勾股定理画图
几何画图教案：教你运用勾股定理画出完美的几何图形
的。
几何学是我们日常生活中不可避免的一部分，无论是建筑、制图、设计，还是室内装饰等领域中，几何学都有着不可或缺的作用。
因此，学好几何学对于我们的工作和生活都具有重要的意义。
在学习几何学时，勾股定理是一个十分重要、基础且常用的知识点。
今天，我们就来探讨一下如何利用勾股定理画出完美的几何图形。
一、勾股定理的定义勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
用数学公式来表示就是：a^2 + b^2 = c^2。
其中，c是直角三角形的斜边，a和b是直角三角形的两个直角边。
这一定理在几何学中得到了广泛的应用。
二、利用勾股定理画图1.正方形正方形是一种特殊的长方形，四边相等、对角线相等、对角线互相垂直，因此，可以利用勾股定理画出一个完美的正方形。
如图：图中，AB和AC为正方形的两条直角边，BC为正方形的斜边，且BC = AB × √2。
因此，如果要画一个边长为a的正方形，只需在一条直角边上取点，与这个直角边分别作为另一条直角边和斜边，然后算出斜边的长度，就能够得到完美的正方形。
2.等边三角形等边三角形的三边都相等，因此可以利用勾股定理画出一个完美的等边三角形。
如图：图中，AB为等边三角形的一边，AC为另一边，BC为斜边，且BC = AB × √3。
因此，如果要画一个边长为a的等边三角形，只需在一条边上取点，与这条边分别作为另一条边和斜边，然后算出斜边的长度，就能够得到完美的等边三角形。
3.等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形，因此可以利用勾股定理画出一个完美的等腰三角形。
如图：图中，AB和AC为等腰三角形的两条等边，BC为底边，且BC = 2 × AB × √（1-（1/2）^2）。
因此，如果要画一个等腰三角形，只需在一条等边上取点，与这条等边分别作为底边和另一条等边，然后算出另一条等边的长度，就能够得到完美的等腰三角形。
勾股定理讲义
第十八章 勾股定理18.1 勾股定理知识点1 勾股定理的内容定理:果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.解读:(1)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意区分直角边和斜边.(3)勾股定理揭示了直角三角形三边的平方关系.(4)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦(如图所示) 即:222+勾股＝弦(5)应用:②已知直角三角形的两边,求第三边;③已知直角三角形的一边,确定另两边的关系;③已知直角三角形的一边与另两边的关系,求另两边;④推导线段之间的平方关系.知识点2 验证勾股定理方法:勾股定理的验证方法多达上百种,而且很多巧妙的验证方法令人赞叹不已,但大多数采用拼图的方法.善于变换角度看问题,是这种方法验证勾股定理的技巧.解读:用拼图的方法验证勾股定理的思路是:(1)图形经过制补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变.(2)根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式,推导出勾股定理.(3)运用:如图①所示,24,S S S ==+大正方形三角形小正方形边长即221()4.2a b ab c +=⨯+ 化简,得222.a b c +=如图②所示,24S S S +大正方形三角形小正方形＝边长＝，即2214().2c ab b a =⨯+- 化简,得222a b c +=一、选择题1.若某等腰直角三角形的斜边长为12c m,则它的面积是( )A.48c m 2B.72c m 2C.24c m 2D.36c m 22.如图所示,在△ABC 中,若∠C =90,∠B =45,则a :b :c =( )A.1:1:2B.1:1:2C.1:2:1D.1:2:13.在Rt △ABC 中,斜边AB=1,则AB 2+BC 2+AC 2的值是( )A.2B.4C.6D.84.若一个直角三角形的两边长分别为6和8.则下列说法正确的是( )A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为105.如图所示是一段楼梯,高BC 是3m,斜边AB 是5m,如果在楼梯上铺地毯,那么地毯至少需要( )A.5mB.6mC.7mD.8m6.如图所示,若∠C =90,AC =12,BC =5,AM =AC ,BN =BC ,则MN 的长是( )A.2B.2.6C.3D.47.如图所示,分别以Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆,设斜边AB 左边阴影部分的面积为S 1,右边阴影部分的面积和为S 2,则( )A.S 1=S 2B.S 1<S 2C.S 1>S 2D.无法确定8.在△ABC 中,∠A =90,则下列各式中不成立的是( )A.222BC AB AC =+B.222AB AC BC =+ C.22AB BC AC -- D.222AC BC AB =- 9.如图所示,三个正方形中有两个的面积分别为S 1=169,S 2=144,则S 3等于( )A.50B.25C.100D.3010.如图所示,强台风“麦莎”过后,一棵大树在离地面3.6米处折断倒下,倒下部分与地面的接舢点离树的底部为4.8米,则该树的原高度为( )A.6米B.8.4米C.6.8米D.9.6米11.在某直角三角形中,若它的斜边长为5 m,周长为12 m,则它的面积是( )A.12m 2B.6m 2C.8m 2D.9m 212.若△ABC 中,12::::1,33A B C ∠∠∠=那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形13.已知一个直角三角形,两条直角边分别为3和4.则下列说法正确的是( )A.斜边为25B.三角形的周长为24C.斜边为5D.三角形的面积为2014.在△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的面积为( )A.84B.24C.24或84D.30或3515.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,且c +a =2b ,,2b c a -=则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形16.若一个直角三角形的边长是三个连续自然数,那么这三边的长为( )A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,617.若∠XOY =45°,在角的内部有一点P ,它关于OX 、OY 的对称点分别为M 、N ,那么△MON 一定是( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形18.在某直角三角形中,若它的斜边上的中线是2.5cm,周长是l2cm,则其面积为 ( )A.12cm 2B.6cm 2C.8cm 2D.10cm 219.若小明同学先向北行进4千米,然后向东行进4千米,再向北行进2千米,最后又向东行进4千米,此时小明离出发点( )A.6千米B.8千米C.10千米D.12千米20.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm,BC =8cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( )A.2 cmB.3cmC.4 cmD.5cm二、填空题1.如图所示,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积是________cm2.2.如图所示,在四边形ABCD 中,∠B=∠ACD =90°,BC =6,AB =8,AD =26,则△ACD的面积是_________.3.如图所示,台风将旗杆在B 处折断,使杆顶落在距离杆底8米处的A 点.已知旗杆总长16米,问:旗杆是在距底部_________米处折断的.4.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8cm,BC=10cm,则EC=__________cm.5.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2.6.在△ABC中,若AB=3,BC=4,第三边AC的长_________求出.(填“能”或“不能”)7.如图所示是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图.小明沿图中所示的折线从A →B→C所走的路程为__________m.(结果保留根号)8.在Rt△ABC中,∠C=90°,回答下列问题:(1)若a=12,b=16,则c=______;(2)若a=12,c=13,则b=_______;(3)若a:b=3:4,c=10,则a=______.9.看图求出未知边.(1)a=________.a=_______,b=________.10.已知直角三角形ABC中,两直角边AB、BC分别长6cm、8cm,则斜边AC上的高为_______cm.11.如图所示,则阴影部分的面积:____________.(阴影部分为正方形)12.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,接如图所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________cm.13.等腰三角形底边上的高是8,周长是32,则三角形的面积为________.14.某生态环境调查小组的甲组同学从学校出发,以15km/h的速度向东南方向前进;同时乙组同学也由学校出发,以20km/h的速度向东北方向前进,经过2h,两组各自到达目的地A、B,则A、B两地间相距________km.15.在△ABC中,∠C=90°,△ABC的周长为60cm,BC:CA=5:12,则BC=______cm,CA==_______cm,AB=_______cm.16.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,若AB=17,BC=16,那么AD=______.17.已知三角形三内角度数之比为1:2:3,它的最大边长为6cm,则最小边长为______.18.在△ABC中,∠C=90°AB=13,BC=5,则AC=________.19.直角三角形的两条直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为_______cm.20.如图所示,阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积是100cm2,则a的长为______cm.21.若直角三角形两直角边之比为3:4,且斜边的长为20cm,则斜边上的高为________.三、解答题1.(1)如图①所示,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,试证明S1=S2+S3.(2)加固②所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(3)如图③所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.2.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为点N,试说明AN2-BN2=AC2.3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=3,AB=5.求AD的长.4.(1)如图①所示,在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,求AB的长.(2)如图②所示,在Rt△ABC中,AB=25,AC=20,求BC的长.5.一场台风过后,一棵小树被从距地面1.5 m处折断,树头距树的根部2m,你能判断出这棵小树原来有多高吗？6.在一次缉毒行动中,我省警方获得可靠消息:一辆运毒车将路经5号公路,但由于车上装有爆炸装置,督员无法靠近,只能利用远程射击的办法,为了减少伤亡,警方选中一距离公路120m的隐蔽处P点,射程为200m,准备行动,此时,运毒车与P点的水平距离为300m(如图所示),那么警方可在运毒车再前进多少米之后对其进行射击？7.如图所示,有一个长方形的场院ABCD,其中AB=9m,AD=12m,在点B处竖直立着一根电线杆,在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少？8.如图所示,在树CD上10m高的B处有两只松鼠,其中一只松鼠爬到C点后又爬到离树20m的池塘A处,另一只松鼠爬到树顶后直接跃向池塘A处,若两只松鼠所经过的距离相等,试问这棵树有多高？(DA间实为抛物线,现假设为直线)9.如图所示,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,请在所给网格中按下列要求画图形.(1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上,且另两边的长都是无理数.10.现有四块直角边为a、b,斜边为c的直角三角形的纸板,请你从中取出若干块拼图,说明勾股定理(需要画出所拼的图形).11.如图所示,在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,∠DAC=90°,求BD.12.某住宅小区的形状是直角三角形,如图所示,直角边AC、BC的长度分别为600m、800m,DE为小区的大门,大门宽5m,小区的周边用冬青围成了绿化带,问绿化带有多长？13.如图所示,一逃犯从A地正北6km的B地乘车向B地正东8km的C地逃跑,我公安干警在A地闻讯,同时从A地沿直路直接向C地追击.若逃犯速度为80km/h,我公安干警的速度为多少时,恰好在C地将逃犯截住？14.如图所示,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A点多千米处？15.如图所示,某人在B处通过平面镄看见在B正上方3m处的A物体已知物体A到平面镜的距离为2m,问B点到物体A的像A'的距离是多少？(注:A'O=AO)16.为了测量一个球的直径,今有若干根木棒可供使用,通过实验发现,若将球放在桌面上,再将一根长6cm的木棒垂直桌面而立(如图所示).某一时刻,在斜阳的照射下,球与木棒的影长都是8cm,求球的直径.17.为了预防禽流感,张大爷想把自家的鸡用栅栏圈起来,已知栅栏为矩形,且其面积为48m2,对角线长为10m,那么张大爷家的鸡栅栏的周长为多少？18.如图所示,美伊战争期间,美军运输车队计划沿由东向西延伸的L公路向巴格达前线供应军用物资,一支先头小分队奉总部之命沿公路侦察敌情,当行至A地时,测得一伊军炮兵阵地P的方位是北偏西30°,行至B地时测得P地方位是北偏东30°,继续前进到C地,测得P 地方位是北偏东60°,在C地俘虏一名伊军士兵,得知C、B两地之间的距离不会超过10千米,并获得可靠情报:P地伊方炮火的射程半径是9千米.根据以上数据,请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性.19.如图所示,已知∠BAC,AB=3,AC=4.若∠A是不断变化的角,问:(1)当∠A为锐角时,BC的取值情况;(2)当∠A为直角时,BC的取值情况;(3)当∠A为钝角时,BC的取值情况;(4)当∠A变为平角时,BC的取值情况.20.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,试确定重叠部分△AEF的面积.21.图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图②是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形;(2)用这个图形证明勾股定理;(3)假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼另一种能证明勾股定埋的图形吗？请画出拼后的示意图.(无需证明)22.如图所示,两个村子A、B在河CD的同侧,A、B两村到河边的距离分别为AC=1km,BD ＝3km,又CD=3km.现需在河边CD上建造一水厂向A、B两村送水,铺设水管的工程费用约为每千米20 000元,请在河边CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出,铺设水管的费用,假如你是工程师,帮助A、B两村设计一下好吗？。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
八年级下册《17.1 勾股定理的应用》课件
A
D
E
B
FC
RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折 叠,使C落到AB上的E处,求CD的长度,
C D
B
A
E
例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4,
则第三边长为 5 或. 7
（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的 高线AD=8,求BC 21 或9
8
6
15
A
8
17
10
如果梯子的顶端A沿墙
C
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
从题目和图形中， 你能得到哪些信息？
O
B
D
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了 解 到 每 层 楼 高 3.5m ， 消 防 队 员 取 来 7.3m 长的云梯，若梯子的底部离墙基的水平距离 是4m，请问消防队员能否进入三楼灭火？
6
DB
C
15
练习5（1）已知直角三角形两边的长分别
是3cm和6cm，则第三边的长是
.
（2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.
A
D
A
D
B
CB
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
课前练习： （1）求出下列直角三角形中未知的边
ห้องสมุดไป่ตู้
10 6
8
4
8
2
2
30°
45°
23
2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?
勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)
B. 5
C. 7
D. 9
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均
为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为
( D)
1
A.
2
1
B.
3
C. 3
D.2- 3
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，
三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ 3; 将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3， 此时AP3=3+ 3;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( C )
A.2049+683 3
B.2050+683 3
C.2051+683 3
AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三
角形的长分别为 2， 3， 17.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示 5， 10的点.
解:如图所示，点C表示 5，点D表示 10.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点 ′ 处，
是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ D ）
A. 3
B. 5
C.- 3
D.- 5
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对
角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ C ）
A.2
B. 5 − 1
C. 10 − 1
第15讲 勾股定理--基础班
第15讲勾股定理知识点1 勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c21.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN 的值.【答案】【解析】解：连接AM ， ∵AB=AC ，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥CM （三线合一），BM=CM ， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=CM=3，在Rt △ABM 中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM=√AB 2−BM 2=√52−33=4， 又S △AMC =12MN•AC=12AM•MC，AM CM 4312AM .AC 55⋅⨯∴===【方法总结】连接AM ，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM ⊥BC ，根据勾股定理求得AM 的长，再根据三角形的面积公式即可求得MN 的长．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【随堂练习】1.如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 在BC 上，且AD 平分∠BAC ，则AD 的长为_______【答案】12【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，CB=5，AD⊥BC，∴DB=DC=12在Rt△ABD中，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=√AB2−BD2=√132−52=12，【典例】1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．【答案】【解析】解：（1）由题意得，P的面积=DE2=9，Q的面积=EF2=15，故可得M的面积=DF2=DE2+EF2=24．（2）S1=π2(AC2)2=π8AC2，同理S2=π8BC2，S3=π8AB2，∵AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．（3）设直角三角形的边从小到大分别是a，b，c，则a2+b2=c2，两边同乘以π8，即得：两小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而可得S阴影部分的面积=S直角三角形的面积=12×3×4=6．【方法总结】（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理可得大正方形的面积是两个小正方形的面积和；（2）分别表示出S1、S2、S3，结合勾股定理即可得出关系式．（3）根据半圆的面积公式以及勾股定理可得：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而得出阴影部分的面积=直角三角形的面积．本题考查了勾股定理及圆的面积公式，解答此类题目关键是仔细观察所给图形的特点，不要盲目作答．【随堂练习】1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____【答案】64【解析】解：如图，∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．知识点2 勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.【典例】1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？【答案】【解析】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再沿直线DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD=√(10+x)2+202，而从B点到A点经过路程（20+10）m=30m，根据路程相同列出方程x+√(10+x)2+202=30，可得√(10+x)2+202=30﹣x，两边平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，整理得：80x=400，解得：x=5，所以这棵树的高度为10+5=15（m）．【方法总结】要求树的高度，就要求BD的长度.在直角三角形ACD中运用勾股定理可以用BD表示出AD，根据路程相同即可列出关于BD的方程，求解即可得出BD的长度，最后由CD=CB+BD 得出答案．本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．【随堂练习】1.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为_____【答案】5000米【解析】解：如图，连接AC.依题意得：∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，则由勾股定理，得AC=√AB2+BC2=√40002+30002=5000（米）．2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B 的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为_______【答案】18m【解析】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13（m），∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18（m）．∴这棵大树在折断前的高度为18m．【典例】1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．【答案】【解析】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296＜√320＜√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．【方法总结】根据题意画出长方体按不同方式展开后的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理的应用，能找出符合条件的所有情况是解题的关键．【随堂练习】1.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是____【答案】1【解析】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，故此AB=1．知识点3 勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【典例】1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，请写出（1）当a=19时，求b、c的值；（2）当a=2n+1时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．【答案】【解析】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b=1∵a=19，a2+b2=c2，∴192+b2=（b+1）2，∴b=180，∴c=181；（2）通过观察知c﹣b=1，∵（2n+1）2+b2=c2，∴c2﹣b2=（2n+1）2，即（b+c）（c﹣b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，又c=b+1，∴2b+1=（2n+1）2，∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15，112﹣111=1，但2n2+2n=112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．【方法总结】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b和c的值．（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b 、c 的值．（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．本题属于规律型问题，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、验证即可．【随堂练习】1.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. a=4，b=3，c=5B. a=9，b=﹣12，c=15C. a=32，b=2，c=2.5 D. a=8，b=40，c=41【答案】A.【解析】解：A 、∵32+42=52，且4，3，5都是正整数，∴此选项符合题意； B 、∵﹣12不是正整数，∴此选项不符合题意； C 、∵32不是正整数，∴此选项符合题意；D 、∵82+402≠412，∴此选项不符合题意． 故选A.2.下列各组数是勾股数的是（ ） A.13，14，15B. 1，√2，√3C. 0.3，0.4，0.5D. 5，12，13【答案】D.【解析】解：A 、∵（13）2+（14）2≠（15）2，且三数不是正整数，∴不是勾股数；故此选项错误；B 、∵√2，√3不是正整数数，∴不是勾股数；故此选项错误；C 、∵0.32+0.42=0.52，但三数不是正整数，∴不是勾股数；故此选项错误；D 、∵52+122=132，且三数是正整数，∴是勾股数．故此选项正确．故选D.【典例】1.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=√6．求∠BAD的度数.【答案】【解析】解：连接AC，如图所示：∵CD=AD=√6，∠D=90°，∴∠DAC=∠ACD=45°，AC2=AD2+CD2=6+6=12．在△ABC中，∵AB2+AC2=22+12=16=BC2，∴∠BAC=90°．∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°+45°=135°；【方法总结】连接AC，则∠BAD=∠BAC+∠DAC.由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=45°，AC2=AD2+CD2=2×6=12．由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，从而得出∠BAD的度数. 此题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．【随堂练习】1.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是____三角形【答案】等腰直角三角形【解析】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，∴a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，解得：a=b，a2+b2=c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；2.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定【答案】B.【解析】解：根据题意，所走的三条路程分别为500米，300米，400米，而3002+4002=5002，根据勾股定理的逆定理，三条路程组成的是直角三角形，故小芳从公园到图书馆拐了直角．故选B.综合运用1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.【答案】12cm5【解析】解：在△ABC 中，∵AB=5cm ，AC=4cm ，BC=3cm ， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°． 根据三角形面积相等可知，12BC•AC=12AB•CD，∴CD=4×35=125cm ．故答案为125cm.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B 所代表的正方形的面积是___________.【答案】144【解析】解：如图所示： ∵△DEF 为直角三角形， ∴EF 2=DE 2+DF 2，根据题意得：EF 2=169，DE 2=25， ∴正方形B 的面积=DF 2=169﹣25=144； 故答案为144.3.如图，一个圆柱的高为10cm ，底面半径为2cm ，一只蚂蚁从圆柱高的中点A 处到B 点的最短爬行距离是________ cm.【答案】√25+4π2【解析】解：在Rt△ABC中，AC=5，BC=2π，∴一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到点B处的最短爬行距离是AB=√25+4π2cm，故答案为√25+4π24.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．【答案】24【解析】解：如图，连接AC,在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米.又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC 的面积﹣△ACD 的面积=12×5×12﹣12×3×4=24（平方米）．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC=b ，BC=a ，AB=c ，CD=h ，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b ＜c+h ；③以a+b 、h 、c+h 为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1ℎ2．其中正确的有________________.【答案】①②③④【解析】解：①∵Rt △ABC 的面积为：12ab 或12ch ，∴ab=ch ，故①正确； ②∵c 2＜c 2+h 2，a 2+b 2=c 2， ∴a 2+b 2＜c 2+h 2， ∵ab=ch ，∴a 2+b 2+2ab ＜c 2+h 2+2ch ， ∴（a+b ）2＜（c+h ）2， ∴a+b ＜c+h ，故②正确； ③∵（c+h ）2=c 2+2ch+h 2， h 2+（a+b ）2=h 2+a 2+2ab+b 2， ∵a 2+b 2=c 2，（勾股定理） ab=ch （面积公式推导）∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，∴（c+h）2=h2+（a+b）2，∴根据勾股定理的逆定理得以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab=ch，∴（ab）2=（ch）2，即a2b2=c2h2，∵a2+b2=c2，∴a2b2=（a2+b2）h2，∴a 2b2a2+b2=h2，∴a 2+b2a2b2=1h2，∴a 2a2b2+b2a2b2=1ℎ2，∴1 a2+1b2=1ℎ2，故④正确．故答案为①②③④.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD 的面积．【答案】【解析】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D=90°．在Rt △ACD 中，AD=5，CD=12， AC=√AD 2+CD 2=√52+122=13． ∵BC=13， ∴AC=BC.∵CE ⊥AB ，AB=10， ∴AE=BE=12AB=12×10=5． 在Rt △CAE 中，CE=√AC 2−AE 2=√132−52=12．∴S 四边形ABCD =S △DAC +S △ABC =12×5×12+12×10×12=30+60=90．7.如图，已知在四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=2cm ，AD=√5cm ，CD=5cm ，BC=4cm ，求四边形ABCD 的面积．【答案】【解析】解：连接BD.∵∠A=90°，AB=2cm ，AD=√5，∴根据勾股定理可得又∵CD=5，BC=4， ∴CD 2=BC 2+BD 2，∴△BCD 是直角三角形， ∴∠CBD=90°，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12AB•AD +12BC•BD=12×2×√5+12×4×3=（√5+6）（cm 2）．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A 点沿外表面爬行到B 点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明； （2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.【答案】【解析】解：（1）将长方体的侧面展开，有两种展开方法， 如图所示：（2）∵由（1）可知，第一种展开方法路径AB=√22+22=√8．由（2）可知，第二种展开方法路径AB=√12+32=√10．√8<√10,∴按（1）中第一种方式爬行路径最短.。
勾股定理知识点总结
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角 三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2， 则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
练习：
1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2, 则（ A ） A.a边所对的角是直角 B.b边所对的角是直角 C.c边所对的角是直角 D.△ABC不是直角三角形
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜 边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图， 避免遗漏另一种情况。
6.方程思想
例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
32 勾股定理
1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺．2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而开方除之，即弦．中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．如下,在弦图中有EFGH S =四边形()12ABCD MNPQ S S +矩形矩形C DG ADG CDE S S S '==V V V3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：梯形面积=12(上底＋下底)×高 =12(a+b)×(a+b) =12(a+b)2；三个直角三角形的面积和=12ab+12ab+12c 2； 梯形面积=三个直角三角形面积和．12(a+b)2=12ab+12ab+12c 2,所以a 2+b 2=c 2. 4. 公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC 的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C 作CK 平行于AF,交AB 、FG 分别于J 、K 点．易证△AFC ≌△BAE,有12FAC S =V AF.FK=12AFKJ S 矩形,12BAE S =V EA.CA=ACDE S 正方形,所以AFKJ S =矩形 ACDE S 正方形；易证△CBG≌△HBA ，有12CBG S =V BG.KG=12KGBJ S 矩形,12HBA S =V BH.IH=CBHI S 正方形,所以KGBJ S 矩形 CBHI S =正方形.而AFGB AFKJ S S =正方形矩形KGBJ ACBE S S +=矩形正方形CBHI S +正方形．即有AB 2=AC 2+CB 2.5. 勾股数组:a=u 2-v 2,b=2uv,c=u 2+v 2如果a 、6、c 可以如此表达,那么a 、b 、c 称之为勾股数组,有a 2+b 2=c 2． 如:u=2,v=l 时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85．当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.1.如图32-1,将矩形ABCD 分成18个大小相等的正方形,E 、F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 、CD 的边上,且是某个小正方形的顶点,若四边形EFGH 的面积为1,则矩形ABCD 的面积为( )(A)1811 (B)92 (c)32 (D)29【分析与解】方法一:设每块小正方形的面积为x ,则AE F S x =V , 2.5,FBG S x =V ,GCH S x =V EDH S V2.5x =.而18ABCD S x =矩形.所以EFGH S 四边形18 2.5 2.5x x x x =---11,111x x x -==,即111x =. 所以矩形ABCD 的面积为811,选(A). 方法二:设每块小正方形的面积为x ,如下图,作出弦图．有4,MNPQ S x =矩形18,ABCD S x =矩形而EFGH S 四边形()12MNPQ ABCD S S =+矩形矩形111x ==,所以111x =.以下不同解法一.2.智能机器猫从平面上的O 点出发.按下列规律行走:由O 向东走12厘米到A 1,由A 1向北走24厘米到A 2,由A 2向西走36厘米到A 3,由A 3向南走48厘米到A 4,由A 4向东走60厘米到A 5,…,问:智能机器猫到达A 6点与O 点的距离是多少厘米?【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达A 6点时,相对 O 点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米． 有26OA =362+482,即OA 2=60．所以,A 6点到O 点的距离为60厘米．3.如图32-2,P是正方形ABCD外面一点,船为12厘米.△APB的面积是90平方厘米，ACPB的面积是48平方厘米．请你回答:正方形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】如左图,在正方形ABCD内作出弦图.有12APBS=VPB.AM=90,所以AM=15；12PBCS=VPB.NC=48,所以NC=8.有AB2=AM2+BM2=AM2+NC2=289,所以正方形ABCD的面积为289平方厘米4.如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?【分析与解】如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．小正方形HGNM的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另外两个正方形ABPR、CDQR他的面积分别为25,81．所以原图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米．5.如图32-4，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，四边形EFGH的面积是94.5.已知EG=15,FH=13,求正方形ABCD的面积．【分析与解】 如右图,12EFGH S =四边形()MNPQABCD S S +矩形正方形,求出矩形MNPQ 的面积即可求出正方形ABCD 的面积．如图,过E 、G 两点分别做两条平行于AD 的线段,过F 、H 两点做两条平行于AB 的线段．设AD=x ,由勾股定理知:EG 2=AD 2+QM 2；FH 2=DC 2+MN 2而矩形MNPQ 的面积为QM·MN． QM 2=225-x 2,MN 2=169-x 2．所以2MNPQS矩形()2225x =-()2169x ⨯-化简有FGH S 四边形E ()()22212251692x x x ⎡⎤=⨯+-⨯-⎢⎥⎣⎦94.5= 用S 替代2x ,得S+()()225169189s s -⨯-=,()()225169s s -⨯-()2189s =-,解得S=144．即正方形ABCD 的面积为144．评注:编者想通过这道题为大家展示出一个不规则的弦图,避免大家形成常规弦图(三个正方形组成)的思维定势．另外这道题在“()()222122516994.52x x x ⎡⎤⨯+-⨯-=⎢⎥⎣⎦”中也考察了勾股数组的运用,如果大家对勾股数组有较好的记忆,很容易尝试出x 为12．6.若把边长为1的正方形ABCD 的四个角剪掉,得一四边形A 1B l C l D l ,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的59,请说明理由.(写出证明及计算过程) 【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x 最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面积为12(x+1)=59,所以x=19. 那么,最小正方形的边长为13.由于是四角对称的剪去,所以有AD l =DC l =CB l =BA 1=13,AA l =BB l =CC l =DD l =23证明及计算过程略．7.如图32-5,一张长14厘米,宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸片?怎样裁?请画图说明．【分析与解】长方形纸片的面积为14×11=154立方厘米,而每个小纸片的面积为4×1=4平方厘米．154÷4=38.5,所以不管怎么裁也不会超过38个．常规的裁法如图①得不到38个小纸片,只是37个.我们想到利用弦图,得到图②,图②中就得到38个小纸片．评注：这道题的解法实际上在赵爽的弦图b部分中已给出了提示．8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?【分析与解】注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示，由弦图联想到)．A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A，那么显然不能组成边长为10的正方形；如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足．对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足．9.按要求分别求出下列问题的解：(1)如图32-6(a),A 在线段BG 上,ABCD 和DEFG 都是正方形,面积分别为7和11.求三角形CDE 的面积的平方值?(2)(第8届华罗庚金杯赛小学组第一试决赛试题第4题)如图32-6(b),平面上CDEF 是正方形,ABCD 是等腰梯形,它的上底肋为23厘米,下底口C 为35厘米.求三角形ADE 的面积．【分析与解】 (1)如右图,延长CD,过E 做CD 延长线的垂线,交于H 点,类似的在正方形DEFG 内做出一个弦图．有Rt △DAG ≌Rt △DHE,由勾股定理知AG 2=DG 2-DA 2=11-7=4,所以HE=AG=2．12CDE S =V CD.EH,214CDE S =V CD 2.EH 2=14×7×4=7. 即三角形CDE 的面积平方值为7．(2)如下图,过A 、D 两点分别做BC 的垂线AH 、DI,延长AD,过E 做AD 延长线的垂线,交于G 点．有Rt DIC V ≌Rt DGE V ,()162IC BC AD =-=,有6EG =12ADES =V AD.EC=69(平方厘米).10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，如图②所示.图中有∠CDB+∠ADG=1800.如果③,将△CDE 逆时针旋转900,得△C DG '.有A 、D 、C '在同一条直线上,且△C DG '与△ADG等底同高,所以有C DG ADG CDE S S S '==V V V .也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等．注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示．11.在(5,12,13)这个勾股数组中,12、13是连续的自然数,我们把这样存在连续自然数的勾股数组称为“连续勾股数组”．请再找出几个“连续勾股数组”,并讨论一般情况．【分析与解】 因为勾股数组可以写成(u 2-v 2,2uv,u2+v 2),当(u 2+v 2)-2uv=1时,就能构成“连续勾股数组”.有(u 2+v 2)-2uv=(u-v)2=1,所以u-v=1也就是说只要u 、v 取相邻的两个自然数即可．令v=n,则u=n+1,勾股数组(u 2-v 2,2uv,u 2+v 2)可以写成(2n+1,2n 2+2n,2n 2+2n+1)．如当n=1时有(3,4,5),n=2时有(5,12,13),n=3时有(7,24,25),n=4时有(9,40,41)……。
17.3.2数学海螺图---勾股定理应用ppt课件
6
3
2
A
8
7
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出 发向西北方向航行，另一轮船以12海里/时的
速度同时从港口A出发向东北方向航行，离开
港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里
B、30海里
C、35海里
D、40海里
8
分类思想
9
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7
1B
9 3 6
10
18
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬
了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
提示
B
E
构
造
直 角
C
F
三
角
形
D 19Biblioteka 无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 3
探究3：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。
•B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A•3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？ 4
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2, 3, 4, 5的线段.
1 12
3 45
5
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2, 3, 4, 5的线段.
6
假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝 游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走 8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往 西走3千米，在折向北走到6千米处往东一 拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到 宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
八下数学第十七章勾股定理全章课件
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
B′
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
D
3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内
通过？为什么？
C 2m
解：如图，连接AC。 在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC AB2 BC2 12 22
AB
1m
5
5 2.236 2.2
∴木板可以从门框内通过。
巩固练习
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方 向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42， 解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= AF•BC=10．
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第 二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题.
A的面 B的面 C的面
积
积
积
C A
图1
9
9 18
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2
4
48
A、B、C 面积关系
SA+SB=SC
直角三角形 两直角边的平方和 三边关系 等于斜边的平方
苏教版八年级数学上册《勾股定理》课件(共34张PPT)
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b=
，c=
例5、如图，四边形ABCD中，AB＝3，
BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四 边形ABCD的面积
D
13
A
12 3┐
B4 C
变式 有一块田地的形状和尺寸 如图所示，试求它的面积。
A
4
13
5
B
3
∟
C
12
D
例6、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
练习：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面 半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里， 杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多 长？
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
勾股定理
我的发现是：两个小正方形的面积的和等于大正方形的面积
两个小正方形的面积的 和等与大正方形的面积
小正方形的面积分别是16和9个平 方单位
大正方形的面积是25平方单位
我 们 再 用 割 的 方 法 算
探索与交流
通过对上面三个图形的考察，我们有一个 共同的结论:
以直角三角形的各边分别向形外作 正方形，以直角边为边的两个正方形 面积等于以斜边为边的正方形的面积.
58cm长和46cm宽，他觉得一定是售货员搞错了， 在Ｒt△ABC中，∠C= 900 AC=46，BC=58 你同意他的想法吗？你能解释这个原因吗？ 由勾股定理得：
AB
2
AC BC
2 2
2
A
46 58 5480
46cm
┓
C
74
58cm
B
例题欣赏
例4.一辆装满货物的卡车有2.5米高，1.6米宽，要开进具 有如图所示形状的工厂大门，那么这辆卡车能否通过大门？ 请说明理由. 解： 在Ｒt△ABO中，∠Ｂ= 900 ＯＡ＝１，ＯＢ＝１.６÷２＝０.８ A2 82 100 10米
A 6米
（6+8）-10=4（米）
答:斜路比正路近4米.
B
8米
C
例题欣赏
例2.遭台风的袭击后，一棵大树在离地面5米高处拦腰 断裂，树的顶部落在离树根12米处，这棵树在折断前 的高度是多少米？
在Ｒt△ABC中，∠C= 解：
900
A
补图，把正方形C外边都补上四个全 等的直角三角形，变成一个大正方形
C
B
C
这次还能数出面积来吗？ 还能用画对角线的方法计算？
B
大家都来试一试
八年级数学下册教学课件《利用勾股定理作图》
2.如图，等边三角形的边长是6. 求：
（1）高AD的长；
（2）这个三角形的面积.
解：（1）Aபைடு நூலகம்⊥BC于D，则BD=CD=3.在Rt△ABD中，由勾 股定理AD2=AB2－BD2=62－32=27，故AD=3 3 .
（2）这个三角形的面积为S= 1 BC·AD= 1 ×6×3 3 = 9 3 .
2
2
随堂练习
3.在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，
请在给定网格中以A出发分别画出长度为 2 ， 5 ，8 的线
段AB.
A
A
A
B
B
B
AB= 2
AB= 5
AB= 8
拓展延伸
若△ABC三边的长分别为 2 ，2 5 ， 26 ，请利用图中的 正方形网格 （ 每个小正方形的边长均为1 ） 画出相应的
△ABC，并求出它的面积.
A
S△ABC=5×2-12×1×1-
1×2×42
1×1×5=3. 2
B
C
课堂小结
1.你能说说勾股定理求线段长 的基本思路吗？
2.如何在数轴上表示无理数？
3.本节课你学到哪些数学思想 方法？
课后作业
1.从教材习题中选取；
八年级数学下册
情境导入
神奇的勾股树！点击打开几何画板
这个图是怎样绘 制出来的呢？
探索新知
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条 直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你 能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证： △ABC≌△A′B′C′.
练习
勾股定理经典例题详解
勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
画图——架设用勾股定理解决实际问题的桥梁
接 触地 面 ， 求 旗 杆 的 高度 ．
滑动 １ ｍ？
【 解 析 】关 键 是 通 过 读
题， 将 实 际 问 题 转 化 为 数 学 模 型 ，画 出正 确 的 图形 ， 借
【 解析 】 关键是 知道实际 问题 中的不 变
量： 梯子 的长度． 本题 中的“ 垂直距 离” 为 审
【 解析 】 根据“ 两点 之 间线 段最 短 ” 知：
小 鸟 沿 着 两 棵 树 的树 梢 进 行 直 线 飞 行 ， 所
之 间 的距 离 求 出 ．
由 内部 测得 其 底 行 的路程最 短． 再 运 用 勾 股 定 理 可 将 两 点 状 的玻 璃 杯 ，
如 图３ ， 设 大 树 高
的 顸 端 距 地 面 的 垂
、
旗 杆 问题
例 １ 小 明 想 知 道 学校 旗 杆 的 高 ， 他 发 直 距 离为８ ｍ． 如 果梯
现 旗杆 顶 端 的绳子 垂 到地 面还 多１ 米， 当 子 的顶 端下 滑１ ｍ，
他 把 绳 子 的 下端 拉 开５ 米后 ， 发 现 下端 刚好 那 么它 的底 端是 否也
二 、梯 子 问题
例２ 如 图１ ， 一
直 的 问题 ， 等等 ， 解 决 问 题 的 关 键 是 根 据 过程 中， 主要 体 现 了数 形 结 合 的思 想 ．
一
题 意 画 出正 确 的 图 形 ．在 解 决 实 际 问题 的 架 长 为 １ ０ ｍ的 梯 子
Ａ Ｂ斜 靠在 墙 上 ， 梯 子
ＣＨ Ｕ ＺＨｏ Ｉ 、 ｌ Ｇ Ｓ Ｈ Ｅｌ 、 ｌ Ｇ Ｓ ｌ Ｊｌ 拦
画图
架设用勾股定理解 决
实际问题 的桥 梁
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17 ?
15 ? 15 ?
15 ?
16 4
14
11
6
1 √ lB
1
2
15
B
3
1?
17 4
0 A•1 2
4√
4
15
17
3 4C
0 1 A•1
4
2 3C 4
15
练习&1 ☞
1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点A 为端点,你能画出几条边长为10 的线段?
A
练习&1 ☞
2.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且 使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多 少个?写出落在x轴上的顶点坐标.
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
3
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。
l
B ∴点C即为表示 13 的点
13 2
0
1
2
A•3
13
C4
你能在数轴上画出表示 17 的点和
15 的点吗？
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？
我怎么走 会最近呢?
圆柱侧面爬行的最短路 A
程是多少? (π的值取3)
B
9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152 ∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
别等于55cm，１０cm和6cm，A和B是这个台阶的两个
18.1.3勾股定理
1 、运用勾股定理在数轴上画出表示 n（n是正整数） 的点；
2、运用勾股定理解决有关的实际问题
Ｂ
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
a
c
(1) 若a=3，ｂ=4，则c=____5______Ｃ； b
Ａ
(2) 若a=２，c=３，则b=____5______；
(3) 若c=13，b=5，则a=____1_2_____； (4) 若a:b=3:4, c=10,则a=___6___,b=___8____.
B
C
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅 美丽的“海螺型”图案
由此可知,利用勾股定 理,可以作出长为
2, 3, 5,, n
的线段.
你能在数轴上表示出 2
的点吗？
111 1
1
1
13
14
15
1
12 11
10 9
1
1
16
81
17
1
7
1
18
12
61
1
19
1 3 45 1
n 11
第七届国际数学
教育大会的会徽
相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的
食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面
爬到B点，最短线路是多少？
A • 55cm
A•
１０cm
6cm
•B
解题思路：把握题意—— 找关键字词——连接相关 知识——建立数学模型
（建模）
48cm
C
55cm
•B
y
2
Ｄ(2,1)
5 x1
5
5
Ｈ
Ｏ x Ｃ2 x Ｅ
(
5,
0)
12
(2 x)2
x2
5 (, 4
0)
(
5, 0)
1 4 4x x2 x2 解得x 5 4
x
Ｆ (4, 0)
3
有一个圆柱,它的高等于
B
12厘米,底面半径等于3
厘米,在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它想从 点A爬到点B , 蚂蚁沿着
你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ?
用相同的方法作 3, 4, 5, 6, 7,....呢?
探究1:
你能在数轴 上画出表示 13的点吗？
2 -1
21
0
1
1
2
2
34
5
6
3
7
13 ? 12 2 3
1
13 ? 93
2
13 ?
42 3
探究1:
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
13 2
小 (1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
结 (2)可用勾股定理建立方程. 方程思想
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC
的长为 5 或 7 .
B
B 分类讨论
4
4
C3 A
A3 C
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
分类讨论
A
8
17 10