并行算法论文

2.1
求解弹性力学问题的原理与方法框图于图 1-1
（精确） 弹 性 力 学 问 题 能量法 ② 计算应变能、外力势能 ① 取微元体建立控制方程 直接法 控制方程 变
①
解控制方程 ③近似计算 解 答
④
分 法
差分法、有限元法 ②利用变分法直接近似计算 里兹法、伽辽金法、有限元法
能量原理
图 1-1 图 1-1
要使它与 的乘积在节点 m 处值为 1，在相邻 节点 l 和 o 上的值为 0。在节点 m 处计算 和 应该为 应该 =1。 在节点 o 处计算 ， ，对于 ， 对 ， ，
=0 。对方程
应用以上条件得到：
得到
可以用同样的方法确定其他几个角节点的形函 数： 图 1-3 平面应力即系统的应力状态在某方向上的应力 分量为零，其他两个方向上应力不为零，这时三维 空间结构处于平面应力状态。在 ANSYS 中，模型 需要在总体坐标系的 XOY 平面内建立。常用平面 类似得到其它中间节点的形函数为： 应力计算单元类型有:plane42, plane82, plane182 和 plane183 等, 将这些单元定义新单元类型后，设置 器单元配置选项 KEYOPT(3)为 Plane stress 或 Plane stress with thickness input，单元将被指定按平面应 力计算。 该大坝分析实例的菜单建模、加载和求解过程 如下：
弹性静力学问题的有限元分析
—以大坝平面应变问题为例 王莉红
（宁夏大学数学计算机学院 10 级信息与计算科学 1 班 银川 750021）
摘要：1965 年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理 论和算法都已经日趋完善。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体， 实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很 多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。 关键词：弹性静力学；有限单元法；大坝；平面应变问题 中图分类号：0242.21；0321；0343 文献标识码：A
=
弹性面内任意一点的位移的矩阵形式：
别加以编号，为用数据来描述结点做准备。 （2）数据化 用数字描述结点坐标、单元材
料与截面特性以及支承信息和荷载信息等，为有限 D= 单元法的理论分析、有限元计算程序提供信息，这 称为计算简图的数据化。 G= 最小势能原理 虚位移原理虚功方程为 n= 弹性面在边界上单位面积的内力为 界 Γ 、 、 ，在边 以位移为自变量函数，则用几何方程可求得应变 上已知弹性面单位面积上作用的面积力为 （ ， 根据平衡应有 = = ） 、由本构方程可求得应力（ ） ， 因此应力可以表示为位移的函数 考虑到虚应变和虚位移满足几何方程（ 上述虚功方程可改写成 （ ） 。再 ） ，
元法”的名称，使人们开始认识了有限单元法的功 效。 二十多年来，有限单元法的理论和应用都得到 了迅速的、持续不断的发展。二十多年了，有限单 元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、 板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力 问题和波动问题。分析的对象从弹性材料到扩展到 塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学 扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。在 工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计 和计算机辅助设计技术相结合。可以预计，随着计 算机技术的发展，有限单元法作为一个具有巩固理 论基础和广泛应用效力的数值分析工具，必将在国 民经济建设和科学技术发展中发挥更大的作用，其 自身亦将得到进一步的发展和完善。
态为水平面刚好平坝顶，计算在重力和水压作用下 的坝体承载状态，该实例的目的是学习将 3D 问题 转化为 2D 问题进行分析地方法、压力梯度的设置 与水压加方法、压力的箭头显示、实体模型载荷向 有限元模型的转化用以检查载荷与边界条件等。这 个问题可以用有限元法及利用 ANSYS 软件解决。 有限单元法是以电子计算机为手段的“电算” 方法，它以大型问题为对象，未知数的个数可以成 千上万，因而为解决复杂的力学问题提供了一个有 效的工具。 有限单元法的应用领域很广，这里只讨论其中 的一个“点”—弹性力学。有限元法有自己的理论 基础和独特的解题方法，但解决实际问题时，最后 总要落实到框图设计和程序编写。所以本文介绍的 ANSYS 软件就是为解决大坝问题而编写程序的。 有限单元法的基本思想：是将连续的求解域离 散为一组有限个且按一定方式联结在一起的单元的 组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，
第 1 步，清除内存准备分析。 （1） 清除内存，开始一个新分析。 （2） 指定新工作文件名。 （3） 定义标题。 第 2 步，创建有限元模型。 （4） 进入前处理器并选择单元类型 （5） 定义材料属性 1。 （6） 创建 6 个关键点。 （7） 创建大坝截面。 （8） 给面分配单元属性。 （9） 控制面上单元的尺寸。 （10） 选择单元形状和网格划分器。 （11） 执行面网格划分。划分网格后如图 1-4 所示。
将连续体分割成有限个部分，这每一部分即为一个 单元。各单元用有限个点相连接，这些连接点即为
其中
微分算子 = 结点。这样做的结果，是用有限个单元的组合体来 应力矩阵 面积力矩阵 应变距阵 = = 代替原结构的连续体，显然存在着近似程度问题。 而随着网格划分的加密和单元的缩小，两者之间的 差距越来越小。常用的单元分为两大类：三角形类 和四边形(含矩形)类。结构的离散化工作，包含两 方面的含义: 微分算子 （1）离散化 按一定的顺序对结点、单元分
2.2
弹性静力学方程
（1） 平衡方程
在 内
（2） 几何方程 （3） 物理方程 （4） 边界条件 σ=D nσ = u= 并有 Γ
在 内 在 内 在Γ 上 在Γ 上 E 表示弹性体材料的弹性模量，G 称为剪切弹性模 量
2.3
结构离散化
对于连续体问题，必须人为地用假象的线或面
ห้องสมุดไป่ตู้
+ Γ =Γ ，Γ 为弹性面的全边界。
1
引言
坝体挡水面承受净水压力作用，假设最危险状
且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化 几何形状复杂的求解域。 有限单元法的特点：利用在每一个单元内假设 的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场 函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散 的有限自由度问题。 从应用数学角度来看，有限单元法基本思想的 提出，可以追溯到 Courant 在 1943 年的工作，他第 一次尝试应用定义在三角形区域上的分片连续函数 和最小位能原理相结合， 来求解 St.Venant 扭转问题。 一些应用数学家、物理学家和工程师由于各种原因 都涉足过有限单元的概念。 到了 1990 年以后， 随着 电子数值计算机的广泛应用和发展，有限元法的发 展速度显著加快。现代有限单元法第一个成功的尝 试， 是将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题。 这是平面应力问题的正确答案。三角形单元的单元 特性是由弹性理论方程来确定的，采用的是直接刚 度乏。他们的研究工作打开了利用电子计算机求解 复杂平面弹性问题的新局面。1960 年 Clough 进一 步处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单
位移状态 d 为真实为真实状态的充分、 必要条件是， 对应位移 d 的势能一阶变分为零，即对应位移 d 的 势能取驻值。进一步可以证明，对线性弹性问题势 能为难最小值，这就是势能最小原理。 几点说明： （1） 真实位移满足平衡条件的位移， 也即是既 平衡又协调的位移。 （2） 最小势能原理和虚位移原理等价， 一个以 能的形式表达，另一个用功的形式表达。
（近似）
框图说明：图 1-1 给出了求解弹性力学的问题的 5 条途经。 1．①—① 路径——直接法 2．②—② 路径——能量法 3．①—③ 路径——差分法和有限元法 4．②—④—① 或②—④—③路径 这两种路径都不经常用，因为变分法比直接法使用的较晚， 所以总是用变分法沿②—④路径推出控制方程，以证明变分法的正确性。
侧
2.5
实例
大坝分析平面应变问题。如图 1-3 所示是某大
坝的截面及其尺寸示意图。坝体为混凝土浇筑，其 材料的弹性模 2.14×1010 Pa，泊松比为 0.25，密度 为 2500Kg/m³。坝体挡水面承受净水压力作用，假 设最危险状态为水平面刚好平坝顶，计算在重力和 水压力作用下的坝体承载状态。该实例的目的是学 习将 3D 问题转化为 2D 问题进行分析地方法、 压力 梯度的设置与水压力的施加方法、 压力的箭头显示、 实体模型载荷向有限元模型的转化用以检查载荷与 边界条件等。
对于给定节点，选取第一个函数 F1，使得它在与 给定节点无关的单元上值为零。选择第二个函数 F2 时，要使它和 F1 的乘积在给定的节点上为 1， 在其他相邻节点上为 0。为了说明这个方法，考 虑角节点 m ，它的自然坐标为 ， 。
首 先 选 择 F1 ， 使 得 它 在 和 in 侧 设： ， 再设： ， 的值为零。
又由于外力是给定的，它和虚位移无关。将虚位移 看成是位移的变分（再次强调，变分算法和微分相 同，自变函数看成自变量） ，虚功方程可改写成
Γ
=0
（a）
由材料力学可知式 （a） 的第一项为应变能 的变分。 外力势能
Γ
n o m （1，1） p （1，1）
总势能
Γ
则式（a）成为
i （-1，-1） 在此处键入公式。 k 图 1-2 在此处键入公式。 设和每个节点有关的形函数可以表示为两个 函数 F1 和 F2 的乘积： ， ， j （1，-1）
（19） 在 L1 与 L2 上施加静水压力。 （20） 施加重力加速度。 （21） 将实体模型载荷转换到有限元模型 上。 （22） 显示压力箭头。如图 1-5 所示。 （23） 画单元模型。 （24） 执行求解。 （25） 退出求解器。 第 4 步，执行后处理：查看变形、应力与各梁的弯 矩和轴力。 （26） 进入后处理。
Γ
以上公式的矩形形式为
（3） 当应变能按材料本构关系写出时， 势能原
Γ
理也适用于任何力学行为的材料，但此时只是一个 （ ） （ 对线性弹性物体来说 （ ） （ （ ） ） 驻值原理。只有当本构关系是线性的时候，才是最 ，因此 小值原理。
2.4
单元介绍
二维单元包括矩形单元，平面四边形单元，线性三 角形单元，平面三角形单元，等参单元。这里只介 绍八结点的平面四边形单元。如图 1-2 所示八节点 的平面四边形单元是一种高阶的平面四边形单元。 适用于带有曲线边界的问题。由自然坐标表示的八 节点的平面单元的形式为：
图 1-5 （27） 读入最后结果序列。 （28） 观察总变形。如图 1-6 所示。 图 1-4 （12） 存储有限元分析模型。 （13） 退出前处理器。 第 3 步，执行静力分析。 （14） 进入求解器，选择静力分析 （15） 打开关键点与线的编号与颜色开关。 （16） 画线。 （17） 在 L6 上施加固定约束边界条件。 （18） 设置静水压力梯度。 图 1-6 图形所示 S1 主应力。
（29） 图形显示 S3 主应力。
出版社，2002 [2] 宋剑锋。 ANSYS 有限元分析。 中国铁道出版社， 2012 [3] 龙驭球，龙志飞，岑松。新型有限元论。清华 大学出版社，2004 [4] 王勖成，邵敏。有限单元法基本原理与数值方 法。清华大学出版社，1988 [5] 王国强。 实用工程模拟技术及其在， 上的实践。 西北工业大学出版社，1999 [6] 蒋玉川，张建海，李章政。弹性力学与有限单 元法。科学出版社，2006 [7] 赵海峰， 蒋迪。 ANSYS 8.0 工程结构实例分析。 中国铁道出版社，2004
有限单元法的应用涉及到计算程序，这些程序 的设计和编写就需要各种软件。 1971 年首次发布了 ANSYS。 ANSYS 是一个通用的有限元计算机程序。 可进行静态、动态、热传导、流体流动、电磁学分 析。ANSYS 是一个强大的工程工具，能够用来解 决各种各样的问题。除了 ANSYS 有限元法所用到 的软件还有 NASTRAN、SAP、ABAQUS、ADINA 等。 学习有限单元法当然首先要掌握其基本原理， 但更重要的是要学会应用。这就必须掌握以下两方 面的知识：如何建模，如何判断计算结果正确与否 及如何利用计算结果。 有限单元法的基本步骤分为预处理阶段、解决 阶段和后处理阶段。