分数的巧算和速算

分数的速算与巧算

【专题解析】

在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。

（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。

（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。

【典型例题】

例1. 计算：（1）569

8

÷8 （2）16620

1÷41

分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+9

8），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。（2）把题中的166

20

1

分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。

（1）569

8÷8＝（56+9

8）÷8＝（56+9

8）×8

1＝56×8

1+9

8×8

1＝7+9

1＝7

9

1 （2）166201÷41 = (164 +20

41)×411= 164×411+2041×

41

1= 4201

【举一反三】 计算：（1）64

17

8

÷8 （2）145

7

5

÷12 （3）545

2÷17 （4）170

12

1

÷13

例2. 计算：20041

20042004

20052006

÷+

分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。

聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看

出÷2004

20042005

2005

的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷1

2005

也是很好算的，这一方

法就留给你们吧！

1

2006

⨯÷

+20042006原式=20042005

1

200620051

200620061

⨯

+

⨯=+=2005=200420042006 【举一反三】

计算：（5）2000÷200020012000+2002

1

（6）238÷238

239238+240

1

例3. 计算：

1994

199219931

19941993⨯+-⨯

分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。1993×1994-1 =（1992+1）×1994-1 = 1992×1994+1994-1 = 1992×

1994+1993，这样使原式的分子、分母相同，从而简化计算。

1994199219931

19941993⨯+-⨯ =

1994

1992199311994)11992(⨯+-⨯+ =

1994

199219931993

19941992⨯++⨯ = 1

【举一反三】 计算：（7）

2013

201120121

-20132012⨯+⨯

（8）

1

198919881987

19891988-⨯⨯+

例 4. 计算： （1）

323232128128×256256

161616

（2）05

200520052020052005200507

2007200720200720072007++++

分析与解：根据算式中各数的特点，变形后再约分计算。

（1）

323232128128×256256161616＝10101321001128⨯⨯×1001

2561010116⨯⨯＝41

（2）05

200520052020052005200507

2007200720200720072007++++＝

100010001

20051000120052005100010001

20071000120072007⨯+⨯+⨯+⨯+

＝

100010001﹚10001﹙12005100010001﹚10001﹙12007++⨯++⨯＝2005

2007

【举一反三】 计算： （9）

254254484848÷127127

242424

（10）363636

363636252525

252525++++

例5. 计算：2

1+4

1+81+

161+321+641+128

1

分析与解：此题的解法有两种。

第一种方法：观察上面的算式发现，2个128

1相加得

641，2个641相加得321，2个32

1相加得161

，……，因此，在原算式中可以先“借”来一个128

1

，最后再

“还”一个1281，构造一个1281+128

1

，使计算简便。（过

程略）

第二种方法：设S ＝2

1+4

1+81+161+321+641+128

1

，则2S ＝1＋2

1+4

1+81+

161+321+64

1

两式相减得：2S －S ＝（1＋2

1+4

1+81+161+321+64

1

）－（2

1

+4

1+81+

161+321+641+128

1

）

S ＝1－

128

1 即21+41+81+

161+321+641+1281＝128

127

（即错位相减法）

【举一反三】

计算： （11）21＋41＋81＋

161＋32

1＋641

（12）1＋31＋61＋121＋241＋481＋96

1

（13）31＋91＋271＋811＋2431＋729

1 （14）5

1＋

251＋1251＋6251＋3125

1