薄板的屈曲

第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利瑞利-里兹法
A≠0
m2π 2b 2 D π 2 D 1 m2π 2b 2 px = + 6 (1 − µ ) 2 = 2 + 6 (1 − µ ) 2 b π 2 a2 a b
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
∂2w x = 0 、 x = a 时： = 0 2 = 0 w ∂ x ∂2w y = 0 、 y = b 时： = 0 2 = 0 w ∂ y ∞ ∞ mπ x nπ y 代入平衡方程有： w = ∑∑ Amn sin sin a b m =1 n =1
Et3 D= 为板的抗弯刚度 板的抗弯刚度； 板的抗弯刚度 2 12(1− µ )
Nx、Ny 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力； Nxy 为板中面单位长度上的剪力。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，Ny =Nxy = 0 由
2 2 2 2
π a Dm
2
a b m 1 π 2D + =k 2 m2 a 2 b2 b
2 2 2
2
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比， 与板的长度无关。 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
2 ab m 2 1 b a m β k = 2 + 2 = m + = + ma b a mb β m 2 2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
基本假定： 基本假定：
垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
σ τ 应力分量σz 、 zx 和τ zy 远小于σx、 y 和τxy ，故可以忽略他们产生的
w = ∑∑ Amnϕ ( x, y )
m =1 n =1 ∞ ∞
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
∂∏ ∂A = 0 11 ∂∏ 系数行列式为零 =0 ∂A12 L ∂∏ ∂A = 0 mn
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
令 m = 1 ，可得px的最小值：
px ,cr = k
π 2D
b2
π 2b 2 k = 2 + 6 (1 − µ ) / π 2 a
若取 µ = 0.3 ，则：
b2 k = 0.425 + 2 a
均匀受压三边简支一边自由
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利瑞利-里兹法
算例Ⅰ 算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和 一个非加载边简支，另一非加载边自由。 由 p y = pxy = 0 ，有总势能为：
2 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 2 D a b ∂ 2 w ∂ 2 w 1 a b ∂w ∏ = ∫ ∫ 2 + 2 − 2 (1 − µ ) 2 × 2 − dxdy − ∫0 ∫0 px dxdy 0 0 2 ∂y ∂y ∂x∂y 2 ∂x ∂x ∂x
迦辽金法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件 要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。 几何 假定挠曲面函数为：
w = ∑ Aiϕi ( x, y )
i =1 n
板的平衡微分方程为： ( w ) = 0 L 建立迦辽金方程组：
a b L ( w )ϕ ( x, y ) dxdy = 0 1 ∫0 ∫0 a b ∫0 ∫0 L ( w )ϕ2 ( x, y ) dxdy = 0 积分 关于Ai的线性方程组 L 系数行列式为零 a b ∫ ∫ L ( w )ϕn ( x, y ) dxdy = 0 0 0
第6章 薄板的屈曲
板失稳的特点： 板失稳的特点：
板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形 双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一 双向弯曲变形 点的弯矩 M x 、 y 和扭矩 M xy以及板的挠度 w 都与此点的坐标有关。 M 板的平衡方程属于二维偏微分方程 二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理 二维偏微分方程 想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条 件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解 需用能量法或数值法求解。 需用能量法或数值法求解 理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板 有刚强侧边支撑的板，会 有刚强侧边支撑的板 产生薄膜应力 薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。 薄膜应力 按照小挠度理论 小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 小挠度理论 大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度 板的挠度 屈曲后强度和板的挠度 屈曲后强度 板的挠度。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程 力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力的平衡方程 力矩的平衡方程，合并后有： 力矩的平衡方程
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = Nx 2 + 2Nxy + Ny 2 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x
假定挠曲面函数为：
w = Ay sin
mπ x a
代入总势能公式，积分后有：
px 2 m 2π 2 D 2 m 2π 2 m 2π 2b 2 3 ∏= A 6a 2 + (1 − µ ) ab − 12 A a 2 × ab 2 2 a Dm 2π 2b m2π 2b 2 m 2π 2b3 由势能驻值原理，有： A + (1 − µ ) − px =0 a2 a a
m 4π 4 m 2 n 2π 4 n 4π 4 N x m 2π 2 mπ x nπ y × 2 sin sin =0 Amn 4 + 2 2 2 + 4 − ∑∑ a ab b D a a b m =1 n =1
∞ ∞
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m 4π 4 m 2 n 2π 4 n 4π 4 N x m 2π 2 π 2 a 2 D m2 n2 +2 2 2 + 4 − × 2 = 0 或 Nx = + a4 ab b D a m2 a 2 b2
1/ 薄板： 80 ~ 1/100 < t / b < 1/ 5 ~ 1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形 横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计 可以忽略不计。 横向剪力引起的剪切变形 可以忽略不计
薄膜：t / b < 1/ 80 ~ 1/100
没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力 薄膜拉力与横向荷载平衡。 受力特点：没有抗弯刚度 没有抗弯刚度 薄膜拉力
β=
a b
由
m β 1 β dk = 0 ，有 2 + + 2 = 0 dm β m β m
N x ,cr ,min = 4
β =m
kmin = 4
π 2D
b2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
板件屈曲系数（四边简支） 板件屈曲系数（四边简支）
主要内容: 主要内容
薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程 能量法计算板的弹性失稳荷载 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类： 钢结构中板的分类：
t 厚板：/ b > 1/ 5 ~ 1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 不 能忽略剪切变形的影响。 能忽略剪切变形的影响
V =− 1 2 ∫0
aBiblioteka Baidu
∫
b
0
∂w 2 ∂w ∂w ∂w × dxdy Nx + 2 N xy + Ny ∂x ∂y ∂x ∂y
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利瑞利-里兹法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件 要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。 几何边界条件 假定挠曲面函数为：
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = N x 2 + 2 N xy + Ny 2 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 − Nx 2 = 0 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x
屈曲系数 k 与
β 的关系
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
单向非均匀受压板的弹性失稳 单向非均匀受压板的弹性失稳
规定压应力为正值，拉应力 为负值，应力梯度为： σ −σ α0 = 1 2 σ1 距离上边缘y处的应力为：
假定挠曲面函数为：
mπ x 2 π y sin a b a b mπ x 2 π y sin dxdy = 0 建立迦辽金方程：∫0 ∫0 L ( w ) sin a b π 2 D m 2b 2 8 16a 2 px = 2 2 + + 2 2 b a 3 3m b w = A sin
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
迦辽金法
算例Ⅰ 算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边 简支，两非加载边固定。 板的平衡微分方程：
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w L ( w ) = D 4 + 2 2 2 + 4 + px 2 = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x
4a 2 dpx 2 由 2 = 0 ，有： = m dm 3b 2
px ,cr = 7.283
π 2D
b2
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数
对于单向均匀受 压的狭长板，用 横向加劲肋减小 比值a/b从而提 高屈曲系数并无 明显效果； 如把加劲肋间距 取得小于2b又很 不经济。 加载边固定与加 载边简支对屈曲 系数的影响：当 a/b<2时提高幅 度很大。 对于很宽的薄 板，采用纵向加 劲肋减小宽度b 是有效的。
2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
1 π D + 2 = 2 N x ,cr = m2 a 2 b b N x ,cr k π 2E σ x ,cr = = ⋅ 2 2 t 12 (1 − µ ) ( b / t )
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能为：
∏ = U +V
∂ 2 w ∂ 2 w 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 2 D a b U = ∫ ∫ 2 + 2 − 2 (1 − µ ) 2 × 2 − dxdy 2 0 0 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y
正应变 εz 、剪应变 γ zx 和 γ zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 力问题。 力问题 薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。 的投影形状不变 投影形状不变 板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。