【弹塑性力学】5塑性应力应变关系B
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• （4）材料～ 的曲线具有幂指数硬化形式：
An
• 这是一组苛刻的条件（不可压缩材料不多， 幂次型有效应力和应变关系也难满足），揭 示出全量方法在应用上的极大局限性。
• 在工程实际应用中，许多实例是偏离简单加 载定理的，只能满足条件（1）、（3），但 结果还比较满意，说明在一个较大范围内可 以采用全量理论，计算结果再用实验复核。
本构关系的一般形式
本构关系的推导方法（用矩阵形式） 应变增量的分解：
{d} {d}e {d}p
弹性部分：
{d}e [D]e1{d}
1 v
v
1 v
对
[D]e
(1
E v )(1
2v)
v 0
v 1 v
称
0 0 1 2v
0 0 0 0 1 2v
0
0
0
0
0 1 2v
d
1 A
f
{
T }
{d
}
A可通过实验测定
T
d p
d g { }
1 g f
A
Baidu Nhomakorabea
{
}
{
}
{d }
用应力增量表示应变增量：
T
d [D]e1{d }
1 g f
A
{
}
{
}
{d }
为了求出逆关系，将上式两端乘上
f
{
}
T
[
D]e
T
T
f
{
}
[ D ]e d
f
{
}
{d }
T
T
1 f
dkk=(1 2v) dkk
E
积分得
t 0
eij dt
1 2G
t 0
sij dt
si0j
t
td
0
1 2G
sij
sij t
t
td
0
1 t td
eij=
t
(
0
1
2G
)
sij
kk=
(1
2v E
)
kk
令 H=1/2G + 得：
eij=Hsij
eijeij=H2sijsij 得：
H
eij eij
3 2
2 3
eij
eij
3
sij sij
2 3
3 2
sij
sij
2
eij
3 2
sij
单一曲线假定 当材料几乎为不可压缩时，按照不同应力组
合所得出的 ～ 曲线与
单轴拉伸时的 ～ 曲线十分相近。
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单 （比例）加载情况，Ilusion给出了一组充分条件。 • （1）小变形； • （2）材料不可压缩； • （3）外荷载按比例单调增长，如有位移边界 条件，只能是零位移边界条件；
([D]ep )d
[D] [
D
]e
g
{
}
f
{
}
T
[
D
]e
p
A
f
{
}
T
[
D
]e
g
{
}
5.3.5 全量理论
• 一般来说，增量应力—应变关系（本构关系） 不能积分成全量关系，但在某些加载情况下， 增量理论可积分得到应力与应变之间的全量 关系，即全量理论。 应力应变一一对应的确定关系，相当于非 线性弹性（不考虑卸载），求解简单。
加载面
ij ij
A0 A • d p 0
正交性
塑性应变增量dipj必须沿着外法线方向n
dipj
d f ij
f
假定屈服函数 f 与静水压力无关， 必然是一个偏张量，
ij
因此，dipj 也是偏张量，即塑性体积是
不可压缩的。
对流动法则：
dipj
d g ij
• g=f，相关联的流动法则。塑性应变增量与屈
A
{
}
[D]e
g f
{
}
{
}
{d }
Ad
f
{
}
T
[
D
]e
g d { }
d
f
{
}
T
[
D
]e
A
f
{
}
T
[
D
]e
g
{
}
d
[G] d
{d} {d}e
d p
[D]e1{d }
d
g
{ }
{d }
[D]e{d } [D]e
g [G}d
{ }
([D]e [D]p )d
Drucker公设的推论
由于路径是任意的，所以：
(ij
0 ij
)d
p ij
0
ijdipj i0jdipj
又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑 性功总是大于或者等于静力可能应力所做的塑 性功 ，也可写为：
dijdipj 0
外凸性和正交性
Drucker公设是一个充分非必要准则，直接导 致了加载面外凸性和正交流动法则。
简单加载（比例加载） •是指应力各分量之间成比例且单调增长，即
ij ti0j sij tsi0j （t>0，dt>0）
此时，可由增量理论推导出全量理论
•在平面上，该加载路径是一条=const的射
线，
e' 2
y
dipj
o
x
e13'
e' 1
deij=
1 2G
dsij+dsij
（Mises准则）
应力状态i0j。
23
0
14
dp
ij.dij.3 ij 2
i0j 1 (4)
Drucker公设
在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力ij i0j
所做的功应不小于零：
( ij ij i0j )dij 0
dij diej dipj
在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功 为零
( ij ij i0j )diej 0 ij (ij i0j )dipj 0
服面正交。
在Drucker公设成立的条件下，显然有g=f
• 若gf，为非关联的流动法则，塑性应变增量
与屈服面不正交。
加载准则
dp与n两者方向一致，则Drucker公设变为
d•n 0 只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性 变形，即加载准则。
5.3.6 稳定公设
（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即>0，
（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软 化，<0，
（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原 理矛盾
应力循环
•从1点的应力状态 i0（j i0j 是静力可能的应力）开始，
•施加某种外力使其达到2点（其应力为ij）并进入屈服， •再施加应力增量dij使其加载到达3点（其应力为ij +dij )， •然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的
5.3.4 增量理论
描述塑性变形规律的理论大致分两大类： 增量理论和全量理论。
增量理论建立了塑性应变增量与应力及 应力增量之间的关系，又称为流动理论。
全量理论建立了应力全量和应变全量之 间的关系，又称为形变理论。
• 在塑性变形阶段，塑性变形与加载路径 有关，因此，一般情况下，必须考虑某 时刻的应变增量，再用积分或求和的办 法求出整个加载历史的总应变，即塑性 本构关系本质上只能采用增量的形式， 这是与弹性本构关系的明显区别。
加载面外凸性
定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加
载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即
加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸。
由于应力增量
(ij
0 ij
)
和塑性应变增量矢
量
d
p ij
的标量积非负，则初始屈服面和后继加
载面必然是外凸的，否则不能满足该条件。
超平面
n dp
0
A0 A ij i0j
An
• 这是一组苛刻的条件（不可压缩材料不多， 幂次型有效应力和应变关系也难满足），揭 示出全量方法在应用上的极大局限性。
• 在工程实际应用中，许多实例是偏离简单加 载定理的，只能满足条件（1）、（3），但 结果还比较满意，说明在一个较大范围内可 以采用全量理论，计算结果再用实验复核。
本构关系的一般形式
本构关系的推导方法（用矩阵形式） 应变增量的分解：
{d} {d}e {d}p
弹性部分：
{d}e [D]e1{d}
1 v
v
1 v
对
[D]e
(1
E v )(1
2v)
v 0
v 1 v
称
0 0 1 2v
0 0 0 0 1 2v
0
0
0
0
0 1 2v
d
1 A
f
{
T }
{d
}
A可通过实验测定
T
d p
d g { }
1 g f
A
Baidu Nhomakorabea
{
}
{
}
{d }
用应力增量表示应变增量：
T
d [D]e1{d }
1 g f
A
{
}
{
}
{d }
为了求出逆关系，将上式两端乘上
f
{
}
T
[
D]e
T
T
f
{
}
[ D ]e d
f
{
}
{d }
T
T
1 f
dkk=(1 2v) dkk
E
积分得
t 0
eij dt
1 2G
t 0
sij dt
si0j
t
td
0
1 2G
sij
sij t
t
td
0
1 t td
eij=
t
(
0
1
2G
)
sij
kk=
(1
2v E
)
kk
令 H=1/2G + 得：
eij=Hsij
eijeij=H2sijsij 得：
H
eij eij
3 2
2 3
eij
eij
3
sij sij
2 3
3 2
sij
sij
2
eij
3 2
sij
单一曲线假定 当材料几乎为不可压缩时，按照不同应力组
合所得出的 ～ 曲线与
单轴拉伸时的 ～ 曲线十分相近。
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单 （比例）加载情况，Ilusion给出了一组充分条件。 • （1）小变形； • （2）材料不可压缩； • （3）外荷载按比例单调增长，如有位移边界 条件，只能是零位移边界条件；
([D]ep )d
[D] [
D
]e
g
{
}
f
{
}
T
[
D
]e
p
A
f
{
}
T
[
D
]e
g
{
}
5.3.5 全量理论
• 一般来说，增量应力—应变关系（本构关系） 不能积分成全量关系，但在某些加载情况下， 增量理论可积分得到应力与应变之间的全量 关系，即全量理论。 应力应变一一对应的确定关系，相当于非 线性弹性（不考虑卸载），求解简单。
加载面
ij ij
A0 A • d p 0
正交性
塑性应变增量dipj必须沿着外法线方向n
dipj
d f ij
f
假定屈服函数 f 与静水压力无关， 必然是一个偏张量，
ij
因此，dipj 也是偏张量，即塑性体积是
不可压缩的。
对流动法则：
dipj
d g ij
• g=f，相关联的流动法则。塑性应变增量与屈
A
{
}
[D]e
g f
{
}
{
}
{d }
Ad
f
{
}
T
[
D
]e
g d { }
d
f
{
}
T
[
D
]e
A
f
{
}
T
[
D
]e
g
{
}
d
[G] d
{d} {d}e
d p
[D]e1{d }
d
g
{ }
{d }
[D]e{d } [D]e
g [G}d
{ }
([D]e [D]p )d
Drucker公设的推论
由于路径是任意的，所以：
(ij
0 ij
)d
p ij
0
ijdipj i0jdipj
又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑 性功总是大于或者等于静力可能应力所做的塑 性功 ，也可写为：
dijdipj 0
外凸性和正交性
Drucker公设是一个充分非必要准则，直接导 致了加载面外凸性和正交流动法则。
简单加载（比例加载） •是指应力各分量之间成比例且单调增长，即
ij ti0j sij tsi0j （t>0，dt>0）
此时，可由增量理论推导出全量理论
•在平面上，该加载路径是一条=const的射
线，
e' 2
y
dipj
o
x
e13'
e' 1
deij=
1 2G
dsij+dsij
（Mises准则）
应力状态i0j。
23
0
14
dp
ij.dij.3 ij 2
i0j 1 (4)
Drucker公设
在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力ij i0j
所做的功应不小于零：
( ij ij i0j )dij 0
dij diej dipj
在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功 为零
( ij ij i0j )diej 0 ij (ij i0j )dipj 0
服面正交。
在Drucker公设成立的条件下，显然有g=f
• 若gf，为非关联的流动法则，塑性应变增量
与屈服面不正交。
加载准则
dp与n两者方向一致，则Drucker公设变为
d•n 0 只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性 变形，即加载准则。
5.3.6 稳定公设
（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即>0，
（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软 化，<0，
（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原 理矛盾
应力循环
•从1点的应力状态 i0（j i0j 是静力可能的应力）开始，
•施加某种外力使其达到2点（其应力为ij）并进入屈服， •再施加应力增量dij使其加载到达3点（其应力为ij +dij )， •然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的
5.3.4 增量理论
描述塑性变形规律的理论大致分两大类： 增量理论和全量理论。
增量理论建立了塑性应变增量与应力及 应力增量之间的关系，又称为流动理论。
全量理论建立了应力全量和应变全量之 间的关系，又称为形变理论。
• 在塑性变形阶段，塑性变形与加载路径 有关，因此，一般情况下，必须考虑某 时刻的应变增量，再用积分或求和的办 法求出整个加载历史的总应变，即塑性 本构关系本质上只能采用增量的形式， 这是与弹性本构关系的明显区别。
加载面外凸性
定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加
载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即
加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸。
由于应力增量
(ij
0 ij
)
和塑性应变增量矢
量
d
p ij
的标量积非负，则初始屈服面和后继加
载面必然是外凸的，否则不能满足该条件。
超平面
n dp
0
A0 A ij i0j