二次函数专题之参数范围问题
二次方程中的参数探究
专题04 二次方程中的参数探究类型一 仅利用韦达定理求参数1．已知关于x 的方程()22210x k x k +++=的两个实数根的平方和是7，则k =________．【答案】1.【解析】【分析】设方程()22210x k x k +++=的两个实数根分别为m 、n ，根据根与系数的关系可得出m+n=-2k -1，mn=k 2，结合m 2+n 2=7即可得出关于k 的一元二次方程，解方程可得出k 的值，再根据方程两个实数根，结合根的判别式即可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式可得出k 的取值范围，由此即可确定k 的值．【详解】设方程()22210x k x k +++=的两个实数根分别为m 、n ，则有：m+n=-2k -1，mn=k 2，∵m 2+n 2=（m+n ）2-2mn=7，∵（-2k -1）2-2k 2=7，即k 2+2k -3=0，解得：k=-3或k=1．∵方程有实数根，∵∵=（2k+1）2-4k 2=4k+1≥0，∵k≥-14， ∵k=1．故答案为1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系找出关于k 的一元二次方程以及根据根的判别式找出关于k 的一元一次不等式是解题的关键．2．关于x 的方程22(2)04m x m x ---=两个实根12,x x 满足123x x =+，则m 的值为_______． 【答案】5或1-.【解析】【分析】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到122x x m +=-，21204m x x •=-≤，结合123x x -=，通过变形求值，即可求出m 的值. 【详解】 解：在方程22(2)04m x m x ---=中，有 2222[(2)]41()2442(1)204m m m m m ∆=---⨯⨯-=-+=-+>， ∵原方程有两个不相等的实数根；根据根与系数的关系，有：12(2)21m x x m --+=-=-，22124014m m x x -•==-≤， ∵123x x =+， ∵123x x -=， ∵22112229x x x x -•+=， ∵2121212()229x x x x x x +-•-•=，∵2121212()229x x x x x x +-•+•=，∵2(2)9m -=，解得：15m =，21m =-；故答案为：5或1-.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，以及完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.3．关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax ＋b ＋1＝0（a •b ≠0）有两个相等的实数根k ．（ ） A ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b > B ．若k k a b >，则0＜a ＜1 C ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b < D ．若k k a b<，则0＜a ＜1 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a 与b 的数量关系，然后代入方程求k 的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，∵Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，又∵ab≠0，∵a−b−1＝0，即a＝b＋1，∵ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝−1，∵k＝−1，∵k ka b-＝1111(1)a a a a-+=--，∵当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，此时k ka b-＞0，即k ka b>；当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时k ka b-＜0，即k ka b<；故A、C错误；当k ka b>时，即k ka b-＞0，1(1)a a-＞0，解得：a＞1或a＜0，故B错误；当k ka b<时，即k ka b-＜0，1(1)a a-＜0，解得：0＜a＜1，故D正确故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．4．已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.【答案】（1）m≤5；（2）4.【解析】【详解】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出∵=20﹣4m≥0，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=﹣x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∵∵=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m≥0，解得：m≤5，∵m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∵x1+x2=6①，x1x2=m+4②．∵3x1=|x2|+2，当x2≥0时，有3x1=x2+2③，联立①③解得：x1=2，x2=4，∵8=m+4，m=4；当x2＜0时，有3x1=﹣x2+2④，联立①④解得：x1=﹣2，x2=8（不合题意，舍去）．∵符合条件的m的值为4．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式.5．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0【解析】【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式∵=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k 的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．【详解】解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，∵=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0，∵方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∵()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∵k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∵|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭， 解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑；（2）找出x 1=﹣1，24-2+k+1x =；（3）找出关于k 的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．类型二 根据根的范围求参数范围6．关于x 的方程()221-m x +2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是_______________.【答案】m 1=或m 2>【解析】【分析】分1-m 2=0，1-m 2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：当1-m 2=0时，m=±1，当m=1时，可得2x -1=0，x=12，符合题意；当m=-1时，可得-2x -1=0，x=-12，不符合题意；当1-m 2≠0时，（1-m 2）x 2+2mx -1=0，即 [（1+m ）x -1][（1-m ）x+1]=0，∵x 1=11+m ，x 2=-11m-， ∵关于x 的方程（1-m 2）x 2+2mx -1=0的所有根都是比1小的正实数，∵0＜11m +＜1，解得m ＞0， 0＜-11m-＜1，解得m ＞2， 综上可得，实数m 的取值范围是m=1或m ＞2．故答案为m=1或m ＞2．【点睛】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1-m 2=0，1-m 2≠0两种情况讨论求解.7．实数k 取何值时，一元二次方程x 2－(2k －3)x ＋2k －4＝0：(1)有两个正根；(2)有两个异号根，并且正根的绝对值较大；(3)一根大于3，一根小于3.【答案】(1)见解析．（2）见解析，（3）见解析．【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答.（1）有两个正根时，x 1＞0，x 2＞0，即x 1＋x 20＞,x 1x 20＞.由此得到k 的取值.（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大，即x 1＞0，x 2＜0且|x 1|＞|x 2|.即x 1＋x 20＞,x 1x 20＜.由此得到k 的取值.（3）一根大于3，一根小于3时，即x 1＞3，x 2＜3. 则k 应满足条件：(x 1－3)(x 2－3)＜0，即x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＜0. 由此得到k 的取值.【详解】解：∵Δ＝[－(2k －3)]2－4(2k －4)＝4k 2－20k ＋25＝(2k －5)2≥0，∵k 取任何实数，方程都有两个实数根．设该方程的两根为x 1，x 2，则由韦达定理，得x 1＋x 2＝2k －3，x 1x 2＝2k －4.(1)若使x 1＞0，x 2＞0，则k 应满足条件：1212230240x x k x x k +=->⎧⎨=->⎩解得322k k ⎧>⎪⎨⎪>⎩,∵当k ＞2时，方程有两个正根．(2)若使x 1＞0，x 2＜0且|x 1|＞|x 2|，则k 应满足条件：1212230240x x k x x k +=->⎧⎨=-<⎩解得322k k ⎧>⎪⎨⎪<⎩,∵当32＜k ＜2时，两根异号，且正根的绝对值较大．(3)若使x 1＞3，x 2＜3，则k 应满足条件：(x 1－3)(x 2－3)＜0，即x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＜0.∵2k －4－3(2k －3)＋9＜0，k ＞72.∵当k ＞72时，方程一根大于3，另一根小于3. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.8．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m 的取值范围；（3）若x 1，x 2为方程的两个根，且n ＝x 12＋x 22﹣8，试判断动点P （m ，n ）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）7m >；（3）经过定点（﹣3，21），理由见解析【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，即可证明；（2）根据一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，继而列出不等式解不等式求解即可； （3）先由一元二次方程根与系数的关系得出121224x x m x x m +-＝，＝，代入n ＝x 12＋x 22﹣8，，从而将动点P （m ，n ）仅用含m 的代数式表示，再将点（﹣3，21）代入验证即可．【详解】（1）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0，1,,24a b m c m ==-=-，∴()()()2222442481640b ac m m m m m -=---=-+=-≥∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0， 1,,24a b m c m ==-=-，42m m x ±-∴==122,2x m x ∴=-=该方程一个小于5的根，另一个根大于5，25m ∴->解得7m >（3）121224x x m x x m +-＝，＝∴ n ＝x 12＋x 22﹣8()2121228x x x x =+--()22248m m =---24m m =-∵动点()P m n ，可表示为()24m m m -， ∴当m ＝-3时，2491221m m -=+=∴动点()P m n ，所形成的数图象经过点点()3,21-．【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根的判别式24b ac =-△：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系．9．对于关于x 的方程x 2＋（2m ﹣1）x ＋4﹣2m ＝0，求满足下列条件的m 的取值范围， （1）两个正根；（2）有两个负根；（3）两个根都小于﹣1；（4）两个根都大于12；（5）一个根大于2，一个根小于2；（6）两个根都在(0，2)内；（7）两个根有且仅有一个在(0，2)内；（8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内；（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；（10）一个根小于2，一个根大于4．【答案】（1）52m ≤-；（2）322m ≤<；（3）不存在符合此条件的m ；（4）52m ≤-；（5）3m <-；（6）不存在符合此条件的m ；（7）2m >或3m <-；（8）不存在符合此条件的m ；（9）不存在符合此条件的m ；（10）3m <-．【解析】【分析】先利用根的判别式求出方程有两实数根时m 的取值范围，再求出函数221)2(4x m y x m -+-=+的对称轴，然后结合二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与x 轴的交点问题分别建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】当221)42(0x m x m -+-=+有两个实数根时，其根的判别式()2214(42)0m m ---≥，即(25)(23)0m m +-≥， 解得32m ≥或52m ≤-， 设221)2(4x m y x m -+-=+， 则此二次函数的对称轴为21122m x m -=-=-+，且其与x 轴的交点的横坐标即为方程221)42(0x m x m -+-=+的根，（1）当方程有两个正根时，则当0x =时，0y >，且二次函数的对称轴大于0， 即420102m m ->⎧⎪⎨-+>⎪⎩，解得12m <，又32m ≥或52m ≤-， 52m ∴≤-； （2）当方程有两个负根时，则当0x =时，0y >，且二次函数的对称轴小于0， 即420102m m ->⎧⎪⎨-+<⎪⎩，解得122m <<，又32m ≥或52m ≤-， 232m ∴≤<； （3）当方程的两个根都小于1-时，则当1x =-时，0y >，且二次函数的对称轴小于1-， 即112420112m m m +-+->⎧⎪⎨-+<-⎪⎩，此不等式组无解， 则不存在符合此条件的m ；（4）当方程的两个根都大于12时，则当12x =时，0y >，且二次函数的对称轴大于12， 即11(21)420421122m m m ⎧+-+->⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得0m <，又32m ≥或52m ≤-， 52m ∴≤-； （5）当方程的一个根大于2，一个根小于2时， 则当2x =时，0y <，即42(21)420m m +-+-<，解得3m <-，又32m ≥或52m ≤-， 3m ∴<-；（6）当方程的两个根都在()0,2内时，则当0x =和2x =时，0y >，且二次函数的对称轴在()0,2内， 即42042(21)4201022m m m m ⎧⎪->⎪+-+->⎨⎪⎪<-+<⎩，解得3122m -<<，又32m ≥或52m ≤-， m ∴不存在；（7）当方程的两个根有且仅有一个在()0,2内时， 则当0x =时y 的值与2x =时y 的值的乘积小于0，即[](42)42(21)420m m m -+-+-<，解得2m >或3m <-，又32m ≥或52m ≤-， 2m ∴>或3m <-；（8）当方程的一个根在()2,0-内，另一个根在(1,3)内时， 则当2x =-时，0y >；当0x =时，0y <；当1x =时，0y <；当3x =时，0y >， 即42(21)42042012142093(21)420m m m m m m m --+->⎧⎪-<⎪⎨+-+-<⎪⎪+-+->⎩，此不等式组无解，则不存在符合此条件的m ；（9）当方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大时，则当0x =时，0y <，且二次函数的对称轴大于0， 即420102m m -<⎧⎪⎨-+>⎪⎩，此不等式组无解， 则不存在符合此条件的m ；（10）当方程的一个根小于2，一个根大于4时，则当2x =和4x =时，0y <，即42(21)420164(21)420m m m m +-+-<⎧⎨+-+-<⎩，解得3m <-，又32m ≥或52m ≤-， 3m ∴<-．【点睛】本题考查了一元一次不等式组、根的判别式、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与x 轴的交点问题等知识点，将一元二次方程的根的问题与二次函数联系起来是解题关键． 类型三 其他型求参数范围10．对于实数,a b ，定义运算“*”；()()22*a ab a b a b b ab a b ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩关于x 的方程()()21*1x x t +-=恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．122t -<<- B ．12t >- C ．1024t << D ．1204t -<< 【答案】C【解析】【分析】设()()21*1y x x =+-，根据定义得到函数解析式22252(2)2(2)x x x y x x x ⎧++≤-=⎨--+>-⎩，由方程的有三个不同的解去掉函数图象与直线y=t 的交点有三个，即可确定t 的取值范围.【详解】设()()21*1y x x =+-，由定义得到22252(2)2(2)x x x y x x x ⎧++≤-=⎨--+>-⎩，∵方程()()21*1x x t +-=恰好有三个不相等的实数根，∵函数22252(2)2(2)x x x y x x x ⎧++≤-=⎨--+>-⎩的图象与直线y=t 有三个不同的交点， ∵22(2)y x x x =--+>-的最大值是4(1)2194(1)4⨯-⨯-=⨯- ∵若方程()()21*1x x t +-=恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是1024t <<， 故选：C.【点睛】此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的解的关系是解题的关键.二、填空题(共0分)11．已知关于x 的方程2245x x n --=，在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，则n 的取值范围是___________________________．【答案】-7＜n ≤-5【解析】【分析】根据“方程有两个不相等的实数根”求出n ＞-7，解出方程，根据在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，求出n 的取值，问题得解．【详解】解：原方程整理得()22450x x n -+--=，∵()2=416425856b ac n n ∆-=-⨯--=+，∵方程有两个不相等的实数根，∵8560n +＞∵n ＞-7，∵x ===∵方程在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，4≥≤， 解得n ≤-5，n ≤11，∵n≤-5，又∵n ＞-7，∵-7＜n ≤-5．故答案为：-7＜n ≤-5【点睛】本题考查了含字母系数的一元二次方程，根的判别式，综合性较强，解题的关键是用公式法求出一元二次方程的两个根，根根据题意列出不等式．12．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x 1，x 2，且x 1＞x 2，则x 1＞3，x 2＜3；③若两个根为x 1，x 2，则（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（x 1﹣3）（x 2﹣3）；④若x p 为常数），则代数式（x ﹣3）（x ﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 _____．【答案】①③【解析】【分析】由Δ＝1+4p 2＞0，可判定①正确；设p ＝0，可得x 1＝3，x 2＝2，可判断②不正确；根据（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝﹣p 2，（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝﹣p 2，可判定③正确；由（x ﹣3）（x ﹣2）＝（2p ）2，可判定④不正确．【详解】解：由（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2＝0得x 2﹣5x +6﹣p 2＝0，①Δ＝25﹣4×（6﹣p 2）＝1+4p 2＞0，∵（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；②设p ＝0，关于x 的一元二次方程为（x ﹣3）（x ﹣2）＝0，若两个根为x 1，x 2，且x 1＞x 2， 则x 1＝3，x 2＝2，这与x 1＞3不符合，故②不正确；③若x 2﹣5x +6﹣p 2＝0两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝5，x 1•x 2＝6﹣p 2，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝x 1•x 2﹣2（x 1+x 2）+4＝6﹣p 2﹣2×5+4＝﹣p 2，（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝x 1•x 2﹣3（x 1+x 2）+9＝6﹣p 2﹣3×5+9＝﹣p 2，∵（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（x 1﹣3）（x 2﹣3），故③正确；④∵x p 为常数）， ∵（x ﹣3）（x ﹣2）＝x 2﹣5x +6 ＝251()24x --＝251)24- ＝24p ＝2()2p ，当p 为奇数时，2p 不是整数，此时（x ﹣3）（x ﹣2）不是完全平方数，故④不正确； 故答案为：①③．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．。
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。
这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。
例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。
由于参数的存在，这个函数是动态的。
为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。
对于这个问题，需要分类讨论。
在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。
因此，我们需要分别考虑这些情况。
具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。
这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。
当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。
因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。
代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。
因此，最大值为$-8$。
接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。
这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。
我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。
首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。
其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。
另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。
对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。
二次函数的单调性及求参数的范围 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
问题 1 已知函数 f(x)的单调区间是 M 与函数 f(x) 在区间 N 上单调, 则区间 M, N 有怎样的关系?
问题2 二次函数的单调性与它的什么要素有关系?
二次函数的单调性问题
例1已知函数f (x) kx2 2x 1的减区间是[2, ), 则实数 k 的取值范围是 _______;
对抽象函数单调性的判断和证明, 仍要紧扣定义,
结合题目所给的条件, 经常采用"赋值","拆","凑"项
等方法,寻求比较 f (x2 ) f (x1) 与0的大小,比如 :
x1
( x1
x2 )
x2
或 x1
x1 x2
x2
等.
抽象函数单调性的证明与应用问题
例2已知函数 f (x)对任意 x, y R,总有f (x) f ( y) f (x y), 且当 x 0时, f (x) 0, f (1) 2 .
y (1) 判断并证明函数 f (x)的单调性; (2) 若f (2) 1, 解不等式f (x 3) f ( 1) 2.
x
课后思考
练习2 : 若函数 f (x) x2 a x 2 在(0, )上单调递增,
则实数 a的取值范围是 _[__4_,_0_] .
实数 a的取值范围是.
a 1
练习:函数 f (x) ax 1 在区间(2, )上单调递增, 则 x2
实数 a的取值范围是( B ).
A.(0, 1) B.(1 , ) C.(2, ) D.(, 1) (1, )
2
2
已知函数的单调性求参数的范围问题
例3已知函数 f (x) x3 在区间(, )上是增函数,若 f (2a 5) f (1 a),求实数 a的取值范围.
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。
通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。
本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。
如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。
这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。
驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。
这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。
根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。
由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。
对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2。
这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。
在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。
二次函数专题之参数范围问题
···二次函数专题之参数范围问题基本思想方法：①函数与方程；②数形结合；③化归与转化；④逆向思维；⑤分类1x2-x+2与1.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=2y轴交于点A,顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称。
（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D）记为图像G,若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围。
2.（2015朝阳二模）已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0).（1）求证：方程有两个不等的实数根.（2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1＞x2）.若y是关于a 的函数，且y=a x2+x1,求这个函数的表达式.（3）在（2）的条件下，若使y≤-3a2+1，则自变量a的取值范围为?3.(2015顺义二模)已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.（1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围.4.（2015怀柔一模）在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数.（1）求a的值.（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.5.（2015石景山一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=m x2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点.（1）求抛物线的表达式及点B的坐标.（2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围.（3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.6．（2014北京中考） 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M≤y≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t ？7.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy 中，对于点P （a,b ）和点Q(a,b ’)给出如下定义：若b=，＜⎩⎨⎧-≥1,1,a b a b 则称点Q 为点P 的限变点，例如，点(2，3)的限变点的坐标是(2，3)，点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．(1)①点（3，1）的限变点的坐标是____;②在点A （-2，-1），B （-1，2）中有一个点是函数y=x 2图象上某一点的限变点， 这个点是____；(2)若点P 在函数y=-x +3(-2≤x ≤k ，k> -2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′，的取值范围是-5≤b ’≤2，求k 的取值范围；(3)若点P 在关于x 的二次函数y=x 2 -2tx+t2+t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是b ′≥m 或b ′＜n ，其中m ＞n ．令s=m -n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．。
二次函数——取值范围
专题十一：二次函数之取值范围坐标相关的取值范围例题1 ：如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．（1）求抛物线的解析式；（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y 轴交于点N，求PM+MN的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点，①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．例题2 ：A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；（3）当B，C重合时，求的值；（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．练习1. 抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出M点横坐标的变化范围，并说明理由．练习2 . 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线解析式；（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP ＝S△CAP，求P点坐标；（3）已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l 相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．角度相关取值范围例题1 ：已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，5）三点，其对称轴2交x轴于点H，一次函数y=k x+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；=S△EAB时，求一次函数的解析式；（2）如图1，当S△EOC（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．练习1 . 已知在平面直角坐标系x O y中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A （0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）经过点D．．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣13①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．动点相关的取值范围例题1 ：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，顶点坐标D为（3，4√3）。
初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法
初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法二次函数参数取值范围的解题思路和方法主要包括以下几个步骤：1. 理解二次函数的基本形式：二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
2. 确定参数与函数性质的关系：开口方向：由 $a$ 决定。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
对称轴：由 $b$ 决定。
对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
顶点：坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。
与坐标轴的交点：令 $f(x) = 0$ 解得与 $x$ 轴的交点；令 $x =0$ 解得与 $y$ 轴的交点。
3. 根据题目要求求解参数范围：求最值：如果题目要求二次函数的最大值或最小值，可以通过顶点坐标或对称轴来求解。
求交点：如果题目要求二次函数与坐标轴的交点，可以令 $f(x) = 0$ 或 $x = 0$ 来求解。
求参数范围：根据题目给出的条件，如函数在某个区间上的单调性、与坐标轴的交点位置等，列出不等式或方程来求解参数的范围。
4. 验证解的有效性：解出参数后，需要代入原函数进行验证，确保解满足题目的所有条件。
下面是一个具体的例子：例：已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$，求 $m$ 的取值范围，使得函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减。
解：1. 确定对称轴：二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$ 的对称轴为$x = m$。
2. 判断单调性：由于二次项系数 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上。
因此，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。
3. 求解参数范围：要使函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，需要对称轴 $x = m$ 在区间 $[1, 3]$ 的右侧，即 $m \geq 3$。
专题09 二次函数中取值范围专题(一)(解析版)九下数学专题培优训练
专题09 二次函数中的取值范围专题（一）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 如果二次函数y =x 2−6x +8在x 的一定取值范围内有最大值(或最小值)为3，满足条件的x 的取值范围可以是( )A. −1≤x ≤5B. 1≤x ≤6C. −2≤x ≤4D. −1≤x ≤1【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：∵y =x 2−6x +8=(x −3) 2−1， 当y =3时，得出x =1或5，∴在自变量−1≤x ≤1的取值范围内，当x =1时，有最小值3，2. 已知函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，最小值是，则m 的取值范围是( )A. m ≥−2B. 0≤m ⩽12C. −2≤m ⩽−12D. m ⩽−12【答案】C【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解答】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12，∴当x=−12−[1−(−12)]=−2时，y=1，∵函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤−12；∴−2≤m≤−12．3.已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是()A. −1≤t≤0B. −1≤tC. D. t≤−1或t≥0【答案】A【分析】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y=−(x−1)2+4，∴顶点坐标为(1,4)，当x=0时，y=3，∴A(0,3)，当x=4时，y=−5，∴C(4,−5)，∴当t=0时，D(4,5)，∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t=−1时，此时最小值为−1，最大值为4．综上所述：−1≤t≤0，m−1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是() 4.已知二次函数y=x2−x+14A. m≤5B. m≥2C. m<5D. m>2【答案】A【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．m−1的图象与x轴有交点，【解答】解：∵二次函数y=x2−x+14∴△=(−1)2−4×1×(1m−1)≥0，4解得：m≤5，5.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.20【答案】C【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．根据二次函数的增减性，可得答案．【解答】解：由表格中的数据，得在6.17<x<6.20范围内，y随x的增大而增大，当x=6.18时，y=−0.01，当x=6.19时，y=0.02，方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18<x<6.19，6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x−3−2−1012345y1250−3−4−30512当函数值y<0时，x的取值范围是()A. x<0或x>2B. 0<x<2C. x<−1或x>3D. −1<x<3【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围，同学们应熟练掌握．由表格给出的信息可看出，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，函数有最小值，抛物线开口向上a>0，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，根据二次函数的性质可得出y<0时，x的取值范围．【解答】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x=1，a>0，开口向上，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，则当函数值y<0时，x的取值范围是−1<x<3．7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c−m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≥3B. m≤3C. m≥−3D. m≤−3【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程ax2+bx+c−m=0有实数相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．【解答】解：方程ax2+bx+c−m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点y=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴m≤3，二、填空题8.我们把函数在m≤x≤n上的最大图值和最小值的差称为区间极差，比如一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的区间极差为3−1=2.若二次函数y=−x2+2x+3在−1≤x≤a 上的区间极差为4，则a的取值范围是____________．【答案】1⩽a⩽3【分析】本题考查二次函数的综合问题和其最值问题以及一元二次方程的求解，通过二次函数在−1≤x≤a的区间，求解a的范围。
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···二次函数专题之参数范围问题
基本思想方法：
①函数与方程；
②数形结合；
③化归与转化；
④逆向思维；
⑤分类
1x2-x+2与1.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=
2
y轴交于点A,顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称。
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D）记为图像G,若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围。
2.（2015朝阳二模）已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0).
（1）求证：方程有两个不等的实数根.
（2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1＞x2）.若y是关于a 的函数，且y=a x2+x1,求这个函数的表达式.
（3）在（2）的条件下，若使y≤-3a2+1，则自变量a的取值范围为?
3.(2015顺义二模)已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.
（1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；
（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围.
4.（2015怀柔一模）在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数.
（1）求a的值.
（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.
5.（2015石景山一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=m x2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点.
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标.
（2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围.
（3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.
6．（2014北京中考） 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M≤y≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y=x
1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；
（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；
（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t ？
7.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy 中，对于点P （a,b ）和点Q(a,b ’)给出如下定义：
若b=，
＜⎩⎨⎧-≥1
,1,a b a b 则称点Q 为点P 的限变点，例如，点(2，3)的限变点的坐标是(2，3)，点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．
(1)①点（3，1）的限变点的坐标是____;
②在点A （-2，-1），B （-1，2）中有一个点是函数y=x 2图象上某一点的限变点， 这个点是____；
(2)若点P 在函数y=-x +3(-2≤x ≤k ，k> -2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′，的取值范围是-5≤b ’≤2，求k 的取值范围；
(3)若点P 在关于x 的二次函数y=x 2 -2tx+t2+t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是b ′≥m 或b ′＜n ，其中m ＞n ．令s=m -n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．。