理论力学第九章 刚体的平面运动(Y)总结

O 基点
M 动点
定系:
xoy
动系:
xoy
在基点上建立动系——在刚体平面运动的过程中，
动系只发生平移;
x x
y y
相对运动——动点相对于动系的运动。 在基点上看M——绕O’作定轴转动。
牵连运动——动系相对于定系的运动。
在定系上看牵连点——随基点O‘ 的平动 绝对运动——动点相对于定系的运动。
因为牵连运动是平动，所 以点的运动合成定理为：
aa ae ar 已知：刚体作平面运动，某瞬时的角速度 ，角加速度
aA ； 求：刚体内另一点B 的速度 v B 和加速度 aB 。
刚体上某点A的速度 v A 和加速度
va ve vr
。
解：1、速度分析
基点 — — A
动系: xAy与基点A固连在一起。
OA杆作转动：
CD杆作转动：
vA OA r
vB、vD大小未知
vA OA
vB CB vD CD
AB 作平面运动，应用速度投影定理
vB cos 30 v A OA

vB
OA
cos 30
vB AB (vA ) AB

0.2309 m s
2、 CD 作定轴转动，转动轴为C
0 0 0
AB 3r
求：当 60 ， 0 ， 90 时点B的速度。
解：OA杆作转动： vA
OA r
vA OA
AB 作平面运动, B点水平直线运动，速度沿水平方向
vA AP
vB BP
P点——AB杆的速度瞬心
vA APAB
OAB :
vB BPAB
BP vB vA AP
vB v Actg30 2 3 m / s

vBA vA / sin 30 4 m / s

AB
vBA 2 rad/s AB
已知： AB = l= 200 mm，vA= 200 mm/s 求：（1）杆端B 的速度vB （2）AB 杆角速度AB 解：2、取B 点为基点
B
求：连杆此瞬时C 点的速度vC 。
解：(1) 机构的运动分析
(2) 取A为基点，B点为动点
OA杆作转动： OB杆作转动：
ABC
B
vBA vB
A
vA r0
vA OA
O1
vB O1B
vA
O
v B v A v BA vBA AB
2 vB vBA v A cos 45 r 0 2
vB : 大小未知
AB作平面运动 ——基点：A
AB 3r
vB v A vBA 大小： ？ r 方向：
0
600
?

vB v A cos 30 2 3r 3
vBA 3 v Atg30 r 3
0
BA
vBA 1 AB 3
（1）加速度分析
n A
v A v B v AB
vB v Actg30 200 3 mm / s

30°
A
vA
B
vAB vA / sin 30 400 mm / s
AB
30°
vAB vA
AB
v AB 2 rad/s AB
vB
A
vB
已知： OA= OO1 = r，BC=2r，∠OAB=45°，OA杆的 角速度0 ，此瞬时O、B、C沿垂直方向。 C
vB vA vBA
vBA AB vBA AB
刚体平面运动时任一点的速度等于随基点的 平动的速度和绕基点的转动速度的矢量和。
2、加速度分析
牵连运动——随基点A 的平动
ae a A
相对运动——B绕A作定轴转动。
a a
n r
n BA
ar aBA aa a B


绝对运动——
AB OA sin sin

0
vA
ABC
vBA 1 0 AB 2
(3) 再取B 为基点，研究C 点
vC vB vCB
vCB BC
vCB BC ABC r 0
2 vB r 0 2
ABC
vBA 1 0 AB 2
C
450
vCB
vC
vB
ABC
B
vB
A
2 2 vC vB vCB 2vB vCB cos1350
vB
OA
cos 30

0.2309 m s
CD
vB CB
CD=3CB
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
3、DE 作平面运动，E点作水平直线运动
vE DE (vD ) DE
vE cos 30 vD vD vE 0. 8 m s cos 30
平面图形内求各点速度的三种方法 1、 基点法： 2、 速度投影法： 3、速度瞬心法：
vB vA vBA
vB cos vA cos
vB v A vBA vA 0
平面图形内求各点加速度的方法
1、 基点法：
aB aA a
τ BA
a
n BA
已知：曲柄连杆机构如图所示，OA =r , 如曲柄OA以匀角速度ω 转动。
刚体平面运动 (绝对运动 )可以分解为随基点O‘ 的平动 (牵连运动 )以及绕基点O‘ 的转动(相对运动 )。
平移和转动与基点之间的关系
（1）绕基点O‘ 的转动
转角、角速度和角加速度是描述刚体平面运动时 整体转动的特征量，与基点的位置无关。
d dt
d d 2 2 dt dt
y
Ⅱ——过刚体内任一点A作平面Ⅱ Ⅰ ∥ Ⅱ S——平面Ⅱ在刚体内截出的平面图形
过A点作垂直于平面图形S的直线A1A2 A1A2 —— 平动 —— A B1B2 —— 平动—— B C1C2 —— 平动—— C 刚体 平面图形 S
Ⅱ
S
B B2
A A2
x
Ⅱ
Ⅰ
刚体平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动
aB cos 30 a A a

a
n A
a
n BA
a
n A
2 aB （r AB 3r） 3
aB
a
τ BA
a
A
三、求速度的投影法
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等。 由基点法得速度的矢量关系：
v B v A v BA
将上式向 AB 连线投影
0 ——平面图形作平动。
平面运动 = 平动 + 转动
用点的合成运动理论对平面运动进行分解 平面运动 = 随 Oxy 的平移 + 绕 O点的转动
关键——动参考系 Oxy 的选择
Oxy — —与基点固连在一起的平 动坐标系
=
+
刚体平面运动 = 随基点O‘ 的平动 + 绕基点O‘ 的转动
3、运动方程
刚体的平面运动完全由平面图形的运动确定。
平面图形S的位置完全由图形内的任意一直线段O‘M确定。
直线段O’M的位置可由O‘ 点的坐标和一直线段O‘M与x 轴 之间的夹角完全确定。
xO f1 t yO f 2 t f t 3
O 基点
转角
4、平面运动的分解
xO f1 t yO f 2 t f t 3
d 2 2 f 3(t ) dt
（1）当O’不动时， xO
d f 3 (t ) dt
yO 常数 ——刚体绕定轴转动。
（2）当角位移
总能找到速度等于零的点。
vA vCA
AC＝ vA

若平面图形的角速度不等于零，则在运动的每一瞬时
绝对速度等于零的点——称为瞬时速度中心——瞬心。
速度瞬心的特点
1、瞬时性——不同的瞬时，有不同的速度瞬心； 2、唯一性——某一瞬时只有一个速度瞬心； 3、瞬时转动特性——平面图形在某一瞬时的运动都可以 视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。
vB cos vA cos
例题：图示平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度 ω=2rad/s 转动。连杆AB 带动摇杆CD ，并拖动 轮E 沿水平面纯滚动。
已知：CD=3CB ，图示位置时A，B，E 三点恰在一水平 线上，且CD⊥ED 。 求：此瞬时点E 的速度。 解：1、求B点的速度。
O1
O
10 r0 2
0
vA
已知：曲柄连杆机构如图所示，OA =r , AB 3r 如曲柄OA以角速度ω ，角加速度α 转动。 求：OA垂直于AB瞬时B点的速度和加速度。 解：（1）速度分析
OA杆作转动： vA OA r
60
vA OA
AB 作平面运动, B点水平直线运动，速度沿水平方向
aB
aa ae ar n aB a A aBA aBA
a a
n r
ar aBA AB

n BA
AB
2

已知： AB = l = 2 m，vA= 2 m/s
求：（1）杆端B 的速度vB （2）AB 杆角速度AB 解：1、取A点为基点
B
AB
30°
A
vA
v B v A v BA
n aB a A aBA aBA
a A OA
n BA
n aA OA 2
aB a a A a aBA