高中数学北师大版选修11第一章细说“命题及其关系”知识详解素材

细说“命题及其关系“

有关命题及其关系，已经在近年许多省市的试卷中出现，往往和其他知识结合起来进行综合考查，多以选择题和填空题形式出现，偶而也有解答题。学习命题及其关系，应注意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，注意正确区分否命题与命题的否定，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。

一、知识点精讲 1．命题

一般地，，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。

说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；

（2）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、q 、r 等。 2．命题的结构

在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

数学中有一些命题虽然表面上不是“若p 则q ”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p 则q ”的形式。

3．四种命题

交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便。

4．四种命题的形式

用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝

、q ⌝

分别表示p 和q 的否定，四种形式就是：

原命题：若p ，则q ，即p q ⇒； 逆命题：若q ，则p ，即q p ⇒； 否命题：若p ⌝

则q ⌝

，即p ⌝

⇒q ⌝

；

逆否命题：若q ⌝

则p ⌝

，即q ⌝

⇒p ⌝

。 5．四种命题之间的关系

6．四种命题间真假命题的判断

一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

说明：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。 7．否命题与命题的否定

否命题与命题的否定是两个不同的概念，若p 表示命题，“非p ”叫做命题p 的否定。如果原命题是“若p 则q ”的形式，，那么这个命题的否定是“若p 则非q ”，即只否定结论。

原命题的否定命题是“若非p ，则非q ”，即既否定条件，又否定结论。 二、范例剖析

例1 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。 （1）正数的平方根不等于0； （2）当2x =时，2

60x x +-=；

分析：首先分清条件p 和结论q ，然后写成“若p 则q ”的形式。 解析：（1）原命题：若a 是正数，则a 的平方根不等于零； 逆命题：若a 的平方根不等于零，则a 是正数； 否命题：若a 不是正数，则a 的平方根等于零； 逆否命题：若a 的平方根等于零，则a 不是正数。 （2）原命题：若2x =，则2

60x x +-=；

逆命题：若2

60x x +-=，则2x =； 否命题：若2x ≠，则2

60x x +-≠； 逆否命题：若2

60x x +-≠，则2x ≠。

评注：根据四种命题的定义来写，注意否命题与命题的否定的区别。

例2 判断命题“已知a 、x 为实数，若关于x 的不等式2

2

(21)20x a x a ++++≤的解集非空，则1a ≥”的逆否命题的真假。

分析：可以先写出原命题的逆否命题，直接判断其真假；也可以利用原命题与其逆否命题的等价关系，去判断原命题的真假；又问题涉及到不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解。

解析：方法1：逆否命题：已知a 、x 为实数，如果1a <，关于x 的不等式

22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集。判断如下：

抛物线2

2

(21)2y x a x a =++++开口向上， 判别式2

2

(21)4(2)47a a a ∆=+-+=-。

∵1a <，∴470a -<，即抛物线2

2

(21)2y x a x a =++++与x 轴无交点， ∴关于x 的不等式2

2

(21)20x a x a ++++≤的解集为空集。 故逆否命题为真。

方法2：先判断原命题的真假。

∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式2

2

(21)20x a x a ++++≤的解集非空， ∴2

2

(21)4(2)470a a a ∆=+-+=-≥，∴7

4

a ≥。 ∵7

14

a ≥

>，∴原命题为真， 又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真。 方法3：利用集合的包含关系求解。

命题p ：关于x 的不等式2

2

(21)20x a x a ++++≤有非空解集， 命题q ：1a ≥。

∴p ：{A a =关于x 的不等式2

2

(21)20x a x a ++++≤有实数集}

227

{(21)4(2)0}{}4

a a a a a =+-+≥=≥，

q ：1a ≥。

∵A B ⊆，∴“若p ，则q ”为真，∴其逆否命题“若q ⌝

，则p ⌝

”为真， ∴原命题的逆否命题为真。

评注：该例是一道集合、不等式的解、二次函数的图象、四种命题的关系的综合题，通过一题多解，培养发散创新能力。