2015年高考湖北卷数学(理)试题及答案
2015年高考(湖北卷)数学(理工类)试题参考答案
11.9
12.2
13.100 6
14.(Ⅰ) (x 1)2 ( y 2)2 2 ;(Ⅱ)①②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 17.(11 分)
15. 1 2
16. 2 5
(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A 5, 2, π . 数据补全如下表: 6
x
0
π
3π
π
2π
22
22
于是 PB DE 0 ,即 PB DE . 又已知 EF PB ,而 DE EF E ,所以 PB 平面DEF .
因 PC (0, 1, 1) , DE PC 0 , 则 DE PC , 所以 DE 平面PBC .
由 DE 平面 PBC , PB 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,
而 PC BC C ,所以 DE 平面 PBC . 而 PB 平面PBC ,所以 PB DE . 又 PB EF , DE EF E ,所以 PB 平面 DEF . 由 DE 平面 PBC , PB 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB,DEF,EFB,DFB . (Ⅱ)如图 1,在面 PBC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G ,则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线. 由(Ⅰ)知, PB 平面DEF ,所以 PB DG . 又因为 PD 底面 ABCD ,所以 PD DG . 而 PD PB P ,所以 DG 平面PBD . 故 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角,
令 2x 2 π kπ ,解得 x kπ π , k Z .
6
2 12
由于函数 y g(x) 的图象关于点 (5π , 0) 成中心对称,令 kπ π 5π ,
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【1,5分】i 为虚数单位,607i的共轭复数....为( )(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .(2)【2015年,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为( )(A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米夹谷约为281534169254⨯=石,故选B . (3)【2015年,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数)(A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)nx +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D . 以及计算能力.(4)【2015年,理4,5分】设211(,)X N μσ:,222(,)Y N μσ:,这两个正态分布密 (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键(5)【2015年,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥.若p :12,,,n a a a L 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( )(A q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立; ②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a L 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要(6)【2015年,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】【解析】依题意,22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >,当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .(9)【2015年,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .复的元素.(10)【2015年,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上...........答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年,理11,5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ,||3OA =u u u r ,则OA OB ⋅=u u u r u u u r . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ,3OA =u u u r ,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(12)【2015年,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点, 所以函数()f x 由2个零点.(13)【2015年,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .【答案】1006 【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中, 因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD CDBC ︒==,所以1006CD =m .(14)【2015年,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =Q ,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M Q ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+, ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______. 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. (16)【2015年,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 础的计算题.三、解答题:共6题,共75(17)【2015年,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期x ωϕ+ 0π2 π 3π2 2π x π3 5π6sin()A x ωϕ+0 5 5- 0(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解析式; (2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表:x ωϕ+ 0π2π 3π22πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律(18)【2015年,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=, 于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ,故12362nn n T -+=-. (19)【2015年,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE . (1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =I ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =I ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC ,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =I ,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. (1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ, (,1,1)PB λ=-u u u r ,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =u u u r ,于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =I ,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r , 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 于难题.(20)【2015年,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶210001吨B 产品需鲜牛奶1.51.5小时,获利 1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0.3 0.5 0.2 因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.问题解决问题的能力.(21)【2015年,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN D AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =u u u u r u u u r,且||||1DN ON ==u u u r u u u r ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,(2②8.【点评】本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年,理22,14(((解:(1①(2②(3运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
2015年高考理科数学湖北卷及答案
数学试卷 第1页(共24页)数学试卷 第2页(共24页)数学试卷 第3页(共24页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为( )A .iB .i -C .1D .1-2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A .134石B .169石C .338石D .1 365石3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A .122B .112C .102D .924.设211(,)X N μσ~,222(,)Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ( )A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :222121()n a a a -+++22(a +222312231)()nn n a a a a a a a a -++=+++,则( )A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( )A .123p p p <<B .231p p p <<C .312p p p <<D .321p p p <<8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >9.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤,{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 ( ) A .77B .49C .45D .30 10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是( )A .3B .4C .5D .6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.(一)必考题(11~14题)11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB =___________. 12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为___________. 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =___________m .14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准方程为___________;(2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①||||||||NA MA NB NB =; ②||||2||||NB MA NA MB -=;③||||||||NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是___________(写出所有正确结论的序号).-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共24页)数学试卷 第5页(共24页)数学试卷 第6页(共24页)(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果记分) 15.(选修4—1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=___________. 16.(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1,x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l与C 相交于A ,B 两点,则||AB =___________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,DE DF BD BE . (Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由; (Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求Z 的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,MN 3=.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数()1e xf x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n +与e 的大小; (Ⅱ)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)答案解析()()P X t P Y t≤≥≤.23)a++3-1)a a a+⋯+x2数学试卷第7页(共24页)数学试卷第8页(共24页)数学试卷第9页(共24页)。
2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解读
2015年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1D.﹣12.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.(5分)(2015•湖北)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)5.(5分)(2015•湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A sgn[g(x)]=sgnxB sgn[g(x)]=﹣sgnxC sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.3010.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•=.12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为.13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)选修4-1:几何证明选讲15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.选修4-4:坐标系与参数方程16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ)0 5 ﹣5 0(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD 中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(14分)(2015•湖北)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.答案:1、解:i607=i604+3=i3=﹣i,它的共轭复数为:i.故选:A.2、解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,故选:B.3、解:已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得,可得n=3+7=10.(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:=29.故选:D.4、解:正态分布密度曲线图象关于x=μ对称,所以μ1<μ2,从图中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t).故选:C.5、解:由a1,a2,…,a n∈R,n≥3.运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,若a1,a2,…,a n成等比数列,即有==…=,则(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,即由p推得q,但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=a n=0,则a1,a2,…,a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选:A.6、解:由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;对于D,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x﹣1,sgn[f(x)]=sgn(x+1)=;sgn[g(x)]=sgn(﹣x﹣1)=,﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;故选:B.7、解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=,S2=1×1﹣2×=1﹣=,S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2,∴S2<S3<S1,即P2<P3<P1,故选:B.8、解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,∴=﹣=,∴当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2,故选:D.9、解:∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)}∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2),(﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3),(﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共45个元素故选:C.10、解:∵[t]=1,∴t∈[1,2),又∵[t2]=2,∴t2∈[2,3),∴t∈[,),又t2∈[2,3),∴t4∈[4,9),∴[t4]=4,∴正整数n的最大值4故选:B.11、解:由⊥,得•=0,即•()=0,∵||=3,∴.故答案为:9.12、解:函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|=2sinx﹣|ln(x+1)|=sin2x﹣|ln(x+1)|,分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知,交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为:2.13、解:设此山高h(m),则BC=h,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.根据正弦定理得=,解得h=100(m)故答案为:100.14、解:(1)∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,∵|AB|=2,∴|BE|=1,则|BC|=,即圆的半径r=|BC|=,∴圆心C(1,),则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2,故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)∵圆心C(1,),∴E(0,),又∵|AB|=2,且E为AB中点,∴A(0,﹣1),B(0,+1),∵M、N在圆O:x2+y2=1上,∴可设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),∴|NA|=====,|NB|====,∴===,同理可得=,∴=,①成立,﹣=﹣()=2,②正确.+=+()=,③正确.故答案为:①②③.15、解:由切割线定理可知:PA2=PB•PC,又BC=3PB,可得PA=2PB,在△PAB与△PAC中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得△PAB∽△PAC,∴==.故答案为:.16、解:由ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得y﹣3x=0,由C的参数方程为(t为参数),两式平方作差得:x2﹣y2=﹣4.联立,得,即.∴A(),B(),∴|AB|=.故答案为:.17、解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ)0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.18、解:(1)设a1=a,由题意可得,解得,或,当时,a n=2n﹣1,b n=2n﹣1;当时,a n=(2n+79),b n=9•;(2)当d>1时,由(1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1,∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,∴T n=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,∴T n=6﹣.19、解法1)(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面ABCD.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如图1,在面BPC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF,DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DGF=∠FDB=,则tan=tan∠DPF===,解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.(解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ1,﹣1),点E是PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),于是=0,即PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因=(0,1,﹣1),=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个矩形,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,则运用向量的数量积求解得出cos==,解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.20、(12分)解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为,当x=2.4,y=4.8时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C (7.5,0)..将z=1000x+1200y变形为,当x=3,y=6时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为:,当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为:Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:21、解:(1)∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立,同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.∴椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为.(2)①当直线l的斜率k不存在时,直线l为:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ=,②直线l的斜率k存在时,直线l为:y=kx+m,(k),由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,由,可得P(,),同理得Q(,),原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|,可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②,将①代入②得S△OPQ=||=8||,当k2>时,S△OPQ=8()=8(1+)>8,当0≤k2<时,S△OPQ=8||=﹣8()=8(﹣1+),∵0≤k2<时,∴0<1﹣4k2≤1,≥2,∴S△OPQ=8(﹣1+)≥8,当且仅当k=0时取等号,∴当k=0时,S△OPQ的最小值为8,综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,三角形OPQ的面积存在最小值为8.22、(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1﹣e x.当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令,得,即.①(2)解:;=;.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(2)假设当n=k时,②成立,即.当n=k+1时,,由归纳假设可得=.∴当n=k+1时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.(3)证明:由c n的定义,②,算术﹣几何平均不等式,b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====<ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n<eS n.。
2015年湖北数学高考卷-理科(含答案)
专业课原理概述部分一、选择题(每题1分,共5分)1. 设集合M={x|x²3x+2=0},则集合M的元素个数为()A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z1|=|z+1|,则z在复平面内对应的点位于()A. x轴上B. y轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上3. 函数f(x)=x²+2x+3,那么f(1)的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1、a2、a3,若a1+a3=6,a2+a3=8,则a10的值为()A. 20B. 22C. 24D. 265. 在△ABC中,若sinA : sinB : sinC = 3 : 4 : 5,则△ABC的形状为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、判断题(每题1分,共5分)1. 若a、b为实数,且a²+b²=0,则a、b必定同时为0。
()2. 两个平行线的斜率相等。
()3. 对于任意的实数x,都有(x²)′=2x。
()4. 若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f′(x) > 0。
()5. 三角形的面积可以用底乘以高的一半来计算。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 若向量a=(2,1),则向量a的模长|a|为______。
2. 设函数f(x)=x²2x,则f(x)的顶点坐标为______。
3. 若等差数列{an}的公差为2,且a1=3,则a5的值为______。
4. 在直角坐标系中,点P(3,4)关于原点的对称点坐标为______。
5. 若sinθ=1/2,且θ为锐角,则θ的度数为______。
四、简答题(每题2分,共10分)1. 简述实数和虚数的基本概念。
2. 什么是函数的单调性?如何判断一个函数的单调性?3. 等差数列和等比数列有什么区别?4. 请写出余弦定理的公式,并解释其含义。
5. 如何求解一个一元二次方程?五、应用题(每题2分,共10分)1. 已知一元二次方程x²4x+3=0,求解该方程的根。
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.(2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.(3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力.(4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,222(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )(A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.(5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件.故选A .(6)【2015年湖北,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年湖北,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年湖北,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <(C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D【解析】依题意,22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.(9)【2015年湖北,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .【点评】本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.(10)【2015年湖北,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上....答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年湖北,理11,5分】已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅= . 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥,3OA =,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.(12)【2015年湖北,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点,所以函数()f x 由2个零点.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.(13)【2015年湖北,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .【答案】1006【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD BC ︒==,所以1006CD =m . 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.(14)【2015年湖北,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.)(15)【2015年湖北,理15,5分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______.【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,由切割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.(16)【2015年湖北,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB =.【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t 得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(17)【2015年湖北,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期(1...........(2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-.数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.(18)【2015年湖北,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=, 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.(19)【2015年湖北,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:解法一:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点, 所以DE PC ⊥. 而PC BC C =,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=.所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =,于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑, 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+, 解得2λ=. 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,2DC BC =. 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年湖北,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.(21)【2015年湖北,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ②将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年湖北,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;(2)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式,并给出证明;(3)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.解:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增;当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e xx +<. 令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.①当1n =时,左边=右边2=,②成立.②假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+. 当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.所以当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查. (2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础. (3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n nC C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力.(4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,222(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )(A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.(5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 条件.故选A .0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a(6)【2015年湖北,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年湖北,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年湖北,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m > 个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D【解析】依题意,22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭, 因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. (9)【2015年湖北,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点), 即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .【点评】本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.(10)【2015年湖北,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<;由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上....答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年湖北,理11,5分】已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅= . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥,3OA =,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.(12)【2015年湖北,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点,所以函数()f x 由2个零点.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.(13)【2015年湖北,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶 在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .【答案】1006 【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中, 因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD BC ︒==,所以1006CD =m . 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.(14)【2015年湖北,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③ 【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方, 所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =, 22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +, M ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ, ()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【2015年湖北,理15,5分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______.【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,由切割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力. (16)【2015年湖北,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即A ⎝⎭,B ⎛ ⎝⎭,由两点间的距离公式得AB = 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(17)【2015年湖北,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期(1...........(2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-.数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z .由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称, 令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.(18)【2015年湖北,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. (19)【2015年湖北,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作 EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE . (1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:解法一:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=.所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,2DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =,于是 0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则π1cos 32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅, 解得λ 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC = 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年湖北,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利 1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时.Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=. 当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0),(3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0. 3 0.5 0.2 (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.(21)【2015年湖北,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 若不存在,说明理由.解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8. 综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年湖北,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;(2)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式,并给出证明;(3)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.解:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e xf x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增;当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e xx +<. 令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.①当1n =时,左边=右边2=,②成立.②假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+. 当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.所以当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
15年高考真题——理科数学(湖北卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(湖北卷)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位,607i=( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石3.已知()1nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )122 (B )112 (C )102 (D )924.设()211,X N μσ ,()222,Y N μσ ,这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ) (A )()()21P Y P Y μμ≥≥≥ (B )()()21P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设12,,,n a a a R ∈ ,3n ≥,若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :()()()22222221212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件(D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数()()()10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()f x 是R 上的增函数,()()()g x f x f ax =-,其中1a >,则( ) (A )()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦ (B )()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦ (C )()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (D )()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦7.在区间[]0,1上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤12xy ≤”的概率,则( )(A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p <<8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加()0m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( ) (A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 9.设集合(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈,(){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈,定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( ) (A )77 (B )49 (C )45 (D )3010.设x R ∈,[]x 表示不超过x 的最大整数。
2015年高考理科数学湖北卷-答案
【解析】由 a1, a2,, an R, n 3,运用柯西不等式,可得:
(a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2
)
(a1a2
a2a3
an-1an
)2
,若
a1,
a2 ,,
an
成等比数列,即有
a2 a1
a3 a2
an an1
,则 (a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2 ) (a1a2
但当 t 5 时,无法找到实数 t 使其在区间[1,2) I [ 2,3) I [3 3, 3 4) I [4 4, 4 5) I [5 5, 5 6) 上,正整数 n 的最
大值 4. 【提示】由新定义可得 t 的范围,验证可得最大的正整数 n 为 4. 【考点】进行简单的演绎推理
第Ⅱ卷
二、填空题 (一)必考题 11.【答案】9
a2a3 an-1an )2 ,即由 p 推
得 q,但由 q 推不到 p,比如 a1 a2 a3 an 0 ,则 a1, a2,, an 不成等比数列,故 p 是 q 的充分不
必要条件.
【提示】运用柯西不等式,可得
(a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2 )
(a1a2
a2a3
an-1an
y
g
(
x)
的图象关于点
5π 12
,
0
成中心对称,
令 kπ π 5π ,解得 kπ π , k Z .
2 12 12
23
由 0 可知,当 k 1 时,θ 取得最小值 π . 6
【提示】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A 5 , 2, , π ,从而可补全数据,解得函数表达式为 6
2015年湖北高考理科数学真题及答案
绝密★启用前2015年湖北高考理科数学真题及答案本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为 A .iB .i -C .1D .1-2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A .134石 B .169石 C .338石D .1365石3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A .122 B .112C .102D .924.设211(,)X N μσ ,222(,)Y N μσ ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥. 若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ,则A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则 A .123p p p << B .231p p p << C .312p p p <<D .321p p p <<8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 A .对任意的,a b ,12e e > B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >9.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 A .77 B .49 C .45 D .3010.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是A .3B .4C .5D .6第4题图二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)11.已知向量OA AB ⊥ ,||3OA =,则OA OB ⋅= . 12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75 的方向上,仰角为30 ,则此山的高度CD = m.14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方), 且2AB =.(Ⅰ)圆C 的标准方程为 ;(Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论:①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=;③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, 且3BC PB =,则ABAC= . 16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为第13题图第14题图第15题图APBC(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数()f x 的解 析式;(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)当1d >时,记nn na cb =,求数列{}nc 的前n 项和n T . 19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE(Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平平.试判断四面体DBEF是 否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3, 求DCBC的值. 20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W12 15 18 P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量.(Ⅰ)求Z 的分布列和均值;(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C 的方程;第19题图(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1()n n n b n a n n +=+∈N ,e 为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n +与e 的大小;(Ⅱ)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式,并给出证明;(Ⅲ)令112()nn n c a a a = ,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明:e n n T S <.第21题图1第21题图2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)试题参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 二、填空题(本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分)11.912.2 13.14.(Ⅰ)22(1)(2x y -+=;(Ⅱ)①②③ 15.1216.三、解答题(本大题共6小题,共75分) 17.(11分)(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知 π()5sin(26f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=, 解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 18.(12分)(Ⅰ)由题意有,111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩(Ⅱ)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是 2341357921122222n n n T --=++++++ , ① 2345113579212222222n n n T -=++++++ . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-, 故n T 12362n n -+=-. 19.(12分) (解法1)(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D = ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥.而PC BC C = ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E = ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (Ⅱ)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由(Ⅰ)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥.又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ,所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角, 设1PD DC ==,BC λ=,有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则πtantan 3BD DPF PD=∠===,解得λ=.所以1DC BC λ==第19题解答图2第19题解答图1故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =(解法2)(Ⅰ)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=- ,点E 是PC 的中点,所以11(0,,22E ,11(0,,22DE = ,于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥,而DE EF E = ,所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅= , 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,.(Ⅱ)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则π1cos 32, 解得λ=. 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =20.(12分)(Ⅰ)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512,20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1)目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=. 当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 1020010800 P0.3 0.50.2因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为第20题解答图1第20题解答图2第20题解答图33311(1)10.30.973.p p =--=-=21.(14分)(Ⅰ)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意, 2MD DN = ,且||||1DN ON == ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=, 即所求的曲线C 的方程为221.164x y += (Ⅱ)(1)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=. (2)当直线l 的斜率存在时,设直线1:(2l y kx m k =+≠±, 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++. 由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x =-,可得 22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--; 第21题解答图当2104k ≤<时,2224128()8(11414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.22.(14分)(Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增;当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e x x +<. 令1x n =,得111e n n +<,即1(1e n n +<. ① (Ⅱ)11111(11121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=; 2333123312123123133(1(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测: 1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.(1)当1n =时,左边=右边2=,②成立.(2)假设当n k =时,②成立,即1212(1)k k k b b b k a a a =+ . 当1n k =+时,1111(1)(11k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211*********(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++ . 所以当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立. (Ⅲ)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++= 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++ 111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[[1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)(()1211n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <+++ 1212111(1(1(112n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S .即e n n T S <.。
2015年高考理科数学湖北卷-答案
(Ⅱ)根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线,利用直线平面的垂直判断出 , ,根据平面角的定义得出 是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.
【考点】简单曲线的极坐标方程,双曲线的参数方程
三、解答题
17.【答案】(Ⅰ)0(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 , , ,数据补全如下表:
0
x
0
5
0
0
且函数表达式为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,得 ,
因为 的对称中心为 , ,
令 ,解得 , ,
由于函数 的图象关于点 成中心对称,
令 ,解得 , .
由底面ABCD为长方形,有 ,而 ,所以 平面PCD,
而 平面PDC,所以 .
又因为 ,点E是PC的中点,所以 ,
而 ,所以 平面PBC,
而 平面PBC,所以 .
又 , ,所以 平面DEF.
由 平面PBC, 平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 , , , .
【考点】随机抽样,样本估计总体的实际应用
3.【答案】D
【解析】已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得 ,可得 , 的展开式中奇数项的二项式系数和为 .
【提示】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.
【考点】二项式定理,二项式系数的性质
4.【答案】C
【解析】正态分布密度曲线图象关于 对称,所以 ,从图中容易得到 .
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【年,理1,5分】i 为虚数单位,607i的共轭复数....为( )(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查. (2)【2015年,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为( )(A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .(3)【2015年,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式)(A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .以及计算能力.(4)【2015年,理4,5分】设211(,)X N μσ:,222(,)Y N μσ:,这两个正态分布密 (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键(5)【2015年,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥.若p :12,,,n a a a L 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( )(A q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列,则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠; 对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立;②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a L 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 (6)【2015年,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】【解析】依题意,22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .(9)【2015年,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( ) (A )77 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .复的元素.(10)【2015年,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上...........答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题) (11)【2015年,理11,5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ,||3OA =u u u r ,则OA OB ⋅=u u u r u u u r .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ,3OA =u u u r ,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(12)【2015年,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点, 所以函数()f x 由2个零点.(13)【2015年,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处D 在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶 在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .【答案】1006【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD CDBC ︒==,所以1006CD =m .(14)【2015年,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =Q ,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M Q ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+, ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______. 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. (16)【2015年,理16,5分】(选修4-4O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 础的计算题.三、解答题:共6题,共75(17)【2015年,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解析式; (2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表:x ωϕ+ 0 π2π3π2 2πxπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 05-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律(18)【2015年,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. (19)【2015年,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =I ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =I ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC ,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD PB P =I ,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ, (,1,1)PB λ=-u u u r ,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =u u u r ,于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =I ,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r , 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.W 12 15 18 P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个(1)求Z 的分布列和均值;解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0.3 0.5 0.2 因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.问题解决问题的能力.(21)【2015年,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN D 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =u u u u r u u u r,且||||1DN ON ==u u u r u u u r ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += (2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m mQ k k -++. 由原点O 到直线PQ 的距离为2||1m d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(((解:(1①(2②(3运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料
2015 年湖北省高考数学试卷(理科)参照答案与试题分析一、 :本大 共10 小 ,每小5 分,共 50 分 .在每小 出的四个 中,只有一 是切合 目要求的 .607的共 复数 (1.( 5 分)( 2015?湖北) i 虚数 位, i )A .iB . iC . 1D . 12.( 5 分)( 2015?湖北)我国古代数学名著《九章算 》有 “米谷粒分 ” :粮 开 收粮, 有人送来米 1534 石, 得米内 谷, 抽 取米一把,数得 254 粒内 谷 28 粒, 批米内谷 ( )A .134 石B .169 石C . 338 石D . 1365 石3.( 5 分)( 2015?湖北)已知( 1+x )n的睁开式中第 4 与第 8 的二 式系数相等, 奇数 的二 式系数和 ()A .212B .211C . 210D . 2912),Y ~N ( μ22), 两个正 散布密度曲12 4.( 5 分)( 2015?湖北) X ~ N ( μ,σ, σ如 所示.以下 中正确的选项是( )A .P ( Y ≥μ212 1)≥P ( Y ≥μ)B . P ( X ≤σ) ≤P (X ≤σ)C . 随意正数 t , P ( X ≤t ) ≥P (Y ≤t )D . 随意正数 t , P ( X ≥t ) ≥P (Y ≥t )5.( 5 分)( 2015?湖北) a 1, a 2,⋯, a n ∈R , n ≥3.若 p : a 1 ,a 2, ⋯, a n 成等比数列; q :(a 12+a 22+⋯+a n ﹣ 12)( a 22+a 32+⋯+a n 2) =( a 1 a 2+a 2a 3+⋯+a n ﹣ 1a n ) 2, ( ) A .p 是 q 的充足条件,但不是 q 的必需条件 B . p 是 q 的必需条件,但不是q 的充足条件C . p 是 q 的充足必需条件D .p 既不是 q 的充足条件,也不是 q 的必需条件6.( 5 分)( 2015?湖北)已知符号函数 sgnx= ,f ( x )是 R 上的增函数, g ( x )=f ( x ) f ( ax )(a > 1), ()A sgn[g ( x )]=sgnxB sgn[g ( x )]=sgnx C sgn[g ( x )]=sgn[f ( x )]D sgn[g ( x )]= sgn[f (x )]7.( 5 分)( 2015?湖北)在区 [0, 1] 上随机取两个数x , y ,P 1 事件 “x+y ≥ ”的概率, P 2 事件 “|x y|≤ ”的概率, P 3事件 “xy ≤ ”的概率, ()A .P 1< P 2<P 3B .P 2< P 3<P 1C . P 3< P 1<P 2D . P 3< P 2< P 1 8.( 5 分)( 2015?湖北)将离心率 e 的双曲 C 的 半 a 和虚半 b ( a ≠b )同 1 1 增添 m ( m > 0)个 位 度,获得离心率 e 2 的双曲 C 2, ()A . 随意的 a , b , e 1> e 2B . 当 a > b , e 1> e 2;当 a < b , e 1< e 2C . 随意的 a , b , e 1 2< eD .当 a > b , e 121 2< e;当 a < b , e > e9.( 5 分)(2015?湖北)已知会合 A={ ( x ,y )|x 2+y 2≤1,x ,y ∈Z} ,B={ ( x ,y )||x|≤2,|y|≤2,x , y ∈Z} ,定 会合 A ⊕ B={ ( x 1+x 2, y 1+y 2) |( x 1, y 1 )∈A ,(x 2, y 2) ∈B} , A ⊕ B 中 元素的个数 ( )A .77B .49C . 45D . 3010.( 5 分)( 2015?湖北) x ∈R , [x ]表示不超 x 的最大整数.若存在 数 t ,使得 [t] =1,[t 2] =2,⋯, [t n] =n 同 成立, 正整数 n 的最大 是( )A .3B .4C . 5D . 6二、填空 :本大 共4 小 ,考生需作答5 小 ,每小5 分,共 25 分. 将答案填在答 卡 号的地点上.答 地点, 写不清,含糊其词均不得分.11.(5 分)( 2015?湖北)已知向量⊥, | |=3, ? =.2x ) 2sinx |ln ( x+1 )|的零点个数12.(5 分)( 2015?湖北)函数 f (x )=4cos cos (.13.( 5 分)( 2015?湖北)如 ,一 汽 在一条水平的公路上向正西行 ,到A 得公路北 一山 D 在西偏北 30°的方向上, 行 600m 后抵达 B , 得此山 在西偏北 75°的方向上,仰角30°, 此山的高度CD=m .14.( 5 分)( 2015?湖北)如 , C 与 x 相切于点 T ( 1,0),与 y 正半 交于两点 A ,B ( B 在 A 的上方),且 |AB|=2 . (1)C 的 准方程;2 2(2)过点 A 任作一条直线与圆 O: x +y =1 订交于 M ,N 两点,以下三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.此中正确结论的序号是.(写出全部正确结论的序号)选修 4-1:几何证明选讲15.( 5 分)( 2015?湖北)如图, PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线,且BC=3PB ,则=.选修 4-4:坐标系与参数方程16.( 2015?湖北)在直角坐标系x Oy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l 与 C 订交于 A ,B 两点,则 |AB|=.三、解答题:本大题共 6 小题,共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11 分)(2015?湖北)某同学用“五点法”画函数 f( x)=Asin(ωx+ φ)(ω> 0, |φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0π2πxAsin (ωx+ φ)05﹣50(1)请将上表数据增补完好,填写在相应地点,并直接写出函数 f ( x)的分析式;(2)将 y=f( x)图象上全部点向左平行挪动θ(θ>0)个单位长度,获得y=g(x)的图象.若y=g( x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.18.( 12 分)( 2015?湖北)设等差数列 {a n} 的公差为 d,前 n 项和为 S n,等比数列 {b n} 的公比为 q,已知 b1=a1, b2 =2, q=d ,S10=100.(1)求数列 {a n} , {b n} 的通项公式(2)当 d> 1 时,记 c n= ,求数列 {c n} 的前 n 项和 T n.19.( 12 分)( 2015?湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四周体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD ,且 PD=CD ,过棱 PC 的中点 E,作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F,连结DE ,DF, BD , BE .(1)证明: PB⊥平面 DEF .试判断四周体 DBEF 能否为鳖臑,假如,写出其每个面的直角(只要写出结论);若不是,说明原因;(2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为,求的值.20.( 12 分)( 2015?湖北)某厂用鲜牛奶在某台设施上生产 A , B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设施 1 小时,赢利1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设施 1.5 小时,赢利1200 元.要求每日 B 产品的产量不超出 A 产品产量的 2 倍,设施每天生产 A , B 两种产品时间之和不超出12 小时.假设每日可获得的鲜牛奶数目W (单位:吨)是一个随机变量,其散布列为W121518P0.30.50.2该厂每日依据获得的鲜牛奶数目安排生产,使其赢利最大,所以每日的最大赢利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求 Z 的散布列和均值;(2)若每日可获得的鲜牛奶数目互相独立,求 3 天中起码有 1 天的最大赢利超出10000 元的概率.21.( 14 分)( 2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆ON 可绕 O 转动,长杆MN 经过 N 处铰链与ON 连结, MN 上的栓子 D 可沿滑槽AB 滑动,且DN=ON=1 ,MN=3 ,当栓子 D 在滑槽 AB 内作来去运动时,带动N 绕 O 转动, M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴成立如图 2 所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线l1:x﹣ 2y=0 和 l 2:x+2y=0 分别交于P, Q 两点.若直线l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,尝试究:△ OPQ的面积能否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明原因.n} 的各均正数,n n n+),e 自22.(14 分)( 2015?湖北)已知数列 {a b =n( 1+) a ( n∈N 然数的底数.(1)求函数 f( x) =1+x e x的区,并比( 1+)n与 e 的大小;(2)算,,,由此推算的公式,并出明;(3)令 c n 1 2 n n n} 的前 n 和分nn nn.=(a a ⋯a ),数列 {a} , {c S , T ,明: T < eS 答案:1、解:i 607=i604+3=i3=i,它的共复数:i .故: A.2、解:由意,批米内谷1534× ≈169 石,故: B.1+x )n的睁开式中第3、解:已知( 4 与第 8 的二式系数相等,可得,可得 n=3+7=10 .( 1+x )10的睁开式中奇数 的二 式系数和 :=29.故 : D .4、解:正 散布密度曲 象对于 x= μ 称, 所以 μ< μ,从 中简单获得 P (X ≤t )≥P12( Y ≤t ).故 : C .5、解:由 a 1, a 2, ⋯, a n ∈R , n ≥3.运用柯西不等式,可得:2 22 2 22 n ﹣1 n2( a 1 2n ﹣ 1 )( a 2 +a 3n )≥( a 1 2 2 3) ,+a +⋯+a+⋯+aa +a a +⋯+a a 若 a 1, a 2,⋯, a n 成等比数列,即有 ==⋯=,( a 12222 22n ﹣1 n22n ﹣ 1)( a 2+a 3+⋯+a n ) =( a 1 2 2 3),+a +⋯+aa +a a +⋯+aa即由 p 推得 q ,但由 q 推不到 p ,比方 a 12 3n12n=a =a =⋯=a =0, a , a , ⋯, a 不可等比数列.故 p 是 q 的充足不用要条件.故 : A .6、解:因为本 是 ,能够常用特别法,符号函数sgnx= ,f ( x )是R 上的增函数, g ( x )=f ( x ) f ( ax )( a > 1),不如令 f (x ) =x , a=2,g ( x ) =f ( x ) f (ax ) = x , sgn[g ( x ) ]=sgnx .所以 A 不正确, B 正确,sgn[f ( x ) ]=sgnx , C 不正确; D 正确; 于 D ,令 f (x ) =x+1 ,a=2, g ( x ) =f ( x ) f (ax ) = x 1,sgn[f ( x ) ]=sgn ( x+1 )= ;sgn[g ( x ) ]=sgn (﹣ x ﹣ 1) = ,﹣ sgn[f ( x ) ]=﹣ sgn (x+1 ) =;所以 D 不正确;应选: B .7、解:分别作失事件对应的图象如图(暗影部分) :P : D ( 0, ),F ( , 0),A ( 0, 1), B ( 1, 1), C ( 1, 0),1则暗影部分的面积 S 1=1×1﹣=1﹣ =,S =1×1﹣ 2×=1﹣=,2S 3=1× +dx= + lnx| = ﹣ ln = + ln2 ,∴ S 2< S 3< S 1, 即 P 2<P 3< P 1,应选: B .8、解:由题意,双曲线2 2 2, e 1= ;C 1: c =a +b双曲线 C2 22, e,2: c ′=( a+m ) +( b+m ) 2=∴= ﹣ = ,∴ 当 a >b 时, e 1<e 2;当 a < b 时, e 1> e 2,应选: D .229、解: ∵ A={ (x , y ) |x +y ≤1,x , y ∈Z}={ ( 0, 0),( 0,1),(0,﹣ 1),( 1, 0),(﹣B={ ( x ,y ) ||x|≤2, |y|≤2, x , y ∈Z}={ ( 0, 0),( 0,1),( 0, 2),( 0,﹣ 1),( 0,﹣2),( 1, 0),( 1, 1),( 1, 2)( 1,﹣ 1),( 1,﹣ 2)(2, 0),(2, 1),( 2, 2)( 2,﹣ 1),(2,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 1),(﹣ 1,0),(﹣ 1,1),(﹣ 1, 2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣ 2, 0),(﹣ 2, 1),(﹣ 2, 2)} ∵ A ⊕ B={ ( x 1+x 2, y 1+y 2) |( x 1, y 1) ∈A ,( x 2, y 2) ∈B} ,∴ A ⊕ B={ ( 0,0),( 0,1),( 0, 2),( 0,﹣ 1),( 0,﹣ 2),(1, 0),(1, 1),( 1, 2)( 1,﹣ 1),( 1,﹣ 2)( 2, 0),( 2, 1),( 2,2),( 2,﹣ 1),( 2,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 1),(﹣ 1,0),(﹣ 1,1),(﹣ 1,2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣ 2,0),(﹣ 2, 1),(﹣ 2, 2),(﹣ 2,3),(﹣ 2,﹣ 3),( 0,﹣ 3),( 2,﹣ 3),(﹣ 1,3),(﹣ 1,﹣ 3),( 1,3),( 2,3),(0,3),( 3,﹣ 1),( 3,0)( 3,1),(3,2),( 3,﹣ 2)(﹣ 3,2)(﹣ 3,1),( 1,﹣ 3),(﹣ 3,﹣ 1),(﹣ 3, 0),(﹣ 3,﹣ 2) } 共 45 个元素应选: C .10、 解: ∵ [t]=1, ∴ t ∈[1, 2),又 ∵ [t 2]=2 ,∴ t 2 ∈[2, 3), ∴ t ∈[ , ),又 t 2∈[2, 3),∴ t 4∈[4,9),∴ [t 4]=4, ∴ 正整数 n 的最大值 4应选: B .11、解:由⊥,得 ? =0,即 ?( ) =0,∵ | |=3,∴.故答案为: 9.12、 解:函数 f ( x )的定义域为: {x|x >﹣ 1} .f ( x ) =4cos 2cos (﹣ x )﹣ 2sinx ﹣ |ln ( x+1 ) |=2sinx﹣ |ln ( x+1 ) |=sin2x ﹣ |ln ( x+1 ) |,分别画出函数 y=sin2x ,y=|ln ( x+1 ) |的图象, 由函数的图象可知,交点个数为 2.所以函数的零点有 2 个.故答案为: 2.13、解:设此山高h(m),则 BC=h,在△ ABC 中,∠ BAC=30 °,∠ CBA=105 °,∠ BCA=45 °, AB=600 .依据正弦定理得=,解得 h=100(m)故答案为: 100.14、解:(1)∵ 圆C与x轴相切于点T ( 1, 0),∴圆心的横坐标x=1 ,取 AB 的中点 E,∵|AB|=2 ,∴|BE|=1,则 |BC|=,即圆的半径 r=|BC|=,∴圆心 C(1,),则圆的标准方程为(x﹣ 1)2+( y﹣)2=2,故答案为:( x﹣1)2+( y﹣)2=2.( 2)∵圆心 C( 1,),∴E( 0,),又∵ |AB|=2 ,且 E 为 AB 中点,∴A(0,﹣ 1),B ( 0,+1),2 2∵M 、 N 在圆 O: x +y =1 上,∴可设 M ( cosα, sinα), N( cosβ, sinβ),∴|NA|=====,|NB|=== =,∴ = = = ,同理可得= ,∴=,① 成立,﹣ = ﹣( )=2, ② 正确. +=+( ) =,③ 正确.故答案为: ①②③.15、 解:由切割线定理可知:PA 2=PB?PC ,又 BC=3PB ,可得 PA=2PB ,在 △ PAB 与 △PAC 中, ∠ P=∠P , ∠PAB=∠ PCA (同弧上的圆周角与弦切角相等) ,可得 △PAB ∽△ PAC ,∴ == .故答案为: .16、 解:由 ρ( sin θ﹣ 3cos θ) =0,得 y ﹣3x=0 ,由 C 的参数方程为( t 为参数),两式平方作差得: x 2 ﹣y 2=﹣ 4.联立,得 ,即 .∴ A ( ),B (), ∴ |AB|=.故答案为:.17、解:( 1)依据表中已知数据,解得 A=5 , ω=2, φ=﹣ .数据补全以下表:ωx+ φ 0π2πxAsin ( ωx+ φ)05050且函数表达式f (x ) =5sin ( 2x).( 2)由( Ⅰ )知 f (x ) =5sin ( 2x),得 g ( x )=5sin ( 2x+2 θ).因 y=sinx 的 称中心 ( k π, 0), k ∈Z .令 2x+2θ =k π,解得 x= , k ∈Z .因为函数 y=g ( x )的 象对于点( , 0)成中心 称,令=,解得 θ=, k ∈Z .由 θ>0 可知,当 K=1 , θ获得最小.18、解:( 1) a 1=a ,由 意可得,解得 ,或 ,当, a n =2n 1, b n =2n ﹣ 1;当, a n = ( 2n+79 ),b n =9? ;( 2)当 d > 1 ,由( 1)知 a n =2n 1, b n =2n ﹣ 1,∴ c n ==,∴ T n =1+3? +5? +7? +9 ? +⋯+( 2n 1) ?,∴ T n =1? +3? +5? +7? +⋯+(2n 3)?+( 2n 1) ? ,∴ T n =2+ + +++⋯+ ( 2n 1) ? =3 ,∴ T n =6.19、解法 1)( 1)因 PD ⊥ 底面 ABCD ,所以 PD ⊥BC , 由底面 ABCD 方形,有 BC ⊥CD ,而 PD ∩CD=D ,所以 BC ⊥平面 ABCD .而 DE ? 平面 PDC ,所以 BC ⊥ DE .又因 PD=CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ⊥PC .而 PC ∩CB=C ,所以 DE ⊥ 平面 PBC .而 PB? 平面 PBC ,所以 PB ⊥ DE .又 PB ⊥ EF , DE ∩FE=E ,所以 PB ⊥ 平面 DEF .由 DE ⊥ 平面 PBC ,PB ⊥ 平面 DEF ,可知四周体 BDEF 的四个面都是直角三角形,即四周体 BDEF 是一个 臑, 其四个面的直角分 ∠DEB ,∠ DEF ,∠ EFB ,∠ DFB .( 2)如 1,在面 BPC 内,延伸BC 与 FE 交于点 G,则DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线.由(Ⅰ)知, PB⊥平面 DEF ,所以 PB ⊥DG .又因为 PD ⊥底面 ABCD ,所以 PD⊥DG .而PD∩PB=P,所以 DG ⊥平面 PBD .所以 DG⊥ DF, DG ⊥DB故∠ BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角,设 PD=DC=1 ,BC= λ,有 BD=,在 Rt△PDB 中,由 DF ⊥ PB,得∠ DGF= ∠ FDB=,则 tan =tan∠DPF===,解得.所以= =故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时,=.(解法 2)(1)以 D 为原点,射线 DA ,DC,DP 分别为 x,y,z 轴的正半轴,成立空间直角坐标系.设 PD=DC=1 , BC= λ,则 D( 0, 0,0), P(0, 0, 1), B (λ,1, 0), C( 0, 1, 0),=(λ1,﹣ 1),点E 是 PC 的中点,所以E( 0,,),=(0,,),于是=0,即 PB⊥ DE.又已知 EF ⊥PB,而 ED∩EF=E ,所以 PB⊥平面 DEF .因 =( 0, 1,﹣ 1),=0,则 DE ⊥PC,所以 DE ⊥平面 PBC .由 DE⊥平面 PBC,PB ⊥平面 DEF ,可知四周体 BDEF 的四个面都是直角三角形,即四周体 BDEF 是一个矩形,其四个面的直角分别为∠DEB ,∠ DEF,∠ EFB,∠ DFB .( 2)由 PD⊥底面 ABCD ,所以=( 0, 0, 1)是平面ACDB 的一个法向量;由(Ⅰ)知, PB⊥平面 DEF ,所以=(﹣λ,﹣ 1, 1)是平面 DEF 的一个法向量.若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为,则运用向量的数目积求解得出cos ==,解得.所以所以= =故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时,=.20、(12 分)解:( 1)设每日 A ,B 两种产品的生产数目分别为x, y,相应的赢利为z,则有,① 如图 1,目标函数为:z=1000x+1200y .当 W=12 时,①表示的平面地区如图1,三个极点分别为 A ( 0, 0), B( 2.4,4.8),C( 6, 0).将 z=1000x+1200y 变形为,当 x=2.4 , y=4.8 时,直线 l:在 y 轴上的截距最大,最大赢利 Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160 .当 W=15 时,①表示的平面地区如图2,三个极点分别为A( 0,0), B(3,6),C ( 7.5,0)..将 z=1000x+1200y 变形为,当 x=3 ,y=6 时,直线l:在 y 轴上的截距最大,最大赢利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当 W=18 时,①表示的平面区域如图 3,四个极点分别为 A (0, 0), B( 3,6), C(6, 4),D ( 9, 0).将 z=1000x+1200y 变形为:,当 x=6 ,y=4 时,直线 l: y= ﹣56x+z1200 在 y 轴上的截距最大,最大赢利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大赢利Z 的散布列为:Z81601020010800P0.30.50.2所以, E( Z) =8160 ×0.3+10200 ×0.5+10800 ×0.2=9708(2)由(Ⅰ)知,一天最大赢利超出 10000 元的概率 P1=P( Z>10000) =0.5+0.2=0.7 ,由二项散布, 3 天中起码有1天最大赢利超出10000 元的概率为:21、解:(1)∵ |OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立,同理 |OM|≥|MN| ﹣ |NO|=3﹣ 1=2,当 D ,O 重合,即MN ⊥ x 轴时,等号成立.∴椭圆 C 的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为.( 2)①当直线 l 的斜率 k 不存在时,直线l为: x=4 或 x= ﹣ 4,都有S△OPQ=,②直线 l 的斜率 k 存在时,直线l 为: y=kx+m ,( k),由消去 y,可得( 1+4k 2) x2+8kmx+4m2﹣16=0,∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,∴ △ =64k 2m2﹣ 4( 1+4k2)( 4m2﹣ 16)=0,即 m2=16k2+4,①,由,可得 P(,),同理得Q(,),原点 O 到直线 PQ 的距离 d=和|PQ|=?|x P﹣ x Q|,可得 S△OPQ= |PQ|d= |m||x P﹣ x Q|= |m|||=||②,将①代入②得 S△OPQ=||=8||,当 k 2>时, S=8 ()=8(1+)> 8,△OPQ当 0≤k 2< , S △OPQ =8||= 8( ) =8( 1+ ),∵ 0≤k 2< , ∴ 0< 1 4k 2≤1,≥2,∴ S △OPQ =8( 1+) ≥8,当且 当 k=0 取等号,∴ 当 k=0 , S △ OPQ 的最小 8,上可知当直l 与 C 在四个 点 相切 , 三角形 OPQ 的面 存在最小8.x当 f ′( x )> 0,即 x < 0 , f ( x ) 增;当 f ′( x )<0,即 x > 0 , f ( x ) 减.故 f ( x )的 增区 ( ∞,0), 减区 ( 0,+∞).当 x >0 , f ( x )< f ( 0) =0,即 1+x <e x.令 ,得 ,即 .①(2)解:; = ;.由此推 :=( n+1 )n. ②下边用数学 法 明② .( 1)当 n=1 ,左 =右 =2 , ② 成立.( 2)假 当n=k , ② 成立,即 .当 n=k+1 ,,由 假 可得= .∴ 当 n=k+1 , ② 也成立.依据( 1)( 2),可知 ② 全部正整数n 都成立.( 3) 明:由 c n 的定 , ② ,算 几何均匀不等式, b n 的定 及 ① 得T n =c 1+c 2+⋯+c n =====<ea1+ea2+⋯+ea n=eS n.即 T n< eS n.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石
3.已知 (1 x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A. 212 B. 211 C. 210 D. 29
绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数
学(理工类)
本试题卷共 6 页,22 题,其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑,再在答 题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. i 为虚数单位, i 607 的共轭 复数 为 .. .. A. i B. i C.1 D. 1
1 ”的概率,则 2
B. p2 p3 p1 D. p3 p2 p1
8.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增加 m (m 0) 个单位 长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则 A.对任意的 a, b , e1 e2 C.对任意的 a, b , e1 e2 B.当 a b 时, e1 e2 ;当 a b 时, e1 e2 D.当 a b 时, e1 e2 ;当 a b 时, e1 e2
DC 的值. BC
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn
P
F
E
D
C
π , 3
A
B
第 19 题图
20. (本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用 设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A, B 两种产品 时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W (单位:吨)是一个随机变量, 其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2
5π , 0) ,求 的最小值. 12
-4-
18. (本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d, 前 n 项和为 Sn , 等比数列 {bn } 的公比为 q. 已知 b1 a1 , b2 2 ,
q d , S10 100 .
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d 1 时,记 cn 19. (本小题满分 12 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 P ABCD 中,侧棱 PD 底面 ABCD , 且 PD CD , 过棱 PC 的中点 E , 作 EF PB 交 PB 于 点 F ,连接 DE , DF , BD, BE. (Ⅰ)证明: PB 平面DEF .试判断四面体 DBEF 是 否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论) ;若不是,说明理由; (Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 求
AB AC
P B C
.
A
16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)
第 15 题图
-3-
在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的
1 xt , t 极坐标方程为 (sin 3cos ) 0 ,曲线 C 的参数方程为 y t 1 t
( t 为参数) ,l 与 C
相交于 AB 两点,则 | AB |
.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分)
π 某同学用“五点法”画函数 f ( x) A sin( x ) ( 0, | | ) 在某一个周期内的图象 2
1 1 ” 的概率,p2 为事件 “ | x y | ” 2 2
A. sgn[ g ( x)] sgn x C. sgn[ g ( x)] sgn[ f ( x)]
7. 在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y , 记 p1 为事件 “x y 的概率, p3 为事件“ xy A. p1 p2 p3 C. p3 p1 p2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单 位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求 Z 的分布列和均值; (Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立, 求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率. 21. (本小题满分 14 分) 一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ON 1 , MN 3 .当栓
m.
y B C N M A O T x
D
C B
第 13 题图
A
第 14 题图
14.如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) , 且 AB 2 . (Ⅰ)圆 C 的标准 方程为 .. ;
(Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 y 2 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: ①
9.已知集合 A {( x, y ) x 2 y 2 1, x, y Z} , B {( x, y ) | x | 2 , | y | 2, x, y Z} ,定义集合
A B {( x1 x2 , y1 y2 ) ( x1 , y1 ) A, ( x2 , y2 ) B},则 A B 中元素的个数为
x π cos( x) 2sin x | ln( x 1) | 的零点个数为 2 2
13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为
30 ,则此山的高度 CD
A.7Байду номын сангаас B.49 C.45 D.30
10. 设 x R ,[ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t , 使得 [t ] 1 ,[t 2 ] 2 , …,[t n ] n 同时成立 ,则正整数 n 的最大值是 ....
-2-
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题:本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答 . 题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ...... (一)必考题(11—14 题) 11.已知向量 OA AB , | OA | 3 ,则 OA OB 12.函数 f ( x) 4 cos 2 . .
-5-
子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ,M 处的 ..N 绕 O 转动一周(D 不动时,N 也不动) 笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角 坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x 2 y 0 和 l2 : x 2 y 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
时,列表并填入了部分数据,如下表:
x
x
0
π 2 π 3
π
3π 2 5π 6
5
2π
A sin( x )
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ( 0) 个单位长度,得到 y g ( x) 的图 象. 若 y g ( x) 图象的一个对称中心为 (
-1-
4.设 X
N ( 1 , 12 ) , Y
2 N ( 2 , 2 ) ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正
确的是 A. P(Y 2 ) P(Y 1 ) B. P( X 2 ) P( X 1 ) C.对任意正数 t , P( X t ) P(Y t ) D.对任意正数 t , P( X t ) P(Y t ) 第 4 题图 5.设 a1 , a2 ,
-6-
, an R , n 3 . 若 p: a1 , a2 ,
2 2 2 an 1 )( a2 a3
, an 成等比数列;