第4章 变形率和旋率
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第4章 变形率和旋率
有限变形:与t 有关,t 作为参变量。——变形几何学 现在把时间考虑进去,研究变形的速度问题。
对时间求导数:两种描述法对时间求导数有区别,速度是求物质导数,固定K X ,对时间求偏导数——变形运动学。
§4.1 物质变形梯度的物质导数
Lagrange 描述法:
),(t X x x K k k =
(物质)变形梯度张量:
Grad k
k K
K
x X ∂=⊗∂∂=
=∂F i I x
F x X
物质导数:
()|K
X t
∂=∂F F (“K X |”表示保持K X 不变) 2(,)
(Grad t t t t ∂∂=
∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂==∂X
x X X
x x X X v v X
§4.2 速度梯度张量
变形梯度张量的物质导数
∂∂∂===⋅∂∂∂v v x F
G F X x X
(1) 定义:∂=
∂v
G x
称为速度梯度张量 grad =v
l k kl v G ,=
由(1),可得:1
-=⋅G F
F ,k l k l v =⊗
G e e 速度梯度张量
ⅢX
ⅠX
ⅡX
1
d X
0=t
G 比F
用处更大。 §4.3 线元d x 的物质导数
初始构形中的线元d X , 现时构形中的线元 d x
d d =x F X
求:d x 对时间的物质导数:
(d )(d )d d x F X F
X G F X ===⋅⋅ 则(d )d x G x =⋅ 反映了线元的变化速度。
空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线元的点积。
§4.4 G 的加法分解
F 用极分解,1-F 存在
而G 用加法分解,1
-G 不一定存在
=+G D Ω 分解对称部分和反对称部分
T 1()2=
+D G G T 1
()2=-ΩG G )(21,,k l l k kl v v D += )(21
,,k l l k kl v v -=Ω
变形率张量:D
整旋率张量:Ω (物质旋率)
(d )
d d =+⋅x D x Ωx 1.变形率张量D 。二阶对称张量,有三个相互垂直的主方向 (1,2,3)αα=n ,主值αD
(a D α)α=⋅⊗D n n
((d d d D x D x α)ααββα)αα⋅=⊗⋅=⋅D x n n n n
由上式看出,D 为变形率张量,αD 为αn 方向变形速率,αn 为变形率标架。
2.旋率张量Ω,反对称张量,只有三个独立的分量
*
d d d ⋅==⨯Ωx x ωx 写为
只要:321Ω=ω,132Ω=ω,21Ω=3ω,则上式成立。
ω称为轴矢量,转动角速度。
§4.5 变形速度张量
Euler 描述法:
222)d (d d )d ()d (L x x L l l k kl -=-δ
求物质导数:
l k kl l k kl l k kl x x x x
x x t
l t L l t d d d d )
d d (d d
)d (d d )d d (d d 222δδδ+===- ,d d k k K K x x X =
,,,,,d d d d d k k K K k K K k l l K K k l l
x
x X v X v x X v x ====
则 22,,T d
(d d )()d d d 1
2d d (())2
2d d k l l k k l kl k l l L v v x x t
D x x -=+==
+=D G G xD x
或写成 )(2
1
,,k l l k v v +称为Euler 变形速度张量。D (前面称为变形率张量),有了Euler 变形速度张量便可知)d d (d d 2
2L l t
-。
线元l d 的伸长率:
l k kl x x D l t l l t d d 2)d (d d
d 2)d (d d 2=⋅= 除以2
)d (2l ,则:l k kl l k kl n n D l
x l x D l l t =⋅=d d d d d )
d (d d
(其中k n ,l n 分别为l d 在k 和l 方向的方向余弦)
知道D 后,任何d x 的单位长度的变化率可用D 表示出来。 Lagrange 描述法:
2T d
(d )2d d d 2d d (d d )
l t
===xD x
XF DF X x F X (*)
∴Larange 变形速度张量为:
T =⋅⋅E
F D F 另推:Green 变形张量:C
2222d d d d d d d (dl d )d d d d d KL K L KL K L
KL K L
l L C X X X X L C X X t
-=-δ-=⋅=⋅⋅X C
X (**)
比较(*)与(**)式,Green 变形张量的物质导数
T 22==⋅⋅C
E F D F §4.6 应变速度张量
Lagrange 描述法: Green 应变张量:1
()2
=
-E C I 求物质导数:T 12
==⋅⋅E
C F
D F
Lagrange 应变速度张量:=Lagrange 变形速度张量。
另推:T T
T 111()()222
==⋅=+⋅E
C F F F F F F
T T T T T T 1
()
21
()2
=⋅⋅+⋅⋅=+=⋅⋅F G F F G F F G G F
F D F
Euler 描述法: Euler 型应变张量:11
()2
-=
-e I B (Almansi 应变张量) (前面:1
-B 称为Cauchy 变形张量)
11T 1()()---=B F F
求物质导数:1-T 1-T 111
()[()()]22
-⋅⋅--⋅=-=-+e
B F F F F 1-=FF I ,则 110--+⋅=FF
F F 则 11--=-⋅F
F G 同样:T
T
T
-=-⋅F
G F