高中数学北师大版选修11第一章细说“命题及其关系”知识详解素材
高中数学北师大版选修1-1课件：第1章 §1 第1课时 命题与4种命题
类型三 四种命题及其真假的判断 【典型例题】
1.写出下面命题的逆命题、否命题和逆否命题.
命题：“弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧” (1)逆命题是______________________________________； (2)否命题是______________________________________；
2.若有“p经过逻辑推理得出q”则可确定“若p，则q”为真， 若能够举出反例说明“由p不能推出q”则“若p，则q”为假.
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十一 分。
【解析】1.命题条件：在同一个平面内，两条直线平行于同一条直线. 命题结论：这两条直线平行. “若p则q”的形式：在同一个平面内，若两直线平行于同一条直线， 则这两条直线平行. 答案：在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两 条直线平行
(3)逆否命题是____________________________________.
第二十七页，编辑于星期日：二十三点 三十一 分。
2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假. (1)若m·n＜0，则方程mx2-x+n=0有实数根.
(2)当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc.
(3)若x＞9，则x＞0.
探究提示： 1.命题分为真命题和假命题两类,判断为真的命题叫真命题，判断为 假的命题叫假命题.
2.判断一个语句是否是命题的依据是看这个语句是否具备命题的 特征：能判断真假.
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十一分。
【解析】1.选B.对于A,当b=0且a，c有一个为0时，a，b，c 不是等比数列，故不正确；对于B,∵sin x+cos x= 4 ,
高中数学北师大版选修1-1课件：第一章常用逻辑用语1命题
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.可以判断真假、用文字或符号表述的语句是命题，命题的条件与结论之间属 于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的情势.含有大 前提的命题写成“若p，则q”的情势时，大前提应保持不变. 3.写四种命题时，可以按下列步骤进行 (1)找出命题的条件p和结论q. (2)写出条件p的否定和结论q的否定. (3)按照四种命题的结构写出所有命题. 4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法 的理论基础.
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0， 所以 a<74. 所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题.
反思感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的 两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时， 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
命题改写要关注大前提
典例 “已知c>0，当a>b时，ac>bc”.把该命题改写成“若p，则q”的情势. 解 该命题的“若p，则q”的情势为已知c>0，若a>b，则ac>bc.
素养评析 (1)将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的情势时，要注意其 书写格式为“大前提，若p，则q”. (2)掌握命题的基本情势和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学 生有条理，合乎逻辑的思维素养.
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧； 解 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的 垂直平分线，真命题. 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦 所对的弧，真命题. 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦 的垂直平分线，真命题.
高中数学 北师大选修1-1 1.1.2《四种命题》1.1.3《四种命题间的相互关系》
分析：搞清四种命题的定义或” “且”.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0. 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题 的真假.因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原 命题真假等价.
（1）若f(x)是正弦函数，p 则f(x)是周期函数； q （2）若f(x)是周期函数，q 则f(x)是正弦函数； p
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命 题叫做互逆命题.（即条件和结论互换） 我们称（1）和（2）互为逆命题。 或者（2）是（1）的逆命题；这时（1）为原命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
三个概念
1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另 一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做 互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命 题的否命题. 3.互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好 是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题 叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个 叫做原命题的逆否命题.
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
在同一个命题的四种命题中，真命题的个数是多少？
0个
2个
4个
四种命题的关系：
高中数学北师大版选修1-1第一章《解读四种命题的相互关系》word拓展资料素材
解读四种命题的相互关系基本的逻辑知识及推理能力是同学们在日常生活和学习中认识问题、分析问题不可缺少的工具，然而四种命题的相互关系是逻辑知识的核心问题.因此理解掌握四种命题之间的相互关系非常有必要.一、要点精析1. 四种命题定义（1）在两个命题中，如果第一个命题.即原命题的条件是第二个命题的结论，且原命题的结论是第二个命题的条件，那么第二个命题就叫做原命题的逆命题.原命题的逆命题的形式可表示为：若q则p；（2）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．这个命题叫做原命题的否命题．否命题的形式可表示为：若非p则非q．（3）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．这个命题叫做原命题的逆否命题．逆否命题的形式可表示为：若┐q则┐p．关于逆命题、否命题与逆否命题，也可作如下描述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.2. 四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：3.四种命题的转化四种命题之间存在着互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题的逻辑关系.如原命题与逆命题、否命题与逆否命题互逆，原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否，原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否.它们之间是可以任意转化的，关键是要分清命题的条件和结论，然后根据其定义转化即可.二、典例评析例1．设原命题是“当c>0时，若a>b ，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b ，结论是ac>bc.解：逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”；否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”；逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”.评注：找出命题的条件和结论是解题的关键.例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． ①14m >时， 210mx x -+=无实根； ②当a bc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．分析： 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题． 解答：①原命题：“若14m >，则210mx x -+=无实根”；逆命题：“若210mx x -+=无实根，则14m >”；否命题：“若14m ≤，则210mx x -+=有实根”；逆否命题：“若210mx x -+=有实根，则14m ≤”； ②原命题；“若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0”；逆命题：“若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0”；否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b≠0且c≠0”；(注意：“a ＝0或b ＝0或c ＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”)逆否命题：“若a ≠0且b≠0且c≠0，则abc ≠0”．评注：在命题转化时，一定要分清元命题的条件和结论，特别要注意前提条件. 要掌握和应用好四种命题之间的关系，首先要学会四种命题之间的转化，各种命题的等价性，从而彻底理解四种命题的结构.给定一个命题“若P 则q ”，一定要正确理解并写出其否命题“若非P 则非q ”，逆命题为“若q 则p”，逆否命题为“若非q 则非p”.学习时根据需要正确的写出其意义相同的命题形式.。
【高中课件】高中数学北师大版选修11命题导学课件ppt.ppt
第一章 常用逻辑用语
知识点 命题及 其关系 充分条件与 必要条件 简单的逻 辑联结词 全称量词与 存在量词
新课程标准的要求
层次要求
领域目标要求
1.了解命题的概念及命题的四种
形式(即原命题、逆命题、否命题、
逆否命题)
2.会分析四种命题间的相互关系
和等价关系
3.能根据已知命题写出它的逆命
叫作 互否 命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另 一个命题就叫作 原命题的否命题 .
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题
的
结论的否定 和
条件的否定 ,我们把这样的两个命
题叫作 互为逆否命题 .如果把其中的一个命题叫作原命 题,那么另一个命题就叫作 原命题的逆否命题 .
问题3 四种命题之间的相互关系
问题4 四种命题的真假性的判断情况:
原命题 逆命题 否命题 逆题否命
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
说明:(1)原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有 相同的真假 ; (2)互逆命题和互否命题,它们的真假性 没有 关系; (3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断
其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
有一家主人是一个不善言辞的木讷之人,一天主人邀请 张三、李四、王五三人吃饭聊天,时间到了,只有张三、李四
准时赴约,王五打电话说:“临时有急事不能来了.”主人听 到随口说了一句:“你看看,该来的没来.”张三听到,脸色一
沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎,不
该走的走了.”李四一听大怒,拂袖而去,主人尴尬不知所措.
高中数学第一章1《命题及关系》课件北师大版
思考题
若命题A为真命题，思考其逆命题，否命题， 逆否命题的真假性
可 以 看 到, 这 些 语 句 都 是 陈 述 句, 并 且 可 以 判 断
真假.其中语句135判断为真, 语句246
判断为假.
一般地, 我们将用语言、符号或式子表达的, 可
以判断真假的语句叫做 命题. 其中判断为真的语句叫做 真命题 ,判断为假的语句叫做假命题
.
所以, 上面语句中, 135是真命题, 246
第一章 常用逻辑用语
逻辑是研究思维形式和规律的 科学," 数学是思维的科学".逻 辑与数学有着天然的联系 .
思考 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗?
1若直线a // b,则直线a和b无公共点; 22 4 7; 3垂直于同一条直线的两个平面平行 ; 4若 x2 1,则x 1 ; 5两个全等三角形的面积相等; 63能被2整除.
两个平面平行.这样 ,它的条件和结 论就很清楚了.
例3 将下列命题改写成"若 p,则q"的形式,
并判断真假:
1面积相等的两个三角形全等; 2负数的立方是负数; 3对顶角相等. 解 1若两个三角形面积相等,则这两个三
角形全等.它是假命题.
2若一个数是负数, 则这个数的立方是负数 .
它是真命题.
3若两个角是对顶角, 则这两个角相等.它是
你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
新课导入
a,b,c三人，命题A：如果b的年龄不是 最大，那么a的年龄最小。和命题B： 如果c的年龄不是最小，那么a的年龄 最大。都是真命题，则a,b,c的年龄 的日常交往、学习和工作中, 逻辑用语是必不可 少的工具.正确使用逻辑用语是现代 社会公民应具备 的基本素质. 数学是一门逻辑性很强的学科, 表述数学概念的结论、 进行推理和论证, 都要使用逻辑用语.学习一些逻辑用 语, 可 以 使 我 们 正 确 理 解 数学 概 念 、 合 理 论 证数 学 结 论、准确表达数学内容. 本章中, 我们将学习命题 及四种命题之间关系、充分 条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词等一些基本 知识 .通过学习和使用常用逻辑用 语,掌握常用逻辑用语用法,纠正出现的逻辑错误, 体会 运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.
高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系逆否命题素材1
逆否命题原命题为：若a，则b。
逆否命题为：若非b,则非a如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。
命题的否定只否结论。
一个命题为原命题,则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．名称定义命题：可以判断真假的语句叫做命题。
原命题为：若a，则b逆命题为:若b,则a否命题为：若非a，则非b逆否命题为:若非b，则非a互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。
命题的否定只否结论。
性质一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题,如果逆命题成立，否命题成立．逻辑学认为命题与逆否命题是等价的,也就是命题真,则逆否命题也真。
命题同它的逆否命题等价是作为公理存在的，你既不能证明它正确也不能证明它错误.其实这个东西可以认为是公理.它和公理“排中律”是等价的。
我们数学的体系就是建立在这些公理之上.2逆否命题的滥用现实生活中存在许多对逆否逻辑的滥用,使用时须注意以下几点：1、逆否命题、逆命题、否命题概念适用的前提是原命题为复合命题，而非简单命题。
复合命题是由简单命题通过逻辑连接词互相连接而组成的。
简单命题难以区分前提和结论，其真假只能通过生活经验和客观事实加以判断。
例如：“我爱你”。
这个句子不能算作命题.因为是否“爱"的真假没有一个明确的判断标准。
如果“我爱你”是命题，那么它是一个简单命题。
我们可以把它等价转换为“若p,则q"的形式.再谈论其逆否命题。
（”我爱你“不具有排他性)等价转换为：若我存在，则至少存在一个爱你的人（或”若我存在，则存在我爱你“）。
逆否命题为:若不存在一个爱你的人,则我不存在（如果所有人都不爱你了，那么我也不存在了)。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题课件北师大版选修11
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法:
(1)分清该命题的条件与结论,直接根据我们已学过的定义、定理、公理、
法则、公式、事实等判断其真假,也可通过反例判断其真假.将命题改写成
“若p,则q”的形式后,判断此命题真假的方法如下:
①若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p,则q”为真;而确定“若p,则
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
(2)“对顶角相等”的逆命题;
(3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题;
(4)若a≥0或b≥0,则a+b≥0.
分析可以先根据要求写出每个命题,再判断真假.也可以不写出命
题,而利用四种命题之间的等价关系进行判断.
第二十页，共30页。
探究
(tànjiū)一
三
思维辨析
变式训练1判断下列语句是否为命题,若是,则判断其真假;若不是,则说
明理由.
(1)若a,b,c,d∈R,a=c且b=d,则a+b=c+d.
(2)对立事件一定是互斥事件.
(3)函数y=cos x的最小正周期是π吗?
(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是递增数列.
(5)求证:若x∈R,则x2-x+1>0.
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(3)(方法一)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角
形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题.
(方法二)因为命题“直角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题教案 北师大版选修11
命题教学目标： 1. 了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式2..熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证3.培养学生简单推理的思维能力.教学重点： 1. 命题的改写2.四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系教学难点： 1.命题概念的理解.2.利用真假性之间的内在联系进行推理论证．授课类型：新授课教具准备：多媒体课件．教学过程：一、导入新课（用ppt给出）思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；（2） 2 + 4 = 7；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；（5）两个全等的三角形面积相等；（6）3能被2整除.引导学生归纳以上语句特点：1 都是陈述句2 可以判断真假，其中，（2）（4）（6）判断为假，其它3个判断为真。
二．新课教授1. 教学命题的概念：①命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 强调，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（3）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）（4）（6）是假命题，其它3个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？、（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）对数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行（52 =-（6）x>15（学生自练→个别回答→教师点评）分析加固对命题概念的理解2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①具体分析例1中的（2）（4）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. (这种命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式例2 指出下列命题的条件p和结论q：（会区分条件p和结论q）（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．②数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．这样，它的条件和结论就很清楚了．也便于我们判断真假。
【素材】高中数学北师大版选修11第一章教材点拨充分条件与必要条件word素材
【关键字】素材充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。
当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。
所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。
物理模型的直观解释：如图电路图，当开关A紧闭时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A却不一定是紧闭的；即要使灯泡B亮，只要开关A紧闭着一个条件就够了，我们就称“开关A紧闭”是“灯泡B亮”的充分条件。
一般地，“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称条件是结论的充分条件（sufficient condition）。
“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称是的充分条件（sufficient condition）。
例如：①，那么，“”是“”成立的充分条件；②，那么，“”是“”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“”是函数为幂函数的充分条件；警示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。
例如，当时，成立，但是，当时，也可以成立，即时，也成立，所以，是成立的充分条件，也是成立的充分条件。
【例】仿照示例改写下列命题，并判断条件是否为充分条件：示例：若，则，可以改写成：；是充分条件；（1）个位数字是0的自然数能被5整除；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）若定义域为的函数为奇函数，则解：（1）个位数字是0的自然数这个自然数能被5整除；是充分条件；（2）四边形的对角线相等这个四边形是矩形；不是充分条件；（3）两条直线与同一平面所成的角相等这两条直线平行；不是充分条件；（4）定义域为的函数为奇函数；是充分条件。
学案导学备课精选高中数学第一章常用逻辑用语章末总结(含解析)北师大版选修11
【学案导学备课精选】2015年高中数学第一章常用逻辑用语章末总结（含解析）北师大版选修1-1知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4判断下列命题的真假．(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题 全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a ·b ＝0⇒a⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)易知，綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6，显然綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q ⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2.q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12，∴t <1＋a ·t 2－12，∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
2020高中数学第一章常用逻辑用语细说“命题及其关系”知识详解素材北师大版选修11
细说“命题及其关系“有关命题及其关系，已经在近来几年好多省市的试卷中出现，经常和其他知识结合起来进行综合观察，多以选择题和填空题形式出现，偶而也有解答题。
学习命题及其关系，应注意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，注意正确区分否命题与命题的否认，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。
一、知识点精讲1．命题一般地，，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。
说明：〔 1〕其实不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。
一般来说，疑问句、祈使句、感想句都不是命题；〔 2〕一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、 q 、r等。
2．命题的结构在数学中，拥有“假设 p 那么 q 〞这种形式的命题是常有的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
数学中有一些命题诚然表面上不是“假设p 那么 q 〞的形式，但是把它的表述作合适改变，也可以写成“假设p 那么 q 〞的形式。
3．四种命题交换原命题的条件和结论，所得的命题是抗命题；同时否认原命题的条件和结论，所得的命题可否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否认，所得的命题是逆否命题。
这些结论用于写一个命题的抗命题、否命题与逆否命题十分方便。
4．四种命题的形式用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 、q 分别表示p 和 q 的否认，四种形式就是：原命题：假设p ，那么 q ，即 p q ；抗命题：假设 q ，那么 p ，即 q p ；否命题：假设p 那么q ，即 p q ；逆否命题：假设 q 那么 p ，即 qp 。
5．四种命题之间的关系6 ．四种命题间真假命题的判断一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 抗命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假说明：〔 1〕两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；〔 2〕两个命题互为抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
高中数学 第一章1《命题及关系》课件 北师大版选修2-1
互 逆 命 题
原命题： 原命题： 同位角相等，两直线平行。 同位角相等，两直线平行。 p
件 的 否 定 定 否 条
q
论 的
结
互 否 命 题
否命题： 同位角不相等，两直线不平行。 否命题： 同位角不相等，两直线不平行。 非p 非q
命题的否定：同位角相等， 命题的否定：同位角相等，两直线不平 行。
同位角相等，两直线平行。 同位角相等，两直线平行。
p
否 定
互 为 逆 否 命 题
q
否
两直线不平行，同位角不相等。 两直线不平行，同位角不相等。
q p
同位角相等，两直线平行。 逆命题： 原命题： 逆命题 同位角相等，两直线平行。 原命题：
命题： 命题：若P，则q. ，
原命题：两直线平行，同位角相等。 逆命题： 原命题：两直线平行，同位角相等。 逆命题
. 垂直且平分
p 指出下列命题中的条件和结论q :
解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( )条件 p: 整数a能被
整除 结论q : ,
整数a 整数a是偶数.
( )条件p :四边形是菱形,结论q :四边形
的对角线互相垂直且平分.
表面上不是 数学中有一些命题虽然 "若p,则q"的形式例如 垂直于同一 , " " 条直线的两个平面平行, 但是把表 , " 述作适当改变就可以写成 若 p,则 q"的形式:
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天， 歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天， 18世纪德国的一位著名文艺大师 他与一位批评家“狭路相逢” 他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性 古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明， 古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明， 一边高地往前走。一边大声说道： 一边高地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子 让路！ 而对如此的尴尬的局面， 让路！”而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可 谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵， 掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我 可恰恰相反， 结果故作聪明的批评家， 可恰恰相反，”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没 趣。
高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系有关“命题”的几个问题素材1
有关“命题”的几个问题写出命题P“所有的分数都是无理数”的非P命题,大部分同学会写成“所有的分数都不是无理数”,这显然是错误的，但是新教材中没有讲清楚这类含量词的命题的否定形式，现在对“简易逻辑”教学中的几个问题作一论述。
一、关于命题概念:新教材中只说：可以判断真假的语句叫做命题。
正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题.例如“12〉5”“3是12的约数”是真命题,“0.5是整数”是假命题；“x 〉5”不是命题.那么对“x 〉5”有如下几个问题：问题1：它不是命题是什么呢?这种需要根据前提才能判断真假的判断句叫条件命题。
（教参上称为开语句)，如“x >5”就是条件命题，它的真假要根据x的值来确定。
而含有逻辑联结词的式子都可叫做逻辑表达式。
逻辑表达式的真假由题设条件决定。
如当x=6时，x 〉5为真,当x=2时，x >5为假.问题2：命题是怎样构成的?一个完整的命题必由主项，谓项,量词和判断词四部分构成.例如命题“所有实数的绝对值都是正数”的主项是“实数的绝对值”，谓项“正数"，量词是“所有",判断词是“都是”。
问题3:命题是怎样分类的？根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题.单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。
如“3是正数”就是单称命题。
全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何",“都"等，也常被省略。
如“整数是有理数"的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数"。
特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的"，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。
如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。
根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。
性质命题的判断词常用“是”，“不是”;用来判断主项是否符合某项性质。
例如“3是正数”就是性质命题。
关系命题的判断词常用“有"，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在"，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。
高中数学 1.1.1 命题与四种命题配套多媒体教学优质课件 北师大版选修11
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思考3.下列两个命题中，它们(tā men)的条件和结 论之间分别有什么关系？
（1）若∠A＝∠B，则sin A＝sin B （2）若sin A ≠ sin B ，则∠A≠∠B
提示：分析这两个命题的条件与结论，容易(róngyì)
提示：分析这两条件(tiáojiàn)和结论分别是命题（1）的条
件(tiáojiàn)的否定和结论的否定，命题（1）与命题（2）
互为否命题.
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互为否命题：如果一个命题的条件和结论恰好分别 是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把 这样(zhèyàng)的两个命题叫作互为否命题.如果把 其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题 的否命题.
第一章 常用逻辑用语 §1 命 题
第1课时 命题(mìng tí)与四种 命题(mìng tí)
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歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师.一天，他与一位 批评家“狭路相逢”，这位批评家生性古怪，看见歌德走来， 不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走,一边大声 说道：“我从来不给傻子让路！”而面对如此尴尬(ɡān ɡà) 的局面，歌德只是谦恭地闪在一旁，有礼貌地回答道“呵呵， 我可恰恰相反”.结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣.
把一个命题的条件(tiáojiàn)和结论同时否定， 并互换位置就是它的逆否命题.
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例1 判断下面的语句是否(shì fǒu)为命题?若是命题，
指出它的真假.
(1) 空集(kōnɡ jí)是任何集合的子 （是，真）
集(2).若整数a是素数(sù shù),则a是奇 （是，假）
高中数学 本章整合总结课件 北师大版选修11
A．①③
B．①④
C．②③ D．②④
[答案] C
[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为 真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2<y2，所以命题q为假 命题，所以②③为真命题，故选C.
7．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二 中联考)设命题 p：实数 x 满足(x－a)(x－3a)<0，其中 a>0，命 题 q：实数 x 满足xx－ －32≤0.
(1)复合命题的否定 ¬(p且q)为¬p或¬q.
¬(p或q)为¬p且¬q.
(2)含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定为特称命题，“∀x∈M，p(x)”的否定为： “∃x∈M，¬p(x)”；特称命题的否定为全称命题， “∃x∈M，p(x)”的否定为：“∀x∈M，¬p(x)”．
4．充要条件的判断是通过判断命题“若p，则q”的真假来 判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密 切，可相互转化．
“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．
3．已知a、b、c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋ c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 [答案] A [解析] a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的
4．命题的否定与否命题是两个不同的概念，命题的否定只否 定命题的结论，否命题既否定原命题的结论，也否定原命 题的条件.
1．命题“任意x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )
A．存在x0∈R，x－2x0＋1<0 B．存在x0∈R，x－2x0＋1≥0 C．任意x∈R，x2－2x＋1>0 D．任意x∈R，x2－2x＋1<0
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细说“命题及其关系“
有关命题及其关系，已经在近年许多省市的试卷中出现，往往和其他知识结合起来进行综合考查，多以选择题和填空题形式出现，偶而也有解答题。
学习命题及其关系，应注意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，注意正确区分否命题与命题的否定，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。
一、知识点精讲 1．命题
一般地，，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。
说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。
一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；
（2）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、q 、r 等。
2．命题的结构
在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
数学中有一些命题虽然表面上不是“若p 则q ”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p 则q ”的形式。
3．四种命题
交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。
这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便。
4．四种命题的形式
用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝
、q ⌝
分别表示p 和q 的否定，四种形式就是：
原命题：若p ，则q ，即p q ⇒； 逆命题：若q ，则p ，即q p ⇒； 否命题：若p ⌝
则q ⌝
，即p ⌝
⇒q ⌝
；
逆否命题：若q ⌝
则p ⌝
，即q ⌝
⇒p ⌝。
5．四种命题之间的关系
6．四种命题间真假命题的判断
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
说明：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
7．否命题与命题的否定
否命题与命题的否定是两个不同的概念，若p 表示命题，“非p ”叫做命题p 的否定。
如果原命题是“若p 则q ”的形式，，那么这个命题的否定是“若p 则非q ”，即只否定结论。
原命题的否定命题是“若非p ，则非q ”，即既否定条件，又否定结论。
二、范例剖析
例1 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
（1）正数的平方根不等于0； （2）当2x =时，2
60x x +-=；
分析：首先分清条件p 和结论q ，然后写成“若p 则q ”的形式。
解析：（1）原命题：若a 是正数，则a 的平方根不等于零； 逆命题：若a 的平方根不等于零，则a 是正数； 否命题：若a 不是正数，则a 的平方根等于零； 逆否命题：若a 的平方根等于零，则a 不是正数。
（2）原命题：若2x =，则2
60x x +-=；
逆命题：若2
60x x +-=，则2x =； 否命题：若2x ≠，则2
60x x +-≠； 逆否命题：若2
60x x +-≠，则2x ≠。
评注：根据四种命题的定义来写，注意否命题与命题的否定的区别。
例2 判断命题“已知a 、x 为实数，若关于x 的不等式2
2
(21)20x a x a ++++≤的解集非空，则1a ≥”的逆否命题的真假。
分析：可以先写出原命题的逆否命题，直接判断其真假；也可以利用原命题与其逆否命题的等价关系，去判断原命题的真假；又问题涉及到不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解。
解析：方法1：逆否命题：已知a 、x 为实数，如果1a <，关于x 的不等式
22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集。
判断如下：
抛物线2
2
(21)2y x a x a =++++开口向上， 判别式2
2
(21)4(2)47a a a ∆=+-+=-。
∵1a <，∴470a -<，即抛物线2
2
(21)2y x a x a =++++与x 轴无交点， ∴关于x 的不等式2
2
(21)20x a x a ++++≤的解集为空集。
故逆否命题为真。
方法2：先判断原命题的真假。
∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式2
2
(21)20x a x a ++++≤的解集非空， ∴2
2
(21)4(2)470a a a ∆=+-+=-≥，∴7
4
a ≥。
∵7
14
a ≥
>，∴原命题为真， 又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真。
方法3：利用集合的包含关系求解。
命题p ：关于x 的不等式2
2
(21)20x a x a ++++≤有非空解集， 命题q ：1a ≥。
∴p ：{A a =关于x 的不等式2
2
(21)20x a x a ++++≤有实数集}
227
{(21)4(2)0}{}4
a a a a a =+-+≥=≥，
q ：1a ≥。
∵A B ⊆，∴“若p ，则q ”为真，∴其逆否命题“若q ⌝
，则p ⌝
”为真， ∴原命题的逆否命题为真。
评注：该例是一道集合、不等式的解、二次函数的图象、四种命题的关系的综合题，通过一题多解，培养发散创新能力。