一元二次方程单元分析
一元二次方程单元测试考试质量分析
一元二次方程单元检测试卷分析考试，是数学教学的一个重要组成部分，是检测教学效果的有效手段。
试卷的作用是多方面的，它不仅起到评价反馈的作用，而且更是学生查漏补缺、巩固提高的重要途径。
试卷讲评是考试的一个不容忽视的重要环节，有的放矢地进行试卷评析，可查出教与学的“病症”，以便“对症下药、妙手回春”；也可以总结教与学的成功经验。
这对强化数学教学效果，进一步提高教学质量和促进教学改革都具有重要意义。
考点进行试卷分析。
现将教学反思如下：1、试卷分析本次考试的重点是一元二次方程的基础知识，一元二次方程的解法，以及一元二次方程的基本应用，在学生的成绩来看，解方程选择适当的方法是一个难点，而且不能应用简便的方法解方程，另外学生的应用题大概百分之二十的学生会列方程，大部分不能做。
2、学生存在问题很多学生都有这样的体验，考试后总能找到一些自己会但没有得分的题目，可以通过自查解决这类问题，作为教师要善于引导学生去分析自己丢失分数的原因，总结经验教训，要求学生严格要求自己，不要过分地宽容自己的失误，以利于在平时养成周密细致的品质。
因此我一般在分析试卷前都会要求学生先进行自查。
但对于生与生之间的互相纠错做的不够。
一般来说，对于在自查过程中自身解决不了或比较模糊的地方，学生之间有着强烈的交流欲望，这时候教师如果因势利导，组织好生生合作，一些相对简单的问题就可以在学生的互动中解决了。
在自查和互查过程中，教师要进行必要的参与，一方面指导解决学生的困惑，引导学生在互查中不仅仅要知其然，还要知其所以然，善于发觉错误的原因和知识的根源，另一方面，从学生的交流过程中，收集有益信息，弥补自己在试卷分析时的疏漏，为后面的重点讲解做更充分的准备。
所以这一点以后我会努力做得更细。
3、按考点进行分类讲解如果教师在讲评试卷时面面俱到，逐题讲评，这样既造成时间上的浪费，又会使课堂平淡乏味。
而对于一份试卷而言，它都是根据我们已学过的知识点进行考查的，因此，我在分析时重点通过考点进行分类讲解，让学生也能了解出卷者的意图，从而更清楚更系统地掌握所学知识。
九年级上册第二章《一元二次方程》教材分析
第二节配方法
教学目标：
一、教学知识点：
1、会用开平方的方法解形如 的方程
2、理解一元二次方程的解法——配方法
3、会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程
4、了解用配方法解一元二次方程的基本步骤
2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。
3、了解一元二次方程及其相关概念,会用配方法，公式法,分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
4、经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程,发展估算意识和能力。
2、会用求根公式解一元二次方程
二、能力训练要求：
1、通过公式的推倒,加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
2、会用公式法解简单的数字系数和一元二次方程
三、情感与价值观要求:
通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力,养成良好的运算习惯。
教学重点:
一元二次方程的求根公式。
教学难点:
求根公式的条件:
１、经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型
2、理解一元二次方程的概念
3、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识际中抽象出数学问题,让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识和产生探求其解的欲望,为方程精确解的研究做了铺垫，产生求精确解的内在要求。
2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
人教版初中数学《一元二次方程》单元教材教学分析
随堂练习
1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x(x-1)=3(x-5)-4（2）
2．方程（2a—4）x2—2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？
在什么条件下此方程为一元一次方程
3.选择题
(1)方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值为＿＿＿
5、借助于多媒体从实际问题抽象出概念，在通过巩固训练、回顾梳理、拓展提高到作业布置，完成本节课的教学
通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。
6、通过本节课的学习使学生认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活的辩证唯物主义观点，激发学生学数学、用数学的意识；
7、通过本节知识的学习，使学生认识到知识的产生、变化和发展的过程。在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
学情分析：九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。由于他们有强烈的求知欲，当遇到新的问题时，会自然的产生进一步探究的欲望。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
教学过程
一、复习提问：我们已经学习了哪些方程？（学生回答）
二、以课本的问题引入新课
问题一有一块长100cm，宽50cm的铁皮，在它的四周各减去一个同样大的正方形，然后制作成一个无盖的底面积为3600cm2的盒子，切去的正方形的边长应为多少？
一元二次方程单元整体目标分析
一元二次方程单元整体目标分析教材分析：一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。
其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备. 数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
学情分析：九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。
这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。
但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在章张知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。
教学目标：1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程（一元二次方程），体会方程（一元二次方程）是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2.经历估计方程（一元二次方程）的解的过程。
3.理解配方法，能够用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
4.会用一元二次方程的跟的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。
5.能够根据具体问题的实际意义，检验一元二次方程的解是否合理。
教学措施：（1）注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识。
（2）重视相关知识的联系，突出解方程的基本策略。
（3）培养学生发现问题、分析和解决问题的能力。
一元二次方程章节目标分析
《一元二次方程》章节目标分析一、本章教学目标：1．根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型。
2．会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想。
3．会用一元二次方程解决简单的实际问题，检验结果是否符合实际意义。
二、本章总体把握１、结合教材，面向全体，把握好教学要求从内容上看，教材目前只是突出最重要的基础知识和最基本的技能。
例如，在讨论一元二次方程的解法时，要求学生理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，应避免繁琐的计算。
“一元二次方程根与系数的关系”只作为选学内容要求，但可以适当补充练习。
２、突出算理，强化解一元二次方程的基本策略以及解法中的关键步骤，渗透转化的思想方法。
一元二次方程与一元一次方程相比，它的特殊性是未知数的次数是２，因此将面临的新问题转化为熟悉的问题是解决此问题的基本思路。
我们先解决形如ax2=b的方程，然后提出如何解形如（x+a）2=b的方程，最后引出“降次”这一解一元二次方程的基本策略，使“降次”很自然很合理的融入学生的思维。
在学习因式分解法时，先引入x(x-1)=0，突出方程的特征分析：一边为０，一边为两个一次因式相乘；再根据“如果A*B=0,那么Ａ＝０或Ｂ＝０”得到两个一元一次方程。
这样既突出了一元二次方程解法上的特点及其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。
教学时，应为学生提供能主动地思考探究交流的内容，引导学生积极地思考与探究，使学生认识到降次的合理性。
在讨论一元二次方程的各种具体解法时，我们应把重点放在分析方程的形式特征上，使学生理解各种解法及算理，体会降次转化在解方程时的作用，培养学生思维的深刻性和灵活性，转化是一种重要的思想方法，在本章中，反映转化思想方法的内容十分广泛。
如配方法，把方程化为（x+a）2=b的形式，体现了数学形式的转化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”，直接开平方法、分解因式法通过“降次”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程等。
2024年人教版九年级上册教学第二十一章 一元二次方程第二十一章 一元二次方程
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元二次方程”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出“方程与方程组”要求能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程,解决实际问题.在教学中,应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程.用数学眼光发现问题并提出数学问题,用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题,给出数学描述和解释,运用数学的语言与思想方法,综合运用多个领域的知识,提出设计思路,制定解决方案.结合实际问题建立方程模型,进而分析和解决问题,是学习方程的核心.2.本单元教学内容分析人教版教材九年级上册第二十一章“一元二次方程”,本章包括三个小节:21.1一元二次方程;21.2解一元二次方程;21.3实际问题与一元二次方程.本章系统的学习了一元二次方程及其根的概念、解方程的方法与步骤,以及应用方程的思想和方法来解决实际问题等.正确理解方程根的意义,并学会解方程的方法,是基本运算技能的重要组成部分.依据等式的基本性质,采用“降次”的方法来解方程,充分体现了转化与化归的数学思想.方程是刻画现实情景中数量关系的一个非常重要的数学模型,方程的学习应注意对实际应用问题的探索、研究和讨论.构建方程最重要的环节就是分析具体情境中的数量关系,找出两件等价的事情后,建立数量间的相等关系,即等量关系.方程的学习使学生从原有的算术思维向代数思维转变,是学生代数思维发展的开始.在教学中引导学生积极主动地收集现实的、有意义的数学问题作为学习和研究的素材,依据问题的相关信息,将问题数学化,进而对其中的数量关系进行梳理,设定未知数,并列出相应的方程.帮助学生积累相关数学活动经验,提升分析问题和解决问题的能力.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学九年级上册第二十一章一元二次方程,学生在前面已经学习了数与式的运算、一元一次方程和二元一次方程组,其内容都是学习一元二次方程的基础.一元二次方程是中学教学的主要内容,在初中“数与代数”中占有重要的地位.在现实生活中,许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程.因此,从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看,从实际问题中抽象出数量关系,列出一元二次方程,求出它的根进而解决实际问题,是本章学习的一条主线.通过对一元二次方程的学习,可以为以后的学习作铺垫,此外,学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义.四、单元学习目标1.了解一元二次方程的概念,会把任意的一元二次方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),并能熟练的确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2.掌握一元二次方程的解法,并能根据方程的特点选择合适的方法来解方程,培养学生的数学运算和推理能力.3.理解一元二次方程根的判别式,会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.4.掌握一元二次方程的根与系数的关系,学会应用它来求一元二次方程的各项系数.5.通过分析问题,建立方程来解决生活中的实际问题,体现数学的实用价值,培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算的能力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.生活性原则:本单元的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
初中数学《一元二次方程》单元评价思维导图以及评价量规
初中数学《一元二次方程》单元评价思维导图以及评价量规一元二次方程年作者姓名学科数学九年级级主题单元名一元二次方程称单元评价方案的思维导图评价量规“一元二次方程”能力评价量规评价标准描述评价评价指标(权重) 生总分和好[1，0.8] 一般(0.8，0.6] 需要改进(0.6,0] 师评评评语1.小组有详细计划，1.小组有计划，和研究目标，分工明有分工，但不明1.小组无计划，确。
确。
无分工。
2.小组汇报的探究2. 小组汇报的2. 小组汇报的结果是按照分工计探讨结果是主要探讨结果是主要划集体合作完成的。
是由一两位同学是由一两位同学合作能力汇报内容具体，研究完成的。
汇报内完成的。
汇报内方法科学，有学习价( 20 分) 容较具体，研究容不具体，学习值，有吸引力。
方法科学，有一价值一般。
3.解决问题时，除完定的学习价值。
3. 小组内有同成各自分工后，同学3.小组内有个别学根本没有参与间还能相互帮助，最同学没有积极参探讨。
后达成解决问题方与探讨。
案。
能类比一元一次方能类比一元一次程的概念和解法，理方程的概念和解解一元二次方程的法，理解一元二能类比一元一次有关概念及解二次次方程的有关概方程的概念和解方程的关键——将念及解二次方程法，理解一元二次，能用配方法推导的关键——将思维能力次方程的有关概出求根公式，掌握解次，能用配方法念及解二次方程( 30 分) 一元二次方程的三推导出求根公的关键——将种方法，能并灵活选式，掌握解一元次，能解出一元择适当的方法求解。
二次方程的三种二次方程。
能把实际问题转化方法。
能把实际成数学模型，解出并问题转化成数学解释根的合理性。
模型，能够通过观察分析、能够通过观察分动手操作能在别人的帮助下操作、交流、研讨等析、操作、交流、力探讨出周长相等探讨出周长相等时研讨等探讨出周( 25分) 时哪种图形的面哪种图形的面积最长相等时哪种图大，并作出合理解形的面积最大。
积最大。
释。
总分及评语。
人教版初中数学《第21章一元二次方程》单元教材教学分析
1.为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程
学生已经具备解一元二次方程的基本思想—化归，即把方程转化为一次方程，但在面对解一元二次方程的任务时，不知该用什么解法，因此，在教学中应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。
2.加强数学抽象能力和数学建模能力的建构
许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与一元一次方程相比，一元二次方程有更广泛的应用，这可以通过建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从具体情境中抽象出数学问题建立方程表示数量关系，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处。
人教版初中数学《第21章一元二次方程》单元教材教学分析
学段及学科
初中数学
教材版本
人教版
单元名称
《第21章一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型，一元二次方程的解法和实际应用是初中阶段的核心内容。并学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题，为后续的二次函数等打下学习基础。
单元目标
会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，掌握根的判别式的应用，以及能够用一元二次方程解决有关实际问题。
重点、难点与关键
1.重点：解一元二次方程的基本思路和具体解法
2.难点：建立一元二次方程模型解决实际问题
教学方法和手段的设计
第一节课采用问题和情景引入，如“什么是一元二次方程，你能举个例子吗？”，对于解法“基本思路：通过恒等变形，把方程逐步转化为x=a的形式”
课时安排
第一课时：一元二次方程
第二课时：解一元二次方程—直接开平方法
第三课时：解一元二次方程—配方法（一）
第四课时：解一元二次方程—配方法（二）
第五课时：解一元二次方程—公式法
一元二次方程质量分析
《一元二次方程》单元测试质量分析（2013-2014-1）教师：陈永坤试卷分析：本次考试的命题范围：人教版九年级上册，第二十二章的内容，完全根据新课改的要求。
试卷共计26题，满分120分。
其中填空题共10小题，每空3分，共30分；选择题共8题，每小题3分，共24分；解答题共8小题，共66分。
方程是科学研究中重要的数学思想方法，方程还是刻画现实世界的一个有效的数学模型，随着数学应用的广泛性，方程的工具作用显得更加重要。
在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。
但是我们说，在生活当中，有关方程的模型并不都是线性的，另一种方程——也就是一元二次方程，在现实生活中同样具有广泛的应用。
一元二次方程在初中代数学习中，具有重要的地位，起着承前启后的作用。
一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用，比如说整式、开平方、一元一次方程、一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用，另一方面，一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展，它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础，比如说，二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。
根据课程标准的要求，这一章主要让学生进一步去体会方程的模型思想，会解一元二次方程，当然是数字系数的一元二次方程，包括用配方法、公式法、因式分解法等等，当然还包括估计一元二次方程的解，然后应用方程解决实际问题，能够根据具体问题的实际意义检验结果是否合理。
学习的方式是很多样的，可以让学生去观察、归纳、类比、抽象、估计等等。
学生答题情况及存在问题：成绩分布：0分---9分0人，10分---19分1人，20分---29分5人，30分---39分3人，40分---49分3人，50分---59分1人，60分---69分13人，70分---79分4人，80分---89分4人，90分---100分4人,100分-129分1人。
第二十一章一元二次方程学情与教材分析
第二十一章一元二次方程学情与教材分析第21章一元二次方程本章学情分析与教材分析（一）学情分析：本章内容面对的学生是初三年级十三四岁左右，他们思维活跃，模仿性强，已经开始占主导地位的抽象逻辑思维，逐步由经验型向理论型转化。
观察、记忆、想象诸能力迅速发展，能超出直接感知的事物提出假设和进行推理、论证，很大程度上还需要感性经验的支撑。
一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型，一元二次方程的解法和实际应用是初中阶段的核心内容。
前面已经研究了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程、平方根、因式分解等知识，对于解方程的基本思路（使方程逐步化为x=a 的形式）已经比较熟悉，按照这种思路继续研究一元二次方程的解法.本章还要讨论与方程的根有关的几个基本问题（判别式与方程的根、根与系数的关系等），在此基础上研究利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。
本章的研究将为后续的二次函数等打下研究基础。
（二）教材分析：1.核心素养本章所触及的数学思想方法主要有：解方程过程中的转化、化归思想，配方法以及分类讨论思想，由实际问题抽象为方程模子的建模思想。
2.本章研究目标（1）联系一元一次方程、方程组和函数的根本知识，连续探究实际问题中的数量关系及其变革规律，履历由详细问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体味方程是描画现实世界中数量关系的一个有效的数学模子。
（2）了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。
（3）理解配方法的意义，会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数），并在解一元二次方程的过程中体味转化等数学思想。
（4）把握根的判别式的有关应用，理解一元二次方程两根与系数的关系。
（5）能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据详细问题的实际意义检验结果的合理性，进一步造就学生分析问题，解决问题的意识和能力。
1（6）经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。
一元二次方程单元教材分析报告
《一元二次方程》单元教材分析一. 教学内容：复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点）⑴了解一元二次方程的有关概念．⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．二. 基础知识回顾1. 方程中只含有_______•个未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_____ __（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x －3＝2x 2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2. 解一元二次方程的一般解法有⑴_________；⑵________；⑶•_________；•⑷•求根公式法，•求根公式是______________．3. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根． 例如：不解方程，判断下列方程根的情况：⑴x （5x ＋21）＝20 ⑵x 2＋9＝6x ⑶x 2－3x ＝－54. 设一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1·x 2＝______． 例如：方程x 2＋3x －11＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________；x 1·x 2＝_______．5. 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝•_______，•x 1·x 2＝________．三. 重点讲解1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目）3 .一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）； ⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）； 针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下：⑶解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明）．举例如下：4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．6. 本章解题思想总结：⑴转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．⑵从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．（对于理解力好的学生，可以要求其掌握公式法的求根公式的由来，以及怎样用两根推导根与系数的关系）⑶分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想（在目前单元测试的压轴性题目中出现的频率较高）． 举例如下：四. 易错点点拨易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉（虽简单，但极易被学生忽略）．易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式（注意同类项的合并与等号右边不为零的情况）．易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．⑴是在解形如“2x x =”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以x ，从而造成方程丢根（告知学生原因，即当x=0时，两边是不能同时除以0的，无意义）；⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式； ⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断24b ac -必须非负才能求解；举例如下：⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义（两个解并非必须有一个是增根，二者都合适的情况也是存在的）．【典型例题】考点1：一元二次方程的概念及一般形式相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，•a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．例1. ⑴下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ） A. 23(1)2(1)x x +=+ B. 21120x x +-=C. 20ax bx c ++=D. 2221x x x +=-⑵方程215x x -=的一次项的系数是 ．【评注】概念性的问题关键是抓住概念的本质．一元二次方程必须符合三个条件：①是整式方程；②化简后只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．考点2：一元二次方程的解相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根．复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可．相等，则是方程的解；反之，则不是．例2. 如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值．【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用．考点3：了解方程并判定方程根的情况相关知识：一元二次方程根的判别：⑴当24b ac ->0时，方程有两个不相等的实数根；⑵当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；⑶当24b ac -<0时，方程没有实数根．反之也成立．复习策略：要掌握一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值范围；③求解与根有关的综合题．例3. ⑴（2007巴中市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根⑵（2007安徽泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A. m <lB. m >－1C. m >lD. m <－1考点4：解一元二次方程相关知识：我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．而解一元二次方程的关键是判断方程的特点，选择最佳解题方法，其基本思想是“ 降次”，把二次转化为一次．这四种方法各有千秋，在解一元二次方程时可根据方程的特点，选用最佳解法．复习策略：灵活选用一元二次方程的解法，可从以下几点考虑：⑴对于形如x 2＝a （a ≥0）或（mx －n ）2＝a （m ≠0， a ≥0）的方程，可根据平方根的意义，用直接开平方的方法求解．⑵如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0，左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法． ⑶当一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法．⑷如果用以上几种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解．例4. 解下列方程：⑴（x ＋1）2＝12⑵（2x ＋1）（3x －1）＝1 ⑶2x （x ＋2）＋1＝0⑷16－x 2－4x ＝0 ⑸3（x －2）2＝x （x －2）由以上解析可以这样来总结：解一元二次方程，首先要把原方程变形为一般形式，然后计算b 2－4ac ，最后考虑用何种方法求解．如果b 2－4ac 是完全平方数，则用因式分解法，如果b 2－4ac 不是完全平方数且大于零，则用公式法，配方法实际是公式法的推导过程，因此，除题目要求，一般不用配方法．例5. 解方程：⑴（2007北京）解方程：2410x x +-=．⑵（2007浙江嘉兴）解方程：x 2＋3＝3（x ＋1）．考点5：根据根与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值相关知识： 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为已知数，a ≠0，240b ac -≥）的两个实数根为12,x x ，则a c x x ,ab x x 2121=-=+．即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的商的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商．复习策略：根与系数的关系存在的前提是：①a ≠0，即方程一定是一元二次方程；②b 2－4ac ≥0，即方程一定有实数根．根据新课标的要求，在课改实验区的中考试题中，运用一元二次方程根与系数的关系的考题主要是求与方程的根有关的代数式的值的题型．例6. ⑴（2007山东淄博）若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足2121x x x x =+．则k 的值为（ ）（A ）－1或34 （B ）－1 （C ）34 （D ）不存在⑵（2007四川德阳）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-，a c x x 21=．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______ 【评注】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含12x x +，21x x ⋅的形式，然后把12x x +，21x x ⋅的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：①222121212()2x x x x x x +=+- ②12121211x x x x x x ++= ③212122221212()211()x x x x x x x x +-+= ④ 22112121212()2x x x x x x x x x x +-+=⑤12x x -= 考点6： 一元二次方程的应用相关知识：应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验．首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它．应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”：⑴设：是指设未知数，可分为直接设和间接设．所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数．⑵找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系．⑶列：就是指根据等量关系列出方程．⑷解：就是求出所列方程的解．⑸验：分为两步．一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况． ⑹答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则．以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．复习策略：1. 一元二次方程解应用题应注意：⑴写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位． ⑵注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来．2. 常见的应用题：⑴几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．⑵平均增长（降低）率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据，解这类问题需牢记公式2(1)a x b +=或2(1)a x b -=，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长或降低率，b 表示后来得到的数据，“＋”表示增长，“－”表示降低．[方法·规律]：⑴解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解．⑵增长率不能为负数，降低率不能大于1．⑶营销问题：解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系．[梳理·总结]：此类问题常见的等量关系是：“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量，100⨯售价－进价利润率＝％进价”例7.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）例8. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m 2，道路的宽应是多少？分析：在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙效果．此题如不采用“平移法”，很难人手．若把“之”字道路平移一下位置，变为图2，则此题即可迎刃而解．图1 图2考点7：一元二次方程中考阅读理解题例析与一元二次方程相关的阅读理解问题，是近几年的一种新题型，由于这类问题有助于培养学生的阅读理解能力、创新意识，而备受大家的关注，现略举几例与同学们共赏析．例9. （2006年福建晋江市）阅读下面的例题：解方程：x 2—|x|—2＝0解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2—x —2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝—1（不合题意，舍去）．（2）当x <0时，原方程化为x 2＋x —2＝0，解得：x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝—2∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—2．请参照例题解方程x 2—|x —3|—3＝0，则此方程的根是 ．例10. （2006年广东茂名市）先阅读，再填空解题：（1）方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝－3，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－12；（2）方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；（3）方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ．则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、21x x ⋅与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．分析：本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系．【中考再现】【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、（2007巴中市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2、（2007安徽泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A. m<lB. m>－1C. m>lD. m<－13、（2007四川内江）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A. 2(2)2x -= B. 2(2)2x += C. 2(2)2x -=- D. 2(2)6x -=4、（2007四川成都）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A. x 2＋4＝0B. 4x 2－4x ＋1＝0C. x 2＋x ＋3＝0D. x 2＋2x －1＝05、（2007湖南岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A. 200（1＋a%）2＝148B. 200（1－a%）2＝148C. 200（1－2a%）＝148D. 200（1－a 2%）＝1486、（2007安徽芜湖）已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. m ＞－1B. m ＜－2C. m ≥0D. m ＜07、（2007湖北武汉）如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）A. 2B. －2C. 4D. －4二、填空题1、（2007重庆）已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x2、（2007四川眉山）关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______.3、（2007浙江温州）方程220x x -=的解是 .4、（2007湖南怀化）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =5、（2007四川成都）已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿．6、（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
人教版初中数学《一元二次方程》单元教材教学分析
第五课时：解一元一次方程（因式分解法）
第六课时：一元一次方程的根与系数的关系
第七课时：实际问题与一元一次方程
第八课时：实际问题与一元一次方程
说明
学情分析
学生在七、八年级已经学习了方程的有关知识，在此基础上本章从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念以及一般形式，并探索一元二次方程根的概念，利用完全平方式的知识将一元二次方程变为(mr+n)"=p的形式来完成一元二次方程的解法，再一步一步得出公式法解方程的步骤，正好符合学生的认知规律.
3.通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为一元一次方程达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.
4.经历在具体问题中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据实际问题检验解的合理性。
人教版初中数学《一元二次方程》单元教材教学分析
学段及学科
初中数学
教材版本
人教版
单元名称
《一元二次方程》
单元教材主题内容与价值作用
本章的主要内容有三部分，第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的根(或解)的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降幂，由降幂的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解决实际应用问题、数学综合问题等.一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解决数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是在用二次函数解决综合问题时起着决定性的作用，它在中考试题中也占有一定的比例。
第二十一章 一元二次方程(单元小结)(解析版)
(x 1 )2 13 ．④ 24
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】按照配方法的步骤逐步分析即可.
【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、 右两边应同时加上 1 ．
16 故选 C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；
【注意】：1）当 n 0 时，方程无解 2）若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
【典例分析】
5．下列用配方法解方程 2x2 x 6 0 的步骤中，开始出现错误的步骤是（ ）
2x2 x 6 ，①
x2 1 x 3，② 2
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是 2 进行分析即可．
【详解】A. 不是一元二次方程，有两个未知数，故此选项错误；
B. 是一元二次方程，故此选项正确；
C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此选项错误；
D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此选项错误；
故选：B.
【点睛】本题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本性质是解题关键.
∴二次项系数是：1，一次项系数是：2，常数项是：-1， 故答案分别是：x2+2x-1=0，1，2，-1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，可以得到一元二次方程
的一般形式，然后写出二次项系数，一次项系数和常数项．
知识点 2：解一元二次方程（重点） 方法一：配方法（最基础的解法） 配方的过程需注意：若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
数学八年级下册大单元教学一元二次方程教学 单元整体设计
一元二次方程大单元整体备课一、课标分析“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。
本章的具体要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次的根与系数的关系；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性。
二、教材分析本单元属于“数与代数”中方程与不等式的内容，是鲁教版八年级下册第八章，也是初中学段“数与代数”研究的重要内容之一.本单元共包括7节，具体内容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用.这些内容既是对代数式、一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程、因式分解、实数、二次根式的巩固、加深和发展，又是今后学习二次函数的基础.因此，本单元内容在学生的数学学习中具有承上启下的重要地位，同时，本单元内容也是解决物理等其他学科问题的重要工具。
单元数学要素六年级上册第三章整式及其加减中的代数式六年级上册第四章一元一次方程七年级上册第四章实数七年级下册第七章二元一次方程组八年级上册第一章因式分解八年级下册第七章二次根式九年级上册第三章二次函数三、教材的呈现方式本章在呈现方式上：1、通过丰富的实例，如“地毯四周有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。
2、在第二至四节探索方程解法的过程中，并未单纯地进行解方程的训练，而是适当设计一些应用题，并在三种解法之后又安排了有关的应用内容。
3、三、学习目标1.经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.理解一元二次方程及其相关概念，理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
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一元二次方程单元分析
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．。