三阶行列式
三阶行列式
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa332112322311312213322113312312332211333231232221131211---++=称为三阶行列式.事实上行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，所以对于二阶行列式和三阶行列式计算公式可以用对角展开来记，如图2.8，其中实线连接的无素乘积前用负号.三阶行列式的计算也可以用降阶的方法来计算；aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211333231232221131211+-=利用三阶行列式，我们可以把向量积写成行列式形式，如果)(aaaa zyx，，=，)(aaab zyx，，=，则bbbaaazyxzyxkjiba=⨯在上述行列式中，将i，j，k看成是一般的参数，按行列式计算方法计算即可.直接计算（或者通过4.2节的行列式性质4.2.1，性质4.2.2，可以得到向量积的如下性质：性质4.2.3 设a ，b ，c ，是空间的任意向量，λ是实数，则c ；b c a c b a ；b a b a b a a ；b b a i j k i k k ，，j i ⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯)()4()()()()3()2()1(λλλ；，例2.2.11 设)123()211(--=-=，，，，，b a ，求同时垂直于a ，b 的单位量. 解 由向量积的定义知k j i kj ib a ++=--=⨯53123211同时垂直于a ，b ，所以351)(0=⨯b a (3,5,1)就是要求的单位向量.例2.2.12 已知△ABC 的顶点A （1，2，3），B （3，4，5，），C （2，4，7，），求△ABC 的面积和角A 的正弦.解.264123211),4,2,1(222k j i kj iAC ），，，（AB +-=--=⨯==S △ABC=,1421=.32sin sin =>=⨯<=AC AB A 例2.2.13 证明恒等式.)·()·()(a c b b c a c b a -=⨯⨯证明 设，，，，，，，，，)()()(321321321c c c b b b a a a a b b ===则 ),,,)(232223131113332323121112331313211212(c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b ac b a +-+--++--+-=⨯⨯).()(),()(),()((.)·()·(332211333221133322112332211233221113322111c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b a c b b c a ++++-++-+++-++=- 所以.)·()·()(a c b b c a c b a -=⨯⨯注意：上面的公式通常称为二重向量积展开式，我们也可以不用向量的坐标，而直接用向量的积来证明（请看补充题2.2）.从这个公式可以看出，向量积不满足结合律，就是说，一般).()(c b a c b a ⨯⨯≠⨯⨯向量的混合积 定义 2.2.14 设aa a 321，，为三个向量，定义混合积[a a a 321，，]=)21(a a ⨯·a 3.如果),,,1111(z y x a =),,,2222(z y x a =),,,3333(z y x a =则可以得到（2）零向量0的公解式是唯一的；（3）把,,21v v …，v r 任意公成两组,,2v v i il …，v jt 与,,2v v j jl v jt （s+t=r ）,则有（++v v i il 2…v is ） （++v v i il 2…v jt ）={0}；（4）设v i 的一个基为},,,{ααij il ⋯（1≤i ≤r ）,则 是v v v r +⋯+21的一个基；（5）.dim dim dim )dim(2121v v v v v v r r +⋯+=+⋯+这个定理的证明与r=2的情形基本一样，这里就不再重复了.习题6.5习题6.5.1 设M （R ）是全体实函数所成的实数域上的线性空间，W 1是全体偶函数所成的子集，W 2是全体厅函数所成的子集，证明：W 1与W 2是M （R ）的子空间，且M （R ）= W 1 ○+W 2. 习题 6.5.2 设W 1与W 2分别是齐次线性方程组021=⋯++x x x n 与x x x n =⋯==21的解空间.证明R n= W 1 ○+W 2,这里R 是实数域. 习题6.5.3 如果v v v 21⊕=，而v v v 12111⊕=，证明：v v v v 21211⊕⊕=. 习题6.5.4 试用几何空间的例子来说明：若U ，V ，Y 是子空间，且满足条件U ○+V=X ，X U ⊂，是否必有?)()(V Y U Y Y ⊕= 6.6 线性空间的同构定义6.6.1 数域F 上两个线性空间V 与V '称为同构，如果存在一个由V 到V /的又射W V −→−:ϕ，它具有性质： （1）;,),()()(V ∈∀+=+βαβϕαϕβαϕ （2）F k V k ∈∈∀=,),()(αακααϕ.这样的映射ϕ称为线性空间V 与V '的同构映射，记作V V '≅. 由定义可以看出同构映射有如下性质：);()()()(2);()(,0)0(122112211αϕαϕαϕαααϕϕϕϕr r r r k k k k k k a a +⋯++=+⋯++-=-=、、3、V 中向量α1，ααr ，，⋯2线性相关的充分必在条件是V '中的对应量)()()(21αααϕϕϕr ，，，⋯线性相关；4、如果ϕ是线性空间V 到线性空间V '的同构映射，则V V '=dim dim ；5、同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射. 这5条很容易证明的，作为习题留给读者自己来做.定理6.6.2 数域F 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.证明 必要性上面已有，现证充分性。
三阶行列式
表示成含有几个二阶行列式运算的式子 吗？
.
3、余子式与代数余子式
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2
a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2,
a1 b2c3 b3c2 b1 a3c2 a2c3
一般地，把三阶行列式中某个元素所在 的行和列划去，将剩下的元素按原来的 位置关系组成的二阶行列式叫该元素的 余子式.
把余子式添上相应的符号（正号省略） 叫做该元素的代数余子式.
A1
b2 b3
c2 c3
B1
.
a2 a3
c2 c3
代数余子式符号的确定：
一个元素 aij 的代数余子式的符号:
由下标i+j的奇偶性决定:如果i+j为偶数, 那么代数余子式取正号;如果i+j为奇数, 那么代数余子式取负号;
1 3
3
32 1 0 2
3 2 2
1
2
1 3
.
.
3 4 1 4 1 3
例3:试将 2 5
5 22
3 22
5
2 53 1 3 4 写成三阶行列式的形式是 2 5 2 __________.来自例3.计算:a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
.
a b c 注意: 红线上三元素的
1
1
1 乘积冠以正号，蓝线上
a b c 三元素的乘积冠以负号．
2
2
2
a3 b3 c3
a1b2c3a2b3c1a3b1c2
三阶行列式的计算
三阶行列式称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
目录1 基本概念2 计算方法1 基本概念2 计算方法1 基本概念对于三元线性方程组，如上图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。
记称上式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
2 计算方法标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。
这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
例如a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3结果为a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：a1(b2·c3-b3·c2) + a2(b3·c1-b1·c3) + a3(b1·c2-b2·c1)此时可以记住为：a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。
行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在b2 b3 中找）c2 c3而a1(b2·c3-b3·c2)+a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。
三阶行列式的计算方法
三阶行列式的计算方法
三阶行列式（CMatrix）是通过对一维数组中的三个元素进行组合来定义的变换，它以一种新颖有趣的方式帮助用户显示并分解给定列表中的信息，并可以轻松地检索出任意单元格中的信息。
在互联网领域，三阶行列式被用于数据处理，例如在动态网站构建中可以用来表达网站架构中需要用到的行列式结构，进行图像处理也得到广泛应用，还可以用于信息检索与搜索，机器学习，用于分析矩阵的特征值及向量。
计算三阶行列式的方法有很多种，最常用的是拆分法。
首先将三阶行列式拆分成三个二阶子行列式，接着对三个子行列式进行求值，最后将求出的每个子行列式值相乘，用乘积减去其中一个子行列式的值，即可得出三阶行列式的值。
另外，也可以引入转置法来计算三阶行列式。
将其转置成四阶行列式，利用四阶行列式的拆分法，将四阶行列式拆分为四个三阶子行列式，接下来对这四个三阶子行列式求和，所有四阶行列式的值相乘，得出的值即为对应的三阶行列式的值。
再者，有时候只能使用三阶矩阵，此时可以使用“弦分解法”来计算三阶行列式，弦分解法是使用一系列同质三阶行列式，将初始行列式拆分为它的因素，接着将拆分的因素重新组合起来，最终运用组合的和得出的值即为三阶行列式的值。
总而言之，三阶行列式是一种有趣而又有效的数学工具，它能够将一维数组中的数据组合起来，用来帮助我们展示并探索特定列表中的信息，其计算方法有拆分法、转置法和弦分解法。
这在互联网领域里有很多应用，其中包括数据处理，图像处理，信息检索，机器学习等等。
怎么记三阶行列式的公式
怎么记三阶行列式的公式三阶行列式是数学中最重要的行列式，它有着广泛的应用。
三阶行列式可以用来解决三元一次线性方程组，计算行列式的值，并为其他矩阵计算增广矩阵提供依据。
其公式可以用Determinant of A的三阶递归表达式表示：Det(A)=a11*Det(A11)-a12*Det(A12)+a13*Det(A13)其中Det(Aij)为A以第i行第j列为首项建立的2阶行列式。
举个例子，A= [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]的三阶行列式的表达式为：Det(A)=a11*Det(A11) - a12*Det(A12) + a13*Det(A13)其中Det(A11)是由A以第1行第1列为首项组成的2阶行列式，Det(A12)是由A以第1行第2列为首项组成的2阶行列式，Det(A13)是由A以第1行第3列为首项组成的2阶行列式。
由上面不难看出，三阶行列式的计算关键是通过划分出来的各个2阶行列式，它们的特点是：这些2阶行列式都是以一行作为首项，其余行是在原来三阶行列式的其他行中划分而来。
这样由于其中的2阶行列式计算起来比较容易，因此对于计算三阶行列式的值就比较方便。
通过以上内容，我们可以看出三阶行列式是如何计算的。
当我们需要计算行列式的时候，只需要按照公式计算各个2阶行列式的值，然后将它们相乘再相加，就可以得出三阶行列式的值。
可见，要记住关于三阶行列式的计算公式是有必要的，它是最基本的计算数学中行列式的方法，也是三元一次线性方程组、矩阵计算增广矩阵等技术的基础。
虽然很多时候我们不会直接用它计算三阶行列式的值，但它给我们提供了一个重要的方向：分析并熟练掌握三阶行列式的计算方法，这是更高阶技能的基础。
_三阶行列式
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
例1.将行列式 D 2 1 2 3
展开并求值. 1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3
0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
若 a1 A 1 a2 A 2 a3 A 3 0
d1 A1 d 2 A2 d3 A3 则：x a1 A1 a2 A2 a3 A3
b 2 b1 A1 b2 A2 b3 A3 0 改写为： c1 A1 c2 A2 c3 A3 0 c 2
一般选择0较多的行或列进行展开求值.
例2.证明下列恒等式：
a1 a2 a3 0 c1 a1 b1 b2 b3 b1 a1 c1 c2 c3 b1 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c1 c2 c3 0 0 c2 0, a2 0 c3 a3 a1 0 c1 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b2 0, a2 b3 a3 b2 a2 b3 a3 c1 a1 0 c3 a2
D a1 A1 b1B1 c1C1 a2 A2 b2 B2 c2C2 a3 A3 b3 B3 c3C3
一、三阶行列式的展开II(续) 定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3
2 1
(b1c3 b3c1 ) b1c2 b2c1 b2c3 b3c2 b1 b2 b2 b3
b1
c1
b3 c3 c1 c2
c2 c3
不妨令：
A1 b2 b3 c2 c3 A2 b1 b3 c1 c3 b1 A3 b2 c1 c2
三阶行列式算法
三阶行列式算法
三阶行列式算法是一种用于计算三阶行列式的数学方法。
行列式是一个方阵的一个标量值，通常用一个竖线包围矩阵表示。
在三阶行列式中，矩阵由三行三列组成，因此行列式的计算包括对矩阵中九个元素的运算。
三阶行列式算法可以分为两种：Sarrus法则和余子式展开法。
Sarrus法则是一种简单的方法，只需要将矩阵重复一遍，并根据特定的规则进行计算。
余子式展开法则依赖于矩阵的余子式和代数余子式的计算，可以用递归的方式进行计算。
在实际应用中，三阶行列式算法常常用于计算线性方程组的解或确定矩阵的奇偶性等。
虽然计算三阶行列式的过程相对较简单，但对于更高维度的行列式，计算过程会更加复杂，需要使用更复杂的算法。
- 1 -。
三阶行列式
a11a22a33a44
上（下）三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积
性质1
行列式D与它的转置行列式 D T 相等
其中
a11 a21 D … an1
a12 a22 … an2
… … … …
a1n a2n … ann
a11 a12 T 则D … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
sin cos cos sin 1 2 cos 1
a b c 例5：计算行列式D 1 1 1 1 1 1
按对角线展开： D a bc a bc 0
a 例6：计算行列式D a 2 1 b b2 1 c c2 1
按对角线展开： D ab2 bc2 a 2c b 2c a 2b ac2 (a b)(b c)(c a) 结论： 若行列式中任意两行或 两列成比例，则行列式 0 为
an1 an2 … ann
性质2
互换行列式的两行 行列式变号
•推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k 等于用数k乘此行列式
a11 k ai1 an1 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai 2 ain kai1 an 2 ann an1
S ABC 1 x2 2 x3 1 x2 2 x3 x1 x1 y1 1 y2 1 y3 1 y1 1 y2 1 y3 1
若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), 按顺时针排列
●三点共线的充要条件
三阶行列式的计算方法
三阶行列式的计算方法三阶行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组的求解中起着重要作用。
在本文中，我们将介绍三阶行列式的计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来回顾一下三阶行列式的定义。
对于一个三阶行列式：\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \]其计算方法为：\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33} a_{11}a_{23}a_{32} \]这就是三阶行列式的展开公式，接下来我们将详细介绍如何利用这个公式来计算三阶行列式的值。
首先，我们可以按照展开公式的顺序，逐步计算每一项的值。
以一个具体的例子来说明：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix} \]按照展开公式，我们可以计算出：\[ 1\times5\times9 + 2\times6\times7 + 3\times4\times83\times5\times7 2\times4\times9 1\times6\times8 \] 计算得到的结果即为这个三阶行列式的值。
行列式三阶计算方法
行列式三阶计算方法行列式是线性代数中一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中有着重要的应用。
在行列式的计算中，三阶行列式是比较基础的一个内容，但相较于二阶行列式，计算方法稍显复杂。
本文将对三阶行列式的计算方法进行深入探讨，并结合实际例题，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
1. 行列式的定义首先，我们需要了解行列式的定义。
行列式是一个数学对象，它是一个关于矩阵的函数，对于一个n阶的方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。
在三阶矩阵中，行列式可以表示为：|A|=a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33其中a11、a12、a13等表示矩阵A中的元素。
2. 三阶行列式的计算方法在计算三阶行列式时，可以采用“对角线法则”或“按行（列）展开法”来进行求解。
其中，对角线法则是较为直观和简单的方法，按行（列）展开法则则需要更多的计算步骤，但更适用于复杂的行列式计算。
2.1 对角线法则对角线法则是通过对矩阵中元素的位置关系来计算行列式的方法。
具体步骤如下：Step1：从左上角到右下角的对角线上的元素相乘，得到一个乘积。
Step2：从右上角到左下角的对角线上的元素相乘，得到一个乘积。
Step3：将Step1中的乘积减去Step2中的乘积，即可得到三阶行列式的值。
这一方法相对简单，适用于一般情况下的计算，但对于特殊情况可能会存在一定的局限性。
2.2 按行（列）展开法则按行（列）展开法则是通过将矩阵按一行（列）展开成若干个小矩阵的行列式之和来计算行列式的值。
具体步骤如下：Step1：选取一行（列）中的元素作为展开基准。
Step2：将该行（列）的每个元素与其代数余子式相乘，并带上符号，然后求和。
Step3：重复Step2，直到计算完所有元素的代数余子式之和，得到三阶行列式的值。
这一方法虽然计算步骤较多，但对于特殊情况的处理更加灵活，适用范围更广。
三阶行列式
三阶行列式
三阶行列式是由三行三列构成的，其中角标有两个，第一个表示行序数，第二个表示列序数。
三阶行列式是除了二阶以外最好记的行列式。
三阶行列式计算公式：是行列式结果=a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
三阶行列式公式
三阶行列式公式【实用版】目录1.三阶行列式的定义2.三阶行列式的展开式3.三阶行列式的性质4.三阶行列式的应用正文1.三阶行列式的定义三阶行列式是一个 3x3 矩阵所对应的行列式，即由三个 3x3 矩阵的元素组成，用一个竖线符号将矩阵分隔开。
三阶行列式的表示形式为：D = | a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |2.三阶行列式的展开式三阶行列式的展开式是将第一行的元素分别乘以与其对应的 2 阶子行列式，然后求和。
2 阶子行列式是指从 3x3 矩阵中选取 2 行和 1 列所组成的 2x2 矩阵的行列式。
三阶行列式的展开式为：D = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)3.三阶行列式的性质三阶行列式具有以下性质：(1) 行列式的值与它的转置行列式相等，即 D = det(A") = a22 * a33- a23 * a32 - a12 * a31 + a13 * a31 - a11 * a23 + a13 * a21。
(2) 三阶行列式的值等于它任意两行的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
(3) 三阶行列式的值等于它任意两列的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
4.三阶行列式的应用三阶行列式在数学和物理学中有广泛应用，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆和行列式为 0 时判断矩阵是否可逆等。
三阶行列式计算方法
三阶行列式计算方法三阶行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍三阶行列式的计算方法，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来回顾一下三阶行列式的定义。
对于一个三阶行列式：\[D = \begin{vmatrix}。
a &b &c \\。
d &e &f \\。
g & h & i \\。
\end{vmatrix}\]其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i为行列式的元素。
行列式的计算方法可以通过“对角线法则”来进行。
具体来说，我们可以按照以下步骤来计算三阶行列式。
首先，我们可以使用“Sarrus法则”来计算三阶行列式。
Sarrus法则是一种简单直观的计算方法，它可以帮助我们快速计算三阶行列式的值。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 将行列式的前两列复制到右侧，得到一个6x3的矩阵。
2. 将矩阵的每一条斜线上的元素相乘，并将结果相加。
3. 最后得到的结果就是行列式的值。
举个例子，对于行列式D = \(\begin{vmatrix}。
1 &2 &3 \\。
4 &5 &6 \\。
7 & 8 & 9 \\。
\end{vmatrix}\)，我们可以按照上述步骤进行计算，最终得到行列式的值。
除了Sarrus法则之外，我们还可以使用余子式和代数余子式的方法来计算三阶行列式。
这种方法更加通用，适用于任意阶数的行列式。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 选择行或列，计算每个元素的代数余子式。
2. 将代数余子式与对应的元素相乘，并将结果相加。
3. 最终得到的结果就是行列式的值。
通过余子式和代数余子式的方法，我们可以更加灵活地计算任意阶数的行列式，这在实际应用中具有重要意义。
总结一下，三阶行列式的计算方法主要包括Sarrus法则和余子式、代数余子式的方法。
三阶行列式的计算
三阶行列式的计算
三阶行列式的计算
概述图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。
记称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
下面是小编整理的三阶行列式的计算的资料，一起来看看吧。
三阶行列式可用对角线法则：
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。
矩阵A乘矩阵B，得矩阵C，方法是A的第一行元素分别对应乘以B的第一列元素各元素，相加得C11，A的第一行元素对应乘以B 的第二行各元素，相加得C12，C的第二行元素为A的第二行元素按上面方法与B相乘所得结果，N阶矩阵都是这样乘，A的'列数要与B 的行数相等。
三阶行列式性质：
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
三阶行列式的计算方法
三阶行列式的计算方法
行列式是一个方阵对应的一个实数值。
计算三阶行列式可以使用Sarrus法则。
设有一个3x3矩阵A，记作：
┌ ┐
│ a₁ b₁ c₁ │
│ a₂ b₂ c₂ │
│ a₃ b₃ c₃ │
└ ┘
其中a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃为矩阵A中的元素。
根据Sarrus法则，三阶行列式的计算可以按照以下步骤进行：
1. 将矩阵A的第一列复制到行列式右侧，即得到一个3x6的
矩阵。
┌ ┐
│ a₁ b₁ c₁ │ a₁ b₁ c₁
│ a₂ b₂ c₂ │ a₂ b₂ c₂
│ a₃ b₃ c₃ │ a₃ b₃ c₃
└ ┘
2. 将矩阵A的第二列复制到行列式右侧，即再添加一列。
┌ ┐
│ a₁ b₁ c₁ │ a₁ b₁ c₁ b₁ c₁
│ a₂ b₂ c₂ │ a₂ b₂ c₂ b₂ c₂
│ a₃ b₃ c₃ │ a₃ b₃ c₃ b₃ c₃
└ ┘
3. 计算3x3矩阵的对角线上的乘积之和。
对角线乘积之和为：(a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂)
4. 计算矩阵右侧6个数两两相乘的差值之和。
差值之和为：(a₁b₂c₃ + a₃b₁c₂ + a₂b₃c₁) - (a₁b₃c₂ +
a₃b₂c₁ + a₂b₁c₃)
5. 将第3步和第4步中的计算结果相减，得到最终的行列式的值。
综上所述，三阶行列式的计算方法按照上述步骤进行。
注意遵循计算顺序的先后。
三阶行列式
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa332112322311312213322113312312332211333231232221131211---++=称为三阶行列式.事实上行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，所以对于二阶行列式和三阶行列式计算公式可以用对角展开来记，如图2.8，其中实线连接的无素乘积前用负号.三阶行列式的计算也可以用降阶的方法来计算；aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211333231232221131211+-=利用三阶行列式，我们可以把向量积写成行列式形式，如果)(aaaa zyx，，=，)(aaab zyx，，=，则bbbaaazyxzyxkjiba=⨯在上述行列式中，将i，j，k看成是一般的参数，按行列式计算方法计算即可.直接计算（或者通过4.2节的行列式性质4.2.1，性质4.2.2，可以得到向量积的如下性质：性质4.2.3 设a ，b ，c ，是空间的任意向量，λ是实数，则c ；b c a c b a ；b a b a b a a ；b b a i j k i k k ，，j i ⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯)()4()()()()3()2()1(λλλ；，例2.2.11 设)123()211(--=-=，，，，，b a ，求同时垂直于a ，b 的单位量. 解 由向量积的定义知k j i kj ib a ++=--=⨯53123211同时垂直于a ，b ，所以351)(0=⨯b a (3,5,1)就是要求的单位向量.例2.2.12 已知△ABC 的顶点A （1，2，3），B （3，4，5，），C （2，4，7，），求△ABC 的面积和角A 的正弦.解.264123211),4,2,1(222k j i kj iAC ），，，（AB +-=--=⨯==S △ABC=,1421=.32sin sin =>=⨯<=A 例2.2.13 证明恒等式.)·()·()(a c b b c a c b a -=⨯⨯证明 设，，，，，，，，，)()()(321321321c c c b b b a a a a b b ===则 ),,,)(232223131113332323121112331313211212(c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b ac b a +-+--++--+-=⨯⨯).()(),()(),()((.)·()·(332211333221133322112332211233221113322111c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b a c b b c a ++++-++-+++-++=- 所以.)·()·()(a c b b c a c b a -=⨯⨯注意：上面的公式通常称为二重向量积展开式，我们也可以不用向量的坐标，而直接用向量的积来证明（请看补充题2.2）.从这个公式可以看出，向量积不满足结合律，就是说，一般).()(c b a c b a ⨯⨯≠⨯⨯向量的混合积 定义 2.2.14 设aa a 321，，为三个向量，定义混合积[a a a 321，，]=)21(a a ⨯·a 3.如果),,,1111(z y x a =),,,2222(z y x a =),,,3333(z y x a =则可以得到（2）零向量0的公解式是唯一的；（3）把,,21v v …，v r 任意公成两组,,2v v i il …，v jt 与,,2v v j jl v jt （s+t=r ）,则有（++v v i il 2…v is ） （++v v i il 2…v jt ）={0}；（4）设v i 的一个基为},,,{ααij il ⋯（1≤i ≤r ）,则 是v v v r +⋯+21的一个基；（5）.dim dim dim )dim(2121v v v v v v r r +⋯+=+⋯+这个定理的证明与r=2的情形基本一样，这里就不再重复了.习题6.5习题6.5.1 设M （R ）是全体实函数所成的实数域上的线性空间，W 1是全体偶函数所成的子集，W 2是全体厅函数所成的子集，证明：W 1与W 2是M （R ）的子空间，且M （R ）= W 1 ○+W 2. 习题 6.5.2 设W 1与W 2分别是齐次线性方程组021=⋯++x x x n 与x x x n =⋯==21的解空间.证明R n= W 1 ○+W 2,这里R 是实数域. 习题6.5.3 如果v v v 21⊕=，而v v v 12111⊕=，证明：v v v v 21211⊕⊕=. 习题6.5.4 试用几何空间的例子来说明：若U ，V ，Y 是子空间，且满足条件U ○+V=X ，X U ⊂，是否必有?)()(V Y U Y Y ⊕= 6.6 线性空间的同构定义6.6.1 数域F 上两个线性空间V 与V '称为同构，如果存在一个由V 到V /的又射W V −→−:ϕ，它具有性质： （1）;,),()()(V ∈∀+=+βαβϕαϕβαϕ （2）F k V k ∈∈∀=,),()(αακααϕ.这样的映射ϕ称为线性空间V 与V '的同构映射，记作V V '≅. 由定义可以看出同构映射有如下性质：);()()()(2);()(,0)0(122112211αϕαϕαϕαααϕϕϕϕr r r r k k k k k k a a +⋯++=+⋯++-=-=、、3、V 中向量α1，ααr ，，⋯2线性相关的充分必在条件是V '中的对应量)()()(21αααϕϕϕr ，，，⋯线性相关；4、如果ϕ是线性空间V 到线性空间V '的同构映射，则V V '=dim dim ；5、同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射. 这5条很容易证明的，作为习题留给读者自己来做.定理6.6.2 数域F 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.证明 必要性上面已有，现证充分性。
9、4 三阶行列式
§9、4 三阶行列式【知识梳理】1、三阶行列式展开的对角线法则2、三阶行列式按照某一行（列）展开的方法；3、三元线性方程组的行列式解法，并对含字母系数的三元线性方程组的解的情况进行讨论。
对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，记333222111c b a c b a c b a D =，333222111c b d c b d c b d D x =，333222111c d a c d a c d a D y =，333222111d b a d b a d b a D z =。
当D ≠0时，方程组有唯一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===D D z D D y D D x z y x ；当D=0时，方程组无解或有无穷多解。
【例题精选】1、 用对角线法则计算下列行列式（1）123456789 （2）111cos sin 0sin cos 0αααα-2、 求下列三阶行列式中，元素x y 、的余子式和代数余子式：1223411x y-1、 （1）行列式 765543321中，元素6的代数余子式的值= ；（2）765543321=1-3+5；（3）765543321=-3+4-5；4、用行列式解下列线性方程组：238923210x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【课后作业】1、若行列式111102303a a a +-=，则实数a =2、在函数()21112x f x x x x x -=--中，3x 的系数是3、行列式sin 2cos 11sin 2cos sin 1cos θθθθθθ--中，2cos θ的代数余子式为 4、判断下列三元一次方程组是否有唯一解。
如果有，试求出这个解。
⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-10076702302)1(z y x z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++43237532432)2(z y x z y x z y x。
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教学内容
【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开
②按某一行(或列)展开法
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11
a 33322322a a a a -12a 3331
2321a a a a
+13a 32
3122
21a a a a
记 32
2211a a M =
33
23a a ，111111)1(M A +-=；31
2112a a M =
33
23a a ， =12A 1221)1(M +-；31
2113a a M =
32
22a a ， 133113)1(M A +-= 。
称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，
j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。
则三阶行列式就可以写成D =33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++,
2、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ∆三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，
则1122331
1121
ABC
x y S x y x y ∆= A 、B 、C 三点共线的充分必要条件为112
2331101
x y x y x y =
【例题精讲】
例1．方程1313211
11=x
的解=x ____6_______.
例2．方程020
014211111=--x x
的解为_________________．21=x ，5log 22=x
例3. 关于x 的多项式x
x
x
x
x 221
1
1
---中含23,x x 项的系数分别是 -2和4 例4.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）2
1
141183---； （2）a b c
b c a c a b
（3）22
21
11
a b c a b c ； （4）x
y x y y x y x x y
x
y
+++
解：(1) -4 (2) 3333c b a abc --- (3) (a-b)(b-c)(c-a) (4) 3322y x --
例5.设=-+----=31211142,4
101322
13A A A D 则 0
例6.按要求展开行列式：3
022
13231
D -=-； （1）按对角线展开；（2）按第一行展开；（3）按第一列展开；
解：-40
例7. 计算下列行列式：
(1)2
130;154
-- (2)001
1
052
112
---;
解：注意：这种三角型行列式的值等于其对角线上元素的乘积。
2
13023(4)24154
-=⨯⨯-=--
解：按第一行展开
130
01
1011
05(1)(1)222
11
112
+-=-⋅-=---
例8.解下列方程组：（1）63-2752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩；（2）135x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
；
x=1 y=2 z=3
例9.当实数a,b 满足什么条件时，关于,,x y z 的方程组4324ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
无解？有无穷多解？
解：D=b-ab=b(a-1) Dx=1-2b Dy=1-a
Dz=-2ab+4b-1
无解：a=1, b 不等于1/2 或b=0,
无穷解：a=1.b=1/2
【备选例题】
例10.设ABC ∆中，112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，求证：11223
311|1|21
ABC x y S x y x y ∆=；
例11. 如右图 “杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的
二阶行列式2
11
1的值等于1；从左上角开始的9个元素 构成的三阶行列式6
31321111的值也等于1；猜想从左上 角开始的16个元素构成的四阶行列式
20
104110
6
3
14
3211
111的值等于____1________.
例12 .ABC ∆中三内角A B C 、
、所对边为a b c 、、．若行列式0b a
c b
=，且角3
A π
=
，则
sin b B
c = ．32
1 1 1 1 1 1 1…
1 2 3 4 5 6…
1 3 6 10 15…
1 4 10 20…
1 5 15…
1 6 … 1…
B1
C1A1
A
B
C
O y
x
例13.已知点A (–1, 0)，点B (1, 0)，点P (x+1, y )在x 轴的下方，设a=PB PA ⋅，b=AB AP ⋅，c =BA BP ⋅，d =|AB |，且
d
c b a =0．
(1)求a 、b 、c 关于x 、y 的表达式；
(2)求y 关于x 的函数关系式y=f (x )，并求当y 取得最小值时P 点的坐标． 解：(1) 因为PA =(–x –2, –y )，PB =(–x , –y )，所以a=PB PA ⋅=x 2+y 2+2x ，……2分
AP =(x+2, y )，AB =(2, 0)，b=AB AP ⋅=2x+4，…………………………………3分 BP =(x , y )，BA =(–2, 0)，c=BA BP ⋅= –2x ，……………………………………4分
d=||AB =2，…………………………………………………………………………5分 (2)因为
d
c b a =0，所以2(x 2+y 2+2x )–(2x+4)( –2x )=0，即：3x 2+y 2+6x =0，……7分
由于点P (x+1, y )在x 轴的下方，所以y= –x x 632--，(–2<x <0)
y= –x x 632--= –3)1(32++-x ，(–2<x <0)………………………………10分 所以当x = –1时，y min = –3，此时P (0, –3)……………………………………12分。