高中数学 选修2-1同步练习 专题2.1 曲线与方程(解析版)

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 曲线与方程

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是 A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确 【答案】C

【解析】曲线C 可能只是方程f (x ，y )＝0所表示的曲线上的某一小段，因此C 正确．故选C ． 2．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是

【答案】B

【解析】由x ＋|y －1|＝0，可知x ≤0，故选B ．

3．如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |4

5

=|PD |，当P 在圆上运动时，则点M 的轨迹C 的方程是

A ．22

12516x y +=

B ．2211625x y +=

C ．22

12516

x y -=

D ．22

11625

x y -=

【答案】A

【解析】设(,)M x y ，则5(,)4P x y ，所以222

25()25142516

y x y x +=⇒+=，故选A ．

4．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足||2||AC BC =，则点C 的轨迹方程为

A ．22610x y x +++＝

B ．22610x y x +-+＝

C ．2

2

10

103x y x +-+=

D ．2

2

10

103

x y x ++

+= 【答案】B

【解析】设点C (x ，y )，则由题得(x ＋1)2＋y 2＝2[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0．故选B ． 5．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点

D ．四个点

【答案】B

【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．故选B ． 6．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是 A ．两个点

B ．四个点

C ．两条直线

D ．四条直线

【答案】B

7．方程22(22)10x y x y -++-=表示的曲线是 A ．一个点与一条直线 B ．两条射线与一个圆

C ．两个点

D ．两个点、一条直线与一个圆

【答案】B

【解析】原方程等价于2

2

10x y +-=，即x 2＋y 2

＝1，或22

220

10x y x y -+=⎧⎨+-≥⎩

，故选B ． 8．已知log 2x ，log 2y ，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹大致为

【答案】A

【解析】由log 2x ，log 2y ，2成等差数列，可得222log log 2y x =+，

即22222log log log 4log 4y x x =+=，所以2

4y x =(x ＞0，y ＞0)，故选A ．

9．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是 A ．y x =与2y x =

B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0

C ．1

y x

=

与1xy =

D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x

【答案】C

10．方程22693940x xy y x y ++++-=表示的图形是

A ．两条重合的直线

B ．两条互相平行的直线

C ．两条相交的直线

D ．两条互相垂直的直线

【答案】B

【解析】方程可化为()()34310x y x y +++-=，即340x y ++=或31x y +-0=，所以原方程表示的图形是直线340x y ++=和310x y +-=，这是两条互相平行的直线．故选B ． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．

11．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程为

________________． 【答案】240x y +-=

【解析】根据4OP OA ⋅=，可得(x ，y )·

(1，2)＝4，即x ＋2y ＝4．故填240x y +-=．

12．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是________________．

【答案】1)0(y x =≤-

【解析】由题意可知，|AB |＝2，则点M 的轨迹方程为射线1)0(y x =≤-．

13．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：

2

215

x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足

5NP NM =，则点P 的轨迹方程为________________．

【答案】2

2

5x y +=

14．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是________________．

【答案】x ＋2y ＋1＝0(1x ≠)

【解析】由题意可知另一顶点A 在边BC 的垂直平分线上，BC 的中点为(1，－1)，边BC 所在直线的斜率13220BC k +=-=

，∴边BC 的垂直平分线的斜率k ＝12-，垂直平分线的方程为y ＋1＝1

2

-(x －1)，即x ＋2y ＋1＝0．又顶点A 不在边BC 上，∴1x ≠，故顶点A 的轨迹方程是x ＋2y ＋1＝0(1x ≠)． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知A 、B 分别是直线3y x =

和3

y x =上的两个动点，线段AB 的长为23P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．

【答案】2

219

x y +=．

【解析】设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

∵P 是线段AB 的中点，∴121

22

2

x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．