直角坐标系内点的移动规律.docx
直角坐标系中的平移
课前检测
在平面内，把一个图形的整体沿某一直 线方向移动一定的距离，会得到一个新图形。
图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2）图形平移的性质是什么？
新图形与原图形形状和大小完全相同。
对应点的连线平行且相等。
对应线段平行且相等。
对应角相等。
仔细观察，点A、 A1、 A2的位置与 坐标之间的关系，你发现了什么？
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1-1
1
2 3 4x
不变，
-2-2
-3 -3
则有A1 (-2,3) ,B1 (-3,1) ,C1 (-5,2) 。 猜想: △ A1B1C1与△ABC的大小、 形状
和位置上有什么关系，为什么？
1.例题探索
如图， △ ABC三个顶点的坐标 A(4,3),B(3,1),C(1,2)
（4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点
An´，则 点An ´点的坐标是 （-2-a ，-3） ；
在坐标系中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向上平移5个单位长度得到点A1，
则 点A1点的坐标是 （-2，2） ；
（2）将点A向上平移6个单位长度得到点A2，
则 点A2点的坐标是 （-2，3） ；
应点Ｐ的坐标应为（＿＿4，＿＿2＿.2＿）＿；
y４
Ｐ
●
３
２
４y
３
Ｐ
●
２
１
１
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
－２
－２
－３
－３
图１
图２
8、在直角坐标系中描出以下各点：
1用坐标表示平移
7.2.2 用坐标表示平移
-
教学新知
点平移与坐标变化规律： 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得 到对应点的坐标是（x+a ，y） 或（x-a ，y）；将点（x，y）向上（或下） 平移b个单位长度，可以得到对应点的坐标是（x，y+b）或（x，y-b）.
知识梳理
答案：解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移 后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4） 平移后点的坐标为：（-1，1）；（5）平移后点的坐标为：（3，-4）．
中考在线 考点：坐标与图形变化——平移。
【例1】（2015•大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2） 向右平移2个单位，所得的点的坐标是（ D ）.
【例2】（2015•济南）如图7-2-51，在平面直角坐标系中， △ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个 单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的 对应点A1的坐标为（ D ）.
A.（4，3） B.（2，4） C.（3，1） D.（2，5）
知识梳理
图7-2-51
课堂练习
6.点P（a，b）向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到点（3，-4），则a=__4__，b=___-_5__.
讲评：本题考查了图形的平移变换.根据点的坐标的平移规律可得a-1=3， b+1=-4，再解可得a、b的值.
课堂练习
图7-2-54
课堂练习
讲评：考查了坐标与图形性质，坐标与图形变化-平移.（1）根据长方形 形状求出BC到y轴的距离，CD到x轴的距离，然后写出点B、C、D的坐标即 可；（2）根据图形写出平移方法即可.
平面直角坐标系点的坐标移动规律
平面直角坐标系点的坐标移动规律平面直角坐标系中的点的坐标移动规律在平面直角坐标系中，点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
点的坐标由x轴和y轴上的数值组成，通过改变这些数值，我们可以改变点在平面上的位置。
点的坐标移动可以有多种方式，下面我们将介绍一些常见的移动规律。
1. 平移：平移是指点在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指点在x轴方向上移动，垂直平移是指点在y轴方向上移动。
在平移过程中，点的x 轴和y轴坐标同时改变，但是它们的差值保持不变。
2. 旋转：旋转是指点围绕某个固定点旋转一定的角度。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指点沿着一个圆周顺时针方向旋转，逆时针旋转是指点沿着一个圆周逆时针方向旋转。
在旋转过程中，点的坐标随着旋转角度的变化而改变。
3. 缩放：缩放是指改变点到固定点的距离。
缩放可以分为放大和缩小两种。
放大是指点到固定点的距离变大，缩小是指点到固定点的距离变小。
在缩放过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的比例保持不变。
4. 对称：对称是指点关于某条直线或某个点对称。
关于直线对称是指点在直线两侧对称，关于点对称是指点关于一个点对称。
在对称过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的符号改变。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用。
通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
在实际应用中，点的坐标移动规律被广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
在几何学中，点的坐标移动规律可以用来描述线段、角度、面积等几何概念。
在物理学中，点的坐标移动规律可以用来描述物体的运动轨迹和变形过程。
在计算机图形学中，点的坐标移动规律可以用来生成图像和动画效果。
点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
通过改变点的x轴和y轴坐标，我们可以改变点在平面上的位置。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用，通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
6.难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律.docx
难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律—— 掌握不同 律，以不 万◆型一 沿坐 方向运 的点的坐 律探究1．如 ， 点 P 在平面直角坐 系中按 中箭 所示方向运 ，第1 次从原点运到点 (1， 1)，第 2 次接着运 到点 (2， 0)，第 3 次接着运 到点 (3， 2)⋯⋯ 按 的运 律， 第 2016 次运 后， 点 P 的坐 是 ________．2．(2017 阿· 州中考 )如 ，在平面直角坐 系中，一 点从原点O 出 ，沿着箭所示方向，每次移 1 个 位，依次得到点 P 1(0， 1)， P 2(1， 1)， P 3(1，0) ，P 4(1，－ 1)，P 5(2，－ 1)， P 6(2，0)， ⋯ ， 点 P 2017 的坐 是 ________．◆型二 原点呈 “回 ” 字形运 的点的坐 律探究3．在平面直角坐 系中，横坐 、 坐 都 整数的点称 整点．如 ，由里向外数第 2 个正方形开始，分 是由第 1 个正方形各 点的横坐 和 坐 都乘 2， 3，⋯ 得到的， 你 察 形，猜想由里向外第10 个正方形四条 上的整点个数共有()A ． 10 个 C ． 40 个B ．20 D ．80个个第 3 第 44．(2017 温·州中考 )我 把 1， 1， 2，3， 5， 8，13， 21，⋯ 数称 斐波那契数列，︵ ︵ ︵了 一步研究，依次以 列数 半径作 P1P2 P2P3 P3P4， ⋯得到斐波那契螺旋90° 弧 ，，，然后 次 接 P 1P 2， P 2P 3， P 3P 4， ⋯得到螺旋折 (如 )，已知点 P 1 (0， 1)，P 2(－ 1， 0)， P 3 (0，－ 1)， 折 上的点P 9 的坐 ()A ． (－ 6， 24)B ． (－6， 25)C． (－ 5， 24) D ． (－ 5， 25)◆ 型三形化中的点的坐探究5．(2017 河·南模 )如，点A(2， 0)， B(0， 2)，将扇形AOB 沿 x 正方向做无滑的，在程中点O 的点依次点O1，点 O2，点 O3⋯， O10的坐是 ()A． (16＋ 4π， 0)B． (14＋ 4π， 2)C． (14＋ 3π，2)D． (12＋ 3π， 0)6．如，在直角坐系中，第一次将三角形OAB 成三角形OA1B1，第二次将三角形 OA1B1成三角形 OA2B2，第三次将三角形OA2B2成三角形OA3B3.已知 A(1， 3)，A1 (2， 3)，A2(4， 3)， A3(8， 3)， B(2， 0)， B1(4， 0)， B2(8 ，0)， B3(16， 0)．(1)察每次后的三角形有何化，找出律，按此律再将三角形OA3B3成三角形 OA4B4， A4的坐是 __________， B4的坐是 __________ ；(2)若按 (1) 中找到的律将三角形 OAB 行了 n 次，得到三角形OA n B n，比每次中三角形点坐有何化，找出律，推点A n的坐是 __________，点 B n的坐是 __________．参考答案与解析1．(2016 ， 0)解析：合象可知，当运次数偶数次，横坐与运次数相等．∵2016 偶数，∴运2016 次后，点P 点运到x 上，且P 的坐是 (2016， 0)．2．(672， 1)解析：由已知得P7(2， 1)， P13(4， 1)，所以2017 ÷6＝ 336⋯⋯ 1，所以 P2017(336 ×2， 1)，即 P2017(672， 1)．P6n＋1(2n， 1)．因3．C解析：每个正方形四个点一定整点，由里向外第n 个正方形每条上除点外的整点个数如下表所示：由里向外第n 个正方形每条上除点外的整点个数1234⋯0123⋯可，第 n 个正方形每条上除点外有(n－ 1)个整点，四条上除点外有4(n－ 1)个整点，加上 4 个点，共有 4(n－ 1)＋4＝ 4n(个 )整点．当 n＝ 10 ，4n＝ 4×10＝ 40，即由里向外第 10 个正方形的四条上共有40 个整点．故 C.4．B 解析：由意， P5在 P2的正上方，推出P9在 P6的正上方，且到 P6的距离21＋ 5＝26，所以 P9的坐 (－ 6，25)，故 B.5．C6．(1)(16 ， 3) (32， 0) (2)(2n，3)(2n＋1， 0)解析： (1)∵ A1(2， 3)， A2 (4，3) ，A3(8， 3)，∴ A4的横坐 24＝ 16，坐 3.故点A4的坐 (16， 3)．又∵ B1(4， 0)，B2(8， 0)， B3(16， 0)，∴ B4的横坐 25＝32，坐0.故点 B4的坐 (32， 0)． (2)由 A123(2， 3)， A (4，3) ，A (8， 3)，可以它各点坐的关系横坐是2n，坐都是 3.故点 A n的坐 (2n， 0)．由 B1 (4，0) ，B2(8， 0)，B3(16， 0)，可以它各点坐的关系横坐是2n＋1，坐都是 0.故点 B n的坐(2n＋1， 0)．。
直角坐标平面内点的运动(基础)知识讲解
直角坐标平面内点的运动（基础）知识讲解【学习目标】1．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2. 能在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.3. 掌握一些特殊点的坐标特征及它们之间的距离的计算.【要点梳理】要点一、用坐标表示地理位置根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起． 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴，y 轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．要点诠释：(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的．所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．要点二、坐标系中一些特殊点的坐标及平行于坐标轴上的两点间的距离1.象限的角平分线上点坐标第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，-a)．2.关于坐标轴对称的点的坐标P(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．3. 平行于坐标轴上的两点间的距离在直角坐标平面内，平行于x 轴的直线上的两点A （1x ，y ）、B （2x ，y ）的距离AB ＝12x x -； 平行于y 轴的直线上的两点C （x ，1y ）、D （x ，2y ）的距离CD ＝12y y -．要点三、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x ，y)向右或向左平移a 个单位长度，可以得到对应点(x ＋a ，y)或(x －a ，y)；将点(x ，y)向上或向下平移b 个单位长度，可以得到对应点(x ，y ＋b)或(x ，y －b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x 轴平移纵坐标不变,沿y 轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示地理位置1．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝6，BC＝3，建立适当的坐标系并求A、B、C、D的坐标．【思路点拨】本题建立直角坐标系的方法有多种，属于开放型题型，要充分运用矩形的四个角为直角，对边平行且相等，轴对称性，建立适当的坐标系，并能方便地写出A、B、C、D 四个点的坐标．【答案与解析】解：如图：A（0，0），B（6，0），C（6，3），D（0，3）．【总结升华】建立平面直角坐标系的关键是先确定原点，再确定x轴、y轴，建立不同的平面直角坐标系，各顶点的坐标也不同．2．如图所示，在一次敌我双方交战中，我军先头部队在距敌方据点A处200米的B 处遇到敌方火力阻击，为了尽快扫除障碍，使我军驻C处的后续大部队顺利前进，先头部队请求大部队炮火支援．如果你就在先头部队中，你能表述出敌方据点的准确位置吗?【思路点拨】建立适当的直角坐标系，把A、B、C三点的位置用坐标表示出来．【答案与解析】解：如图所示，以B点为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，A、B、C各点的位置为A(-200，0)、B(0，0)、C(800，-600)．若以A 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，A 、B 、C 各点的位置为A (0，0)、B (200，0)、C (1000，-600)．若以C 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，A 、B 、C 各点的位置为A (-1000，600)、B (-800，600)、C (0，0)．【总结升华】对于本题，选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，都要让人一听一看就清楚所描述的位置．当然，就本题而言，选择B 点为坐标原点更贴切一些．举一反三：【变式】如图所示是某市市区几个旅游景点的示意图(图中每个小正方形的边长都为1个单位长度)，请以某景点为坐标原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置．光岳楼________，金风广场________，动物园________．【答案】本题的答案不唯一，现给出三种答案：(1)如果以山峡会馆为坐标原点，水平方向为横轴，取向右方向为正方向，竖直方向为纵轴，取竖直向上方向为正方向，则光岳楼的位置是(-3，1)，金风广场的位置是15,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，动物园的位置是(4，4)；(2)如果以光岳楼为坐标原点，水平方向为横轴，取向右方向为正方向，竖直方向为纵轴，取竖直向上方向为正方向，则光岳楼的位置是(0，0)，金风广场的位置是12,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，动物园的位置是(7，3)；(3)若以动物园为坐标原点，水平方向为横轴．取向右方向为正方向，竖直方向为纵轴，取竖直向上方向为正方向，则光岳楼(-7，-3)，金风广场19,42⎛⎫--⎪⎝⎭，动物园(0，0)．类型二、用坐标表示平移及特殊两点间的距离3. （荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（-1，3），则点P的坐标是．【思路点拨】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．【答案】（1，2）．【解析】新点P′的横坐标是-1，纵坐标是3，点P′向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到原来的点P，即点P的横坐标是-1+2=1，纵坐标为3-1=2．则点P的坐标是（1，2）．【总结升华】左右平移的单位数是平移后点的横坐标减去平移前对应点的横坐标，上下平移的单位数是平移后点的纵坐标减去对应平移前点的纵坐标．举一反三：【变式1】已知：两点A（-4，2）、B（-2，-6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(-3,2); (2)(1,2),(3,-6); (3)(-4,-1),(-2,-9).（0，1）．【答案】2、4．4.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(6，0)，C(5，5)．(1)求△ABC的面积；(2)如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求A2、B2、C2的坐标；(3)△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系．【思路点拨】 (1)已知AB＝6，故只要求得C到x轴距离即可．(2)在平面直角坐标系中，将图形向右(或左)平移a个单位长度，那么图形的点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可得对应点(x+a，y)或(x-a，y)，将图形向上(或向下)平移b个单位长度，可得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)．(3)可根据平移的性质进行分析和判断．【答案与解析】解：(1)点C到x轴的距离为5，所以11651522ABCS AB h==⨯⨯=△；(2)根据题意求出三角形A2B2C2各顶点的坐标为A2(2，1)，B2(8，1)，C2(7，6)；(3)连接A2B2C2三点可以看出△A2B2C2与△ABC的大小、形状相等或相同．【总结升华】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．举一反三：【变式1】如图，三角形DEF经过平移后得到三角形ABC，则点D坐标为，点E 的坐标为．【答案】D（2,2），E（3，-2）．【变式2】已知长方形ABCD的各边分别与x轴或y轴平行，已知A(-4.5，3.5)、B(-4.5，-1.5)、C(2.5，-1.5)、D(2.5，3.5)，则这个长方形的周长为，面积为．【答案】24，35．。
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)……依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．第2题图第3题图3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；(2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究4．(甘孜州中考)如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A20的坐标为________．第4题图第5题图5．★如图，一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1(1，0)，第2次运动到A2(1，1)，第3次运动到A3(－1，1)，第4次运动到A4(－1，－1)，第5次运动到A5(2，－1)……则第2015次运动到的点A2015的坐标是________．◆类型三图形变化的点的坐标的探究6．如图，长方形ABCD 的两边BC 、CD 分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点A (－1，2)，将长方形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过1次翻滚点A 对应点记为A 1，经过2次翻滚点A 对应点记为A 2……依此类推，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标为( )A ．(5，2)B ．(6，0)C ．(8，0)D ．(8，1)7．如图，在直角坐标系中，第1次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第2次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第3次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3.已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是________；(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是________，B n 的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P 的坐标是(2016，0)．2．(51，50) 解析：由题意，得A 100在第一象限，纵坐标为1002＝50，横坐标比纵坐标大1.∴点A 100的坐标为(51，50)．3．(1)6分钟(2)(44，8) 解析：观察图形得第12分钟坐标为(1，0)，第22分钟坐标为(0，2)，第32分钟坐标为(3，0)，第42分钟坐标为(0，4)……∵2016<452＝2025，第2025分钟坐标为(45，0)，第2024分钟坐标为(44，0)，2024－2016＝8，∴在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是(44，8)．4．(5，－5) 解析：∵20÷4＝5，∴点A 20在第四象限．∵点A 4所在正方形的边长为2，∴点A 4的坐标为(1，－1)，同理可得点A 8的坐标为(2，－2)，点A 12的坐标为(3，－3)，∴点A 20的坐标为(5，－5)．5．(－504，504) 解析：观察图形序号(大于4)，被4除余数为1的点在第四象限，被4除余数为2的点在第一象限，余数为3的点在第二象限，能被4整除的点在第三象限.2015被4除商为503，余数为3.由A 3(－1，1)，A 7(－2，2)，可得A 2015(－504，504)．6．D 解析：由题意可得下图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的位置如图所示，故A 5的坐标为(8，1)．故选D.7．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n ，3) (2n ＋1，0)解析：(1)∵A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，∴A 4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故A 4的坐标为(16，3)．∵B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，∴B 4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B 4的坐标为(32，0)；(2)由A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ，纵坐标都是3.故A n 的坐标为(2n ，3)．由B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0.故B n 的坐标为(2n ＋1，0)．。
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。
- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。
直角坐标平面内的运动
第二节 直角坐标平面内的运动【知识要点】知识点1 点沿坐标轴方向的平移如果点(,)M x y 沿着x 或y 轴平行方向平移(m m >0)个单位，那么向右平移所对应的点的坐标为(,)x m y +；向左平移所对应的点的坐标为(,)x m y -；向上平移所对应的点的坐标为(,)x y m +；向下平移所对应的点的坐标为(,)x y m -. 知识点2 点关于坐标轴、原定的对称变换在直角坐标平面内，与点(,)M x y 关于x 轴对称点的坐标为(,)x y -；与点(,)M x y 关于y 轴对称点的坐标为(,)x y -；与点(,)M x y 关于原定对称点的坐标为(,)x y --. 知识点3 点的简单旋转变换点(,)P x y 绕原点O 按逆时针方向旋转90︒到达点Q ，则Q '(,)y x - 知识点4 坐标轴上两点间的距离从知识点4有2121,A B A B M M x x N N y y ||=|-|||=|-|y yB N 22(,)B x y 22(,)B x y11(,)A x y A N (,)M x yA M OB M x 11(,)A x y O x图15-9 图15-10 知识点5 中点坐标设A B 、的直角坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，(,)M x y 是AB 的中点，则122x x x +=122y y y +=【典例例题】1.根据点的坐标求图形面积【例1】已知如图15-19ABC ∆的三顶点的坐标分别为(0,3)A 、(1,0)B -、(2,1)C ，求ABC ∆的面积.【解答】过点C 作x 轴的垂线，垂足为(2,0)D 。
ABC AOB BCD OACD S S S S ∆∆∆=+-梯形11113(21)2(21)1222=⨯⨯++⨯-+⨯ 334422=+-=（面积单位）。
y(0,3)A2.根据图形的变换求点的坐标【例2】 将例1中的ABC ∆先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，达到A B C ∆'''，求A B C ',','的坐标.【解答】 A B C ',','的坐标分别为(1,5)A '、(0,2)B '、(3,3)C '，平移变换是全等变换，ABC A B C ∴∆≅∆'''【例3】 已知ABC ∆的三顶点分别为(,0)A a -、(,0)B a 、(,)C b c ，将BC 绕B 按顺时 针旋转90︒，达到1BC ，求1C 的直角坐标.C By (,)C b c【解答】如图15-20，分别过C 与1C 作 1Cx 轴的垂线，垂足为D 、E ， O D E x 则1BC BC = (,0)A a - (,0)B a 190C BE CBD BCD ∠=︒-∠=∠， 图15-20190BDC BEC ∠=∠=︒,1(..)BCD EBC A A S ∴∆≅∆,从而，有BE DC c ==，1E C D Ba b ==-， ∴点1C 的坐标为(,)a c a b +-【说明】这仍是简单的旋转，解决的防护还是与全等三角形相结合的方法.【例4】 已知如图15-21ABC ∆三顶点的坐标分别为11(,)A a b 、22(,)B a b 、33(,)C a b ，以x 轴为对称轴，将此三角形最对称变换得A B C ∆''',求A '、B '、C '的坐标.【解答】 11,)A a b '(-、22(,)B a b '-、33(,)C a b -，显然是全等变换y B C Ax A '【基础训练】1.点A （－3，5）在第_____象限，到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为_______. 关于原点的对称点坐标为_________，关于y 轴的对称点坐标为_________.2.已知x 轴上点P 到y 轴的距离是3，则点P 坐标是________________.BC3.一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是_________.4.已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C 的坐标为__________________________.5.已知点P的坐标（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 .6.将点P（-3，2）沿x轴的负方向平移3个单位长度，得到点Q的坐标是______.在将Q沿y轴正方向平移5个单位长度，得到点R的坐标是________.7.点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（）A. （5，-3）或（-5，-3）B. （-3，5）或（-3，-5）C. （-3，5）D. （-3，-5）8.三角形ABC中，A（-1，0），B（5，0），C（2，5），则三角形ABC的面积为（）A. 30B. 15C. 20D. 109.在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（）A. 向右平移了3个单位长度B. 向左平移了3个单位长度C. 向上平移了3个单位长度D. 向下平移了3个单位长度10.点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（）A．（4，2） B．（－2，－4） C．（－4，－2） D．（2，4）11.如果点M到x轴和y轴的距离相等，则点M横、纵坐标的关系是（）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．相等或互为相反数12.已知点A（2，－3），线段AB与坐标轴没有交点，则点B的坐标可能是（）A．（－1，－2） B．（ 3，－2） C．（1，2） D．（－2，3）13.点A（0，－3），以A为圆心，5为半径画圆交y轴负半轴的坐标是（）A．（8，0） B．（ 0，－8） C．（0，8） D．（－8，0）14.一个正方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－2，－3），（－2，1），（2，1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（2，－3）D.（2，3）【能力提高】1.已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0）（1）请建立平面直角坐标系，并画出四边形ABCD.（2）求四边形ABCD的面积.321-1-2-3-4-224BA2.在直角坐标系中，画出三角形AOB ，使A 、B 两点的坐标分别为A （-4，-2），B （-6，-2）试求出三角形AOB 的面积.3.如图，线段AB 的端点坐标为A （2，-1），B （3，1）。
平面直角坐标平移知识点
平面直角坐标平移知识点平面直角坐标平移是数学中的一个基本概念，用于描述平面上点的位置变化。
在平面直角坐标系中，我们可以通过平移操作将一个点沿着某个方向移动一定的距离，而不改变它与其他点的相对位置关系。
平面直角坐标平移的基本原理是，对于平面上的一个点P(x,y)，如果我们将其沿着x轴方向平移a个单位，y轴方向平移b个单位，那么新的点P'(x+a,y+b)就是原点P的平移后的位置。
平面直角坐标平移有以下几个重要特点：1. 平移是一种向量操作。
在平移过程中，我们可以将平移向量定义为一个从原点指向目标点的向量。
平移向量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
2. 平移不改变点的坐标值。
平移操作只改变了点的位置，而不会改变点的坐标值。
例如，对于点P(x,y)，无论我们将其平移多少次，其坐标值始终是(x,y)。
3. 平移保持平行性。
平移操作不改变点与点之间的相对位置关系。
例如，如果两个点A和B在平移前是平行的，那么它们在平移后仍然是平行的。
4. 平移是可逆的。
如果我们对一个点进行平移操作，我们可以通过相反的平移操作将其还原到原来的位置。
例如，如果我们将点P(x,y)平移到P'(x+a,y+b)，那么将P'再平移回P的操作就是将其沿x轴反向平移a个单位，y轴反向平移b个单位。
通过平面直角坐标平移，我们可以方便地描述平面上点的位置变化。
无论是在几何学、物理学还是计算机图形学中，平移操作都有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述点的移动，还可以用于构建复杂的图形变换，例如旋转、缩放和镜像等。
总结一下，平面直角坐标平移是数学中一个重要的概念，用于描述平面上点的位置变化。
它具有向量操作、不改变坐标值、保持平行性和可逆性等特点。
通过平移操作，我们可以方便地描述平面上点的移动和构建复杂的图形变换。
平面直角坐标系中点的平移
作业
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(-4,-3)
-1 -2
(-4,-3) A2 A
(-2,-3)
-3 -4
-5
-6
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(3)将点A(-2,-3) 向上平移 6个单位
长度,得到点 A3,在图上标出这个点 ,并
写出它的坐标 .
上移6个单位
(-2,-3)
纵坐标+6
y
A3
●
4 3
(-2,3)
2
(-2,3)
1
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5 x
3 2 1 ● E(2,1)
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1 -2 -3 ●
A(-2,-3)-4
-5 -6
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本节小结：
在直角坐标系中， ? 点的平移的一般规律； ? 学会利用点的平移规律，得到点平移后
的坐标， ? 学会由点的坐标变化，得到点的平移方
式。
2020/3/21
2 1
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5 x
-1 -2
A -3
(-2,-3) -4 -5 -6
A1
(3,-3)
2020/3/21
(2) 将点A(-2,-3)向左平移2个单
位长度,得到点 A2,在图上标出这个点 ,
并写出它的坐标 .
y
4
3
2
1
左移2个单位
(-2,-3)
横坐标－ 2
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5 x
(-2,-3) -4
-5 -6
2020/3/21
A4 (-2,-7)
难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律
难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图 第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。
用坐标表示平移--点的平移规律(点,线段、坐标轴的平移)
7.2.2用坐标表示平移--点的平移规律一．【知识要点】1.点，线段、坐标轴、图形的平移坐标的变化规律;2.求面积。
二．【经典例题】1．（4分）平面直角坐标系中，将点(1,2)A 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点1A的坐标为 ________________．2.如图, 已知A （-4，-1），B （-5，-4），C （-1，-3），△ABC 经过平移得到的△A ′B ′C ′,△ABC 中任意一点P(x 1,y 1)平移后的对应点为P ′(x 1+6,y 1+4)。
（1）请在图中作出△A ′B ′C ′；（2）写出点A ′、B ′、C ′的坐标.3.如图,在平面直角坐标系中有三个点A(−3,2)、B(−5,1)、C(−2,0),P(a,b)是△ABC 的边AC 上一点,△ABC 经平移后得到△A1B1C1,点P 的对应点为1P (a+6,b+2).(1)画出平移后的111A B C ,写出点1A 、1C 的坐标；(2)若以A 、 B 、C 、 D 为顶点的四边形为平行四边形，同时点D 在y 轴上，直接写出D 点的坐标；(3)求四边形11ACC A 的面积。
C 'B 'A 'P '(x 1+6,y 1+4)P(x 1,y 1)-2x y 23541-5-1-3-40-4-3-2-12143C B A y4.已知点M （-4,2），将坐标系先向下平移三个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点M 在新坐标系内的坐标为 .三．【题库】【A 】1.如图平面内有四个点，它们的坐标分别是)22,1(A 、)22,3(B 、)2,4(C 、)2,1(D ⑴依次连接A 、B 、C 、D ，围成的四边形是什么图形？并求它的面积⑵将这个四边形向下平移【B 】1.如图所示：(1)将方格纸中的三角形向左平行移动7格，再向上平行移动1格，画出平行移动后的图形；(2)若每个小方格的边长为1，求这个三角形的面积．【C 】【D 】。
最新平面直角坐标系中点的平移
4
3
(-2,-7)
2 1
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5 x
-1 -2
A -3
(-2,-3) -4
-5 -6
A4 (-2,-7)
(5) 将点A(-2,-3)先向左平移2个单位
长度,再向上平移3个单位长度，得到点B,在
图上标出点B,并写出它的坐标. y
4
3
(-2,-3)左移2个单位
14
长 的 时 间 隧 道，袅
平面直角坐标系中点的平移
知识回顾：
影响平移的因素：
平移的方向和平移的距离。
平移的性质：
平移前后，两个图形的对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 平移不改变图形的形状和大小。
本节任务：
通过几种点的平移方式,探索点在平面直角 坐标系中的平移规律。
(1) 将点A(-2,-3)向右平移5个单位长
度,得到点A1,在图上标出这个点,并写出它的
坐标.
y
4
3
(-2,-3)
右移5个单位 (3,-3)
横坐标+5
2 1
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5 x
-1 -2
A -3
(-2,-3) -4 -5 -6
A1
(3,-3)
(2) 将点A(-2,-3)向左平移2个单
位长度,得到点 A2,在图上标出这个点,
并写出它的坐标.
y
4
3
2
1
左移2个单位
(-2,-3)
横坐标－2
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5 x
(-4,-3)
-1 -2
(-4,-3) A2 A
直角坐标系中的变换知识点归纳总结
直角坐标系中的变换知识点归纳总结1.平移变换：平移是直角坐标系中最简单的变换之一，它保持点的形状和大小不变，只改变其位置。
平移变换可以表示为(X',Y')=(X+a,Y+b)，其中(a,b)是平移的位移向量。
2.缩放变换：缩放是改变图形大小的变换，可以将图形按照比例放大或缩小。
缩放变换可以表示为(X',Y')=(sX,sY)，其中s是缩放的因子。
3. 旋转变换：旋转是将图形绕着一个固定点旋转一定角度的变换。
旋转变换可以表示为(X', Y') = (Xcosθ - Ysinθ, Xsinθ + Ycosθ)，其中θ是旋转的角度。
4.矩阵变换：矩阵变换是直角坐标系中一种通用的线性变换方法，可以表示平移、缩放、旋转和剪切等复合变换。
矩阵变换可以用一个2×2的矩阵表示，对于一个点(X,Y)的变换，可以表示为(X',Y')=(a11X+a12Y,a21X+a22Y)，其中矩阵A=[a11a12;a21a22]表示变换的系数。
5.对称变换：对称变换是指将图形绕着一个直线对称成对称图形的变换。
常见的对称变换包括关于x轴对称、y轴对称、原点对称、直线对称等，对称变换可以通过变换矩阵来表示。
6.剪切变换：剪切变换是指将图形按照一定比例沿着一些方向延伸或收缩的变换。
剪切变换可以表示为(X',Y')=(X+aY,Y+bX)，其中(a,b)是两个剪切因子。
7.一般线性变换：一般线性变换是指包括平移、旋转、缩放、剪切等多种变换同时进行的复合变换。
一般线性变换可以表示为(X',Y')=(aX+bY+c,dX+eY+f)，其中(a,b,c,d,e,f)是六个变换系数。
8.坐标轴变换：坐标轴变换是指将直角坐标系中的坐标轴按照一定角度旋转或者倾斜得到的新的坐标系。
在坐标轴变换中，点的坐标可以通过坐标轴旋转矩阵或者倾斜矩阵来进行变换。
平面直角坐标平移知识点
平面直角坐标平移知识点平面直角坐标平移是数学中常见的一种操作，它可以使一个点在平面上沿着指定的方向进行移动。
在这个过程中，我们可以使用向量来描述平移的过程。
让我们来看一下平面直角坐标系。
平面直角坐标系由两个互相垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。
每个点都可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
当我们要对一个点进行平移时，我们可以使用一个向量来表示平移的方向和距离。
向量由两个部分组成，即水平方向上的分量和垂直方向上的分量。
通过将原始点的坐标与向量的分量相加，我们可以得到平移后的新坐标。
例如，假设我们有一个点A(2, 3)和一个向量v(1, -2)。
要将点A沿着向量v的方向平移，我们只需将点A的x坐标增加向量v的水平分量，将点A的y坐标增加向量v的垂直分量。
因此，平移后的新坐标为A'(3, 1)。
需要注意的是，平面直角坐标平移是一个向量运算，它遵循向量的加法规则。
具体来说，平移的过程可以表示为A' = A + v，其中A'表示平移后的新坐标，A表示原始点的坐标，v表示平移向量。
除了向量运算外，平面直角坐标平移还有一些重要的性质。
首先，平移是一个可逆的操作，即可以通过将平移向量反向使用来还原原始点的坐标。
其次，平移不改变点之间的相对位置关系，即如果两点之间的距离在平移前为d，则在平移后仍然为d。
平面直角坐标平移在几何学和物理学中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，我们可以使用平移来构造平行线和平行四边形。
在物理学中，平移可以用来描述物体在平面上的位置变化。
平面直角坐标平移是一个非常重要且常见的数学操作，它可以帮助我们描述和理解点在平面上的移动。
通过理解和掌握平面直角坐标平移的原理和性质，我们可以更好地解决与平面几何相关的问题。
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课题：点在平面直角坐标系内的运动规律
教学目的： 1、探究点在直角坐标系的坐标研究变化规律，寻找解决
这类问题的方法。
教学难点： 1、如何发现规律； 2、运用什么样的方法研究
教学过程： 1、新课引入
2、探究新课
例题 1、机器人从 O 点出发，向正东方向走 3 米，到达 A1点，再向正北方向走 6 米到达 A2点，再向正西方向走 9 米到达 A3点，再向正南方向走 12 米到达 A4点，再向正东方向走 15 米到达 A5点······按此规律走下去，则 A6的坐标 _______,A108的坐标 _______.
y
A10
A7
A6
A3A2
x
O R A1
A4A5
A9
A8
小结：先找出各象限的点的坐标规律，然后研究周期数，找出所求的点在哪个象限。
例题 2、如图、在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数
的点，其顺序按图中图片方向排列，如(1,0),(2,0),(2,1), (1,1),(1,2),(2,2),···，根据这个规律，第 2014 个点的横坐标为 ________.
5 y
4
3
2
1
x
O
小：通研究点于的序数的位置律，而写出点的坐。
关的是序数的排列律。
例 3、如、点 P 在平面直角坐系中按如中箭所示的
方向运，第 1 次从原点运到点 (1,1),第 2 次从点 (1,1)运
到点 (2,1),第 3 次从点 (2,1)运到点 (3,2),······按的运
律，第 2014 次运后，点P 的坐是 ________.
y
D H L
(3, 2)(7, 2)(11, 2)
B F J
(1, 1)(5, 1)(9, 1)
O (2, 0)(4, 0)(6, 0)(8, 0)(10, 0)(12, 0)x C E G I K M
小： _____________________________________________.
例 4、如，在平面直角坐系上有点A（ 1，0），点 A 第一次跳至点 A1（-1，1），第二次跳至点A2（ 2，1），第三次跳
至点 A3（-2，2），第四次向右跳 5 个位至点 A4（3，2），
⋯⋯⋯，依此律跳下去，点 A 第 100 次跳至点 A100 的坐
是________.
A 7
4 y
A 8
A 5 3
A 6 A 3
2
A 4
A 1
1 A 2
–4–3–2–1 A 1
x
2 3 4
O
小 ： __________________________________________________.
后作
在一 位 1 的方格 上，△ A 1A 2A 3，△ A 3A 4A 5，△ A 5A 6A 7，⋯，
都是斜 在 x 上、斜 分
2，4，6，⋯的等腰直角三角
形．若△ A 1A 2A 3 的 点坐 分
A 1（2，0），A 2（1， 1），
A 3（0，0）， 依 中所示 律，
A 2012 的坐 ______________ ．
4 3 A 4
2
A 7A 3
1
A 1 A 5
–2–1 1 2 3
4 5
6
7x
–1
A 2
–2
–3
A 6。