2015年湖北高考数学试题及答案
2015年湖北省高考数学试卷(文科)
2015年湖北省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(3分)i为虚数单位,i607=()A.﹣i B.i C.1 D.﹣12.(3分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(3分)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx=x﹣1”的否定是()A.∃x0∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 B.∃x∉(0,+∞),lnx=x﹣1C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.∀x∉(0,+∞),lnx=x﹣14.(3分)已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1,变量y与z正相关,下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关5.(3分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(3分)函数f(x)=+lg的定义域为()A.(2,3)B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(﹣1,3)∪(3,6] 7.(3分)设x∈R,定义符号函数sgnx=,则()A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx8.(3分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则()A.p1<p2<B.C.p2<D.9.(3分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e210.(3分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30二、填空题11.(3分)已知向量⊥,||=3,则•= .12.(3分)设变量x,y满足约束条件,则3x+y的最大值为.13.(3分)f(x)=2sin xsin(x+)﹣x2的零点个数为.14.(3分)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a= .(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.15.(3分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.16.(3分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为.17.(3分)a为实数,函数f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.三、解答题18.(12分)某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|<)在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.19.(12分)设等差数列{an }的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an },{bn}的通项公式(2)当d>1时,记cn =,求数列{cn}的前n项和Tn.20.(13分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马P﹣ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.21.(14分)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=e x,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x)>0,g(x)>1;(2)设a≤0,b≥1,证明:当x>0时,ag(x)+(1﹣a)<<bg(x)+(1﹣b).22.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.2015年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2015年湖北省高考数学试卷(文科)
2015年湖北省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(3分)i为虚数单位,i607=()A.﹣i B.i C.1 D.﹣12.(3分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(3分)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是()A.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0﹣1 B.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0﹣1C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.∀x∉(0,+∞),lnx=x﹣14.(3分)已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1,变量y与z正相关,下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关 B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关 D.x与y负相关,x与z正相关5.(3分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(3分)函数f(x)=+lg的定义域为()A.(2,3) B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(﹣1,3)∪(3,6]7.(3分)设x∈R,定义符函数sgnx=,则()A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx8.(3分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则()A.p1<p2<B.C.p2<D.9.(3分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m (m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e210.(3分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B 中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30二、填空题11.(3分)已知向量⊥,||=3,则•=.12.(3分)设变量x,y满足约束条件,则3x+y的最大值为.13.(3分)f(x)=2sin xsin(x+)﹣x2的零点个数为.14.(3分)某电子商务公司对10000名络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=.(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.15.(3分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.16.(3分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B (B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为.17.(3分)a为实数,函数f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.三、解答题18.(12分)某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|<)在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:(1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.19.(12分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.20.(13分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD 中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马P﹣ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.21.(14分)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=e x,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x)>0,g(x)>1;(2)设a≤0,b≥1,证明:当x>0时,ag(x)+(1﹣a)<<bg(x)+(1﹣b).22.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l 总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.2015年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【1,5分】i 为虚数单位,607i的共轭复数....为( )(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .(2)【2015年,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为( )(A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米夹谷约为281534169254⨯=石,故选B . (3)【2015年,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数)(A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)nx +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D . 以及计算能力.(4)【2015年,理4,5分】设211(,)X N μσ:,222(,)Y N μσ:,这两个正态分布密 (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键(5)【2015年,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥.若p :12,,,n a a a L 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( )(A q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立; ②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a L 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要(6)【2015年,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】【解析】依题意,22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >,当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .(9)【2015年,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .复的元素.(10)【2015年,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上...........答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年,理11,5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ,||3OA =u u u r ,则OA OB ⋅=u u u r u u u r . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ,3OA =u u u r ,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(12)【2015年,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点, 所以函数()f x 由2个零点.(13)【2015年,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .【答案】1006 【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中, 因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD CDBC ︒==,所以1006CD =m .(14)【2015年,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =Q ,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M Q ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+, ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______. 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. (16)【2015年,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 础的计算题.三、解答题:共6题,共75(17)【2015年,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期x ωϕ+ 0π2 π 3π2 2π x π3 5π6sin()A x ωϕ+0 5 5- 0(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解析式; (2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表:x ωϕ+ 0π2π 3π22πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律(18)【2015年,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=, 于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ,故12362nn n T -+=-. (19)【2015年,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE . (1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =I ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =I ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC ,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =I ,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. (1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ, (,1,1)PB λ=-u u u r ,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =u u u r ,于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =I ,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r , 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 于难题.(20)【2015年,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶210001吨B 产品需鲜牛奶1.51.5小时,获利 1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0.3 0.5 0.2 因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.问题解决问题的能力.(21)【2015年,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN D AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =u u u u r u u u r,且||||1DN ON ==u u u r u u u r ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,(2②8.【点评】本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年,理22,14(((解:(1①(2②(3运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
2015年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
6072.(3分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内×4.(3分)(2015•湖北)已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1,变量y与z正相关,下列结5.(3分)(2015•湖北)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l26.(3分)(2015•湖北)函数f(x)=的定义域为(),7.(3分)(2015•湖北)设x∈R,定义符号函数sgnx=,则(),而左边,而左边,而左边=xsgnx=,显然正确;8.(3分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则()”==;;9.(3分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时=∴﹣,10.(3分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元二、填空题11.(3分)(2015•湖北)已知向量,||=3,则=9.,所以=0﹣,即212.(3分)(2015•湖北)设变量x,y满足约束条件,则3x+y的最大值为10.得13.(3分)(2015•湖北)函数的零点个数为2.14.(3分)(2015•湖北)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=3.(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为6000.15.(3分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=100m.h=,h=100.16.(3分)(2015•湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为﹣1﹣.)由题意,圆的半径为=))1+)﹣﹣).17.(3分)(2015•湖北)a为实数,函数f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=2﹣2时,g(a)的值最小.2﹣2时,=∵=﹣,[);,故答案为:三、解答题18.(12分)(2015•湖北)某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|<)π(1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.2))图象上所有点向左平移()﹣]2x+)=k﹣,.(﹣19.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.,写出、,由题意可得,或;=•••∴+3+5+7+•∴+++﹣﹣20.(13分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马P﹣ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.====.CD==21.(14分)(2015•湖北)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g (x)是偶函数,f(x)+g(x)=e x,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x)>0,g(x)>1;(2)设a≤0,b≥1,证明:当x>0时,ag(x)+(1﹣a)<<bg(x)+(1﹣b).时,>,(=)>×==时,>,故,故<22.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.其方程为.=k(,,)|PQ|==|PQ|d=|m||x|m|||=| =||=8|时,<(时,∴1+。
2015年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页(共36页)数学试卷 第2页(共36页)数学试卷 第3页(共36页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,607i = ( )A .i -B .iC .1-D .12.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A .134石B .169石C .338石D .1 365石 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞,00ln 1x x =-”的否定是( ) A .0(0,)x ∃∈+∞,00ln 1x x ≠- B .0(0,)x ∃∉+∞,00ln 1x x =- C .(0,)x ∀∈+∞,ln 1x x ≠-D .(0,)x ∀∉+∞,ln 1x x =-4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 ( ) A .x 与y 负相关,x 与z 负相关 B .x 与y 正相关,x 与z 正相关 C .x 与y 正相关,x 与z 负相关D .x 与y 负相关,x 与z 正相关5.1l ,2l 表示空间中的两条直线,若p :1l ,2l 是异面直线;q :1l ,2l 不相交,则( )A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为( )A .(2,3)B .(2,4]C .(2,3)(3,4] D .(1,3)(3,6]-7.设x ∈R ,定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则( )A .|||sgn |x x x =B .||sgn ||x x x =C .||||sgn x x x =D .||sgn x x x =8.在区间[0,1]上随机取两个数x ,y ,记1p 为事件“12x y +≤”的概率,2p 为事件“12xy ≤”的概率,则( )A .1212p p << B .1212p p << C .2112p p <<D .2112p p << 9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 ( )A .对任意的a ,b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的a ,b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )A .77B .49C .45D .30 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在题中的横线上. 11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则 OA OB =___________.12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14.某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)直方图中的a =_________;(Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =_________m.16.如图,已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且2AB =.(Ⅰ)圆C 的标准方程为_________;(Ⅱ)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17. a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时,()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共36页)数学试卷 第5页(共36页)数学试卷 第6页(共36页)三、 解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式; (Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度,得到()y g x =的图象,求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q ,已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .20.(本小题满分13分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,点E 是PC 的中点,连接DE ,BD ,BE .(Ⅰ)证明:DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)记阳马P ABCD -的体积为1V ,四面体EBCD 的体积为2V ,求12V V 的值.21.(本小题满分14分)设函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,()f x +()g x e x =,其中e 为自然对数的底数.(Ⅰ)求()f x ,()g x 的解析式,并证明:当0x >时,()0f x >,()1g x >; (Ⅱ)设0a ≤,1b ≥,证明:当0x >时,()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-<<. 22.(本小题满分14分)一种画椭圆的工具如图1所示,O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN ON =1=,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为C ,以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文科)答案解析第Ⅰ卷)(]3,4,故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点,共45个,故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示:易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--(),(),(),平行移动直线3y x =-,求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1;当29 / 121011 / 1212。
2015年湖北数学高考卷-理科(含答案)
专业课原理概述部分一、选择题(每题1分,共5分)1. 设集合M={x|x²3x+2=0},则集合M的元素个数为()A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z1|=|z+1|,则z在复平面内对应的点位于()A. x轴上B. y轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上3. 函数f(x)=x²+2x+3,那么f(1)的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1、a2、a3,若a1+a3=6,a2+a3=8,则a10的值为()A. 20B. 22C. 24D. 265. 在△ABC中,若sinA : sinB : sinC = 3 : 4 : 5,则△ABC的形状为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、判断题(每题1分,共5分)1. 若a、b为实数,且a²+b²=0,则a、b必定同时为0。
()2. 两个平行线的斜率相等。
()3. 对于任意的实数x,都有(x²)′=2x。
()4. 若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f′(x) > 0。
()5. 三角形的面积可以用底乘以高的一半来计算。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 若向量a=(2,1),则向量a的模长|a|为______。
2. 设函数f(x)=x²2x,则f(x)的顶点坐标为______。
3. 若等差数列{an}的公差为2,且a1=3,则a5的值为______。
4. 在直角坐标系中,点P(3,4)关于原点的对称点坐标为______。
5. 若sinθ=1/2,且θ为锐角,则θ的度数为______。
四、简答题(每题2分,共10分)1. 简述实数和虚数的基本概念。
2. 什么是函数的单调性?如何判断一个函数的单调性?3. 等差数列和等比数列有什么区别?4. 请写出余弦定理的公式,并解释其含义。
5. 如何求解一个一元二次方程?五、应用题(每题2分,共10分)1. 已知一元二次方程x²4x+3=0,求解该方程的根。
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.(2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.(3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力.(4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,222(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )(A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.(5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件.故选A .(6)【2015年湖北,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年湖北,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年湖北,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <(C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D【解析】依题意,22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.(9)【2015年湖北,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .【点评】本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.(10)【2015年湖北,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上....答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年湖北,理11,5分】已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅= . 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥,3OA =,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.(12)【2015年湖北,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点,所以函数()f x 由2个零点.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.(13)【2015年湖北,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .【答案】1006【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD BC ︒==,所以1006CD =m . 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.(14)【2015年湖北,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.)(15)【2015年湖北,理15,5分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______.【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,由切割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.(16)【2015年湖北,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB =.【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t 得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(17)【2015年湖北,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期(1...........(2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-.数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.(18)【2015年湖北,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=, 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.(19)【2015年湖北,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:解法一:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点, 所以DE PC ⊥. 而PC BC C =,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=.所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =,于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑, 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+, 解得2λ=. 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,2DC BC =. 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年湖北,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.(21)【2015年湖北,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ②将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年湖北,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;(2)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式,并给出证明;(3)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.解:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增;当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e xx +<. 令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.①当1n =时,左边=右边2=,②成立.②假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+. 当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.所以当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
2015年高考(湖北卷)数学(理工类)试题参考答案
即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB,DEF,EFB,DFB .
z
P
P
F
E
D
F
E
G
C
D
C y
A
B
第 19 题解答图 1
xA
B
第 19 题解答图 2
(Ⅱ)由 PD 平面ABCD ,所以 DP (0, 0, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量; 由(Ⅰ)知, PB 平面DEF ,所以 BP (, 1, 1) 是平面 DEF 的一个法向量. 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π , 3 则 cos π BP DP 1 1 , 3 | BP | | DP | 2 2 2
解得 2 . 所以 DC 1 2 . BC 2
故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 时, DC 2 .
3
BC 2
20.(12 分) (Ⅰ)设每天 A, B 两种产品的生产数量分别为 x, y ,相应的获利为 z ,则有
2x 1.5y W , x 1.5y 12, 2x y 0, x 0, y 0.
二、填空题(本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.9
12.2
13.100 6
14.(Ⅰ) (x 1)2 ( y 2)2 2 ;(Ⅱ)①②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 17.(11 分)
15. 1 2
16. 2 5
(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A 5, 2, π . 数据补全如下表: 6
p 1 (1 p1)3 1 0.33 0.973.
21.(14 分) (Ⅰ)设点 D(t, 0) (| t | 2) , N(x0, y0 ), M (x, y) ,依题意, MD 2DN ,且 | DN || ON |1, y P
2015年湖北省高考数学理科试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学本试卷共6页,22题,其中15,16题为选考题全卷满分150分,考试时间为120分钟.一、选择题:本小题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. i 为虚数单位,607i 的共轭复数为 A .i B .i - C .1 D .1- 【解析】选A 。
因为,共轭复数为i ,所以应选.2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A .134石 B .169石 C .338石 D .1365石【解析】选B 。
设这批米内夹谷的个数为x ,则由题意用样本估计总体知,28,2541534=x即281534169.254=⨯≈x 3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A .122 B .112 C .102 D .92【解题指南】利用二项式系数的性质。
二项式系数之和为2n 。
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。
【解析】选D 。
37=n n痧,3710,=+=n 二项式系数之和为102。
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,所以,奇数项的二项式系数和为92。
4.设211(,)X N μσ ,222(,)Y N μσ ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥【解析】选C 。
由图可知12<μμ,120<<σσ。
6072303()i i i i =⋅=-A5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ,则A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件【解析】选A 。
2015年高考湖北理科数学卷(含解析、答案)word
湖北省教育考试院 保留版权 数学(理工类) 第1页(共18页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工类)本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭..复数..为 A .i B .i - C .1 D .1-答案:A 解析:6084152607i i 1ii i i i⨯====-,其共轭复数为i .故选(A ). 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A .134石 B .169石 C .338石 D .1365石答案:B解析:这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石.故选(B). 3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A .122 B .112C .102D .92答案:D解析:因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,所以37C C n n =,解得10n =.所以根据二项式系数和的相关公式得,奇数项的二项式系数和为1922n -=.故选(D).数学(理工类) 第2页(共6页)4.设211(,)X N μσ ,222(,)Y N μσ ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 答案:C解析:对于选项(A),因为正态分布曲线关于直线x μ=对称,所以12μμ<.所以()()120.5P Y P Y μμ≥>=≥.故选项(A )错误;对于选项(B ),因为X 的正态分布密度曲线比Y 的正态分布密度曲线更“瘦高”,所以12σσ<.所以()()21P X P X σσ≤<≤.故选项(B )错误;对于选项(C),在y 轴右方作与x 轴垂直的一系列平行线,可发现在任何情况下,X 的正态分布密度曲线与x 轴之间围成的图形面积都大于Y 的正态分布密度曲线与x 轴之间围成的图形面积,即对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤.故选项(C) 正确;5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥. 若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ,则A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 答案:A解析:柯西不等式“数学(理工类) 第3页(共6页)()()()222222212-1231223-1n n n n aa a a a a a a a a a a ++⋯+++⋯+≥++⋯+”等号成立的条件是“-11223n na a a a a a ==⋯=(即12,,,,n a a a …成等比数列)”或“230n a a a ====…”,故p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.故选(A ).6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-答案:B解析:不妨令()1f x x =+,2a =,则()()()2g x f x f x x =-=-. 则()()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦,排除选项(A ); ()()sgn sgn 1f x x =+⎡⎤⎣⎦是以1+x 与0比较,排除选项(C ),(D ). 故选(B ).7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则 A .123p p p << B .231p p p << C .312p p p << D .321p p p <<答案:B解析:在同一平面直角坐标系中,依次作出不等式01,11,,01,22x x y x y y ≤≤⎧+≥-≤⎨≤≤⎩12xy ≤的可行域如下图所示:数学(理工类) 第4页(共6页)则OCDEBACDE S S p 四边形曲边多边形=1,OCDEBOAFDGS S p 四边形曲边多边形=2,3GEOCF OCDES p S =曲边多边形四边形.因为D G F BEG ABO S S S ∆∆∆== ,所以BOAFDG GEOCF BACDE S S S <<曲多形曲多形曲多形边边边边边边. 所以BOAFDGGEOCF BACDE OCDEOCDEOCDES S S S S S <<曲多形曲多形曲多形四形四形四形边边边边边边边边边.即231p p p <<.故选(B ).8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 A .对任意的,a b ,12e e > B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < C .对任意的,a b ,12e e < D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >答案:D解析:2211a b e +=,2e =.不妨令21e e <,化简得()0b b m m a a m +<>+,得am bm <,得b a <.所以当a b >时,有m a m b a b ++>,即21e e >;当a b <时,有ma mb a b ++<,即21e e <.故选(D ).9.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为A .77B .49C .45D .30 答案:C解析:如图,集合A 表示如下图所示的所有红心圆点,集合B 表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心数学(理工类) 第5页(共6页)圆点,集合A B ⊕显然是集合(){},|3,3,,x y x y x y ≤≤∈Z 中除去四个点()()()(){}3,3,3,3,3,3,3,3----之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A B ⊕表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点+所有黄心圆点,共45个.故A B ⊕中元素的个数为45 . 故选(C ).10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n = 同时成立....,则正整数n 的最大值是 A .3 B .4 C .5 D .6 答案:B二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题......号.的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)11.已知向量OA AB ⊥ ,||3OA =,则OA OB ⋅= .答案:9 解析:由OA AB ⊥ ,得0OA AB =.所以()2O A O B O A O A A B O AO=+=+22039OA =+== .12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 .答案:2解析:()()()224cossin 2sin ln 12sin 2cos 1ln 122x x f x x x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭数学(理工类) 第6页(共6页)()sin 2ln 1x x =-+,令()0f x =,得()sin 2ln 1x x =+.在同一坐标系中作出两个函数sin 2y x =与函数()ln 1y x =+的大致图象如右图所示.观察图像可知,两函数图像有2个交点,故函数()f x 有2个零点.13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75 的方向上,仰角为30 ,则此山的高度CD = m.答案:解析:依题意,在ABC ∆中,600AB =,30BAC ∠=︒,753045ACB ∠=︒-︒=︒,由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠,即600sin 30sin 45BC =︒︒,所以BC =.在BCD ∆中,30CBD ∠=︒,tan tan30CD BC CBD =∠=︒=AB数学(理工类) 第7页(共6页)14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方), 且2AB =.(Ⅰ)圆C 的标准..方程为 ; (Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论:①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=;③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)答案:(Ⅰ)22(1)(2x y -+=;(Ⅱ)①②③解析:(1)由题意设圆心()1,C r (r 为圆C 的半径),则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,解得r =所以圆C 的方程为()(2212x y -+=.(2)在()(2212x y -+=中,令0x =,得1y =.又由图可知,点A 在下B在上,所以点()1A,()1B .设()()1122,,,,M x y N x y数学(理工类) 第8页(共6页)当直线MN 的斜率不存在时,令()()0,1,0,1,M N -则1NA NB ==, 1.MAMB == 所以.NA MA NBMB=当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为1y kx =,由221,1,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(1)1)2(10k x kx +++=,则1212222(12(1,,11k x x x x k k +==++12121212111(1)1(1)BM NB y y kx kx k k x x x x ----+=+=+----21212121222(12222()220,1kkx kx x x k k x x x x k -⨯--+=+=-+==--+. 所以,BM NB k k =-所以,MBA NBA∠=∠BA 是MBN ∠的平分线.由内角平分线定理得,MB MA NBNA=即.NA MA NBMB=故NA MA NBMB =恒成立.当0k =时,可求得1NA NB =.故1NA NB=为定值.所以12,NB MA NAMB-==.故②正确;1NB MA NAMB+==.故③正确. 综上,正确结论的序号是①②③.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, 且3BC PB =,则ABAC= .数学(理工类) 第9页(共6页)答案:12解析:由切割线定理知2PA PB PC =⋅,且3B C P B =,所以2P A P B =.由弦切角定理知PCA PAB ∠=∠,又APC BPA ∠=∠,所以PAB PCA ∆∆ .所以12AB PA AC PC ==. 16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .答案:直线l 的极坐标方程()sin 3cos 0ρθθ-=化为直角坐标方程为30x y -=,曲线C 的参数方程1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩两式经过平方相减,化为普通方程为224y x -=,联立2230,4,x y y x -=⎧⎨-=⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22A ⎛-- ⎝⎭,22B ⎛ ⎝⎭.所以AB ==APBC数学(理工类) 第10页(共6页)三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解 析式;(2)将()y f x =图像上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图像. 若()y g x =图像的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=, 解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.数学(理工类) 第11页(共6页)(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)当1d >时,记nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n T . 解:(1)由题意有,111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n na nb -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩(2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是 2341357921122222n n n T --=++++++ , ① 2345113579212222222n n n T -=++++++ . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- , 故n T 12362n n -+=-. 19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于 点F ,连接,,,.DE DF BD BE(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体D BEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3, 求DCBC的值.数学(理工类) 第12页(共6页)解:(解法1)(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D = ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥.而PC BC C = ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E = ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥.又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ,所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角, 设1PD DC ==,BC λ=,有BD 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则πtantan 3BD DPF PD=∠==解得λ=所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC = 第19题图数学(理工类) 第13页(共6页)解答图2解答图1(解法2)(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE = , 于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥,而DE EF E = ,所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅= , 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,.(2)由PD ABCD⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD所成二面角的大小为π3,则π1cos 32||||BP DPBP DP ⋅===⋅, 解得λ=所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC = 20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品数学(理工类) 第14页(共6页)的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 解:(Ⅰ)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ ① 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=. 当18W =时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,解答图1 解答图2解答图3数学(理工类) 第15页(共6页)3311(1)10.30.973.p p =--=-=当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若解:(1)设点(,0)(||2)Dt t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN = ,且||||1DN ON ==,图1图2解答图数学(理工类) 第16页(共6页)所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=(2)1)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.2)当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =|||P Q PQ x x -,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合1)2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;数学(理工类) 第17页(共6页)(2)计算11b a ,1212b b a a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式,并给出证明; (3)令112()nn n c a a a = ,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明:e n n T S <. 解:(Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增; 当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e x x +<.令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n nnb b b n a a a =+ ②下面用数学归纳法证明②.1)当1n =时,左边=右边2=,②成立. 2)假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kkb b b k a a a =+ .当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++ .所以当1n k =+时,②也成立.根据1)2),可知②对一切正整数n 都成立. (3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++= 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++数学(理工类) 第18页(共6页)1212n b b b n <+++ 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S .即e n n T S <.。
2015年高考理科数学湖北卷-答案
【解析】由 a1, a2,, an R, n 3,运用柯西不等式,可得:
(a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2
)
(a1a2
a2a3
an-1an
)2
,若
a1,
a2 ,,
an
成等比数列,即有
a2 a1
a3 a2
an an1
,则 (a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2 ) (a1a2
但当 t 5 时,无法找到实数 t 使其在区间[1,2) I [ 2,3) I [3 3, 3 4) I [4 4, 4 5) I [5 5, 5 6) 上,正整数 n 的最
大值 4. 【提示】由新定义可得 t 的范围,验证可得最大的正整数 n 为 4. 【考点】进行简单的演绎推理
第Ⅱ卷
二、填空题 (一)必考题 11.【答案】9
a2a3 an-1an )2 ,即由 p 推
得 q,但由 q 推不到 p,比如 a1 a2 a3 an 0 ,则 a1, a2,, an 不成等比数列,故 p 是 q 的充分不
必要条件.
【提示】运用柯西不等式,可得
(a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2 )
(a1a2
a2a3
an-1an
y
g
(
x)
的图象关于点
5π 12
,
0
成中心对称,
令 kπ π 5π ,解得 kπ π , k Z .
2 12 12
23
由 0 可知,当 k 1 时,θ 取得最小值 π . 6
【提示】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A 5 , 2, , π ,从而可补全数据,解得函数表达式为 6
2015年湖北省高考数学试卷(文科)
2015年湖北省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(3分)i为虚数单位,i607=()A.﹣i B.i C.1 D.﹣12.(3分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(3分)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx=x﹣1”的否定是()A.∃x0∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 B.∃x∉(0,+∞),lnx=x﹣1C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.∀x∉(0,+∞),lnx=x﹣14.(3分)已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1,变量y与z正相关,下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关5.(3分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(3分)函数f(x)=+lg的定义域为()A.(2,3)B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(﹣1,3)∪(3,6]7.(3分)设x∈R,定义符号函数sgnx=,则()A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx8.(3分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则()A.p1<p2<B.C.p2<D.9.(3分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e210.(3分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30二、填空题11.(3分)已知向量⊥,||=3,则•= .12.(3分)设变量x,y满足约束条件,则3x+y的最大值为.13.(3分)f(x)=2sin xsin(x+)﹣x2的零点个数为.14.(3分)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a= .(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.15.(3分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.16.(3分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为.17.(3分)a为实数,函数f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.三、解答题18.(12分)某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|<)在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:(1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.19.(12分)设等差数列{an }的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an },{bn}的通项公式(2)当d>1时,记cn =,求数列{cn}的前n项和Tn.20.(13分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马P﹣ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.21.(14分)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=e x,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x)>0,g(x)>1;(2)设a≤0,b≥1,证明:当x>0时,ag(x)+(1﹣a)<<bg(x)+(1﹣b).22.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.2015年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2015年高考湖北理科数学试卷(含解析)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位,607i =( ) A .i B .-i C .1 D .-1 【答案】A 【解析】试题分析:i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B . 考点:复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) A .134石 B .169石 C .338石 D .1365石 【答案】B 【解析】试题分析:依题意,这批米内夹谷约为169153425428=⨯石,选B. 考点:用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.122B .112 C .102 D .92 【答案】D考点:1.二项式系数,2.二项式系数和. 4.设211(,)XN μσ,222(,)YN μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点:正态分布密度曲线. 5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++,则( )A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:对命题p :12,,,n a a a 成等比数列,则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ; 对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立; ②当≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a 成等比数列, 所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.考点:1.等比数列的判定,2.柯西不等式,3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析:因为()f x 是R 上的增函数,令x x f =)(,所以x a x g )1()(-=,因为1>a ,所以)(x g 是R 上的减函数,由符号函数1,0s g n 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0s g n [()]0,0s g n1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩. 考点:1.符号函数,2.函数的单调性.7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则 ( ) A .123p p p << B .231p p p << C .312p p p <<D .321p p p <<【答案】B(1) (2) (3) 考点:几何概型.8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( ) A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D考点:1.双曲线的性质,2.离心率.9.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )A .77B .49C .45D .30 【答案】C 【解析】试题分析:因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点(除去四个顶点),即45477=-⨯个.考点:1.集合的相关知识,2.新定义题型.10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n = 同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) A .3 B .4 C .5 D .6 【答案】B考点:1.函数的值域,2.不等式的性质.二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11—14题)11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ∙=. 【答案】9 【解析】试题分析:因为OA AB ⊥,||3OA =,所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙. 考点:1.平面向量的加法法则,2.向量垂直,3.向量的模与数量积. 12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为.【答案】2考点:1.二倍角的正弦、余弦公式,2.诱导公式,3.函数的零点.13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析:依题意, 30=∠BAC , 105=∠ABC ,在ABC ∆中,由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ,所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=,即230=BC m , 在BCD Rt ∆中,因为 30=∠CBD ,2300=BC ,所以230030tan CD BC CD ==,所以6100=CD m.考点:1.三角形三内角和定理,2.三角函数的定义,3.有关测量中的的几个术语,4.正弦定理.14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方), 且2AB =.(Ⅰ)圆C 的标准..方程为; (Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论:①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是. (写出所有正确结论的序号)【答案】(Ⅰ)22(1)(2x y -+=;(Ⅱ)①②③所以11)2NB MA NAMB-==-=,11NB MA NAMB+===正确结论的序号是①②③.考点:1.圆的标准方程,2.直线与圆的位置关系.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=.【答案】21考点:1.圆的切线、割线,2.切割线定理,3.三角形相似. 16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l与C 相交于A ,B 两点,则||AB =. 【答案】52考点:1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化,2.两点间的距离.三、解答题:本大题共5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年高考理科数学湖北卷(含答案解析)
数学试卷 第1页(共24页)数学试卷 第2页(共24页)数学试卷 第3页(共24页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为( )A .iB .i -C .1D .1-2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A .134石B .169石C .338石D .1 365石3.已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A .122B .112C .102D .924.设211(,)X N μσ~,222(,)Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ( )A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :222121()n a a a -+++22(a +222312231)()n n n a a a a a a a a -++=+++,则( )A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( )A .123p p p <<B .231p p p <<C .312p p p <<D .321p p p <<8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >9.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤,{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 ( ) A .77B .49C .45D .30 10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是( )A .3B .4C .5D .6 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. (一)必考题(11~14题)11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB =___________. 12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22xf x x x x =---+的零点个数为___________. 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =___________m .14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准方程为___________;(2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①||||||||NA MA NB NB =; ②||||2||||NB MA NA MB -=;③||||||||NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是___________(写出所有正确结论的序号). -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共24页)数学试卷 第5页(共24页)数学试卷 第6页(共24页)(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果记分) 15.(选修4—1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=___________. 16.(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1,x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l与C 相交于A ,B 两点,则||AB =___________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,DE DF BD BE . (Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由; (Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求Z 的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,MN 3=.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n +与e 的大小; (Ⅱ)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.数学试卷 第7页(共24页)数学试卷 第8页(共24页)数学试卷 第9页(共24页)2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】60760433i i i i +===-,它的共轭复数为i . 【提示】直接利用复数的单位的幂运算求解即可. 【考点】虚数单位i 及其性质 2.【答案】B【解析】由题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石. 【提示】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论. 【考点】随机抽样,样本估计总体的实际应用 3.【答案】D【解析】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得37nnC C =,可得3710n =+=,10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=.【提示】直接利用二项式定理求出n ,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可. 【考点】二项式定理,二项式系数的性质 4.【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤.【提示】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 5.【答案】A【解析】由12,,,,3n a a a n ⋯∈≥R ,运用柯西不等式,可得:222222212-1231223-1()()()n n n n a a a a a a a a a a a a ++⋯+++⋯+≥++⋯+,若12,,,na a a ⋯成等比数列,即有32121n n a a a a a a -==⋯=,则22222212-1231223-1()()()nnn n a a a aaa a a a a a a ++⋯+++⋯+=++⋯+,即由p 推得q ,但由q 推不到p ,比如1230n a a a a ===⋯==,则12,,,n a a a ⋯不成等比数列,故p 是q 的充分不必要条件.【提示】运用柯西不等式,可得22222212-1231223-1()()()nn nn a a a aaa a a a a a a++⋯+++⋯+≥++⋯+,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到. 【考点】等比数列的性质 6.【答案】B【解析】由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,令()f x x =,2a =,则()()()g x f x f a x x=-=-,sgn[()]sgn()g x x =-,所以A 不正确,B 正确,sgn[()]sgn()f x x =,C 不正确;D 正确;对于D ,令()1f x x =+,2a =, 则()()()g x f x f ax x=-=-,1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x >⎧⎪=+==-⎨⎪-<-⎩;1,0sgn[()]sgn()0,01,0x g x x x x >⎧⎪=-==⎨⎪-<⎩,1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x ->-⎧⎪-=+==-⎨⎪<-⎩;所以D 不正确;故选B .【提示】直接利用特殊法,设出函数()f x ,以及a 的值,判断选项即可.【考点】函数与方程的综合运用 7.【答案】B【解析】分别作出事件对应的图象如图(阴影部分).P 1:10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,(0,1)A ,(1,1)B ,(1,0)C ,则阴影部分的面积11111711122288S =⨯-⨯⨯=-=,211113112122243S =⨯-⨯⨯⨯=-=, 31111121ln 212222S dx x =⨯+=+⎰,231S S S ∴<<,即231p p p <<.【提示】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可. 【考点】几何概型 8.【答案】D【解析】由题意,双曲线C 1:222c a b =+,1ce a =;双曲线C 2:222()()c a m b m '=+++,2e =,222222122()(2)()b b m abm bm am e e a a a m +++∴-=-+,∴当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >.【提示】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.【考点】双曲线的简单性质 9.【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有5个元素,即图中圆中的整点,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,中有5525⨯=个元素,即图中正方形ABCD 中的整点,12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个.数学试卷 第10页(共24页)数学试卷 第11页(共24页)数学试卷 第12页(共24页)【提示】分别求出集合A 与集合B 的解集,将其在坐标系中标出,即可求. 【考点】集合中元素个数的最值 10.【答案】B【解析】若[]1t =,则[1,2)t ∈,若2[]2t =,则t ∈(因为题目需要同时成立,则负区间舍去),若3[]3t =,则t ∈,若4[]4t =,则t ∈,若5[]5t =,则t ∈,1.732≈1.587≈1.4951.431 1.495≈<; 通过上述可以发现,当4t =时,可以找到实数t使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,但当5t =时,无法找到实数t 使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,∴正整数n 的最大值4.【提示】由新定义可得t 的范围,验证可得最大的正整数n 为4. 【考点】进行简单的演绎推理第Ⅱ卷二、填空题 (一)必考题 11.【答案】9【解析】由OA AB ⊥uu r uu u r ,得0O A A B =u u r u uur g ,即()0O A O B O A -=uu r uu u r uu r g ,3OA =uu rQ ,2||9OA AB OA ∴==u u r u u u r u u r g .【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【考点】平面向量数量积的运算 12.【答案】2【解析】函数()f x 的定义域为{|1}x x >-.22π()4cos cos 2sin |ln(1)|2sin 2cos 1|ln(1)|sin 2|ln(1)|222x x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,分别画出函数sin 2y x =,|ln(1)|y x =+的图象,由函数的图象可知,交点个数为2,所以函数的零点有2个.【提示】利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.【考点】根的存在性及根的个数判断 13.【答案】【解析】设此山高h (m ),则BC =,在ABC △中,30BAC ∠=,105CBA ∠=,45BCA ∠=,600AB =,根据正弦定理得600sin 30sin 45=,解得h =m ). 【提示】设此山高h (m ),在BCD △中,利用仰角的正切表示出BC ,进而在ABC △中利用正弦定理求得h .【考点】解三角形的实际应用 14.【答案】(1)22(1)(2x y -+= (2)①②③【解析】解:(1)Q 圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,∴圆心的横坐标1x =,取AB 的中点E ,||2AB =Q ,||1BE ∴=,则||BC=,即圆的半径||rBC ==∴圆心C ,则圆的标准方程为22(1)(2x y -+=.(2)Q 圆心C,E ∴,又||2AB =Q,且E 为AB 中点,1)A ∴,1)B ,Q M 、N 在圆O :221x y +=上,∴可设(cos ,sin )M αα,(cos ,sin )N ββ, ||NA ∴=====||NB====||1||NA NB∴===, 同理可得||1||MA MB =,||||||||NA MA NB MB ∴=,①成立; ||||1)2||||NB NA NA NB-==,②正确; ||||1)||||NB MA NA MB +==,③正确.【提示】(1)取AB 的中点E ,通过圆C 与x 轴相切于点T ,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;(2)设(cos ,sin )M αα,(cos ,sin )N ββ,计算出||||MA MB 、||||NA NB、||||NB NA 的值即可. 【考点】命题的真假判断与应用,圆与圆的位置关系及其判定 (二)选考题 15.【答案】12数学试卷 第13页(共24页)数学试卷 第14页(共24页)数学试卷 第15页(共24页)【解析】由切割线定理可知2PA PB PC =g ,又3BC PB =,可得2PA PB =,在PAB △与PAC △中,P P ∠=∠,PAB PCA ∠=∠(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得PAB PCA△∽△, 122AB PB PB AC PA PB ∴===.【提示】利用切割线定理推出2PA PB =,利用相似三角形求出比值即可. 【考点】与圆有关的比例线段 16.【答案】【解析】由(sin 3cos )0ρθθ-=,得30y x -=,由C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),两式平方作差得224x y -=-.联立2234y x x y =⎧⎨-=-⎩,得212x =,即2x =±,22A ⎛∴ ⎝⎭,,22B ⎛-- ⎝⎭,||AB ∴==.【提示】化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化为普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式可得答案. 【考点】简单曲线的极坐标方程,双曲线的参数方程 三、解答题 17.【答案】(Ⅰ)π127π12 13π12π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(Ⅱ)π6【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得5A =,2,ω=,π6ϕ=-,数据补全如下表:且函数表达式为()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)由(Ⅰ)知π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z ,令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z , 由于函数()y g x =的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称, 令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【提示】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得5A =,2,ω=,π6ϕ=-,从而可补全数据,解得函数表达式为π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(Ⅱ)由(Ⅰ)及函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z ,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z ,由0θ>可得解.【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换18.【答案】(Ⅰ)21n a n =-,12n n b -=或1(279)9n a n =+,1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g (Ⅱ)12362n n n T -+=-【解析】(Ⅰ)设1a a =,由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩,解得12a d =⎧⎨=⎩,或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,当12a d =⎧⎨=⎩时,21n a n =-,12n nb -=; 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时,1(279)9n a n =+,1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g .(Ⅱ)当1d >时,由(Ⅰ)知21n a n =-,12n n b -=,1212n n n n a n c b --∴==, 23411111113579(21)22222n n T n -∴=++++++-g g g g L g ,234111*********(23)(21)2222222n n n T n n -∴=+++++-+-g g g g L g g 23421111111232(21)322222222n n n n n T n -+=++++++--=-L g 12362n n n T -+∴=-.【提示】(Ⅰ)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;(Ⅱ)当1d >时,由(Ⅰ)知1212nn n c --=,写出n T 、12n T 的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可. 【考点】数列的求和 19.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)DC BC =【解析】解法一:(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC ⊥平面PCD , 而DE ⊂平面PDC ,所以BC DE ⊥.又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥, 而PC CB C =I ,所以DE ⊥平面PBC ,而PB ⊂平面PBC ,所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥,DE FE E =I ,所以PB ⊥平面DEF .数学试卷 第16页(共24页)数学试卷 第17页(共24页) 数学试卷 第18页(共24页)由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB ∠,DEF ∠,EFB ∠,DFB ∠. (Ⅱ)如图,在面BPC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则D G 是平面DEF 与平面ACBD 的交线.由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥, 而PD PB P =I ,所以DG ⊥平面PBD , 所以DG DF ⊥,DG DB ⊥.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角, 设1PD DC ==,BC λ=,有BD =在Rt PDB △中,由DF PB ⊥,得π3DPF FDB ∠=∠=,则πtan tan 3BDDPF PD=∠===解得λ=1DC BC λ=, 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =解法二:(Ⅰ)以D 为原点,射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0)D ,(0,0,1)P ,(,1,0)B λ,(0,1,0)C ,(,1,1)PB λ=-uu r,点E 是PC 的中点,所以110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuur ,于是0PB DE =uu r uuu rg ,即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥,而ED EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF , 因(0,1,1)PC =-uu u r ,0DE PC =uuu r uu u rg ,则DE PC ⊥,所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB ∠,DEF ∠,EFB ∠,DFB ∠.(Ⅱ)由PD ⊥底面ABCD ,所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则运用向量的数量积求解得出π1cos 32==,解得λ=12DC BC λ==, 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =【提示】解法一:(Ⅰ)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB EF ⊥,DE FE E =I ,所以PB ⊥平面DEF ,即可判断DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,确定直角;(Ⅱ)根据公理2得出DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线,利用直线平面的垂直判断出DG DF ⊥,DG DB ⊥,根据平面角的定义得出BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.解法二:(Ⅰ)以D 为原点,射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可;(Ⅱ)由PD ⊥底面ABCD ,所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量,根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【考点】用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定 20.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)0.973【解析】(Ⅰ)设每天A ,B 两种产品的生产数量分别为x ,y ,相应的获利为Z ,则有2 1.51.512200,0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩①,如图1,目标函数为10001200Z x y =+.当12W =时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0,0)A ,(2.4,4.8)B ,(6,0)C ,将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当 2.4x =, 4.8y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z Z ==⨯+⨯=; 当15W =时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0,0)A ,(3,6)B ,(7.5,0)C , 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当3x =,6y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z Z ==⨯+⨯=; 当18W =时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0,0)A ,(3,6)B ,(6,4)C ,(9,0)D , 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当6x =,4y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z Z ==⨯+⨯=.因此,()81600.3102000.5108000.29708E Z =⨯+⨯+⨯=.数学试卷 第19页(共24页)数学试卷 第20页(共24页)数学试卷 第21页(共24页)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7P P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为311(1)0.973P P =--=.【提示】(Ⅰ)设每天A ,B 两种产品的生产数量分别为x ,y ,相应的获利为z ,列出可行域,目标函数,通过当12W =时,当15W =时,当18W =时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z 的分布列,求出期望即可;(Ⅱ)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可. 【考点】简单线性规划的应用,离散型随机变量的期望与方差21.【答案】(Ⅰ)221164x y += (Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)设(,0)(||2)D t t ≤,00(,)N x y ,(,)M x y ,由题意得2MD DN =uuu r uuu r,且||||1DN ON ==uuu r uuu r ,00(,)2(,)t x y x t y ∴--=-,且22002200()11x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩,即00222t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩,且0(2)0t t x -=, 由于当点D 不动时,点N 也不动,∴t 不恒等于0,于是02t x =,故04x x =,02yy =-, 代入2201x y +=,得方程221164x y +=.(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率k 不存在时,直线l 为:4x =或4x =-,都有14482OPQ S =⨯⨯=△, (2)直线l 的斜率k 存在时,直线l 为:12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭,由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=, 直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,2222644(14)(416)0k m k m ∴∆=-+-=,即22164m k =+①. 由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩,可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭,同理得2,1212mm Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 原点O 到直线PQ的距离d =和|||P Q PQ x x -, 可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ==-=+=-+-△②. 将①代入②得222224181441OPQm k S k k +==--△, 当214k >时,22241288184141OPQ k S k k ⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△, 当2104k ≤<时,22222414128881414114OPQ k k S k k k ⎛⎫++⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭△, 2104k ≤<时,20141k ∴<-≤,22214k ≥-, 2281814OPQS k ⎛⎫∴=-+≥ ⎪-⎝⎭△,当且仅当0k =时取等号,0k ∴=时,OPQ S △的最小值为8.综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,三角形OPQ 的面积存在最小值为8. 【提示】(Ⅰ)根据条件求出a ,b 即可求椭圆C 的方程;(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程22.【答案】(Ⅰ)()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ (Ⅱ)见解析 (Ⅲ)见解析【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-, 当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增, 当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减,故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e x x +<,令1x n =,得111e n n +<,即11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①(Ⅱ)1111111121b a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭g ;222121212121221(21)32b b b b a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ;32331233121231231331(31)43b b b b b b a a a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ; 由此推测:1212(1)n nnb b b n a a a =+L L ② 下面用数学归纳法证明②,(1)当1n =时,2==左边右边,②成立.(2)假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+L L , 当1n k =+时,1111(1)11k k k b k a k +++⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭,由归纳假设可得111211211211211(1)(1)1(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++⎛⎫==+++=+ ⎪+⎝⎭L L g L L∴当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(Ⅲ)证明:由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得数学试卷 第22页(共24页) 数学试卷 第23页(共24页) 数学试卷 第24页(共24页)111131212311212312()()()()nn n n T c c c c a a a a a a a a a =++++=++++11113121231212312112112()()()()2341122334(1)nn n b b b b b b b b bb b b b b b b b b n n n ++++++=++++≤+++++⨯⨯⨯+L L L L1211111111223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=+++++++++⎢⎥⎢⎥⨯⨯+⨯⨯++⎣⎦⎣⎦L L L g 1212111111121112n n b b b b b b n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121212111111e e e 12nn n a a a a a a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L即e n n T S <.【提示】(Ⅰ)求出()f x 的定义域,利用导数求其最大值,得到1e x x +<,取1x n=即可得到答案;(Ⅱ)由11()nn n b n a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ,变形求得11b a ,1212b b a a ,123123b b b a a a ,由此推测1212(1)n nnb b b n a a a =+,然后利用数学归纳法证明;(Ⅲ)由n c 的定义、1212(1)n n n b b b n a a a =+、算术-几何平均不等式、n b 的定义及11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,利用放缩法证得e n n T S <. 【考点】数列与不等式的综合。
2015年高考理科数学湖北卷-答案
(Ⅱ)根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线,利用直线平面的垂直判断出 , ,根据平面角的定义得出 是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.
【考点】简单曲线的极坐标方程,双曲线的参数方程
三、解答题
17.【答案】(Ⅰ)0(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 , , ,数据补全如下表:
0
x
0
5
0
0
且函数表达式为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,得 ,
因为 的对称中心为 , ,
令 ,解得 , ,
由于函数 的图象关于点 成中心对称,
令 ,解得 , .
由底面ABCD为长方形,有 ,而 ,所以 平面PCD,
而 平面PDC,所以 .
又因为 ,点E是PC的中点,所以 ,
而 ,所以 平面PBC,
而 平面PBC,所以 .
又 , ,所以 平面DEF.
由 平面PBC, 平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 , , , .
【考点】随机抽样,样本估计总体的实际应用
3.【答案】D
【解析】已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得 ,可得 , 的展开式中奇数项的二项式系数和为 .
【提示】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.
【考点】二项式定理,二项式系数的性质
4.【答案】C
【解析】正态分布密度曲线图象关于 对称,所以 ,从图中容易得到 .
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【年,理1,5分】i 为虚数单位,607i的共轭复数....为( )(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查. (2)【2015年,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为( )(A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .(3)【2015年,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式)(A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .以及计算能力.(4)【2015年,理4,5分】设211(,)X N μσ:,222(,)Y N μσ:,这两个正态分布密 (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键(5)【2015年,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥.若p :12,,,n a a a L 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( )(A q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列,则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠; 对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立;②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a L 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 (6)【2015年,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】【解析】依题意,22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .(9)【2015年,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( ) (A )77 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .复的元素.(10)【2015年,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上...........答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题) (11)【2015年,理11,5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ,||3OA =u u u r ,则OA OB ⋅=u u u r u u u r .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ,3OA =u u u r ,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(12)【2015年,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点, 所以函数()f x 由2个零点.(13)【2015年,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处D 在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶 在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .【答案】1006【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD CDBC ︒==,所以1006CD =m .(14)【2015年,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =Q ,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M Q ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+, ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______. 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. (16)【2015年,理16,5分】(选修4-4O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 础的计算题.三、解答题:共6题,共75(17)【2015年,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解析式; (2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表:x ωϕ+ 0 π2π3π2 2πxπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 05-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律(18)【2015年,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. (19)【2015年,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =I ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =I ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC ,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD PB P =I ,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ, (,1,1)PB λ=-u u u r ,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =u u u r ,于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =I ,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r , 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.W 12 15 18 P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个(1)求Z 的分布列和均值;解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0.3 0.5 0.2 因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.问题解决问题的能力.(21)【2015年,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN D 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =u u u u r u u u r,且||||1DN ON ==u u u r u u u r ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += (2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m mQ k k -++. 由原点O 到直线PQ 的距离为2||1m d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(((解:(1①(2②(3运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
2015年湖北省高考数学试卷(文科)
2015年湖北省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(3分)i为虚数单位,i607=()A.﹣i B.i C.1 D.﹣12.(3分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(3分)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx=x﹣1”的否定是()A.∃x0∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 B.∃x∉(0,+∞),lnx=x﹣1C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.∀x∉(0,+∞),lnx=x﹣14.(3分)已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1,变量y与z正相关,下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关5.(3分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(3分)函数f(x)=+lg的定义域为()A.(2,3)B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(﹣1,3)∪(3,6] 7.(3分)设x∈R,定义符号函数sgnx=,则()A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx8.(3分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则()A.p1<p2<B.C.p2<D.9.(3分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e210.(3分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30二、填空题11.(3分)已知向量⊥,||=3,则•= .12.(3分)设变量x,y满足约束条件,则3x+y的最大值为.13.(3分)f(x)=2sin xsin(x+)﹣x2的零点个数为.14.(3分)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a= .(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.15.(3分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.16.(3分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为.17.(3分)a为实数,函数f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.三、解答题18.(12分)某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|<)在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.19.(12分)设等差数列{an }的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an },{bn}的通项公式(2)当d>1时,记cn =,求数列{cn}的前n项和Tn.20.(13分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马P﹣ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.21.(14分)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=e x,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x)>0,g(x)>1;(2)设a≤0,b≥1,证明:当x>0时,ag(x)+(1﹣a)<<bg(x)+(1﹣b).22.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.2015年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)本试题卷共5页,22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i =A .i -B .iC .1-D .12.我国古代数学名着《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A .134石 B .169石 C .338石 D .1365石3.命题“0(0,)x ∃∈+∞,00ln 1x x =-”的否定是A .0(0,)x ∃∈+∞,00ln 1x x ≠-B .0(0,)x ∃∉+∞,00ln 1x x =-C .(0,)x ∀∈+∞,ln 1x x ≠-D .(0,)x ∀∉+∞,ln 1x x =-4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A .x 与y 负相关,x 与z 负相关 B .x 与y 正相关,x 与z 正相关 C .x 与y 正相关,x 与z 负相关D .x 与y 负相关,x 与z 正相关5.12,l l 表示空间中的两条直线,若p :12,l l 是异面直线;q :12,l l 不相交,则A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为A .(2,3)B .(2,4]C .(2,3)(3,4]UD .(1,3)(3,6]-U7.设x ∈R ,定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A .|||sgn |x x x = B .||sgn ||x x x = C .||||sgn x x x =D .||sgn x x x =8. 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≤”的概率,2p 为事件“12xy ≤”的概率,则A .1212p p <<B .1212p p << C .2112p p <<D .2112p p << 9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 A .对任意的,a b ,12e e > B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 A .77B .49C .45D .30二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位 置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r,||3OA =u u u r ,则OA OB ⋅=u u u r u u u r _________.12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________.13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额 (单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中的a =_________;(Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北CD =_________m.16.如图,已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半 轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且2AB =. (Ⅰ)圆C 的标准..方程为_________; (Ⅱ)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17. a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时,()g a 的值最小.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象 时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解 析式;第16题图第14题图AB(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度,得到()y g x =图象,求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 19.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)当1d >时,记nn na cb =,求数列{}nc 的前n 项和n T . 20.(本小题满分13分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,点E 是PC 的 中点,连接,,DE BD BE .(Ⅰ)证明:DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需 写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马P ABCD -的体积为1V ,四面体EBCD 的体积为2V ,求12V V 的值. 第20题图21.(本小题满分14分)设函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,()()e x f x g x +=,其中e 为自然对数的底数.(Ⅰ)求()f x ,()g x 的解析式,并证明:当0x >时,()0f x >,()1g x >;(Ⅱ)设0a ≤,1b ≥,证明:当0x >时,()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22.(本小题满分14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)11.9 12.10 13.2 14.(Ⅰ)3;(Ⅱ)6000第22题图1第22题图215. 16.(Ⅰ)22(1)(2x y -+-=;(Ⅱ)1-.2三、解答题(本大题共5小题,共65分)18.(12分)(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知π()5sin(2)6f x x =-,因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π2π6x k +=,解得ππ212k x =-,k ∈Z . 即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -(,),k ∈Z ,其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 19.(12分)(Ⅰ)由题意有,111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩(Ⅱ)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是 2341357921122222n n n T --=++++++L , ① 2345113579212222222n n n T -=++++++L . ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-L , 故n T 12362n n -+=-. 20.(13分)(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =I , 所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =I ,所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ,DE ⊥平面PBC ,可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠ (Ⅱ)由已知,PD 是阳马P ABCD -的高,所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅;由(Ⅰ)知,DE 是鳖臑D BCE -的高, BC CE ⊥, 所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅. 在Rt △PDC 中,因为PD CD =,点E 是PC的中点,所以DE CE ==, 于是12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 21.(14分)(Ⅰ)由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-,1()(e e )2x x g x -=+. 当0x >时,e 1x >,0e 1x -<<,故()0.f x > ③又由基本不等式,有1()(e e )12xx g x -=+=,即() 1.g x > ④ (Ⅱ)由(Ⅰ)得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=, ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=, ⑥当0x >时,()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-, ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---,由⑤⑥,有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时,(1)若0c ≤,由③④,得()0h x '>,故()h x 在[0,)+∞上为增函数,从而()(0)0h x h >=,即()()(1)f x cxg x c x >+-,故⑦成立.(2)若1c ≥,由③④,得()0h x '<,故()h x 在[0,)+∞上为减函数,从而()(0)0h x h <=,即()()(1)f x cxg x c x <+-,故⑧成立.综合⑦⑧,得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22.(14分)(Ⅰ)因为||||||314OM MN NO ≤+=+=,当,M N 在x 轴上时,等号成立;同理||||||312OM MN NO ≥-=-=,当,D O 重合,即MN x ⊥轴时,等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O ,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为221.164x y +=(Ⅱ)(1)当直线l14482OPQ S ∆=⨯⨯=. (2)当直线l 第22题解答图由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x -,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.。