数学必修一课件

符号
2.必备结论教材提炼
记一记
(1)对于有限集合A,若card(A)=n,则集合A的子集个数
n-1 n-2 n 2 2 为2 ,真子集个数为____,非空真子集个数为____.
(2)A∪B=A⇔B⊆A, A∩B=A⇔A⊆B.
(3)一般地,对任意两个有限集合A,B,有 card(A∪B)=card(A)+card(B) -card(A∩B).
综上得,a=2,b=0,c=1,代入a+2b+5c=7.
【规律方法】 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的 个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
【变式训练】若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个 元素,则a= ( )
B.{x|-4≤x≤4} D.{x|3≤x≤4}
【解析】选C.因为A={x|-4<x<4},B={x|x≥3}, 所以A∩B={x|3≤x<4}.
3.(必修1P12T1改编)已知集合A={0,1,2},集合B满足
A∪B={0,1,2},则集合B有________个.
【解析】由题意知B⊆A,则集合B有8个. 答案:8
(2)由题意,得A中必有零,又x≠0, 所以 y 1 =0,即y=1.
x
此时A={2x,0,1},B={x2,x+1,0}, 因为A=B, 所以
2 2x x , 2 x x 1, 或 2 x 1 1, x 1,
即x=0或x=1, 由集合中元素的互异性知x=0不满足题意,故x=1, 所以x+y=2. 答案:2
真题小试
感悟考题
试一试
4.(2016·山东高考)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x| x2-1<0},则A∪B= ( A.(-1,1) C.(-1,+∞) ) B.(0,1) D.(0,+∞)
【解析】选C.因为A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},所 以集合A表示大于0的实数,而集合B表示在-1与1之间的
自然 数集
正整 数集
*或N N + ______
整数集 Z __
有理 数集
实数集 R __
符号
N __
Q __
列举法 、_______ 描述法 、_______. 图示法 ④集合的表示方法:_______
(2)集合间的基本关系:
表示 关系 相 子 等 集
文字语言
相同 集合A与集合B中的所有元素_____ A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素, 且B中至少有一个元素不是 A中的元素 任何集合 的子集,是_____ 任何 空集是_________ 非空集合 的真子集 _________
所以-1∈A,所以A错误; 令-11=3k-1,k=- 10 ∉Z,
3
所以-11∉A,所以B错误;
令-34=3k-1,k=-11,所以-34∈A,所以D错误. 因为k∈Z,所以k2∈N,则3k2-1∈A,所以C正确.
(2)选C.由{a,b,c}={0,1,2}得,a,b,c的取值有以下情
况:
当a=0时,b=1,c=2或b=2,c=1,此时不满足条件; 当a=1时,b=0,c=2或b=2,c=0,此时不满足条件; 当a=2时,b=1,c=0,此时不满足条件; 当a=2时,b=0,c=1,此时满足条件.
【小题快练】 教材改编 链接教材 练一练
10
1.(必修1P12T5(2)改编)若集合A={x∈N|x≤ 2
2
},a=
,则下面结论中正确的是
(
)
A.{a}⊆A
B.a⊆A
2
C.{a}∈A
D.a∉A
【解析】选D.因为2
不是自然数,所以a∉A.
2.(必修1P12T6改编)设集合A={x|x2-16<0},B={x|3x7≥8-2x},则A∩B= A.{x|-4<x<4} C.{x|3≤x<4} ( )
【解题导引】(1)判断元素x是不是A的元素,只需由
x=3k-1解出k,而k∈Z时便说明x∈A,否则x∉A,从而按照 这个方法判断每个选项的正误即可.
(2)根据集合相等的条件,列出a,b,c所有的取值情况,
再判断是否符合条件,求出a,b,c的值后代入式子求值.
【规范解答】(1)选C.k=0时,x=-1,
A.
9 2
B.
9 8 9 8
C.0
D.0或
【解析】选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+ 2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x= 2 ,符合题意,
3 9 当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a= 8
,所以a的值为0或
9 8
.
【加固训练】 1.(2017·洛阳模拟)已知集合A={1,2,4},则集合
A.{-2,-1,0,1,2,3}
B,求实数m
B,
解得m≤-3,
又当m=-3时,B={x|-2≤x≤7}=A, 不满足题意,所以m≠-3.
故实数m的取值范围为(-∞,-3).
【易错提醒】当题目中有条件B⊆A时,易忽视B=∅而致
错.
【规律方法】 1.确定集合子集个数的思路 (1)当集合中元素的个数不多于3个时,可通过逐一列出 来确定. (2)当集合中元素的个数较多时,设其个数为n,可通过 公式2n,2n-1求出其子集的个数和真子集的个数.
B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是
________.
【解题导引】(1)先解不等式,确定集合A中元素的个数,
再求解. (2)根据两个集合中元素的特点分类讨论求解.
(3)分B=∅与B≠∅两种情况讨论求解.
【规范解答】(1)选A.A={x|-1≤x≤3,x∈N*}={1,2,3}, 其真子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, 共7 个. 或因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为231=7(个).
围是 ( ) B.(-∞,1]
A.(-∞,0]
C.[1,+∞)
D.[0,+∞)
【解析】选B.若1∈A,则1-2+a>0,解得a>1. 因为1∉A,所以a≤1.故选B.
3.已知集合A={x2+x,4x},若0∈A,则x=________. 【解析】由题意,得 或
4x 0, 2 x x 0, x x 0, 4x 0
2.集合相等问题的求解思路 对于集合相等,首先要分析已知元素与另一个集合中哪
一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要
注意检验是否满足互异性.
3.根据集合的关系求参数的关键点及注意点 (1)关键点:将两集合的关系转化为元素间的关系,进而 转化为参数满足的关系. (2)注意点:①注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及 对参数进行讨论.②注意区间端点的取舍.
2
解得x=-1. 答案:-1
考点2
集合间的关系
【典例2】(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},则集
合A的真子集的个数为
A.7 B.8
(
)
C.15 D.16
y 1 1} (2)已知集合A={ 2 x ， ， x
,B={x2,x+y,0},若A=B,则
x+y=______. (3)(2017·襄阳模拟)已知集合A={x|-2≤x≤7},
考点3
集合的运算
【知·考情】
命题视角 常与方程、不等式、函数结合命题,属容 求交集 易题 常与方程、不等式、Fra Baidu bibliotek数结合命题,属容 求并集 易题 交、并、补 对补集的考查常以有限集的形式命题,常 的混合运算 与交集(或并集)综合考查,属容易题 命题角度
【明·角度】 命题角度1:求交集 【典例3】(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3}, B={x|x2<9},则A∩B= ( )
2
.
2
②若A={1},则
a 8 0, 1 a 2 0， a 8 0, 4 2a 2 0,
2
无解.
③若A={2},则
无解.
④若A={1,2},则
1 2 a , 1 2 2 ,
因为A⊆B,所以当A=∅时,a=0;
当A={-1}时,a=-1;当A={1}时,a=1. 又A中至多有一个元素,
所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}.
2.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x<m+1},若 A⊆B,则实数m的取值范围是____________. 【解析】因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|x<m+1},A⊆B, 所以m+1>2016,即m>2015. 答案:(2015,+∞)
(3)当B=∅时,满足B⊆A,
此时有m+1≥2m-1,即m≤2, 当B≠∅时,要使B⊆A,则有
m 1 2， 2m 1 7， m 2，
解得2<m≤4.
综上可得m≤4. 答案:(-∞,4]
【母题变式】
1.本例(3)中,是否存在实数m,使A⊆B?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
符号语言
A⊆B 且_____ B⊆A ⇔A=B _____ A⊆B或B⊇A ___________ A Ü B 或B A ___________ ∅⊆A ∅B(B≠∅)
真子集
空
集
(3)集合的基本运算: 并集 图形 A∪B= {x|x∈A或 __________ x∈B} ______ A∩B= {x|x∈A ________ 且x∈B} ________ ∁ UA = {x|x∈U ________ 且x∉A} _______ 交集 补集
【解析】由A⊆B,得
m 1＜ 2, m ＜ 3, 即 2m 1＞7, m ＞ 4,
不等式组无解,故不存在实数m,使A⊆B.
2.本例(3)中,若B={x|m+1≤x≤1-2m},A 的取值范围. 【解析】因为A={x|-2≤x≤7},A 所以
m 1 2, 1 2 m 7 , m 1 1 2m ,
第一章
集合与常用逻辑用语
集 合
第一节
【知识梳理】 1.必会知识 教材回顾 填一填
(1)集合的基本概念:
确定性 、_______ 无序性 、_______. 互异性 ①集合元素的性质:_______ ②元素与集合的关系: ∈ ∉ ⅰ属于,记为___;ⅱ不属于 ,记为__.
③常见集合的符号:
集合
B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为 (
A.3 B.6 C.8 D.9
)
【解析】选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4), (2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4), 共9个.
2.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范
实数,所以A∪B=(-1,+∞).
5.(2016·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则( A.{1} C.{1,2,4,6} 【解析】选C.( ={1,2,4,6}.
ðU ðU
P)∪Q=
(
)
B.{3,5} D.{1,2,3,4,5} P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}
解得a=3.
2<a<2 2
综上所述,当A⊆B时,a的取值范围为{a|-2 或a=3}.
【加固训练】
1.(2017·保定模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x21=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是 A.{-1} B.{1} ( )
C.{-1,1}
D.{-1,0,1}
【解析】选D.由题意,得B={-1,1},
【变式训练】(2017·大连模拟)已知集合A={x|x2ax+2=0},B={1,2},若A⊆B,则实数a的取值范围是( A.{3} )
B.{-2
2
,2
2
2
,3}
2
C.{a|-2
<a<2
2
或a=3}
D.{a|a<-2
或a=3}
【解析】选C.①若A是空集,则Δ=(-a)2-8<0, 即-2
2
<a<2
考点1
集合的概念
【典例1】(1)已知A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正
确的是
A.-1∉A
(
)
B.-11∈A D.-34∉A
C.3k2-1∈A
(2)(2017·宁德模拟)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下 列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确, 则a+2b+5c等于 A.4 B.5 ( ) C.7 D.11