4-2正态随机变量的线性组合

气缸的直径Y : N (22.5, 0.042 ),设X ,Y 相互独立.任取一活塞,任
取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.
解: {活塞能装入气缸}={X<Y}={X-Y<0}
Xi
:
N
(i
,
2 i
),
定理2 , 则
Ci Xi : N(
Ci i ,
Ci2
2 i
)
i
i
i
令Z X Y , 则Z : N(E(Z), D(Z))
设X :
N
(
1
,
2 1
),
Y:
N
(
2
,
2 2
),
且X
,
Y
相互独立,
则
X Y
:
N
(1
2
,
2 1
2 2
)
证:
X
Y
2(
X 1 2
Y 2 2
)+1
2
X : N(, 2 ) Y aX b : N(a b,(a)2 )
X 1 2
X 1 2 2
:
N
(0,
2 1 2 2
)
X 1 Y 2
(3) 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是 Xj（j=1,2,…,n）的线性函数，则(Y1,Y2, …，Yk)也服从 多元正态分布(正态变量的线性变换不变性)
(4) 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 X1,X2, …,Xn相互独立 X1,X2, …,Xn两两不相关。
f X Y (t ) fY ( y) f X (t y)dy
e + 1 - 2
y2 2 2
e dy e dy 1
(
t
y 2
)2
2
1
+
12[
y2 2
(
t
y
)2
]
2 -
（略中间过程，P100）
f (t ) e X Y
1
2 1 2
2
(
t2 1
2
)
即 X Y : N (0, 2 1)
TH1.
Y1 Y2 Y3 : N (18, 3 2 )
P{Y1
Y2
Y3
19}
P{Y1
Y2 Y3
3 2
18
19 18}
3 2
0.005
即 1 { 1 } 0.005
3 2
{ 1 } 0.995 {2.576}
3 2
1 2.576 0.2241 3 2
例4(P103-例3) 设X1, X2 , ..., X9相互独立且都服从N (2, 4). Y1,Y2 ,Y3 ,Y4相互独立且都服从N (1,1).又设X ,Y 相互独立.求 P{X Y }
本节重点总结
相互独立正态随机变量线性组合的分布
n维正态分布简介
1、n维正态分布的定义
X ( X1, X2 , ..., Xn )为n维随机变量, 如果其概率密度为
f
( x1 ,
x2 , ...,
xn
)
(2
)n
1 2|
C
|1
2
exp{
1 2
(X
)C 1( X
)}
其中C为( X1, X2 , ..., Xn )的协方差矩阵, C 为C的行列式,C 1
2
2
:
N (0,
1
2 1 2 2
)
Y 2 : N (0,1) 2
X Y
:
N[ 2 * 0 1 2 ,
2 2
(1
2 1
2 2
)]
N (1
2
,
2 1
2 2
)
TH 2.
设X1, X2 , ..., Xn相互独立,且Xi
:
N (i
,
2 i
)(i
1,
2,
..., n), 对于任意不全为0的常数C1,C2 , ..., Cn , 有
第二节 正态随机变量的线性组合
主要内容（0.5学时）
相互独立的正态随机变量线性组合
引理. 设Y : N (0, 2 ), X : N (0,1),且X ,Y 相互独立, 则 X Y : N (0, 2 1)
证:设X ,Y , X Y的概率密度分别为f X ( x), fY ( y), f X Y (t )
U C1 X1 ... Cn Xn :
N
(C11
...
Cnn
,
C12
2 1
...
Cn2
2 n
)
X : N(, 2 ) Y aX b : N(a b,(a)2 )
取
C1
C2
...
Cn
1 n
推论. 设X1, X2 , ..., Xn相互独立,且服从同一分布N (, 2 )
(i 1, 2, ..., n),
解:
由TH2推论知,
X
1 9
9 i 1
Xi
:
N (2,
4) 9
1 4
1
Y
4
Yi
i 1
:
N (1,
) 4
X Y : N (wk.baidu.com 1, 4 1) N (1, 25)
94
36
P{X Y } P{X Y 0} P{ X Y 1 0 1 } 25 / 36 25 / 36
1 { 1 } 1 (1.2) 0.8849 25 / 36
E(Z) E(X ) E(Y ) 0.1 D(Z) D(X ) D(Y ) 0.052
即 Z : N(0.1,0.052 )
P{X Y } P{Z 0} P{ Z (0.1) 0 (0.1)}
0.05
0.05
{0 (0.1)} (2) 0.9772 0.05
例3(P102-例2) 一电路由3只独立工作的电阻器串联而成, 各只额定电阻值均为6欧. (1)已知电阻器的电阻(以欧计) Y : N (6, 0.32 ), 求电路的总电阻W 超过19的概率; (2)设电阻器
即 Z~N(E(Z), D(Z))
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9 Z~N(5, 32)
Z的概率密度为 :
1
( z5)2
fZ (z) 3
e
2
18 ,
(Z R)
例2(类似P101-例1) 活塞的直径(以cm计)X : N (22.4, 0.032 ),
为C的逆矩阵, X和为n维列向量, X 为X的转置矩阵.则称
n维随机变量( X1, X2 , ..., Xn )服从n元正态分布.
n=2时对应二元正态分布的概率密度
2、n维正态分布的主要性质 (1) (X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 Xi, 服从正态分布.
(2) X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 对不全为0实数 a1,a2,…,an，a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn服从正态分布.
X
1 n
n i 1
X i是X 1 ,
X2 , ...,
X n的算术平均, 则
X : N (0, 1)
或
X:
N(,
2
)
/ n
n
例1 随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试 求Z=2X-Y+3的概率密度.
解: X~N(1,2), Y~N(0,1)，且X与Y独立
故X和Y的任意线性组合是正态分布.
的电阻Y : N (6, 2 ),若要求电路的总电阻W 超过19的概率小于 0.005, 问要控制 至多是多少?
解: 记3只电阻器的电阻分别为Y1,Y2,Y3,且Y1,Y2,Y3相互独立
(1) Yi : N (6, 0.32 ), 所求概率P{Y1 Y2 Y3 19}
E(Y1 Y2 Y3 ) E(Y1) E(Y2 ) E(Y3 ) 3* 6 18 D(Y1 Y2 Y3 ) D(Y1) D(Y2 ) D(Y3 ) 3* 0.32 0.27
故 Y1 Y2 Y3 : N(18,0.27)
P{Y1
Y2
Y3
19}
P{Y1
Y2 Y3 0.27
18
19 18} 0.27
1 { 1 } 1 (1.92) 1 0.9726 0.0274 0.27
(2) Yi : N (6, 2 ), 已知 P{Y1 Y2 Y3 19} 0.005