高中数学选修2-1同步练习专题2.1 曲线与方程(解析版)

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高中数学 2.1.1曲线与方程精品同步导学新人教A版选修2-1

1．方程 1－|x|＝ 1－y表示的曲线是( ) A．两条线段 B．两条直线 C．两条射线 D．一条射线和一条线段
• 解析：此类问题要充分考虑题目的条件．由已知得1－|x| ＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0. • ∴有y＝|x|，|x|≤1. • ∴曲线表示两条线段，故选A. • 答案： A
1.已知方程 x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 Mm2 ，－m在此方程表示的曲线上，求 m 的值．
解析： (1)∵12＋(－2－1)2＝10， ( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上．
• 4．画方程|x|＋|y|＝1表示的曲线． • 解析： ①当x≥0，y≥0时，x＋y＝1. • 令x＝0，y＝1；令y＝0，x＝1. • ②用－x代替x，得|－x|＋|y|＝|x|＋|y|＝1， • 所以曲线关于y轴对称．
• ③用－y代替y，得|－y|＋|x|＝|y|＋|x|＝1， • 所以曲线关于x轴对称． • ④用－x，－y分别代替x，y，得|－x|＋|－y|＝|x|＋|y|＝1，所以曲线关于原点对称． • 故曲线的图象如图所示.
(2)∵点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，
∴x＝m2 ，y＝－m 适合上述方程，即m2 2＋(－m－1)2＝10，解之得 m＝2 或 m＝－158， ∴m 的值为 2 或－158.
(1)方程(x＋y－1) x－1＝0 表示什么曲线？ (2)方程 2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 表示什么曲线？
C
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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课后训练新人教B版选修2-1

2.1 曲线与方程课后训练1．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线中点轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝12．“点M 在曲线y 2＝8x 上〞是点M 坐标满足方程=y －( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同交点，那么( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞)4．以下方程中表示一样曲线一对方程是( )A ．x =y ＝x 2B ．y ＝x 与=1x yC ．与y =D ．y ＝x 与x 2－y 2＝05．动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，那么点A (0，－1)与点P 连线中点轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋16．平面内与定点(－1,2)和直线3x ＋4y －5＝0距离相等点轨迹是__________．7．方程(x y +-所表示曲线是__________________．8．(1)方程(x －1)2＋(x 2＋y 2－1)2＝0表示图形为__________．(2)方程(x －1)2·(x 2＋y 2－1)2＝0表示图形为__________．9．点A (3,0)为圆x 2＋y 2＝1外一点，P 为圆上任意一点，假设AP 中点为M ，当P 在圆上运动时，求点M 轨迹方程．10．假设直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得线段长为m 值．参考答案1. 答案：C 设中点M (x ，y )，那么动点A (2x －3,2y )，∵动点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.2. 答案：B 曲线y 2＝8x ，即±y =M 在y =-曲线y 2＝8x 上．3. 答案：D 条件可转化为联立前方程组有两个不同解．4. 答案：C 选项A ，B 中两个x 取值范围不同；选项D 中后者为y ＝±x 与前者对应法那么不同，这些都决定了它们是不同曲线；而选项C 中两函数定义域与对应法那么都一样，是同一函数，故其图象一样．5. 答案：C 设AP 中点为(x ，y )，那么P (2x,2y ＋1)在2x 2－y ＝0上，即2(2x )2－(2y＋1)＝0，整理，得2y ＝8x 2－1.6. 答案：直线 ∵(－1,2)在直线3x ＋4y －5＝0上，∴轨迹是过定点(1,2)且垂直于3x ＋4y －5＝0直线．7. 答案：直线x ＝1或直线x ＋y －1＝0(x ≥1) 由方程(0x y +-=可得或即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.8. 答案：(1)点(1,0) (2)直线x －1＝0或圆x 2＋y 2－1＝0(1)∵(x －1)2＋(x 2＋y 2－1)2＝0，∴∴即方程图形表示点(1,0)．(2)∵(x －1)2·(x 2＋y 2－1)2＝0，∴x －1＝0或x 2＋y 2－1＝0，即方程图形表示直线x －1＝0或圆x 2＋y 2－1＝0.9. 答案：分析：设出点M 坐标为(x ，y )，点P 坐标为(x 0，y 0)，由题意可得∴再代入圆方程即可．解：由题意设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，那么∴又∵(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1，∴.10. 答案：分析：直线与曲线交于两点，可设出这两点坐标，然后灵活应用根与系数关系求解．解：设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立直线与曲线得将(2)代入(1)得x 2＋x －m ＝0，所以所以|AB12|x x -=＝，所以m 值为2.。

2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：2.1 曲线与方程含解析

第二章圆锥曲线与方程2。

1 曲线与方程课后篇巩固提升基础巩固1。

方程(2x-3）2+（y+2)2=0表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两条直线 C 。

一个点 D.两个点解析由已知得{2x -3=0,y +2=0,解得{x =32,y =-2,所以方程表示一个点(32,-2).答案C2.与点A （-1，0）和点B (1,0）连线的斜率之和为-1的动点P 的轨迹方程是（） A.x 2+y 2=3B 。

x 2+2xy=1（x ≠±1)C 。

y=√1-x 2 D.x 2+y 2=9(x ≠0）解析设P （x ，y ），因为k PA +k PB =—1,所以y -0x -(-1)+y -0x -1=—1,整理得x 2+2xy=1(x ≠±1)。

答案B3。

方程x —1=√1-(y -1)2表示的曲线是（） A.一个圆 B 。

两个半圆 C 。

两个圆D.半个圆解析∵方程x —1=√1-(y -1)2等价于(x —1）2+(y —1)2=1（x ≥1),∴表示的曲线是半个圆。

故选D.答案D4.“点M 在曲线y 2=4x 上"是点M 的坐标满足方程y=—2√x 的( )A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析点M 在曲线y 2=4x 上，其坐标不一定满足方程y=-2√x ,但当点M 的坐标满足方程y=-2√x 时,则点M 一定在曲线y 2=4x 上。

答案B5。

在直角坐标系中，方程｜x ｜y=1的曲线是( ）解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C.答案C6.已知点A(a,2）既是曲线y=mx2上的点，也是直线x-y=0上的一点,则m= ,a= .解析由题意知{2=ma2,a-2=0,.解得a=2，m=12答案1227.已知定点A（-2，0）,B(1,0),如果动点P满足|PA|=2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x，y）,由|PA｜=2|PB|得√(x+2)2+y2=2√(x-1)2+y2，整理得x2—4x+y2=0,即(x—2）2+y2=4.故点P的轨迹是以（2，0）为圆心,以2为半径的圆，S=πr2=4π.答案4π8.已知动点M（x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为。

高中数学选修2-1课时作业18：2.1.1 曲线与方程

§2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程基础过关1.方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为( )A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定[解析] 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线.[答案] B2.方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线 [解析] 由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线.故选C.[答案] C3.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( )A.(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15C.(1，5)D.(4，4)[解析] 点(4，4)适合方程y ＝x 且满足1≤x ≤5.[答案] D4.到点(－1，－2)的距离等于3的动点M 的轨迹方程是________.[解析] 轨迹是以(－1，－2)为圆心，3为半径的圆，故轨迹方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝9.[答案] (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝95.点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝__________.[解析] 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.[答案] 56.已知a ＝(x ，0)，b ＝(1，y )，且(a ＋3b )⊥(a －3b )，求点P (x ，y )的轨迹方程. 解由(a ＋3b )⊥(a －3b )得a 2－3b 2＝0，解得|a |＝3|b |，即|x |＝3·1＋y 2.∴x 2＝3(1＋y 2)，即所求轨迹方程为x 23－y 2＝1. 7.写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线.解由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1).能力提升8.方程x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所确定的曲线是( )A.y 轴或圆B.两点(0，1)与(0，－1)C.y 轴或直线y ＝±1D.以上都不正确 [解析] ∵x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0，∴x ＝0且x 2＋y 2－1＝0，∴它表示两点(0，1)和(0，－1).[答案] B9.下列命题正确的是( )A.方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B.△ABC 的顶点坐标分别为A (0，3)，B (－2，0)，C (2，0)，则中线AO 的方程是x ＝0C.到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D.曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0[解析] 对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有D 是正确的.[答案] D10.已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y ＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是__________.[解析] ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确.如点(－1，1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确.如点(0，0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y ＝1.[答案] ①11.设A ，B 两点的坐标分别是(－a ，0)，(a ，0)，若动点M 满足k MA ·k MB ＝－1，则动点M 的轨迹方程是________________.[解析] 设M (x ，y ).由k MA ·k MB ＝－1得y x ＋a ·y x －a＝－1(x ≠±a )，即x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a ). [答案] x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )12.已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程.解设点P (x ，y )，由M (－1，0)，N (1，0)，得PM→＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN→＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2，0).∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP→＝2(1－x ). ∴MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP→成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－1＝12[2（x ＋1）＋2（1－x ）]，2（1－x ）－2（x ＋1）<0，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0).13.(选做题)直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.解设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5，0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2，∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254. ∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分.解方程组⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16，得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <165.。

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。

高中数学人教A版选修2-1第二章2.1曲线与方程

2.1曲线与方程（2课时）
2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．
2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0) 的距离少2，求P点的轨迹．
1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线
这节课你学习了什么？
已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，

人教A版高中数学选修2-1习题课件：2.1 曲线与方程

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2.1 曲线与方程
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2.求曲线方程的常用方法剖析:(1)直接法:建立适当的平面直角坐标系后,设动点坐标为 (x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式. (2)定义法:若所给几何条件正好符合圆等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. (3)相关点法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得动点坐标(x,y)所满足的关系式, 从而确定曲线方程.
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2.1 曲线与方程
题型一
题型二
题型三
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反思本题一是要正确理解“不都在”的含义,二是要把握曲线与方程的关系.
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2.1 曲线与方程题型一Fra bibliotek题型二
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【变式训练1】判断下列命题的正误,并说明理由: (1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程为|x|=2; (2)到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x. 解:(1)不正确.过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程是x=2.直线l 上的点的坐标都是方程|x|=2的解,而以|x|=2的解为坐标的点不全在直线l上. (2)不正确.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是第一、第三象限的角平分线(y=x)和第二、第四象限的角平分线(y=-x).以方程y=x 的解为坐标的点都在到两坐标轴的距离相等的直线上,而到两坐标轴的距离相等的点的坐标不全是方程y=x的解.
【做一做2】曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标

人教版高中数学选修2-1《2.1.1曲线与方程》

定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程这条曲线C叫做这个方程的曲线
y
f（x，y）=0
0
x
说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形
六、课堂小结
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y) ＝0的解；（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.
2.曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把 “曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。 1. “曲线的方程”和“方程的曲线”的定义:
答案 D
2．下列选项中方程表示图中曲线的是 (
)．
解析对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B， x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0. 答案 C
3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是 ( )． A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x ＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C. 答案 C
4．(创新拓展)已知曲线C的方程为x＝ 4 y 2 ，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解由x＝ 4 y 2 ，得x2＋y2＝4. 又x≥0，∴方程x＝ 4 y 2 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆， 1 其面积S＝ π· 4＝2π. 2 所以所求图形的面积为2π.

苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________．答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什么曲线？解设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支．引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．答案 ③解析椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线．故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________．答案直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

人教A版选修2-1第二章第1课时同步练习§2.1.1 曲线与方程

§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在曲线C 上，那么（）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x,y ）=0B ．凡坐标不适合F （x,y ）=0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合F （x,y ）=0D ．不在C 上的点的坐标有些适合F （x,y ）=0，有些不适合F （x,y ）=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是（）A ．圆B ．直线C ．圆或直线D ．圆或两条射线3、到两定点A （0，0）、B （3、4）距离之和为5的点的轨迹是（）A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹4、如图所示，方程01=-+y x 表示的曲线是（）5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ，曲线2)2()3(22=-+-y x ，则点M （2，1）（）A ．在直线l 上，但不在曲线上B ．在直线l 上，也在曲线上C ．不在直线l 上，也不在曲线上D ．不在直线l 上，但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ，则有（）A ．方程0),(=y x F 表示的曲线是CB ．曲线C 的方程是0),(=y x FC ．点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD ．点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是（）A.．一个点 B ．四条直线 C ．正方形 D ．四个点9、如图所示，方程2x x y =表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是（）A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ，点A （3，0）、B （0，3），求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件（用m 的取值范围表示）。

高中数学选修2-1_单元测试：曲线与方程word版含答案

曲线与方程单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP ―→·QF ―→＝FP ―→·FQ ―→，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x 解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP ―→·QF ―→＝FP ―→·FQ ―→，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹方程为x 2＝4y .2．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分解析：选B x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．3．(2018·奉化期末)已知△ABC 中，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝9x 2＋12x ＋3 C ．y ＝3x 2＋4x ＋1 D ．y ＝3x 2＋1 解析：选B 设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 1，y 1)，则有x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，所以有x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2，因为点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，所以有3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，化简得y ＝9x 2＋12x ＋3.4．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别为A (4,2)，B (－2，0)，A 为顶点，则另一腰的一个端点C 的轨迹方程是________．解析：设点C 的坐标为(x ，y )，∵△ABC 为等腰三角形，且A 为顶点．∴AB ＝AC .又∵AB ＝4＋22＋22＝210， ∴AC ＝x －42＋y －22＝210. ∴(x －4)2＋(y －2)2＝40.又∵点C 不能与B 重合，也不能使A ，B ，C 三点共线．∴x ≠－2且x ≠10.∴点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝40 (x ≠－2且x ≠10)．答案：(x －4)2＋(y －2)2＝40 (x ≠－2且x ≠10)5．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为___________；该轨迹所围区域的面积为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.该轨迹是以(2,0)为圆心，半径为1的圆，所以所围区域的面积为π.答案：(x －2)2＋y 2＝1 π二保高考，全练题型做到高考达标1．已知方程ax 2＋by 2＝1的曲线经过点(0,2)与(1，2)，则a ＋b 为( )A.12B ．34C ．1 D.32 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4b ＝1，a ＋2b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝14，∴a ＋b ＝34，故选B. 2．(2018·嘉兴一中质检)若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( ) A ．任意实数a ，方程表示椭圆B ．存在实数a ，方程表示椭圆C ．任意实数a ，方程表示双曲线D ．存在实数a ，方程表示抛物线解析：选B 当a >0且a ≠1时，方程表示椭圆，故选B.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B ．4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 解析：选D 因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1. 5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q (－x ，y )，故由OQ ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1，即32x 2＋3y 2＝1. 故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)． 6．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹方程为解析：设Q (x ，y )．因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x .所以动圆圆心Q 的轨迹方程是y 2＝4x .答案：y 2＝4x7．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0) 8．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动．已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，建立适当的坐标系，则△ABC 的外心的轨迹方程是________．解析：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)．设外心P (x ，y )．∵点P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，∵点P 也在AB 的垂直平分线上，∴|PA |＝|PB |，即x 2＋y －32＝22＋y 2.化简得x 2－6y ＋5＝0即为所求的轨迹方程．答案：x 2－6y ＋5＝09．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于x 轴，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.10.如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1，动点C 的轨迹为曲线M .求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4>|AB |，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－12＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·辽宁葫芦岛调研)在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2,0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA ―→＋GB―→＋GC ―→＝0，|MA ―→|＝|MB ―→|＝|MC ―→|，GM ―→∥AB ―→，则顶点C 的轨迹为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外)解析：选B 设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3. 又|MA ―→|＝|MB ―→|＝|MC ―→|，即M 为△ABC 的外心，所以点M 在y 轴上，又MC ―→∥AB ―→，则有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3. 所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0. 所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)．2．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b . 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2，由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为 1，FQ 的斜率为 2，则1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝ 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由 AB ＝ DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求的轨迹方程为y 2＝x －1.。

上海北蔡中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．23．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．24．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．235．双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（）A ．89B ．83C ．149D ．1436．已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠ 7．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．258．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为3a ，则离心率e 的取值范围是（）A ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．71,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．7,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭10．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为 A 6B ．2 C 5D 312．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点2,6，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．3二、填空题13．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________14．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．15．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.16．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.17．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点M 在直线20x y -=上，则椭圆的离心率为_______.18．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，过点(0,2)P 的直线依次交抛物线和准线l 于点,,A B C ，且满足2AP PB =，则BCF 与ACF 的面积的比值为________.19．若椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为________．20．已知点1F ，2F 为椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）和双曲线22222:1x y C a b -=''（0a '>，0b '>）的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足01290F PF ∠=，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=___________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.23．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,3P x 为抛物线C 上一点，且4PF =，过点(),0A a 作抛物线C 的切线AN （斜率不为0），设切点为N ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：以FN 为直径的圆过点A ．24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，过点()03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；（2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.25．如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．（1）求椭圆C 的方程；（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围． 26．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．B解析：B 【分析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.3．C解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立()221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y =，所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为533,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，29c b =+．设1||PF m =，2||PF n =，由题意，6m n -=，若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅；若2m c ==66n m =-=．则2622m n c ++==，解得21159b =． ∴222115196999c a b =+=+=，143c =． 1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由直线2y kx =+恒过(0,2)点，将问题转化为点(0,2)在椭圆2219x ym+=上或椭圆内，可得选项. 【详解】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x ym +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.7．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ，则2127·1616k PF PF x ==-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==.故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.8．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 9．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<，因为2231kca k=+，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：72e > 故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.10．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以11180********AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ，因为2211222y y p pp，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p ，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(0A x，则0AT k =，则直线0:AT x x =-，代入抛物线方程化简得02220px y +=-，则02028px ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.11．C解析：C 【分析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【详解】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a =，即e =故选C. 【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率.12．A解析：A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，将点代入即可得ba=得离心率. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =过第一象限，所以点在渐近线b y x a =b a =，所以ba=所以2c e a ==．故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦解析：221259x y +=(0)y ≠ 【分析】根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点【详解】ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，、()40B ，，周长为18810AB BC AC ∴=+=，108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆210283a c b ==∴=，，∴椭圆的标准方程是221259x y += ()0y ≠故答案为221259x y += ()0y ≠【点睛】本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．14．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =15．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物解析：⎛- ⎝⎭【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2θ=．tan θ∴=则AB 所在直线方程为1)y x =-．联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=．解得：13x =或3x =，因为点A 在x 轴上方所以(3,23)A ，123,33B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭由2y x =，得1y x'=， 2y x =-得1y x'=-∴313|33x y ='==，131|313x y ='=-=-，即AM 、BM 所在直线的斜率分别为33、3-． 3:23(3)3AM y x ∴-=-，231:3()33BM y x +=-- 所以323(3)32313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩解得1233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩M ∴的坐标为23(1,)3-．故答案为：23(1,)3-．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为： 5【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ，因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以53e =. 故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.17．【分析】设联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求得线段的中点M 的坐标根据点M 在直线上求解【详解】设由得由韦达定理得所以线段的中点M 又M 在直线上所以即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置解析：22【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB 的中点M 的坐标，根据点M 在直线20x y -=上求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222220a b x a x a a b +-+-=，由韦达定理得22221221222222,,10a b x x y y a b a b a b ∆，所以线段AB 的中点M222222,a b a ba b ，又M 在直线20x y -=上，所以22222220a b aba b ，即2222222a b a c ==-，所以222a c =，解得2e =故答案为：2【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】设出的坐标及过点的直线的方程联立抛物线方程与过点的直线的方程利用根与系数的关系及得到的坐标通过三角形面积公式将与的面积之比转化为边长之比进而通过三角形相似解决问题即可【详解】解：设不妨设由题解析：25【分析】设出,A B 的坐标及过点P 的直线的方程，联立抛物线方程与过点P 的直线的方程，利用根与系数的关系及2AP PB =得到,A B 的坐标，通过三角形面积公式，将BCF 与ACF 的面积之比转化为边长之比，进而通过三角形相似解决问题即可. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设12x x <，由题意得直线AB 的斜率存在，设过点(0,2)P 的直线方程为2y kx =+.联立方程得22,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩整理得2480x kx --=，则128x x =-.由2AP PB =得，122x x =-，∴124,2,x x =-⎧⎨=⎩∴124,1.y y =⎧⎨=⎩过点,A B 向准线l 作垂线，垂足分别为,M N ，则211sin 122115sin 2BCF ACFCB CF BCF S CB BN y S CA AM y CA CF BCF ⋅⋅∠+=====+⋅⋅∠. 故答案为：25【点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质，三角形面积的计算等，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力.试题通过考查直线与拋物线的位置关系、平面向量、三角形的面积，体现了数学运算、直观想象等核心素养.19．【分析】求出椭圆的焦点坐标利用已知条件求解点坐标再代入双曲线的渐近线方程转化求解椭圆的离心率即得【详解】由题可得点由线段中点的纵坐标为0得点的纵坐标为又点在椭圆上且在第一象限则有解得点的横坐标为由双解析：35【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解P 点坐标，再代入双曲线222211615x y -=的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点2(0,)F c -，由线段2PF 中点的纵坐标为0，得点P 的纵坐标为c ，又点P 在椭圆上且在第一象限，则有22221c x a b +=，解得点P 的横坐标为2b a ，由双曲线222211615x y -=，得渐近线1516y x =与椭圆交于点2(,)P b c a ，则有21516b c a =，整理得2215()160a c ac --=，即215(1)160e e --=，由01e <<，得35e =.故答案为：35e = 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题.20．2【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得再结合离心率公式求解即可【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点点分别为左右交点由椭圆定义有由双曲线定义有则即又则即所以即2故答案为：2【点睛】本题考查了椭圆及解析：2 【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =，再结合离心率公式求解即可. 【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点，点1F ，2F 分别为左、右交点，由椭圆定义有122PF PF a +=，由双曲线定义有'122PF PF a -=，则212()PF PF +212()PF PF +-=22122()PF PF +2'24()a a =+，即2212PF PF +2'22()a a =+，又01290F PF ∠=，则222124PFPF c +=，即2'2a a +22c =，所以2'2222a a c c +=，即221211e e +=2，故答案为：2. 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞．【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程；（2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10．抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y y x x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a = 所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=，即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点． 23．（1）24x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由4PF =，利用焦半径公式可求出p 的值，从而可得抛物线C 的标准方程；（2）设切线AN 的方程为()y k x a =-，0k ≠，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为零可得a k =，求得切点2(2,)N a a ，由0AF AN ⋅=即可判定以FN 为直径的圆过点A ．【详解】（1）因为()0,3P x 为抛物线上一点，所以PF 的长等于P 到抛物线准线2py =-的距离，即||3422P p pPF y =+=+=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为：24x y =．（2）直线斜率不存在时，直线x a =不是抛物线的切线，所以可设切线AN 的方程为：()y k x a =-， 0k ≠，联立直线与抛物线方程得24()x yy k x a ⎧=⎨=-⎩，消去y 可得2440x kx ka -+=，因为直线与抛物线相切，∴216160ka ka ∆=-=，解得a k =．224402x ax a x a -+=⇒=，所以切点()22,N a a ，(0,1)F ，(,0)A a ，∴(,1)AF a =-，()2,AN a a =，∴220AF AN a a ⋅=-+=．∴90FAN ∠=︒，以FN 为直径的圆过点A ．【点睛】方法点睛：解得与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.24．（12 【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d ，则2222431144441m k d k k k +===-+++0k =时，min 32d =；综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.25．（1）22142x y +=；（2）(2OMN S ⎤∈⎦△. 【分析】（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =，又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则10101101a--⨯=----+，解得2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=．（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点()11,M x y ，()22,N x y ，则圆心到直线l 的距离221m d k ==+()2221m k ∴=+，联立方程220142kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k()0,2MN ====，当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为(]0,2，又12OMN S d MN=⋅⋅=△，可得(OMN S ∈△．【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.26．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k+同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-1-1曲线与方程的概念

2.1.1曲线与方程的概念一、选择题1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A ．x 2＋y ＝0与xy ＝0 B.x ＋y ＝0与x 2－y 2＝0C ．y ＝lgx 2与y ＝2lgxD ．x －y ＝0与y ＝lg 10x[答案] D[解析] ∵lg 10x ＝x ，故x －y ＝0与y ＝lg 10x 表示相同的曲线．2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( )A ．±3B ．0C ．±2D. 一切实数 [答案] A[解析] 两曲线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3.3．与x 轴距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．y ＝2B ．y ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝±2[答案] B4．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ [答案] D[解析] y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x ＋3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点；同理y ＝－2x －3与x 22±y 2＝1也有交点．故选D. 5．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点，是( ) A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(22，5)D ．(±2,1)或(±25，5)[答案] B[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2.6．设曲线F 1(x ，y )＝0和F 2(x ，y )＝0的交点为P ，那么曲线F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0必定( )A ．经过P 点B ．经过原点C ．经过P 点和原点D ．不一定经过P 点 [答案] A[解析] 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知．7．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线 [答案] C[解析] 由x 2＋xy ＝x 得x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0，∴表示两条直线．8．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＝－|ax |(a ∈R )的交点个数一定是( )A ．2B ．4C ．0D ．与a 的取值有关 [答案] A[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2.9．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞) [答案] D[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1.10．(2009·山东泰安)方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1 [答案] A[解析] y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x ≥0)－ax (x <0)式中a >0，分别画图象，观察可得a >1时，两曲线有两个交点．二、填空题11．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是________．[答案] 两条线段[解析] 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1∴曲线表示两条线段．12．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．[答案] (x －1)2＋(y －2)2＝4[解析] 圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2 ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.13．已知直线y ＝2x －5与曲线x 2＋y 2＝k ，当k ________时，有两个公共点；当k ________时，有一个公共点；当k ________时，无公共点．[答案] k >5；k ＝5；0<k <5[解析] 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究．14．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为____．[答案] 2[解析] 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2.三、解答题15．已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，且|AB |＝5，求实数b 的值．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2. 消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0，①运用x 1＋x 2＝－b 2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5·(x 1－x 2)2＝5·b 24＋4＝5. 解得b 2＝4，b ＝±2.而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2.16．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0的曲线．[解析] 把方程(x ＋y －1)x －y －2＝0写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y －2≥0或x －y －2＝0 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0x －y －2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x ≥32∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32) ∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0. 17．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围． [解析] 解法1：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与c 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0，解得1≤b < 2 解法2：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2. 18．若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值． [解析] 设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0 ①y ＝x 2 ② 由②代入①得：x 2＋x －m ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1x 1x 2＝－m|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝2·1＋4m ∴由2·1＋4m＝32得∴1＋4m＝9，∴m＝2.。

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第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是
A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是C
D．以上说法都正确
【答案】
C
【解析】曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此C正确．故选C．
2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是

【答案】
B
【解析】由x＋|y－1|＝0，可知x≤0，故选B．
3．如图，设P是圆2225xy上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|45|PD|
，

当P在圆上运动时，则点M的轨迹C的方程是

A．2212516xy B．2211625xy
C．2212516xy D．2211625xy
【答案】
A
【解析】设(,)Mxy，则5(,)4Pxy，所以22225()25142516yxyx，故选A．
4．已知A(－1，0)，B(1，0)，C为平面内的一动点，且满足||2||ACBC，则点C的轨迹方程为
A．22610xyx＝ B．22610xyx＝
C．2210103xyx D．2210103xyx
【答案】
B
【解析】设点C(x，y)，则由题得(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，整理得x2＋y2－6x＋1＝0．故选B．
5．方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【答案】
B
【解析】由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－
2
＝0，表示四条直线．故选B．
6．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
【答案】
B

7．方程22(22)10xyxy表示的曲线是
A．一个点与一条直线 B．两条射线与一个圆
C．两个点 D．两个点、一条直线与一个圆
【答案】
B

【解析】原方程等价于2210xy，即x2＋y2＝1，或2222010xyxy，故选B．
8．已知log2x，log2y，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹大致为
【答案】
A
【解析】由log2x，log2y，2成等差数列，可得222loglog2yx，
即22222logloglog4log4yxx，所以24yx(x＞0，y＞0)，故选A．
9．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是
A．yx与2yx B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
C．1yx与1xy D．y＝lg x2与y＝2lg x
【答案】
C

10．方程22693940xxyyxy表示的图形是
A．两条重合的直线 B．两条互相平行的直线
C．两条相交的直线 D．两条互相垂直的直线
【答案】
B
【解析】方程可化为()()34310xyxy，即340xy或31xy0，所以原方程表示
的图形是直线340xy和310xy，这是两条互相平行的直线．故选B．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
11．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足：4OPOA，则动点P
的轨迹方程为

________________．
【答案】
240xy

【解析】根据4OPOA，可得(x，y)·(1，2)＝4，即x＋2y＝4．故填240xy．
12．已知A(1，0)，B(－1，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是________________．
【答案】
1)0(yx

【解析】由题意可知，|AB|＝2，则点M的轨迹方程为射线1)0(yx．
13．已知O为坐标原点，动点M在椭圆C：2215xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P
满足

5NPNM
，则点P的轨迹方程为________________．

【答案】
22
5xy

14．等腰三角形底边的两个顶点是B(2，1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是________________．
【答案】x＋2y＋1＝
0(1x)
【解析】由题意可知另一顶点A在边BC的垂直平分线上，BC的中点为(1，－1)，边BC所在直线的斜
率13220BCk，∴边BC的垂直平分线的斜率k＝12，垂直平分线的方程为y＋1＝12(x－1)，
即x＋2y＋1＝0．又顶点A不在边BC上，∴1x，故顶点A的轨迹方程是x＋2y＋1＝0(1x)．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知A、B分别是直线33yx和33yx上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB
的中点，

求动点P的轨迹C的方程．
【答案】2219xy．
【解析】设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵P是线段AB的中点，∴121222xxxyyy．
∵A、B分别是直线33yx和33yx上的点，
∴1133yx，2233yx，∴121223233xxyyyx．
又线段AB的长为23，∴221212)(12()xxyy，
∴22412123yx，即2219xy，∴动点P的轨迹C的方程为2219xy．
16．已知点()1,1P，过点P的动直线l与圆22:240Cxyy交于A，B两点．
（1）若||17AB，求直线l的倾斜角；
（2）求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）3或23；（2）2211(1())24xy．

故点M的轨迹是以CP为直径的圆，
又点()0,1C，()1,1P，所以点M的轨迹方程为2211(1())24xy．