现代控制理论 3-1 可控可观的概念 3-2 线性系统的可控性 (上)

c

c求系统的可控性矩阵

例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
& x1 (t ), x1 (t )
m1
⎡0 ⎢−1 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2
c
[
1 0 0 1 0 0 0 −2
e a
f (t )
k
前页
& x2 (t ), x2 (t )
m2
0⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ 0⎥ ⎥, b = ⎢−1⎥ ⎢0⎥ 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣2⎦
系统不可控！
rank b Ab A 2b
⎡0 ⎢−1 3 A b =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2
]
−1 0 2 0
0 3⎤ 3 0⎥ ⎥=2 0 − 6⎥ ⎥ −6 0 ⎦
t
y c
返回
PBH 秩判据 Popov-Belevitch-Hautus Tests
& 系统 x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) 完全可控 ⇔
A的特征值
c
rank [λi I − A B ] = dim(A ) = n
e a
i = 1,2,L , n
或者
rank [sI − A B ] = dim(A ) = n
t
y c
11

例：判别下列系统的可控性。
⎡0 ⎢0 & x=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
解:
A的特征值 λ1 = λ2 = 0, λ3 = 5 , λ4 = − 5
c
PBH 秩判据
e a
1 0
0⎤ ⎡ 0 0 − 1 0⎥ ⎢ 1 ⎥x + ⎢ 0 0 1⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 5 0⎦ ⎣− 2
1⎤ 0⎥ ⎥u 1⎥ ⎥ 0⎦
n = dim(A ) = 4
0 0 ⎡0 − 1 0 ⎢0 0 1 0 1 rank [0I − A B ] = rank ⎢ ⎢0 0 0 −1 0 ⎢ ⎣0 0 − 5 0 − 2
t
y c
1⎤ 0⎥ ⎥=4 1⎥ ⎥ 0⎦
1⎤ ⎥ 0⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦
前页
⎡ ⎢ rank 5I − A B = rank ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
[
⎡− 5 − 1 0 0 0 ⎢ 1 − 5 0 1 0 rank − 5I − A B = rank ⎢ ⎢ 0 0 − 5 −1 0 ⎢ −5 − 5 −2 0 ⎢ 0 ⎣
[
0 0 ⎡s −1 0 ⎢0 s 1 0 1 或者 rank [sI − A B] = rank ⎢ ⎢0 0 s −1 0 ⎢ 系统可控！ ⎣0 0 − 5 s − 2
系统可控！
c
e a
]
]
5 0 0 0
−1 0 5 1 0 5 0 −5
0 0 1 0 −1 0 5 −2
t
y c
1⎤ 0⎥ ⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎦
1⎤ ⎥ 0⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦
12

PBH 特征向量判据
Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests A 不能有与B 所有的列正交的非零左特征向量
α T A = λα T , α T B = 0 ⇒ α ≡ 0
c
e a e a
t
特殊形式判据
y c
c
(1) A 为对角阵 (2) A 为约当阵
& x = Λx + Bu & x = Jx + Bu
t
y c
返回
13

(1) A 为对角阵
⎡λ1 0 L 0 ⎤ ⎢0 λ L 0 ⎥ 2 ⎥ Λ=⎢ ⎢M M M M⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 L λn ⎦
c
e a e a
b2
& x = Λx + Bu
B 矩阵的行不全为零 B 矩阵的行不全为零
t
c1
y c
返回
⎡λ ⎤ ⎡0⎤ & x=⎢ 1 x+ u λ2 ⎥ ⎢b2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
& x1 = λ1 x1 & x2 = λ2 x2 + b2u y = c1 x1 + c2 x2
y = [c1 c2 ]x
u 与 x1 无任何联系
系统不可控！
c
& x1
∫
λ1
x1
u
& x2
∫
λ2
x2
t
c2
y c
y
14

注意
c
秩判据
⎡λ1 ⎤ ⎢ ⎥ λ1 ⎢ ⎥ ⎢ λ2 ⎥ ⎣ ⎦
e a
[
对角阵含有相同元素时，要求更高！
B 矩阵的行线性无关 B 矩阵的行线性无关
A 的两重特征值有两个独立的特征向量
rank B AB A 2 B L A n-1B = dim(A ) = n
t
]
y c
返回
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可控性。
1， ⎢ &1 ⎥ = ⎢
& ⎡x ⎤ ⎣ x2 ⎦ ⎡− 2 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣0⎦
& ⎡ x1 ⎤ ⎡8 0 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡u ⎤ ⎢& ⎥ 2， ⎢ x2 ⎥ = ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢3 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u & ⎢ x3 ⎥ ⎢0 0 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 2⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
1 3， ⎢ &1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢1⎥u ⎣ x2 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
c
& ⎡x ⎤
e a
有全零行 系统不可控！ 没有全零行 系统可控！
⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1⎤
行线性相关 系统不可控！
or: 秩判据 rank [b Ab] = rank ⎢
⎡1 1⎤ = 1 < dim A = 2 1 1⎥ ⎣ ⎦
t
y c
15