (x)在(0， 3)内有且只有一个零点a n ，x － x n ＋ 1因为 fn (x)＝1－ x －1，n ＋1所以 0＝ f n (a n )＝ a n －an－1,1 1 n ＋1 1由此可得 a n ＝ 2＋ 2a n ＞ 2 ，故 1＜ a n ＜ 2， 231 1 n ＋1 1 ×(2 ) n ＋1 所以 0＜ a n － ＝ a n＜ 32 221 2 n .＝ ×(3 )32a n，a n≤ 18，)( n (理 )(2015 北·京理， 20)已知数列 { a n} 足： a1∈N*，a1≤ 36，且 a n＋1＝2a n－ 36，a n＞ 18＝1,2，⋯)．会合 M＝ { a n|n∈N*} ．(1)若 a1＝ 6，写出会合 M 的全部元素；(2)若会合 M 存在一个元素是 3 的倍数，明： M 的全部元素都是 3 的倍数；(3)求会合 M 的元素个数的最大．2a n， a n≤ 18，可知： a1＝ 6， a2＝ 12， a3＝ 24， a4＝ 12，∴[分析 ] (1)由已知 a n＋1＝2a n－ 36， a n>18M＝ {6,12,24} ．(2)因会合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不如a k是 3 的倍数，由已知a n＋1＝2a n， a n≤ 18，n≥k， a n是 3 的倍数．，可用数学法明随意2a n－ 36， a n>18当 k＝ 1 ， M 中的全部元素都是 3 的倍数．假如 k>1 ，因 a k＝ 2a k－1或 a k＝ 2a k－1－ 36，所以 2a k－1是 3 的倍数，于是a k－1是 3的倍数，似可得， a k－2，⋯， a1都是 3的倍数，进而随意n≥1， a n是 3 的倍数，所以 M 的全部元素都是 3 的倍数．(3)∵ a1≤ 36， a n＝2a n－1，a n－1≤ 18，2a n－1－36， a n－1>18 ，∴a1≤ 18， a2＝ 2a1≤ 36,18<a1≤ 36， 0<2a1－ 36≤36，∴a2≤ 36.假 a k≤ 36，当 a k≤ 18， a k＋1＝ 2a k≤ 36，当 18<a k≤ 36， a k＋1＝ 2a k－ 36≤36.由数学法原理知，a n≤ 36.∵ a12a1，a1≤ 18，是正整数， a2＝a1>18.2a1－ 36，∴ a2是2 的倍数，进而当 n≥3 ， a n是 2 的倍数．假如 a1是 3 的倍数，由 (2) 知全部的正整数n，a n是 3 的倍数．假如 a1不是 3 的倍数，由(2) 知全部的正整数 n， a n都不是 3 的倍数．所以，若 a1＝ 1， M＝ {1,2,4,8,16,32,28,20} ．若 a1＝ 2， M＝ {2,4,8,16,32,28,20} ．若 a1＝ 4,8,16,32， M＝ {4,8,16,32,28,20} ．若a1＝ 3， M＝ {3,6,12,24} ，若 a 1 是 3 的倍数，则a n 必为 3 的倍数，所以当n ≥3时， a n ∈{12,24,36} ，∴会合 M 中的元素不会超出 5 个．假如 a 1 不是 3 的倍数，则 a n 都不是 3 的倍数， 则当 n ≥3时，都有 a n ∈{4,8,16,20,28,32} ，这时 M 中的元素个数不超出8.综上知，会合 M 中的元素个数最大值为8.反应练习一、选择题2＋ mi1．复数 z ＝ 1＋ i ( m ∈ k)是纯虚数，则 m 等于 ( )A ．－ 2B ．－ 1C ．1D ． 2[答案 ]A＋ m－＋ mi ＝[分析 ] 因为 z ＝ 1＋i2＋ m ＋ m －，＝2依据纯虚数的观点可得2＋ m＝ 0，解得 m ＝－ 2.22．(2015 福·建文， 7)设 a ＝ (1,2)，b ＝ (1,1) ，c ＝ a ＋k b ，若 b ⊥ c ，则实数 k 的值等于 ( )35A ．－ 2B ．－ 35 3 C.3D ． 2[答案 ] A[分析 ]由已知得 ⊥c ，所以 b ·c ＝ 0，所以 k ＋ 1c ＝ (1,2) ＋ k(1,1)＝ (k ＋ 1， k ＋ 2)，因为 b ＋ k ＋ 2＝ 0，解得 k ＝－ 3，应选 A. 22x ＋ 1f(x)＞3 建立的 x 的取值范围为3． (2015 山·东文， 8)若函数 f(x)＝2x － a 是奇函数，则使 ()A ．(－∞，－ 1)B ． (－ 1,0)C ．(0,1)D ． (1，＋ ∞)[答案 ] C[分析 ]观察 1.函数的奇偶性； 2.指数运算．x＋ 1 2 － x由题意 f(x)＝－ f(－x)，即 2 ＋ 1－ a)(2 x ＋ 1) ＝ 0，所以 a ＝ 1， f( x)x ＝－2 － x，所以， (12 － a－ a2x ＋ 12x ＋ 1＝ 2x －1，由 f(x)＝ 2x －1＞ 3 得， 1＜ 2x＜ 2,0＜ x ＜ 1，应选 C.4． (文 )某程序框图以下图，若该程序运转后输出的值是9，则() 5A ． a＝ 4B． a＝ 5 C．a＝ 6D． a＝ 7 [答案 ]A[分析 ]由框图的变化规律可知k1234S 3579 2345故 a 应取 4.(理 )已知程序框图以下图，则履行该程序后输出的结果是()A ． 4B． 8C．16D． 64[答案 ]D[分析 ]初值 S＝ 1， n＝ 0；第一次运转后，S＝ 1×20＝ 1， n＝ 0＋ 1＝ 1；第二次运转后，S＝ 1×21＝ 2，n＝ 1＋1＝ 2；第三次运转后， S＝ 2×22＝ 8，n＝ 2＋ 1＝ 3；第四次运转后， S ＝ 8×23＝64， n＝ 3＋ 1＝ 4，此时 n>3 建立，输出 S 值为 64.25． (2014 ·乡、许昌、平顶山调研新)复数 z1、z2知足 z1＝m＋ (4－m )i ，z2＝ 2cosθ＋ (λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，而且 z1＝ z2，则λ的取值范围是()A ． [－ 1,1]9，1]B ．[－1699 C ．[ － 16， 7] D ． [16， 1][答案] C2[分析 ]∵ z 1＝ z 2，∴ m ＋ (4－ m ) i ＝ 2cos θ＋ (λ＋ 3sin θ)i ，m ＝ 2cos θ， ∴ λ＝ 4sin 2 θ－ 3sin θ＝ 4(sin θ－ 3)2－ 9 ，当 sin θ＝3时， λ取最小值∴4－ m 2＝ λ＋3sin θ.8168－ 9，当 sin θ＝－ 1 时， λ取最大值 7，应选 C.166． (文 )履行以下图的程序框图，若 n ＝4，则输出 s 的值是 ( )A ．－ 42B ．－ 21C ．11D ． 43[答案 ]C[分析 ]程序运转过程挨次为：n ＝ 4→S ＝ 1，i ＝ 1， i ≤n 建立 →S ＝ 1＋ (－ 2)1＝－ 1， i ＝ 1＋ 1＝ 2，i ≤n 仍建立 → S ＝－ 1＋(－ 2)2＝ 3，i ＝ 2＋ 1＝ 3， i ≤n 仍建立 → S ＝ 3＋( －2) 3＝－ 5，i ＝3＋ 1＝ 4， i ≤n 仍建立 →S ＝－ 5 ＋( －2) 4＝11，i ＝ 4＋ 1＝ 5， i ≤n 不建立 →输出 S 的值 11 后结束．y ≤x(理 )已知 x 、y 知足不等式组x ＋y ≥2 ，则 z ＝ 2x ＋ y 的最大值与最小值的比值为 ()x ≤214 A. 2B ． 33C.2D ． 2[答案 ] D[分析 ]作出可行域如 ，作直l 0： 2x ＋ y ＝0，平移 l 0 当 点 A ， z min ＝ 3，当点 C ， z max ＝ 6，∴所求比2.14 x ＋7．(2015 ·西西工大附中六模 )已知： x ∈ (0，＋ ∞)， 察以下式子： x ＋ x ≥2，x ＋ x 2＝ 2x4 a*＋2n≥n ＋1(n ∈ N )， a 的 ()2 x ≥ 3⋯ 比有 x ＋ xnB ． nA ． n C ．n 2D ． n ＋ 1[答案 ]A1 4 xx 4a x x[分析 ]依据推理知 求解．由x ＋ x ≥2，x ＋ x 2＝ 2＋2＋x 2≥3， ⋯ 可得 x ＋ x n＝ n ＋ n ＋ ⋯＋ x ＋ a n ≥n ＋ 1(n ∈ N * )，所以 a ＝ n n ，故 A. n x8．已知点 A n (n ，a n )( n ∈N * )都在函数 f(x)＝ log a x(a>0 且 a ≠ 1)的 象上，a 2＋ a 10 与 2a 6的大小关系 ()A ． a 2＋ a 10>2a 6B ．a 2＋ a 10<2a 6C ．a 2＋ a 10＝2a 6D ． a 2＋ a 10 与 2a 6 的大小与 a 相关[答案]D[分析 ]由条件知 a n ＝ log a n ，∴ a 2＋ a 10＝ log a 2＋ log a 10＝ log a 20，2a 6＝ 2log a 6＝ log a 36，若 a>1， y ＝log a x 增函数， log a 20<log a 36，∴ a 2＋ a 10<2a 6，若 0<a<1 ，同理得 a 2＋a 10>2a 6，故 D ．9． (文 )(2014 ·州市 ) 下 的程序框 ， 出的 S ( )A ． 6B． 10 C．14D． 30 [答案] D[分析 ]行一次，＝14， i＝ 4；行四次，(理 )在如所示的算S＝ 1， i ＝ 2；行二次，S＝ 1＋ 4＝5 ， i ＝ 3；行三次，21＋ 3＋ 5＋⋯＋ 2013 的程序框中，判断框内填入(S＝ 5＋ 3230.)A ． i ≤ 1007B． i≤ 2011C．i <2013D． i ≤ 2013[答案 ]D[分析 ]由框知， S＝1＋ 3＋ 5＋⋯＋ 2013， i 初1，步2，S 中加上的最后一2013，故判断框中的条件i≤2013.y≤x10． (文 )(2014 中·原名校考 )已知数x、 y 足 x＋ay≤4，若 z＝ 3x＋ y 的最大 y≥116， a＝________.[答案 ]0[分析 ]y＝ x，直 y＝ x 与 y＝1 交点 A(1,1) ，然 z＝3x＋ y 最点不是 A 点，由x＋ ay＝ 4得B(4，4y＝ 1B， a＝0，若最点C，，得 C(4－ a,1)，若最点1＋ a1＋ a)，由x＋ ay＝ 4a＝－ 1，知a＝－ 1 不合意，∴ a＝ 0.y ≥0， 则 w ＝y － 1的取值范围是 ()(理 )若实数 x 、y 知足不等式组x －y ≥0，2x － y － 2≥0，x ＋ 11 B ．[－ 1 1A ．[－1， ]， ]32 3 C ．[ －1，＋ ∞)D ． [－ 1，1)22[答案 ] D[分析 ]作出不等式组表示的平面地区以下图．据题意， 即求点 M(x ，y)与点 P(－ 1,1)连线斜率的取值范围．由图可知 w min ＝ 1－0 ＝－ 1， w max <1，－1－1 2∴ w ∈ [－ 1，1)． 211． (文 )(2015 新·课标Ⅱ文， 8) 右侧程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术 ”．履行该程序框图，若输入的 a ，b 分别为 14,18，则输出的 a ＝ ()A ． 0B ． 2C ．4D ． 14[答案 ]B[分析 ]观察 由题意输出的 1.更相减损术； 2.程序框图．a 是 18,14 的最大条约数 2，应选B ．(理 )(2015福·建理，6)阅读以下图的程序框图， 运转相应的程序， 则输出的结果为()A ． 2B ． 1C ．0D ．－ 1[答案 ]C[分析 ]程序在履行过程中S ， i的值挨次为：i ＝ 1， S ＝ 0； S ＝ 0，i ＝ 2； S ＝－ 1， i ＝3；S ＝－ 1， i ＝4； S ＝ 0， i ＝ 5； S ＝ 0， i ＝6>5.程序结束，输出 S ＝ 0，应选 C.12． (文 ) 设 A 1、 A 2、 A 3、 A 4 是平面直角坐标系中两两不一样的四点，若→ →A 1A 3＝ λA 1 A 2 (λ∈→ →11R )， A 1A 4＝μA 1A 2(μ∈ R )且＋ ＝ 2，则称 A 3、A 4 调解切割 A 1A 2.已知点 C(c,0) 、D (d,0)(c 、 dλ μ∈R )调解切割点 A(0,0) ，B(1,0) ，则下边说法正确的选项是 ()A ． C 可能是线段 AB 的中点 B ．D 可能是线段 AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段 AB 上D ． C 、D 不行能同时在线段 AB 的延伸线上[答案 ]D[分析 ]→→ →→在同一条由 A 1A 3＝ λA 1A 2(λ∈ R )， A 1A 4＝ μA 1A 2( μ∈R )知：四点 A 1、 A 2、A 3、 A 4 直线上，因为 C 、D 调解切割点 A 、 B ，所以 A 、 B 、C 、 D 四点在同向来线上，且1＋ 1＝ 2，c d应选 D ．→ →3，∠ BAC ＝ 30°，设 M 是△ ABC 内的一点 (不在界限上 )，定(理 )△ ABC 知足 AB ·AC ＝ 2 义 f(M)＝ (x ， y ， z)，此中 x 、 y 、 z 分别表示△ MBC 、△ MCA 、△ MAB 的面积，若 f(M )＝ (x ，11＋4的最小值为()y ，2)，则 x yA ． 9B ． 8C ．18D ． 16[答案 ]C[分析 ] → → 3，∠ BAC ＝30°，∵AB ·AC ＝ 2→ →∴ |AB| ·|AC|＝ 4，∴ SABC ＝11 → → ＝° 1，AB ·AC sin30 ＝°|AB | |AC ·| sin30·△221 11 ∵ f(M )＝ (x ， y ， )，∴ x ＋ y ＋＝S △ MBC ＋S △ MCA ＋S △ MAB ＝ S △ ABC ＝ 1，∴ x ＋ y ＝ ，2221 4 ＝ ( 1 4 ) ·2(x ＋y)＝2(5＋ 4x y 4x y 4x y ，∴ ＋ ＋ ＋ ) ≥ 2(5＋2·)＝ 18，等号在y＝x y x y y xy xx即 x ＝ 1， y ＝ 1时建立．6 3二、填空题13．若不等式－ 1<ax 2＋ bx ＋ c<1 的解集为 ( － 1,3)，则实数 a 的取值范围是 ________．[答案 ](－ 1 ，1)2 21 12[分析 ] 当 a ＝ 0 时，存在 b ＝ 2， c ＝－ 2，使得相应的不等式－ 1<ax ＋ bx ＋c<1 的解集是( －1,3)，所以 a ＝ 0 合适题意；当 a>0 时，依题意得，－ 1 与 3 是方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 1 的两根，且 ax 2＋ bx ＋ c>－1 恒成立，于是有a>0，－ b＝－ 1＋ 3，a 解得 0<a<1；c － 12a ＝－ 1×3，b 2－ 4ac ＋当 a<0 时，依题意得，－ 1 与 3 是方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝－ 1 的两根，且 ax 2＋ bx ＋ c<1 恒成立，于是有a<0，－ b＝－ 1＋ 3，a解得－ 1<a<0.c ＋ 12a ＝－ 1×3，b 2－ 4ac －综上所述，知足题意的实数1 1a 的取值范围是 (－ ， )．2 214．(2014 新·课标Ⅰ理， 14)甲、乙、丙三位同学被问到能否去过 A 、 B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．[答案]A[分析 ]因为甲没去过 B 城市，且比乙去过的城市多，所以甲最多去过两个城市，所以甲去过 A 、C 城市，又乙没去过 C 城市，三人去过同一城市，则该城市甲必去过，故只好是A 城市．x＋ 2y－4≤0，15．(2014 浙·江文，12)若数 x、y 足 x－ y－1≤0，x＋y 的取范是 ________．x≥1，[答案 ][1,3][分析 ]本考的性划，数形合思想如，可行域暗影部分作直 l 0： x＋ y＝ 0，即 y＝－ x.平移l0至可行域，在A、 B 点， z 分取最小和最大．x＋ 2y－ 4＝ 0易知A(1,0)，立得 B(2,1)x－ y－ 1＝0∴1≤z≤3.16．(文 )(2015 太·原二模 ) “求方程 (3 x＋(4 x的解”有以下解思路：f(x)＝3x4 x，)) ＝ 1()＋( )5555f(x)在R上减，且f(2) ＝ 1，所以原方程有独一解x＝ 2.比上述解思路，不等式x6－ x－2>( x＋ 2)3－ x2的解集是 ________．[答案 ](－∞，－ 1)∪ (2，＋∞)[分析 ]原不等式形x6＋ x2>( x＋ 2)3＋( x＋ 2)，令 f(x) ＝x3＋ x，易知 f(x)在R上增，故原不等式等价于f(x2)>f( x＋2) ．等价于 x2>x＋ 2，解之得 x<－ 1 或 x>2.∴原不等式的解集(－∞，－ 1)∪ (2，＋∞)．(理 )当 x∈R， |x|<1 ，有以下表达式：2n1，1＋ x＋x＋⋯＋ x ＋⋯＝1－x1112 1 n11两同分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x dx＋⋯＋∫0x dx＋⋯＝∫0dx，2222 2 1－ x 进而获得以低等式：1 1 12 1 1 3＋⋯ ＋11n＋ 1＋⋯＝ ln2 ，1×＋×()＋×(2)×(2)2223n＋ 1依据以上资料所含的数学思想方法，算：0 1 11 1 212 1 31n1n ＋1＝ ________.C n×＋ C n×() ＋C n×()＋⋯ ＋C n×()22232n＋ 12。
2012高考真题分类汇编：不等式
2012高考真题分类汇编：不等式一、选择题1、【2012高考真题福建理9】若函数y=2x图像上存在点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203，则实数m的最大值为 A ．12 B.1 C. 32D.22、【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.A.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b B.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b C.若2a-2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a-2a=a b-3b ，则a ＜b3、【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元4、【2012高考真题山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-5、【2012高考真题辽宁理8】设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 556、【2012高考真题广东理5】已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-17、【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立的是A.B.C.D.8、【2012高考真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对9、【2012高考真题湖北理6】设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++A ．14 B ．13C ．12D ．3410、【2012高考真题江西理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，50二、填空题11、【2012高考真题山东理13】若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.12、【2012高考真题安徽理11】若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____．13、【2012高考真题全国卷理13】若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.14、【2012高考江苏13】已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．15、【2012高考江苏14】已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．三、解答题16、【2012高考真题新课标理14】 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为17、【2012高考真题浙江理17】设a R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．以下是答案 一、选择题 1、 B2、 A3、 C4、 A5、 D6、 B7、 C8、 A9、 C10、B二、填空题 11、 2=k12、[3,0]-13、1-14、915、[] 7e ，。
黑龙江省各地市2012年高考数学 最新联考试题分类大汇编(14)复数与推理证明.pdf
黑龙江省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（14）复数与推理证明
一、选择题：
2. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)为虚数单位，复数的实部和虚部之和为
A.0B.1C.2D.3
2.B，实部与虚部之和为.故选B.
2．已知则（ ）
A． B． C． D．
三、解答题：
21．（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值为2，设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。
（1）求k的取值范围；
（2）若对于任意，存在k，使得，求证：
21．（）
由及得， （2分）
设，得 （4分）
为减函数，故 为减函数
故当时有，此时，为减函数
当时，为增函数
所以为的唯一的极大值，因此要使，必有
综上，有成立 （12分）
（法二） 由已知：。
2012年高考数学真题汇编M推理与证明(文科)
M 推理与证明 M1 合情推理与演绎推理12．M1[2012·陕西卷] 观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________． 12．1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.16．M1[2012·湖南卷] 对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．16．(1)3 (2)2 [解析] 本题以二进制为依据考查数列推理，意在考查考生的逻辑推理能力，具体的解题思路和过程：由前几项的结果，得出规律．(1)由2＝21＋0＝10(2)易知b 2＝1,4＝1×22＋0×21＋0×20＝100(2)可知b 4＝1，同样可知b 6＝0，b 8＝1，所以b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3；(2)任何一个二进制的数，当1的个数为奇数的时候，连续的这样的数最多只有两个，所以c m 的最大值是2.[易错点] 本题易错一：推理能力不行，无法找到规律，导致无从下手；易错二：发现不了数列与二进制的关联，导致第(2)问无从下手．17．M1[2012·湖北卷] 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图1－6所示的三角形数：1－6将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示)17．[答案] (1)5 030 (2)5k (5k －1)2[解析] 由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，写出其若干项来寻找规律：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，即b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15.由上述规律可猜想： b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝a 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．20．C1、M1[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 20．解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－a )＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.5．M1[2012·江西卷] 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．925．B [解析] 个数按顺序构成首项为4，公差为4的等差数列，因此|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4＋4(20－1)＝80，故选B.M2 直接证明与间接证明23．D5、M2[2012·上海卷] 对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1,2，…，m )，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；(2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m －k ＋1＝C (C 为常数，k ＝1,2，…，m )，求证：b k＝a k (k ＝1,2，…，m )；(3)设m ＝100，常数a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.若a n ＝an 2－(－1)n (n ＋1)2n ，{b n }是{a n }的控制数列，求(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100)．23．解：(1)数列{a n }为：2,3,4,5,1或2,3,4,5,2或2,3,4,5,3或2,3,4,5,4或2,3,4,5,5. (2)因为b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }，b k ＋1＝max{a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}， 所以b k ＋1≥b k .因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ，所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .(3)对k ＝1,2，…，25， a 4k －3＝a (4k －3)2＋(4k －3)； a 4k －2＝a (4k －2)2＋(4k －2)； a 4k －1＝a (4k －1)2－(4k －1)； a 4k ＝a (4k )2－(4k )．比较大小，可得a 4k －2＞a 4k －3.因为12＜a ＜1，所以a 4k －1－a 4k －2＝(a －1)(8k －3)＜0，即a 4k －2＞a 4k －1.a 4k －a 4k －2＝2(2a －1)(4k －1)＞0，即a 4k ＞a 4k －2. 又a 4k ＞a 4k －1.从而b 4k －3＝a 4k －3，b 4k －2＝a 4k －2，b 4k －1＝a 4k －2，b 4k ＝a 4k . 因此(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100) ＝(a 2－a 3)＋(a 6－a 7)＋…＋(a 98－a 99)＝∑k ＝125(a 4k －2－a 4k －1)＝(1－a )∑k ＝125(8k －3)＝2525(1－a )．22．B12、M2[2012·湖南卷] 已知函数f (x )＝e x －ax ，其中a ＞0. (1)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＝k 成立．22．解：(1)f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当x ＝ln a 时，f (x )取最小值f (ln a )＝a －a ln a .于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当a －a ln a ≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增； 当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减．故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当a ＝1时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．(2)由题意知，k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝e x 2－e x 1x 2－x 1－a .令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x －e x 2－e x 1x 2－x 1，则φ(x 1)＝－e x 1x 2－x 1[e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1]，φ(x 2)＝e x 2x 2－x 1[e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1]．令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减； 当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增．故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1＞0，e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1＞0，又e x 1x 2－x 1＞0，e x 2x 2－x 1＞0， 所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0.因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立．M3 数学归纳法 M4 单元综合23．M4[2012·江苏卷] 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．23．解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是由m 是否属于A 确定的．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2⎝⎛⎭⎫或n ＋12，所以f (n )＝⎩⎨⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.20．B3、D4、M4[2012·北京卷] 设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1,2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1,2,3)； 记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；(2)设数表A 形如其中－1≤d≤0，求k(A)(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1－2d，r2(A)＝－1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝－2－2d.因为－1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示)．任意改变A A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)．从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b－f)＝a＋b－f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.2012模拟题1．[2012·肇庆一模] )A ．171B ．183C ．205D ．2681.B [解析] 由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即12＋32＋42＋62＝62,22＋42＋52＋82＝109，所以“x ”处该填的数字是32＋52＋72＋102＝183.2．[2012·潍坊模拟] 给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：( )①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．C [解析] ①正确；②若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”正确，可用反证法说明；③a －b ＞0⇒a ＞b ，取a ＝3＋i ，b ＝2＋i ，a －b ＞0，但a ，b 却不能比较大小，错误．3．[2012·梁山二中月考] 对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是( )A ．25B ．250C ．55D ．1333．D [解析] 第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，故操作出现的数值呈周期，且周期为3.2011＝3×670＋1，相当于操作一次．4．[2012·厦门质检] 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.4．2πr 4 [解析] 因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以W ＝2πr 4.5．[2012·韶关调研] 在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AECS △BEC＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．图G105.V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC [解析] 此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝AC BC ，类比得V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC.。
2012届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练(含完整答案)整套word稿-课时答案
专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. x＜0，有x2≤02. (2,3)解析：M＝(－∞，3)，N＝(2，＋∞)，∴ M∩N＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a－1)2－4＞0.4. [－1,1]解析：集合A＝[－1,1]，B＝(－∞，1]，∴ A∩B＝A.5.215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a，a＋45≤10≤a≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b－13≥0，b≤113≤b≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13解析：p：x2＋x－6＜0为真，则不等式的解集为A＝(－3,2)，由q：mx ＋1＞0得m＝0时，解集为B＝R，m＞0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－1m，＋∞，m＜0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m，m＝0时，A B成立；m＞0时，－1m≤－3,0＜m≤13；m＜0时，－1m≥2，－12≤m＜0，综上m∈⎣⎡⎦⎤－12，13.7. 12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的有15－x，只喜爱乒乓球的有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞)解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x＋3x＋1≥02x＋2－(x＋3)x＋1≥0x－1x＋1≥0(x－1)(x＋1)≥0且x≠－1x≥1或x＜－1.∴集合A＝{x|x≥1或x＜－1}．(2) (x－a－1)(2a－x)＞0(a<1)(x－a－1)(x－2a)＜0.∵a＜1，∴2a＜a＋1.∴2a＜x＜a ＋1.∴不等式的解为2a＜x＜a＋1.∴集合B＝{x|2a＜x＜a＋1}．∵B A，∴2a≥1或a ＋1≤－1，∴ a≥12或a≤－2.又a<1，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.10. 解：若命题p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m2－4＞0，－m＜0m＞2.若命题q为真，Δ＝16(m－2)2－16＜0,1＜m＜3.p或q为真，p且q为假，所以若命题p为真，命题q为假，则m≥3；若命题p 为假，命题q为真，则1＜m≤2，综上，则实数m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．第2讲函数、图象及性质1. f(x)＝(x－2)2解析：函数满足f(x)＝f(x＋2)，函数周期为2.则x∈[2,3]，x－2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解： 任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲 基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析： 二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )，∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲 函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点， 就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立， 即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明： 当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0， 故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解： 由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲 不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号． 即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18； 当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数， 故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲 导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析： 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2， －2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32， 若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立， 则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5； 当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2， 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲 三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ s inα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲 平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6， 则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要 解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲 数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ， 所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ， 当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ， 此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010， 有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值 极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。
2012年高考试题+模拟新题分类汇编专题理科L 算法初步与复数(高考真题+模拟新题).pdf
6.枣核 1.掌握以具体事物作贯穿全文的线索,围绕事物设置悬念的写法。
2.体会海外华人依恋故土的感情。
3.诵读赏析明白如话的散文语言中饱含的游子深情。
●重点: 1.了解作者写枣核的真正目的。
2.体会文中蕴含的深厚复杂的感情。
1.下面是某同学在预习文章时做的笔记,请你帮助他补充完整。
萧乾, 蒙古 族人,著名作家、翻译家和 记者 。
晚年多次出访欧美及东南亚国家进行文化交流活动,写出了三百多万字的回忆录、散文、特写、随笔及译作。
主要著作、译作有《篱下集》《梦之谷》《人生百味》《一本褪色的相册》《 莎士比亚戏剧故事集 》《尤利西斯》等。
1998年10月出版的《萧乾文集》收集了他的主要著作、译作。
? 2.给下列加点字注音。
蹊跷(qī)(qiāo) 嫣红(yān) 掐指(qiā) 山坳(ào) 玛瑙(nǎo)感慨(kǎi)诞生(dàn)踏访(tà) 拓展:请根据语境,给加点字注音。
(1)父亲劈(pī)头就问:“你为何将这块木头劈(pǐ)成两半,它可是有用的一块材料啊!” (2)解放军叔叔们帮受灾群众灌溉(ài)了很多农田,老百姓被他们这种不怕困难的大无畏的英雄气概(ài)深深感染,每当回首往事时都感慨(kǎi)良深。
3.请根据括号内的解释,结合上下文语境,写出相应的词语。
(1)掐指一算,分手快有半个世纪了,现在都已是(比喻老年人所剩的日子不多了,随时会死去)。
风烛残年 ? (2)她把我安顿在二楼临湖的一个房间后,就领我去(实地察访)她的后花园。
踏访 ? (3)他一面(故意玩弄花招,使人高深莫测)地说:“等会儿你就明白啦。
” 故弄玄虚 ? (4)追忆起当年在北海(坐船游玩)的日子。
泛舟 ? 4.朗读课文,根据下面图示填空。
问题一:阅读文章,整体感知。
1.文章紧扣“枣核”这个线索,先后写了哪些事件?你觉得“旧时同窗”的思乡之情重点表现在哪些事情上呢? 示例:先后写了索枣核——见枣核——话枣核,思乡之情重点体现在“旧时同窗”栽垂杨柳、建睡莲池、修建“北海”、月夜追忆往事等事件上。
2012届高考数学第二轮综合验收评估复习题25 理
综合验收评估复习题一、选择题1．复数1＋i1－i (i 是虚数单位)的虚部为A ．－1B ．0C ．1D ．2 解析1＋i 1－i ＝1＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝1＋i22＝2i2＝i ，故虚部为1. 答案 C2．(2011·日照模拟)i 是虚数单位，1＋2i 2－i 等于A ．iB ．5i C.4＋5i5D ．4＋5i 解析1＋2i 2－i ＝1＋2i 2＋i 2－i2＋i ＝2－2＋i ＋4i 5＝5i5＝i.答案 A3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由a ＝1，i ＝0→i ＝0＋1＝1，a ＝1×1＋1＝2→i ＝1＋1＝2，a ＝2×2＋1＝5→i ＝2＋1＝3，a ＝3×5＋1＝16→i ＝3＋1＝4， a ＝4×16＋1＝65＞50，∴输出4.答案 B4．(2011·某某)复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)，在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析∵z ＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，在第四象限．答案 D5．(2011·江南十校高三联考)某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |xC ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x D ．f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x解析 即输出的是奇函数且存在零点的函数，选项A 中的函数是偶函数，B 中的函数是奇函数但不存在零点，C 中的函数是奇函数且存在零点，D 中的函数是非奇非偶函数．答案 C6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为A ．a ≥5? B．a ≥4? C ．a ≥3? D．a ≥2?解析 20＝1×5×4，据题意需保证程序在a ＝4后终止，不再进一步执行，故填a ≥4? 答案 B 二、填空题7．若复数a ＋3i1－2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析a ＋3i 1－2i ＝a ＋3i 1＋2i 1－2i1＋2i ＝a －6＋3＋2a i5，由于该复数是纯虚数，故实数a 满足a －6＝0且3＋2a ≠0，所以a ＝6.故填6. 答案 68．(2011·某某六校第一次联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，利用如图所示的程序可求该数列的第________项．解析 第一次运行计算出的是a 2，n ＝2，第二次运行计算的是a 3，n ＝3，……，第九次运行计算的是a 10，n ＝10，此时结束循环．故填10.答案109．(2011·某某)根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m 的值为________．Read a，bIf a＞b Thenm←aElsem←bEnd IfPrint m解析∵a＝2，b＝3，∴a＜b，应把b值赋给m，∴m的值为3.答案 3三、解答题10．(2011·某某)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解析(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a是这8个数据的平均数)，求输出的S的值．解析 根据题中数据可得a －＝44， 由程序框图得S ＝42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋428＝7.12．在可行域内任取一点，如图所示的程序框图，则能输出数对(x ，y )的概率是多少？解析 区域⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，是以点(－1,0)，(0,1)，(1,0)，(0，－1)为顶点的正方形区域，其面积是2；区域x 2＋y 2≤12是以坐标原点为圆心、半径等于22的圆及其内部，恰好是正方形区域的内切圆，其面积为12π.根据几何概型的计算公式，这个概率值是π4，此即能输出数对(x ，y )的概率．。
2012年高考数学二轮复习精品资料_专题10推理证明_复数_算法框图(教师版)
2012年高考数学二轮复习精品资-专题10（教师版）【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义．2.会进行复数代数形式的四则运算．② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．7.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． (理科)8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环． 10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面：1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。
2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。
【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、小前提、结论）.2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。
北京2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(14)复数、推理与证明试题解析
北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题：（2）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（A ）(1,1) （B ）(1,1)- （C ）(1,1)-- （D ）(1,1)-【答案】B1. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)复数10i 12i=- A.42i - B. 42i -+ C. 24i + D. 24i -【答案】B【答案】D二、填空题：（9）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）复数2i 1i a +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = 2 .9．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)在复平面内，复数11i i+-对应的点的坐标为____．【答案】(0,1)9. (2012年4月北京市房山区高三一模理科i是虚数单位，则1ii=+__.i2121+三、解答题：【命题分析】本题是一道以集合为背景的创新题，考查函数的性质和不等式的证明。
考查学生的理解能力和分析能力。
读懂题意是解题的前提，解题是注意分类讨论思想的应用。
20. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分13分）1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数. （20）（本小题满分13分）换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T -−−→2,0,2,0,,0n -1T -−−→3,1,2,0,,0n -1T -−−→1T -−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分 （20）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共14分）若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(10)5g =.设(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =+++++．（20）（共14分）解：（Ⅰ）(g =，(20)5g =． …………2分（Ⅱ）1(1)(2)112S g g =+=+=；2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=；3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=．…………6分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m *∈N ， 有(2)()g m g m =． …………8分114n n S --=+ …………11分。
2012年高考数学复习检测题：不等式、推理与证明
第六单元 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1. 下列命题正确的是( )A. 若ac ＞bc ⇒a ＞bB. 若a 2＞b 2⇒a ＞bC. 若1a ＞1b⇒a ＜b D. 若a ＜b ⇒a ＜b 2. 若log a 2＜log b 2＜0，则( )A. 0＜a ＜b ＜1B. 0＜b ＜a ＜1C. a ＞b ＞1D. b ＞a ＞13. 已知x ＞y ＞z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( )A. xy ＞yzB. xz ＞yzC. xy ＞xzD. x |y |＞z |y |4. (2010·银川模拟)已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题①a c 2＞b c 2⇒a ＞b ； ②a 3＞b 3，ab ＞0⇒1a ＜1b； ③a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b； ④0＜a ＜b ＜1⇒log a (1＋a )＞log b 11－a. 其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )A. ab ＜b 2＜1B. log 12b ＜log 12a ＜0 C. 2b ＜2a ＜2 D. a 2＜ab ＜16. 若x ＞y ＞1，且0＜a ＜1，则：①a x ＜a y ；②log a x ＜log a y ；③x －a ＞y －a ；④log x a ＜log y a . 其中不成立的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，则4a －2b 的取值范围为____________．8. 设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A 、B 的大小关系为____________．9. (2010·潍坊模拟)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，设m ＝log a x ＋log a y ，则m 的取值范围为____________．10. 已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2________1a ＋1b.(填“＞”，“＝”，“＜”，“≤”或“≥”) 11. 有一根钢管，长度为4 000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于13配套，请列出不等关系． 12. 设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2(x ＞0且x ≠1)，试比较f (x )与g (x )的大小．第二节 一元二次不等式及其解法1. (2010·广东改编)函数f (x )＝lg(x 2－1)的定义域为( )A. (1，＋∞)B. (－∞，－1]C. (－∞，－1]∪[1，＋∞)D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)2. (2010·全国)不等式x 2－x －6x －1＞0的解集为( ) A. {x |x ＜－2，或x ＞3} B. {x |x ＜－2，或1＜x ＜3}C. {x |－2＜x ＜1，或x ＞3}D. {x |－2＜x ＜1，或1＜x ＜3}3. 关于x 的方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( )A. [－2，－1)∪(0,1]B. [－2，－1]∪(0,1]C. [－2，－1)∪(0,2]D. [－2，－1)∪[0,2]4. 若不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1，则( ) A ．a ＝2，b ＝－1 B ．a ＝2，b ＝1C ．a ＝－2，b ＝－1D ．a ＝－2，b ＝15. 在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A. －1<a <1B. 0<a <2C. －12<a <32 D ．－32<a <126. (2010·泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A. [－1,1] B. [－2,2] C. [－2,1]D. [－1,2]7. 不等式5x ＋2≥1的解集为________． 8. 已知{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．9. 若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．10. (2010·天津)设函数f (x )＝x －1x.对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是______．11. 函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )]的定义域为非空集合B .(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．12. 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1. 下列各点中，与点(2,2)在直线x ＋y －1＝0同一侧的是( )A. (0,0)B. (－1,1)C. (－1,3)D. (2，－3)2. (原创题)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ＋y ≤1表示的平面区域为( ) A. 四边形及其内部B. 等腰三角形及其内部C. 在第一象限的一个无界区域D. 不包含第一象限内的点的一个有界区域3. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 在平面直角坐标系上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为 ( ) A. 2 B. 32 C. 322D. 2 5. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎭⎫43，＋∞B. (0,1]C. ⎣⎡⎦⎤1，43D. (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 6. (2010·金华模拟)已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y (k ＞0)的可行域如图阴影部分(含边界)所示，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 4 7. (创新题)由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0,2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(含边界)用不等式组可表示为________．8. 已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________．9. 设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是________． 10. 已知平面区域D 是由以A (1,3)、B (2,0)、C (3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)在区域D 内仅在点(2,0)处取得最小值，则a 的取值范围为________．11. (2010·泰安模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：少？12. 已知O 为坐标原点，A (2,1)，P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，求|OP →|·cos ∠AOP 的最大值．第四节 基本不等式及其应用1. 设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－12. 若x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1y的最小值是( ) A. 2 B. 32 C. 1＋223D. 3＋2 2 3. 设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A. 8 B. 4 C. 1 D. 144. (2010·潍坊模拟)若0＜x ＜1，则f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( )A. 13B. 12C. 34D. 235. (2010·全国)已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A. (22，＋∞)B. [22，＋∞)C. (3，＋∞)D. [3，＋∞)6. (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. (2010·枣庄模拟)已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________． 8. 已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________． 9. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________． 10. 设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为________． 11. 已知a ＞2，试判断log a (a －1)·log a (a ＋1)与1的大小关系．12. 函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)；(2)求f (x )；(3)当0＜x ＜2时不等式f (x )＞ax －5恒成立，求a 的取值范围．第五节 合情推理与演绎推理1. (改编题)“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A. 正方形都是对角线相等的四边形B. 矩形都是对角线相等的四边形C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形D. 矩形都是对边平行且相等的四边形2. 下列推理是归纳推理的是()A. A、B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B. 由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C. 由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇3. 如图，把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是()A. 27B. 28C. 29D. 304. (2010·广州模拟)在平面内有n(n∈N*，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(6)等于()A. 19B. 22C. 24D. 325. 对于直线m，n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是()A. m⊥n，m∥α，n∥βB. m⊥n，α∩β＝m，n⊆αC. m∥n，n⊥β，m⊆αD. m∥n，m⊥α，n⊥β6. 已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则根据上述规律，第60个数对可能是()A. (3,8)B. (4,7)C. (4,8)D. (5,7)7. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．8. 观察以下三个等式：(1)13＋23＝9；(2)13＋23＋33＝36；(3)13＋23＋33＋43＝100，归纳其特点可以获得一个猜想是13＋23＋33＋…＋n 3＝______________.9. 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式____________成立．10. 观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为________________________________________________________________________．11. 观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34. 由上面两式的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．12. 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．第六节 直接证明与间接证明1. 命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A. 不成立B. 成立C. 不能断定D. 能断定2. (2010·济南模拟)若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 中一定有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 33. 若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A. a ＋1b >b ＋1aB. b a >b ＋1a ＋1C. a ＋1a >b ＋1bD. 2a ＋b a ＋2b >a b4. 设a ，b 是两个实数，给出下列条件：(1)a ＋b ＞1；(2)a ＋b ＝2；(3)a ＋b ＞2；(4)a 2＋b 2＞2；(5)ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A. (2)(3)B. (1)(2)(3)C. (3)D. (3)(4)(5)5. 设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A. a B. b C. c D. 不能确定6. 设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( ) A. 至少有一个不大于2 B. 都小于2C. 至少有一个不小于2D. 都大于27. (创新题)已知a ，b 为不相等的实数且a ＞0，b ＞0，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．8. (改编题)等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6＝________.9. (改编题)若x ≥1，则x 与ln x 的大小关系为________．10. 完成反证法证题的全过程．已知：a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列．求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则____________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________________＝____________________________＝0.但奇数个奇数之和不可能为偶数，这一矛盾说明p 为偶数．11. 已知a ，b ，c ，d 都是正数，且bc >ad ，求证：a b <a ＋c b ＋d <c d. 12. (2010·江苏启东中学模拟)已知a ＞b ＞0，求证：(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b.第七节 数学归纳法1. 等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( ) A. n 为任何正整数时都成立B. 仅当n ＝1,2,3时成立C. 当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D. 仅当n ＝4时不成立2. 某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A. 当n ＝6时该命题不成立B. 当n ＝6时该命题成立C. 当n ＝4时该命题不成立D. 当n ＝4时该命题成立3. 凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A. f (n )＋n ＋1B. f (n )＋nC. f (n )＋n －1D. f (n )＋n －24. 用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A. 1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B. 1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1＋2k ＋1C. 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1D. 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－15. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为( )A. 2k ＋1B. 2(2k ＋1)C. 2k ＋1k ＋1D. 2k ＋3k ＋16. 用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 2”时，验证的第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．7. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(n ∈N *)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除，假设a 4k 能被4整除，应证________．8. (改编题)用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为：________________________________________________________________________.9. (2010·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．10. 用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)． 11. 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算数列和S 1、S 2、S 3、S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．参考答案第一节 不等关系与不等式1. 解析：由不等式的性质可知D 正确．答案：D2. 解析：由log a 2＜log b 2＜0，得0＜a ＜1,0＜b ＜1，且1log 2a ＜1log 2b＜0， ∴log 2b ＜log 2a ＜0，∴0＜b ＜a ＜1.答案：B3. 解析：由已知可得x ＞0，z ＜0，由y ＞z 可得xy ＞xz ，故选C.答案：C4. 解析：对于③中，当a ＝－3，b ＝－1时，命题不成立．答案：C5. 解析：令b ＝13，a ＝12，则ab ＝16， b 2＝19，a 2＝14，故可排除A 、D ，因为y ＝log 12x 为减函数，所以log 12b ＞log 12a ＞0.因为y ＝2x 为增函数，所以2b ＜2a ＜2，故选C.答案：C6. 解析：由0＜a ＜1可知y ＝a x 与y ＝log a x ，y ＝x －a 在(0，＋∞)上均为减函数，又∵x ＞y ＞1，∴有a x ＜a y ，log a x ＜log a y ＜0，x －a ＜y －a ，log x a ＞log y a ，故只有①②正确． 答案：B7. 解析：设4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. 由－1≤a －b ≤2知－3≤3(a －b )≤6，又1≤a ＋b ≤4，∴－2≤4a －2b ≤10.答案：[－2,10]8. 解析：A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x －1)(x ＋1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)[(x 3－x )＋(x 3－1)]＝(x －1)[x (x －1)(x ＋1)＋(x －1)(x 2＋x ＋1)]＝(x －1)2(x 2＋x ＋x 2＋x ＋1)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)．∵x ∈R,2x 2＋2x ＋1＞0恒成立，∴(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)≥0，故A ≥B .答案：A ≥B9. 解析：由0＜x ＜y ＜a ＜1知0＜xy ＜a 2，且y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，又m ＝log a x ＋log a y ＝log a xy ＞log a a 2＝2，故m ＞2.答案：(2，＋∞)10. 解析：a b 2＋b a 2－1a －1b ＝b －a a 2＋a －b b 2＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2 ＝(a －b )a 2－b 2b 2a 2＝(a －b )2(a ＋b )a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，∴(a －b )2(a ＋b )a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：≥11. 解析：设截成500 mm 的x 根，600 mm 的y 根，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 500x ＋600y ≤4 000，y ＜3x ，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≤40，y ＜3x ，x ，y ∈N *.12. 解析：f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x －log x 4＝log x 34x .(1)当log x 34x >0时，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，34x >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<34x <1，也就是x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )；(2)当log x 34x ＝0时，即34x ＝1，也就是x ＝43时，f (x )＝g (x )；(3)当log x 34x <0时，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，0<34x <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，34x >1， 也就是1<x <43时，f (x )<g (x )．综上所述，当x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当1<x <43时，f (x )<g (x )．第二节 一元二次不等式及其解法1. 解析：由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1. 答案：D2. 解析：∵(x －3)(x ＋2)x －1＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋2)＞0，x －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋2)＜0，x －1＜0，∴x ＞3或－2＜x ＜1. 答案：C3. 解析：∵x ∈(－∞，1]，∴2x ∈(0,2]，∴0＜a 2＋a ≤2， 解得0＜a ≤1或－2≤a ＜－1. 答案：A4. 解析：由已知－12，1为方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，所以⎩⎨⎧－b a ＝12，1a ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.此时Δ＝1＋8＝9＞0，符合题意．答案：D5. 解析：∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]， ∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝1＋4(a 2－a －1)＝4a 2－4a －3<0，∴－12<a <32.答案：C6. 解析：当x ≤0时，f (x )≥x 2即为x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤2， 又x ≤0，所以－1≤x ≤0；当x ＞0时，f (x )≥x 2即为－x ＋2≥x 2，解得－2≤x ≤1， 又x ＞0，所以0＜x ≤1. 综上可知，－1≤x ≤1. 答案：A7. 解析：5x ＋2≥1⇔5x ＋2－1≥0⇔5－x －2x ＋2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≠0，(－x ＋3)(x ＋2)≥0，∴－2＜x ≤3.答案：(－2,3]8. 解析：由题意知， ax 2－ax ＋1≥0恒成立，若a ＝0，则不等式1≥0恒成立；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， ∴0<a ≤4，∴a 的取值范围为0≤a ≤4. 答案：[0,4]9. 解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，由题意知f (0)＝02＋a ×0＋a 2－1＜0，即a 2－1＜0，所以－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)10. 解析：f (mx )＋mf (x )＝mx －1mx ＋mx －mx .原不等式等价于2m 2x 2－m 2－1mx ＜0.令g (x )＝2m 2x 2－m 2－1， ∵x ≥1，若m ＞0，则mx ＞0，即g (x )＝2m 2x 2－m 2－1在x ∈[1，＋∞)上恒小于零，显然此时不成立，若m ＜0，则mx ＜0，即g (x )＝2m 2x 2－m 2－1在x ∈[1，＋∞)上恒大于零，则只需g (1)＞0，求得：m ＜－1. 答案：(－∞，－1)11. 解析：(1)由题意知2－x ＋3x ＋1≥0，解得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}．(2)由题意知(x －a －1)(x －2a )＜0.∵B ≠∅，且B ⊆A ，∴①⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜2a ，2a ≤－1或a ＋1≥1，解得a ＞1；②⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞2a ，a ＋1≤－1或2a ≥1，解得a ≤－2或12≤a ＜1.∴a ≤－2或12≤a ＜1或a ＞1.12. 解析：原不等式变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式变为－2x －2≥0，故其解集为{x |x ≤－1}； (2)当a ≠0时，不等式即为(ax －2)(x ＋1)≥0. ①当a ＞0时，不等式即为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≥2a 或x ≤－1；②当a ＜0时，不等式即为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0，2a －(－1)＝a ＋2a ， 当－2＜a ＜0时，2a ＜－1，故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式即为(x ＋1)2≤0，故其解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，－1＜2a ，故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1≤x ≤2a .综上，当a ＝0时，解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1≤x ≤2a .第三节 等比数列及其前n 项和1. 解析：将点的坐标代入x ＋y －1中，与代入点(2,2)同符号的即是． 答案：C2. 解析：作出符合条件的可行域即可． 答案：B3. 解析：画出满足条件的可行域，如图．令z ＝x ＋y ，即y ＝－x ＋z ，∴直线y ＝－x ＋z 过A (1,1)时截距最小， ∴z min ＝1＋1＝2. 答案：C4. 解析：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3x ＋1x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤3x ＋1x ≤0，，画出可行域如图．S △ABC ＝S △ADC ＋S △ADB ＝12×2×1＋12×2×12＝32.答案：B5. 解析：如图，画出可行域⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，再画x ＋y ＝a ，使x ＋y ≤a 与画好的可行域生成的新区域仍为三角形区域，则0<a ≤1或a ≥43.答案：D6. 解析：由题意易知当kx ＋y ＝ω与AE 所在直线平行时即可，∴－k ＝2－11－2＝－1，∴k ＝1.答案：A7. 解析：作出三条直线观察即可．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤02x ＋y ＋1≤08. 解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 答案：(－7,24) 9. 解析：如图，阴影部分为点B (x ，y )的可行域． ∵OA →·OB →＝x ＋y ，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2. 答案：210. 解析：平面区域D 如图．k AB ＝3－01－2＝－3，k BC ＝1－03－2＝1，若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)在区域D 内仅在点B 处取得最小值，应满足－3＜－a ＜1，即－1＜a ＜3，又因为a ＞0，所以a 的取值范围为0＜a ＜3. 答案：(0,3)11. 解析：设搭载产品Ax 件，产品By 件，预计收益z ＝80x ＋60y . 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图，作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图像得，当直线经过M 点时z 能取得最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，则M (9,4)． 所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元． 13. 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP →|·cos ∠AOP ＝|OP →|·|OA →|cos ∠AOP |OA →|＝OP →·OA →|OA →|，在图中标出点A (2,1)，OA →＝(2,1)， OP →＝(x ，y )，所以|OP →|·cos ∠AOP ＝2x ＋y 5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y ＝25得M (5,2)，这时z ＝12，此时|OP →|·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP →|·cos ∠AOP 的最大值等于1255.第四节 基本不等式及其应用 1. 解析：y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．答案：C2. 解析：1x ＋1y ＝x ＋2y 3·⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝13⎝⎛⎭⎫1＋2y x ＋x y ＋2≥13·⎝⎛⎭⎫3＋22y x ·x y ＝1＋223，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2，x ＝2y ，x ＝32－3，y ＝3－322时，等号成立． 答案：C3. 解析：∵3是3a 与3b 的等比中项， ∴(3)2＝3a ·3b ，即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)． 答案：B4. 解析：f (x )＝x (4－3x )＝13·3x ·(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋4－3x 22＝13×4＝43.当且仅当3x ＝4－3x ，即x＝23时取等号． 答案：D5. 解析：∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，即lg 2a －lg 2b ＝0，∴(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＝0，又∵a ≠b ， ∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴a ＋2b ≥22ab ＝22，又a ≠b ， 且0＜a ＜b ，∴a ≠2b ，∴a ＋2b ＞2 2. 答案：A6. 解析：∵a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b ＋b )＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )≥4(当a ＝2，b ＝22时，取等号)．答案：D7. 解析：1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，1ab＝ab 时，即a ＝b ＝1时取等号．答案：48. 解析：由a ＞b ＞c 知a －b ＞0，b －c ＞0， a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥ 2(a －b )(b －c )2＝(a －b )(b －c ).当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时取等号．答案：(a －b )(b －c )≤a －c29. 解析：由题意得A (－2，－1)， ∵A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1， 又mn >0，∴m >0，n >0. 1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2n m ·4m n＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．答案：810. 解析：由a ＞1，b ＞1及a x ＝b y ＝3 知x ＝log a 3，y ＝log b 3， 1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋lg 3b ＝log 3ab ， 而a ＋b ＝23≥2ab ，∴ab ≤3，∴log 3ab ≤1，即1x ＋1y≤1.当且仅当a ＝b ＝3时等号成立． 答案：111. 解析：∵a ＞2，∴log a (a －1)＞0， log a (a ＋1)＞0，且log a (a －1)≠log a (a ＋1)，∴log a (a －1)·log a (a ＋1)＜⎣⎡⎦⎤log a (a －1)＋log a (a ＋1)22＝⎣⎡⎦⎤log a (a 2－1)22＜⎣⎡⎦⎤log a a 222＝1，∴log a (a －1)·log a (a ＋1)＜1.12. 解析：(1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ，∴f (x )＝x 2＋x －2. (3)f (x )＞ax －5化为x 2＋x －2＞ax －5，即ax ＜x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)，∴a ＜x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x .当x ∈(0,2)时，1＋x ＋3x≥1＋23，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取等号，由3∈(0,2)，得⎝⎛⎭⎫1＋x ＋3x min ＝1＋23，∴a ＜1＋2 3. 第五节 合情推理与演绎推理1. 答案：B2. 答案：B3. 解析：设第n 个三角形数为a n ，则有：⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝2a 3－a 2＝3a 4－a 3＝4a 5－a 4＝5a 6－a 5＝6a 7－a 6＝7左右分别相加⇒a 7－a 1＝2＋3＋…＋7＝27. ∵a 1＝1，∴a 7＝27＋1＝28. 答案：B4. 解析：f (3)＝7，f (4)＝7＋4＝11，f (5)＝11＋5＝16，f (6)＝16＋6＝22. 答案：B5. 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧m ∥n ，n ⊥β⇒m ⊥β，又m ⊆α，∴α⊥β.答案：C6.当和为11时，共有11×102＝55个数对，因而第60个数对为和为12的第5个数对．答案：D7. 解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则体积比为1∶8. 答案：1∶88. 解析：∵9＝⎝⎛⎭⎫2×322,36＝⎝⎛⎭⎫3×422,100＝⎝⎛⎭⎫4×522，…，∴猜想：13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.答案：⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)229. 解析：∵b 9＝1＝b 1q 8⇒b 1＝q －8，∴b 1b 2…b n ＝(b 1b n )n2＝q n 2－17n 2，b 1b 2…b 17－n ＝(b 1b 17－n )17－n 2＝q n 2－17n2，∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n .答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)10. 解析：由1>12，1＋12＋122－1>22，1＋12＋13＋…＋123－1>32， 1＋12＋13＋…＋124－1>42， 1＋12＋13＋…＋125－1>52，可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2. 答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n211. 解析：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34，也可直接写成sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.下面进行证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos (2α＋60°)2＋sin α·cos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋1＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α(cos α·cos 30°－sin αsin 30°)＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边． 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.12. 解析：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2. 同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a2(定值)．第六节 直接证明与间接证明1. 解析：∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式． ∵a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)为常数， ∴{a n }是等差数列． 答案：B 2. 答案：C3. 解析：∵a >b >0，∴1b >1a，又a >b ，∴a ＋1b >b ＋1a.答案：A4. 解析：本题可用特值法，令a ＝b ＝34知(1)不行，令a ＝b ＝1知(2)不行，令a ＝b ＝－2知(4)(5)都不成立． 答案：C5. 解析：由已知易得1＋x ＞2x ＞2x ，∴b ＞a .∵(1＋x )(1－x )＝1－x 2＜1，又0＜x ＜1，即1－x ＞0，∴(1＋x )－11－x ＝(1＋x )(1－x )1－x ＜0.∴1＋x ＜11－x，∴c ＞b .答案：C6. 解析：假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥2x ·1x ＋2y ·1y ＋2z ·1z＝6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾，故假设a ，b ，c 都小于2错误． 答案：C7. 解析：x 2＝a ＋b ＋2ab 2＜2(a ＋b )2＝a ＋b ＝y 2，∴x ＜y .答案：x ＜y8. 解析：a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝4＋4d ＝12，∴4d ＝8， a 5＋a 6＝a 3＋2d ＋a 4＋2d ＝a 3＋a 4＋4d ＝12＋8＝20. 答案：209. 解析：设f (x )＝x －ln x (x ≥1)，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )＝x －ln x 在[1，＋∞)上是增函数． 又f (1)＝1－ln 1＝1＞0，∴x ＞ln x . 答案：x ＞ln x10. 答案：a 1－1，a 2－2，...，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)11. 证明：∵a ＋c b ＋d －ab＝(a ＋c )b －a (b ＋d )(b ＋d )b ＝bc －ad (b ＋d )b，a ，b ，c ，d ∈R ＋且bc >ad ， ∴bc －ad (b ＋d )b >0，∴a ＋c b ＋d >a b. 又c d －a ＋c b ＋d ＝c (b ＋d )－d (a ＋c )d (b ＋d ) ＝bc －ad d (b ＋d )>0， ∴c d >a ＋c b ＋d，∴不等式成立． 12. 证明：欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b. ∵a ＞b ＞0， ∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b 22b， 即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b 2b ，欲证a ＋b 2a＜1， 只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立． 欲证1＜a ＋b 2b ， 只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立．∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b 2b成立， 且以上各步骤都可逆，则(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立． 第七节 数学归纳法1. 解析：分别将n ＝1,2,3,4,5代入验证易知，B 正确．答案：B2. 解析：由数学归纳法的原理易知，C 正确．答案：C3. 解析：由题意易知增加的对角线条数为(n －1)条．答案：C4. 解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n －1都是连续的，因此当n ＝k ＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ，而右边应为2k ＋1－1.答案：D5. 解析：当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2，而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了(2k ＋1)(2k ＋2)．因此增加的代数式是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 答案：B6. 解析：将n ＝2,3,4,5分别代入验证，可得n ＝2,3,4时，2n ≤n 2，而n ＝5时，25＞52. 答案：57. 解析：本题考查的是从n ＝k 到n ＝k ＋1的变化．答案：a 4k ＋4能被4整除8. 解析：首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法．答案：(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6证明：(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝13×1＋1＝14，猜想成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1成立， 则当n ＝k ＋1时，11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，猜想成立，根据(1)(2)知猜想对任意n ∈N *都成立.。
2012高考数学新题分类汇编 推理与证明(高考真题+模拟新题)
2012高考数学新题分类汇编 推理与证明（高考真题+模拟新题）课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝e x＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),∵ f ′(x )＝e x＋1>0，∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴ f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，且f x 1＋x 32<f x 1＋f x 32，∵ BA →＝(x 1－x 2，f (x 1)－f (x 2))，BC →＝(x 3－x 2，f (x 3)－f (x 2))， ∴ BA →·BC →＝(x 1－x 2)(x 3－x 2)＋(f (x 1)－f (x 2))(f (x 3)－f (x 2))<0， ∴ ∠ABC 为钝角，判断①正确，②错；(2)若△ABC 为等腰三角形，则只需AB ＝BC ，即(x 1－x 2)2＋(f (x 1)－f (x 2))2＝(x 3－x 2)2＋(f (x 3)－f (x 2))2， ∵ x 1，x 2，x 3成等差数列，即2x 2＝x 1＋x 3， 且f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，只需 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，即2f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 3)，即 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32＝f x 1＋f x 32，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32<f x 1＋f x 32相矛盾， ∴△ABC 不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B. 解法二：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),图1－3∵ f ′(x )＝e x＋1>0，∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f (x )的图象(大致)∴ f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，且f x 1＋x 32<f x 1＋f x 32，如图1－2，设直线AB 、BC 的倾斜角分别为α和β，由0<k AB <k BC ，得α<β<π2，故∠ABC ＝π－(β－α)为钝角，判断①正确，②错误；由x 1，x 2，x 3成等差数列，得x 2－x 1＝x 3－x 2， 若△ABC 为等腰三角形，只需AB ＝BC ，则 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，由0<k AB <k BC ，知上式不成立，判断③错误，④正确，故选B.课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V →R 满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－[λy1＋(1－λ)y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，∴映射f1具有性质P；②f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2]，λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x22 ＋y2 )，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，∴映射f2不具有性质P；③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，∴映射f3具有性质P.故具有性质P的映射的序号为①③.课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] C 【解析】因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)∈[0]；反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.课标理数7.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A．3125 B．5625C．0625 D．8125课标理数7.M1[2011·江西卷] D 【解析】∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625，…，∴5n(n∈Z且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52011与57的末四位数相同，均为8125.故选D.课标文数6.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )A．01 B．43 C．07 D．49课标文数 6.M1[2011·江西卷] B【解析】∵75＝16807,76＝117649,77＝823543,78＝5764801，…，∴7n(n∈Z且n≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(n∈Z且n≥2)的末两位数为f(n)，则f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，∴72011与73的末两位数相同，均为43.课标理数15.M1[2011·山东卷] 设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.课标理数15.M1[2011·山东卷]xn－x＋2n【解析】观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2,4,8,16，…与对应项的关系，显然满足2n，故f n(x)＝x－x＋2.课标理数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．课标理数13.M1[2011·陕西卷] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2【解析】由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大1，再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大1，对每一行的最后一个数分析找规律为1,4,7,10，…，(3n－2)，对结果找规律为12,32,52，…，(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n ＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.课标文数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．课标文数13.M1[2011·陕西卷] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 【解析】因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边2个数，从2开始加，加3个数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个左边7个数，从4开始加，加7个数，右边7的平方，故第五项为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0. 因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a .从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标数学23.M4[2011·江苏卷] 设整数n ≥4，P (a ，b )是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a ，b ∈{1,2,3，…，n }，a >b .(1)记A n 为满足a －b ＝3的点P 的个数，求A n ；(2)记B n 为满足13(a －b )是整数的点P 的个数，求B n .课标数学23.M4[2011·江苏卷] 【解答】 (1)点P 的坐标满足条件：1≤b ＝a －3≤n －3，所以A n ＝n －3.(2)设k 为正整数，记f n (k )为满足题设条件以及a －b ＝3k 的点P 的个数．只要讨论f n (k )≥1的情形．由1≤b ＝a －3k ≤n －3k 知f n (k )＝n －3k ，且k ≤n －13.设n －1＝3m ＋r ，其中m ∈N *，r ∈{0,1,2}，则k ≤m .所以B n ＝∑m k ＝1f n (k )＝∑mk ＝1 (n －3k )＝mn －3m m ＋2＝m n －3m －2. 将m ＝n －1－r 3代入上式，化简得B n ＝n －n －6－r r －6.所以B n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n －6，n3是整数，n －n －6，n3不是整数.[2011·福州一模] 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数[2011·汕头期末] 设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有①a 2＋b 2>c 2＋h 2，②a 3＋b 3<c 3＋h 3， ③a 4＋b 4>c 4＋h 4，④a 5＋b 5<c 5＋h 5. 其中正确结论的序号是_______；进一步类比得到的一般结论是____________________．。
高考数学(理)二轮专题练习：推理与证明、复数、算法(含答案)
推理与证明、复数、算法1．推理方法(1)合情推理合情推理是依据已有的事实和正确的结论 (包含定义、公义、定理等 )，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推断某些结果的推理过程，概括和类比是合情推理常有的方法，在解决问题的过程中，合情推理拥有猜想和发现结论、探究和供给思路的作用，有益于创新意识的培育．S△PA′B′ PA′·PB′[问题 1]图1有面积关系：S△PAB＝PA·PB，则图2有体积关系：________.V P－A′B′C′ PA′·PB′·PC′答案V P－ABC ＝PA·PB·PC(2)演绎推理演绎推理是指假如推理是从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包含：①大前提；②小前提；③结论．2．证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公义等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②剖析法一般地，从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个显然建立的条件 (已知条件、定义、定理、公义等 )，这种证明方法叫剖析法．剖析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假定原命题不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假定错误，进而证明原命题建立，这种证明方法叫反证法．(3)数学概括法一般地，证明一个与正整数n 相关的命题，可按以下步骤进行：① (概括奠定 )证明当 n 取第一个值 n0 0∈N*)时命题建立；(n② (概括递推 )假定 n＝ k (k≥n0，k∈N* )时命题建立，证明当n＝ k＋ 1 时命题也建立．只需达成这两个步骤，就能够判定数题对从n0开始的全部正整数n 都建立．上述证明方法叫做数学概括法．[问题2]用反证法证明命题“三角形三个内角起码有一个不大于60°”时，应假定________________________________________________________________________ ．答案三角形三个内角都大于60°3．复数的观点关于复数 a＋ bi(a，b∈R)，a 叫做实部， b 叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数 a＋ bi(a，b∈R )是实数 a；当 b≠0时，复数 a＋ bi 叫做虚数；当a＝ 0 且 b≠0时，复数a＋bi 叫做纯虚数．[问题 3]若复数 z＝ lg(m2－ m－ 2)＋ i ·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m 的值为 ________．答案－ 24．复数的运算法例与实数运算法例同样，主假如除法法例的运用，此外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(121＋ i＝ i ；1－ i＝－ i ； (3)i4n＝ 1； i4 n＋14n＋2＝－ 1； i4n＋ 34n4n＋ 1i)±＝±2i； (2)1＋ i ＝ i ； i＝－ i ； i＋ i1－ i＋ i 4 n ＋2 4 n＋3 1 30232＋ i＝ 0； (4)设ω＝－±2i ，则ω＝1；ω＝ω；ω＝ 1； 1＋ω＋ω＝0.2[问题 4]已知复数 z＝1－3i， z 是 z 的共轭复数，则 | z |＝ ________.3＋ i答案15．算法(1)控制循环构造的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这种题目时第一要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是知足条件时结束仍是不知足条件时结束．(2)条件构造的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，此中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要认真鉴别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要遗漏也不要重复了端点值．[问题 5]履行以下图的程序框图，假如输出a＝341，那么判断框中能够是()A ． k<4?B ． k>5?C． k<6? D ． k<7?答案C分析依据程序框图，第一次循环，a＝0＋ 1＝ 1， k＝ 1＋ 1＝2；第二次循环，a＝4×1＋ 1＝5， k＝ 2＋ 1＝ 3；第三次循环，a＝4×5＋ 1＝21， k＝ 3＋1＝ 4；第四次循环，a＝4×21＋ 1＝ 85， k＝ 4＋ 1＝ 5；第五次循环，a＝4×85＋ 1＝ 341， k＝5＋ 1＝ 6.要使输出的a＝ 341，判断框中能够是“k<6？”或“k≤5？”．应选 C.易错点 1 复数的观点不明致误例 1 若 z＝ sin θ－3＋ cos θ－4i 是纯虚数，则tan θ－π的值为 () 554A．－7 B ． 711C．－7D．－7 或－7找准失分点此题常有的错误主要有两点：一是混杂复数的相关观点，忽略虚部不为0 的限制条件，错得34sin θ＝， cos θ＝±，致使错选 D.二是记错两角差的正切公式，致使计算有误．55正解由 z 为纯虚数，知sin θ－3＝ 0，且 cos θ－4≠ 0. 5534sin θ3则 sin θ＝，进而 cos θ＝－.所以 tan θ＝＝－.55cos θ4ππ －3－ 1∴ tan θ－ ＝tan θ－tan 4 ＝4 ＝－ 7. 43π1＋ tan θ·tan 41－ 4答案A易 点 2 循 次数掌握禁止致例 2行下 的程序框 ，若 p ＝ 0.8， 出的 n ＝________.找准失分点 简单堕入循 运算的 “黑洞 ”，出 运算次数的误差而致 ．正解着框 箭 的走向列 出相关的 出数据，有1 ＝ 1 1 1 3 3 1S ： 0＋， ＋ 2 ， ＋ 32 2 22 ＝ 4 4 2 ＝ 0.875，n: 2,3, 4.“0.875<0.8 ”判断 “否 ”， 出 n ＝ 4.答案4易 点 3 数学 法未用 假 致例 3用数学 法 明等差数列的前n 和公式 S n ＝ na 1＋n n －d(n ∈ N ＋ )．2解① 当 n ＝ 1 ， S 1＝ a 1，等式建立．② 假 n ＝ k(k ∈ N ＋ ，k ≥1) ，等式建立，1即 S k ＝a 1k ＋ 2k(k － 1)d.当 n ＝ k ＋ 1 ， S k ＋1＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ⋯＋ a k ＋a k ＋ 1＝ a 1＋ (a 1＋ d)＋ (a 1＋ 2d)＋ ⋯ ＋[a 1＋ (k － 1)d] ＋(a 1＋ kd) ＝ (k ＋ 1)a 1＋ (d ＋2d ＋ ⋯ ＋kd)1＝ (k ＋ 1)a 1＋ 2k(k ＋ 1)d1＝ (k ＋ 1)a 1＋ 2(k ＋ 1)[(k ＋ 1)－ 1]d ，即当 n ＝k ＋ 1 ，等式建立．由 ①② 知，等式 随意的正整数n 都建立．找准失分点本 的 因在于从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理中，没实用到 假 ．正解① 当 n ＝ 1 ， S 1＝ a 1，等式建立．② 假 n ＝ k(k ∈ N ＋ ，k ≥1) ，等式建立，1即 S k ＝a 1k ＋ 2k(k － 1)d.当 n ＝ k ＋ 1 ， S k ＋1 ＝ a 1 ＋a 2＋ ⋯ ＋ a k ＋ a k ＋ 11＝ S k ＋a k ＋1＝ a 1k ＋ 2k(k － 1)d ＋ a 1＋ kd＝ (k ＋ 1)a 1＋ 1(k ＋ 1)[(k ＋ 1)－ 1]d2 即当 n ＝k ＋ 1 ，等式建立．由 ①② 知，等式 随意的正整数n 都建立．1． (2014 ·安徽 ) i 是虚数 位， z 表示复数 z 的共 复数．若z＋ i ·z 等于 ()z ＝ 1＋ i ， iA ．－ 2B ．－ 2iC ． 2D ． 2i 答案 Cz 1＋ i－ i 2＋ i分析 ∵ z ＝ 1＋ i ， ∴ z ＝ 1－ i ， i ＝ i ＝i＝1－ i ，∴ z＋ i ·z ＝ 1－ i ＋ i(1 － i) ＝ (1－ i)(1 ＋ i) ＝ 2. i故 C.2． (2014 ·福建 ) 如 所示的程序框 ，运转相 的程序， 出的 S 的 等于 ( )A ．18B ． 20C ． 21D ．40答案 B分析由 意，得S ＝ 0， n ＝ 1；S ＝ 0＋ 2＋ 1＝ 3<15，n ＝2； S ＝ 3＋ 22＋ 2＝ 9<15， n ＝ 3；S ＝9＋ 23＋ 3＝ 20， n ＝ 4，因 20≥15，所以 出S.故 B.3．复数 z 知足 (－ 1＋ i) z ＝ (1＋ i) 2，此中 i 为虚数单位， 则在复平面上复数z 对应的点位于 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D分析(－ 1＋ i) z ＝ (1＋ i) 2＝ 2i ，＋＝－ i(i ＋ 1)＝ 1－i ，则 z ＝ 2i＝i － 1－＋所以复数 z 在复平面上对应的点为 (1，－ 1)，则这个点位于第四象限．4． i 为虚数单位，复数1＋ ai为纯虚数，则实数 a 等于 ()2＋ iA ．－2B ．－ 131C.2D ． 2答案A1＋ ai＋ a － ＋ a＋a －2＋ a＝ 0，且分析 因为 2＋ i ＝＋－＝5为纯虚数，所以5 2a － 1≠0即 a ＝－ 2. 55．(2014 北·京 )学生的语文、 数学成绩均被评定为三个等级， 挨次为 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且此中起码有一门成绩高于乙，则称 “学生甲比学生乙成绩好 ”．假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好， 而且不存在语文成绩同样、数学成绩也同样的两位学生，那么这组学生最多有 ()A ．2 人B ．3 人C ．4人D ．5 人 答案 B分析假定知足条件的学生有 4 位及 4 位以上，设此中4 位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩同样，且这两个人数学成绩不同样(或 4 位同学中必有两个数学成绩同样，且这两个人语文成绩不同样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满 足条件的学生不可以超出3 人．当有 3 位学生时，用 A ， B ， C 表示 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”，则 知足题意的有 AC ， CA ，BB ，所以最多有 3 人．6． (2014 ·山东 )用反证法证明命题： “设 a ， b 为实数，则方程 x 3＋ax ＋ b ＝ 0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是 ( )A ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 没有实根B ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有一个实数C ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有两个实根D ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 恰巧有两个实根答案A分析方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 起码有一个实根的反面是方程x 3＋ ax ＋b ＝ 0 没有实根，故应选 A.7．若复数 z 1＝ 4＋ 29i ， z 2＝ 6＋ 9i ，此中 i 是虚数单位，则复数 (z 1－ z 2)i 的实部为 ________．答案－ 20分析(z 1－ z 2)i ＝ (－ 2＋ 20i)i ＝－ 20－ 2i ，故 (z 1－z 2)i 的实部为－ 20.8． (2014 ·江苏 )已知复数 z ＝ (5＋ 2i)2(i 为虚数单位 )，则 z 的实部为 ________．答案 21分析因为 z ＝ (5＋ 2i)2＝ 25＋ 20i ＋ (2i) 2＝ 25＋20i －4＝ 21＋ 20i ，所以 z 的实部为 21.x 2 y 29．椭圆与双曲线有很多优美的对偶性质，如关于椭圆有以下命题：AB 是椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0)2的不平行于对称轴且可是原点的弦，M 为 AB 的中点，则 k OM ·k AB ＝－ b2.那么关于双曲线则有ax 2 y 2以下命题： AB 是双曲线 a 2 － b 2＝ 1(a>0， b>0) 的不平行于对称轴且可是原点的弦， M 为AB 的中点，则 k OM ·k AB ＝ ________.2答案 ba 2分析设 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2) ，M (x 0， y 0)，x 0＝ x 1＋ x 22 ，则有y 1＋ y 2y 0＝2 .将 A ， B 代入双曲线 x 2 y 2＝1 中得2 － 2a b x 12 y 12 x 22 y 22a 2－b 2＝ 1， a 2 －b 2 ＝1，两式相减得x 12－ x 22 y 12－ y 222 ＝2 ，abx 1－ x 2x 1＋ x 2即a2y 1－ y 2 y 1＋ y 2 即x 1－ x 2x 1＋ x 2＝y 1－ y 2y 1＋ y 2 ，b 222＝b 2，即 k OM ·k AB ＝ b2.aa10． (2014 ·北湖 )设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将构成a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D (a)(比如 a ＝ 815，则 I(a)＝ 158，D( a) ＝851)．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，随意输入一个a ，输出的结果 b＝ ________.答案495分析取 a1＝ 815? b1＝851－ 158＝ 693≠815? a2＝ 693；由 a2＝ 693? b2＝ 963－ 369＝ 594≠693? a3＝594；由 a3＝ 594? b3＝ 954－ 459＝ 495≠594? a4＝495；由 a4＝ 495? b4＝ 954－ 459＝ 495＝ a4? b＝ 495.。
2012届高考理科数学第二轮综合验收评估复习题3
一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是 A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1,2]解析 原不等式等价于(x －2)(x ＋1)≤0且x ≠－1，解得{x |－1＜x ≤2}． 答案 D2．(2011·兰州模拟)若b ＜a ＜0，则下列不等式中正确的是 A.1a ＞1b B ．|a |＞|b | C.b a ＋ab ＞2D ．a ＋b ＞ab解析 1a －1b ＝b －aab ＜0，A 选项错；b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒|b |＞|a |，B 选项错； b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2， 由于b a ≠ab ，所以等号不成立，C 选项正确； a ＋b ＜0且ab ＞0，D 选项错．故选C. 答案 C3．(2011·滨州模拟)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1解析 作出可行域，可得平面区域的面积S ＝12(a ＋2)·2(a ＋2)＝(a ＋2)2＝9， 由题意可知a ＞0，∴a ＝1. 答案 D4．设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －3a x ＋3)，则使f (x )＞0的x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(log a 2,0)D ．(log a 2，＋∞)解析 根据题意可得0＜a 2x －3a x ＋3＜1， 令t ＝a x ，即0＜t 2－3t ＋3＜1， 因为Δ＝(－3)2－4×3＝－3＜0， 故t 2－3t ＋3＞0恒成立， 只要解不等式t 2－3t ＋3＜1即可， 即解不等式t 2－3t ＋2＜0，解得1＜t ＜2，即1＜a x ＜2，取以a 为底的对数，根据对数函数性质得log a 2＜x ＜0.故选C. 答案 C5．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z＝OM →·OA→的最大值为 A ．4 2 B ．3 2 C ．4D ．3解析由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.答案 C6．若x ，y 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．答案 D 二、填空题7．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．解析 ∵(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ≥(2xy )2xy ＝4.答案 48．(2011·陕西)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．解析 令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.答案 19．(2011·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ，∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值为233. 答案233三、解答题 10．设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立．若綈p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围．解析 对于命题p 有x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，则命题p ：m ≤1. 对于命题q 有|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3， 则m 2＋5m －3≥3，即m 2＋5m －6≥0， 解得m ≥1或m ≤－6.若綈p ∧q 为真，则p 为假且q 为真， 所以⎩⎨⎧m ＞1m ≥1或m ≤－6，故m ＞1.11．(2011·安徽)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ；(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.证明(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1 xy，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.又由于1＜a≤b≤c，所以x＝log a b≥1，y＝log b c≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．12．(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e x k.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．解析(1)f′(x)＝1k(x2－k2)e xk.令f′(x)＝0，得x＝±k.当k＞0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：↗↘↗k，k)．当k＜0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：↘↗↘k)．(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝1ekk+＞1e，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1 e.当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2 e.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e等价于f(－k)＝4k2e≤1e，解得－12≤k＜0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.高!考+试?题⌒库。
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2012年高考数学二轮复习综合检测：专题七不等式、推理与证明、算法与复数时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1[答案] B[解析] ∵(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0a ≠1，∴a ＝2.故选B. (理)(2011·理，1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S [答案] B[解析] i 2＝－1∈S ，故选B.2．(文)(2011·文，6)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] “方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m 2－4>0，解得m >2或m <－2.(理)(2011·文，3)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b[答案] B[解析] 取a ＝1，b ＝2，易排除A 、C 、D. 3．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a ，b ∈R ，且a ·b ≠0，则a b ＋ba≥2C ．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则a n >b n (n ∈N *)D ．若a >b ，c >d ，则a d >bc[答案] C[解析] 当c ＝0时，A 不成立；当ab <0时，a b ＋b a ≤－2，B 不成立；若dc ＝0，a d >bc不成立，D 不成立，故选C.4．(2011·理，8)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3][答案] D[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即(x ＋z,3)·(2，y －z )＝0， ∴z ＝2x ＋3y不等式|x |＋|y |≤1表示如图所示平面区域．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0过点A (0,1)时z 取最大值3. 平移l 0过点C (0，－1)时，z 取最小值－3， ∴z ∈[－3,3]．5．(2011·模拟)观察下列数表规律： 3141516则从数2011到2012的箭头方向是( ) A ．2011 B ．2011 C ．2011 D ．2011[答案] D[解析] 由图可以看出，每隔4个数，箭头方向相同，可认为T ＝4，又2011＝502×4＋3，所以2011处的箭头方向同数字3处的箭头方向，故选D.6．(2011·理，7)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5[答案] C[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ，∵a >0，b >0，∴2a b ＋b2a≥22a b ·b2a＝2，当且仅当 2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C.7．(文)(2011·文，6)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] P ＝1，S ＝1―→P ＝2，S ＝1＋12＝32―→P ＝3，S ＝32＋13＝116―→P ＝4，S ＝116＋14＝2512>2，所以输出P ＝4. (理)(2011·理，4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13D ．2[答案] D[解析] 由框图知得：i ：0→1→2→3→4，则s ：2→13→－12→－3→2.选D.8．(2011·新课标理，1)复数2＋i1－2i的共轭复数是( ) A ．－35iB.35i C ．－i D ．i[答案] C[解析] 依题意：2＋i1－2i＝2i －11－2i ·i ＝－1i ＝i ，∴其共轭复数为－i ，选C.9．(文)(2011·文，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为( )A ．0.5B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] 第1次循环：x ＝－4，x ＝|－4－3|＝7 第2次循环：x ＝7，x ＝|7－3|＝4 第3次循环：x ＝4，x <|4－3|＝1，y ＝21＝2.输出y .(理)(2011·理，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 第一次运行结束：i ＝1，a ＝2 第二次运行结束：i ＝2，a ＝5 第三次运行结束：i ＝3，a ＝16第四次运行结束：i ＝4，a ＝65，故输出i ＝4，选B.10．(2011·理，8)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2][答案] C[解析]OA→·OM→＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥2x≤1y≤2表示的平面区域如图所示．可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则OA→·OM→的取值围是[0,2]，故选C.11．(2011·理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元[答案] C[解析]设派用甲车数x辆，乙车数y辆，由题意：约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤122x ＋y ≤1910x ＋6y ≥72x ≤8y ≤7，目标函数：z ＝450x ＋350y经平移9x ＋7y ＝0得过A (7,5)利润最大z ＝450×7＋350×5＝4900元，故选C.12．(文)(2011·二检)设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的取值围是( )A.12≤λ≤1 B ．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22 D ．1－22≤λ≤1＋22[答案] B[解析] 设P (x ，y )，则由AP →＝λAB →得，(x －1，y )＝λ(－1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－λy ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－λy ＝λ.若OP →·AB →≥PA →·PB →，则(x ，y )·(－1,1)≥(1－x ，－y )·(－x,1－y )， ∴x 2＋y 2－2y ≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0， ∴1－22≤λ≤1＋22.又点P 是线段AB 上的一个动点，∴0≤λ≤1， ∴1－22≤λ≤1.故选B.(理)(2011·二模)已知函数f (x )＝－x 3＋px 2＋qx ＋r ，且p 2＋3q <0，若对x ∈R 都有f (m 2－sin x )≥f (m ＋2＋cos x )成立，则实数m 的取值围为( )A ．[0,1]B ．[2，5]C ．[1，2]D ．[0，2][答案] A[解析] 由题知，f ′(x )＝－3x 2＋2px ＋q ，其判别式Δ＝4p 2＋12q ＝4(p 2＋3q )<0，∴f ′(x )<0， ∴f (x )在R 上单调递减． 又f (m 2－sin x )≥f (m ＋2＋cos x )，∴m 2－sin x ≤m ＋2＋cos x ，即m 2－m －2≤sin x ＋cos x . 记t ＝sin x ＋cos x ，则问题等价于m 2－m －2≤t min .又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，x ∈R ，∴t min ＝－2，所以m 2－m －2≤－2，解得0≤m ≤1，∴实数m 的取值围是[0,1]．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．) 13．(2011·潍坊三模)在各项为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12(a n ＋1a n )，则a 3＝________，猜想数列{a n }的通项公式为________．[答案] 3－ 2 n －n －1[解析] (1)由S n ＝12(a n ＋1a n )可计算出a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－2.(2)由a 1，a 2，a 3可归纳猜想出a n ＝n －n －1.14．(文)(2011·理，12)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．[答案] 5[解析] 第一次执行循环体时，k ＝3，a ＝44＝64，b ＝34＝81，由于a <b ，所以执行第二次循环．第二次执行循环体时，k ＝4，a ＝44＝256，b ＝44＝256，由于a ＝b ，所以执行第三次循环．第三次执行循环体时，k ＝5，a ＝45＝1024，b ＝54＝625，由于a >b ，退出循环结构，输出k ＝5，应填：5.(理)(2011·理，13)执行下图所示的程序框图，输入l ＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是________．[答案] 68[解析] 依题意，l ＝2，m ＝3，n ＝5，则l 2＋m 2＋n 2≠0， ∴y ＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105 ∴y ＝278－105＝173. 又173>105，∴y ＝173－105＝68<105. ∴y ＝68.15．(文)(2011·理，10)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)的最小值为________． [答案] 9[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋2×2＝9，当且仅当1x 2y 2＝4x 2y 2时等号成立．(理)(2011·文，16)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233[解析] 由x 2＋y 2＋xy ＝1可得，(x ＋y )2＝xy ＋1 而由均值不等式得xy ≤(x ＋y2)2∴(x ＋y )2≤(x ＋y2)2＋1整理得，34(x ＋y )2≤1 ∴x ＋y ∈[－233，233]∴x ＋y 的最大值为233.16．(文)(2011·锡常镇三调)将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________． [答案]n 22－n2＋3(n ≥3) [解析] 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数为n －11＋n －12＝n 22－n2，则第n 行的第3个数为n 22－n2＋3(n≥3)．(理)(2011·二检)如图，点P 在已知三角形ABC 的部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P 关于△ABC 的面积坐标，其中μ＝△PBC 的面积△ABC 的面积，υ＝△APC 的面积△ABC 的面积，ω＝△ABP 的面积△ABC 的面积；若点Q 满足BQ →＝13BC →＋12BA →，则点Q 关于△ABC 的面积坐标为________．[答案] (12，16，13)[解析] 由点Q 满足BQ →＝13BC →＋12BA →可知Q 到BC 、AC 、AB 三边的距离分别是三边相应高的12，16，13，所以S △QBC ＝12s ，S △AQC ＝16s ，S △AQB ＝13s (s 为△ABC 的面积)．故点Q 关于△ABC 的面积坐标为(12，16，13)．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1有零点，数a 的取值围． [解析] 解法一：令2x ＝t ，f (x )有零点，即方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，在(0，＋∞)有解． 变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－[(t ＋1)＋2t ＋1]＋2≤2－22，∴a 的围是(－∞，2－22]．解法二：t 2＋at ＋a ＋1＝0在(0，＋∞)有解，①有两解，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＋1≥0，－a >0，a ＋1>0，得－1<a ≤2－2 2.②有一解，令g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1，，则g (0)<0 ∴a ≤－1.∴a 的围是(－∞，2－22]．18．(本小题满分12分)(2011·理，19)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i )＝1－i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.[解析] (z 1－2)(1＋i )＝1－i ⇒z 1＝2－i设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i )(a ＋2i )＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴4－a ＝0，即a ＝4，∴z 2＝4＋2i .19．(本小题满分12分)(2011·理，19)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log a b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)立知所要证明的不等式成立．20．(本小题满分12分)写出求满足1×3×5×7×…×n >50000的最小正整数n 的算法并画出相应的程序框图．[解析] 算法如下： S1 S ＝1，i ＝3.S2 如果S ≤50000，则执行S3，否则执行S5. S3 S ＝S ×i .S4 i ＝i ＋2，返回执行S2. S5 i ＝i －2.S6 输出i.程序框图如图所示：21．(本小题满分12分)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2012是第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．[解析](1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n－1＋2n－1·2n－12＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．(4)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n －3410－14－1－2n －2210－12－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.22．(本小题满分14分)(文)(2011·文，20)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S i 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 也成等差数列．[解析] (1)若公比q ＝1，则S 1＝a ，S 3＝3a ，S 4＝4a ，而2S 3＝6a ≠S 1＋S 4≠5a ∴不满足S 1，S 3，S 4成等差数列，∴q ≠1 若q ≠1，由前n 项和公式知，S n ＝a 1－q n1－q，∵S 1，S 3，S 4成等差数列∴2S 3＝S 1＋S 4，即2a 1－q 31－q ＝a ＋a 1－q 41－q即2a (1－q 3)＝a (1－q )＋a (1－q 4)∵a ≠0，∴2(1－q )(q 2＋q ＋1)＝(1－q )＋(1－q )(1＋q )(1＋q 2) 又∵1－q ≠0∴2(1＋q ＋q 2)＝1＋(1＋q 2)(1＋q ) 即q 2＝q ＋1⇒q 2－q －1＝0，∴q ＝1±52(2)若公比q ＝1，则a m ＋k ＝a n ＋k ＝a i ＋k ＝a ， ∴a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 成等差数列若公比q ≠1，由S m ，S n ，S i 成等差数列得S m ＋S i ＝2S n 即a 1－q m1－q＋a 1－q i1－q＝2a 1－q n1－q∴2q n ＝q m ＋q i 又2a n ＋k ＝2a ·q n ＋k －1而a m ＋k ＋a i ＋k ＝a ·q m ＋k －1＋a ·q i ＋k －1＝a ·q k －1(q m ＋q i )＝a ·q k －1·2q n ＝2a ·q n ＋k －1 ∴a m ＋k ＋a i ＋k ＝2a n ＋k ，∴a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 也成等差数列．(理)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求证：在数列{a n }中对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1<a n ； (3)设c n ＝(2)b n ，试问数列{c n }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：因为b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1 ＝221－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1 ＝2(n ∈N *)．所以数列{b n }是等差数列．(2)证明：要证a n ＋1<a n ，只要证a n ＋1－a n <0. 因为a 1＝1，所以b 1＝22a 1－1＝2，所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n .由b n ＝22a n －1，得2a n －1＝2b n ＝1n (n ∈N *)，所以a n ＝n ＋12n，所以a n ＋1－a n ＝n ＋22n ＋1－n ＋12n＝－12n n ＋1<0， 所以在数列{a n }中对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1<a n . (3)c n ＝(2)b n ＝2n ，设{c n }中存在三项c m ，c n ，c p (m <n <p ，m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则2·2n ＝2m ＋2p ，所以2n ＋1＝2m ＋2p,2n －m ＋1＝1＋2p －m ，因为m <n <p ，m ，n ，p ∈N *，所以n －m ＋1，p －m ∈N *,2n －m ＋1为偶数，1＋2p －m 为奇数，所以2n －m ＋1与1＋2p －m 不可能相等，所以数列{c n }中不存在可以构成等差数列的三项．。