薄板的屈曲

w = ∑∑ Amnϕ ( x, y )
m =1 n =1 ∞ ∞
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
∂∏ ∂A = 0 11 ∂∏ 系数行列式为零 =0 ∂A12 L ∂∏ ∂A = 0 mn
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
第6章 薄板的屈曲
板失稳的特点： 板失稳的特点：
板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形 双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一 双向弯曲变形 点的弯矩 M x 、 y 和扭矩 M xy以及板的挠度 w 都与此点的坐标有关。 M 板的平衡方程属于二维偏微分方程 二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理 二维偏微分方程 想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条 件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解 需用能量法或数值法求解。 需用能量法或数值法求解 理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板 有刚强侧边支撑的板，会 有刚强侧边支撑的板 产生薄膜应力 薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。 薄膜应力 按照小挠度理论 小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 小挠度理论 大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度 板的挠度 屈曲后强度和板的挠度 屈曲后强度 板的挠度。
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = N x 2 + 2 N xy + Ny 2 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 − Nx 2 = 0 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x
m 4π 4 m 2 n 2π 4 n 4π 4 N x m 2π 2 mπ x nπ y × 2 sin sin =0 Amn 4 + 2 2 2 + 4 − ∑∑ a ab b D a a b m =1 n =1
∞ ∞
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m 4π 4 m 2 n 2π 4 n 4π 4 N x m 2π 2 π 2 a 2 D m2 n2 +2 2 2 + 4 − × 2 = 0 或 Nx = + a4 ab b D a m2 a 2 b2
2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
1 π D + 2 = 2 N x ,cr = m2 a 2 b b N x ,cr k π 2E σ x ,cr = = ⋅ 2 2 t 12 (1 − µ ) ( b / t )
假定挠曲面函数为：
w = Ay sin
mπ x a
代入总势能公式，积分后有：
px 2 m 2π 2 D 2 m 2π 2 m 2π 2b 2 3 ∏= A 6a 2 + (1 − µ ) ab − 12 A a 2 × ab 2 2 a Dm 2π 2b m2π 2b 2 m 2π 2b3 由势能驻值原理，有： A + (1 − µ ) − px =0 a2 a a
主要内容: 主要内容
薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程 能量法计算板的弹性失稳荷载 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类： 钢结构中板的分类：
t 厚板：/ b > 1/ 5 ~ 1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 不 能忽略剪切变形的影响。 能忽略剪切变形的影响
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
∂2w x = 0 、 x = a 时： = 0 2 = 0 w ∂ x ∂2w y = 0 、 y = b 时： = 0 2 = 0 w ∂ y ∞ ∞ mπ x nπ y 代入平衡方程有： w = ∑∑ Amn sin sin a b m =1 n =1
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利瑞利-里兹法
A≠0
m2π 2b 2 D π 2 D 1 m2π 2b 2 px = + 6 (1 − µ ) 2 = 2 + 6 (1 − µ ) 2 b π 2 a2 a b
屈曲系数 k 与
β 的关系
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
单向非均匀受压板的弹性失稳 单向非均匀受压板的弹性失稳
规定压应力为正值，拉应力 为负值，应力梯度为： σ −σ α0 = 1 2 σ1 距离上边缘y处的应力为：
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
迦辽金法
算例Ⅰ 算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边 简支，两非加载边固定。 板的平衡微分方程：
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w L ( w ) = D 4 + 2 2 2 + 4 + px 2 = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
基本假定： 基本假定：
垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
σ τ 应力分量σz 、 zx 和τ zy 远小于σx、 y 和τxy ，故可以忽略他们产生的
Et3 D= 为板的抗弯刚度 板的抗弯刚度； 板的抗弯刚度 2 12(1− µ )
Nx、Ny 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力； Nxy 为板中面单位长度上的剪力。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，Ny =Nxy = 0 由
迦辽金法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件 要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。 几何 假定挠曲面函数为：
w = ∑ Aiϕi ( x, y )
i =1 n
板的平衡微分方程为： ( w ) = 0 L 建立迦辽金方程组：
a b L ( w )ϕ ( x, y ) dxdy = 0 1 ∫0 ∫0 a b ∫0 ∫0 L ( w )ϕ2 ( x, y ) dxdy = 0 积分 关于Ai的线性方程组 L 系数行列式为零 a b ∫ ∫ L ( w )ϕn ( x, y ) dxdy = 0 0 0
2 2 2 2
π a Dm
2
a b m 1 π 2D + =k 2 m2 a 2 b2 b
2 2 2
2
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比， 与板的长度无关。 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
2 ab m 2 1 b a m β k = 2 + 2 = m + = + ma b a mb β m 2 2
假定挠曲面函数为：
mπ x 2 π y sin a b a b mπ x 2 π y sin dxdy = 0 建立迦辽金方程：∫0 ∫0 L ( w ) sin a b π 2 D m 2b 2 8 16a 2 px = 2 2 + + 2 2 b a 3 3m b w = A sin
瑞利瑞利-里兹法
算例Ⅰ 算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和 一个非加载边简支，另一非加载边自由。 由 p y = pxy = 0 ，有总势能为：
2 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 2 D a b ∂ 2 w ∂ 2 w 1 a b ∂w ∏ = ∫ ∫ 2 + 2 − 2 (1 − µ ) 2 × 2 − dxdy − ∫0 ∫0 px dxdy 0 0 2 ∂y ∂y ∂x∂y 2 ∂x ∂x ∂x
1/ 薄板： 80 ~ 1/100 < t / b < 1/ 5 ~ 1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形 横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计 可以忽略不计。 横向剪力引起的剪切变形 可以忽略不计
薄膜：t / b < 1/ 80 ~ 1/100
没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力 薄膜拉力与横向荷载平衡。 受力特点：没有抗弯刚度 没有抗弯刚度 薄膜拉力
正应变 εz 、剪应变 γ zx 和 γ zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 力问题。 力问题 薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。 的投影形状不变 投影形状不变 板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程 力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力的平衡方程 力矩的平衡方程，合并后有： 力矩的平衡方程
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = Nx 2 + 2Nxy + Ny 2 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x