第二章方程与不等式复习教案
专题二-方程与不等式教案
课题：方程与不等式一、 教学目标：1、 理解一次方程、一元二次方程和分式方程及一元一次不等式的概念；2、 重点掌握三种方程和一元一次不等式的解法；3、 掌握方程及不等式的应用。
二、 教学重点、难点：重点：方程及不等式的解法难点：方程及不等式的应用三、 教学过程：1、 课堂引入：（15—20分钟）（1） 上节知识回顾：各位同学，大家好!首先，让我们来回顾上节课所学的内容——数与式。
数与式的重难点是关于实数的运算和整式的运算，所以我们必须牢牢掌握所有的运算公式。
①01(0)a a =≠ ②1(0,)p p a a p a -=≠是正整数 ③()()(0)()m m m a m a a a m ⎧⎪-=≠⎨-⎪⎩为偶数为奇数（奇负偶正）幂的运算：①同底数幂相乘(,)m n m n a a am n +∙=都是整数 ②幂的乘方()(,)n m mn a a m n =都是整数③积的乘方()()n n n ab a b n =∙为整数④同底数幂相除(,)m n m n a a am n -÷=都为整数乘法公式：①平方差公式()()22a b a b a b +-=- ②完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ ③常用恒等变形()()()()222222224a b a b ab a b ab a b a b ab ⎧+=+-=-+⎪⎨-=+-⎪⎩ （2） 本讲导入：本讲我们要复习的是方程与不等式，接下来我们来看看方程与不等式在中考当中的题型及考察点：一般情况下，选择题，填空题各1题（考察方程或不等式的应用）大题1题（考察解方程或解不等式）所以，本讲的重难点就是解方程或不等式及方程或不等式的应用2、 做课前检测试卷（20—30分钟）（1）做课前检测试卷（2）请第一位做好的同学在白板上书写最后一题大题解题步骤（3）按照出错率由高到低依次讲解（老师讲解）3、复习重难点：（60分钟）（1）解一元一次方程的步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1（2）一元二次方程的解法：① 直接开平方法：适合于()()20x a b b +=≥或()()22ax b cx d +=+形式的方程 ②因式分解法：把方程化成0ab =的形式，得0a =或0b =③公式法：当240b ac -≥时，x = ④配方法：配成完全平方的形式，再利用①（3） 分式方程的解法：方程两边同乘分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，在求根，验根（4） 一元一次不等式的解法：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为14、做课堂达标试卷（20—30分钟）（1）做课堂达标试卷（2）请第一位做好的同学在白板上书写最后一题大题解题步骤（3）按照出错率由高到低依次讲解（学生讲解，老师补充）四、 反思与总结：本讲优点：与学生之间的课堂互动较第一堂课自然很多，知识点的讲解也能收放自如 不足之处：根据考生做完试卷的结果来看，在出题难度方面还需斟酌，个别题难题大，可以删除。
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
初三数学总复习教案第二单元 方程与不等式
4、方程1- 去分母得（ ）
A．1-2(2x-4)=-(x-7)B．6-2(2x-4)=-x-7
C．6-2(2x-4)=-(x-7)D．以上答案均不对
5、一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（）.
（A）17道（B）18道（C）19道（D）20道
2、在80克食盐中，加入______克水，才能配成浓度为10％的盐水．
3、一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是______．
4、某工厂引进了一批设备，使单位成品的成本降低了20％。已知今年单位成品的成本为8元，则去年单位成品的成本为_______元。
5、某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润为5％，那么此商品是按_______折销售的。
5、一家商店进行装修,若请甲乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付两组费用共3480元,问:
（1）甲乙两组工作一天,商店应各付多少钱?
（2）已知甲乙两组单独完成分别需要12天和24天,单独请哪组,商店所付的费用较少?
（3）若装修完后,商店营业,每天可赢利200元,你认为如何安排施工有利于商店经营,为什么?
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有 名同学,捐款3元的有 名同学,根据题意,可得方程组（ ）
A、 B、
C、 D、
4、初三（1）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“春节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其它两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“春节”期间的销售额．
第二章方程与不等式组复习教案
普文镇中学2014----2015学年下学期九年级面对面第二章方程（组）与不等式（组）教案主备人：唐泽燕参与教师：兰艳李玉娇郭兵肖兴斌李朝阳授课班级：授课教师：第一节一次方程式（组）教学目标：1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会“消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性教学重点：解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤和方法教学难点：根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一等式的性质(2011版新课标新增内容)性质1：等式两边加(或减）同一个数(或式子），结果仍相等.如果a=b,那么性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么考点二一元一次方程及解法1. 方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.2. 形式：任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0(a、b是常数，且a≠0)的形式.3. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.4. 一元一次方程的解法考点三二元一次方程（组）及其解法1. 二元一次方程：方程含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.2. 二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.3. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，且解应写成的形式.4. 解二元一次方程组的基本思想是④______,将二元一次方程组转化为⑤_________方程然后求解.5. 二元一次方程组的解法常用的消元法有代入消元法和加减消元法.（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法.考点四三元一次方程组（2011版新课标新增内容）1. 三元一次方程组：一个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.2. 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.考点五一次方程（组）的应用（高频考点）1. 列方程解应用题的一般步骤:（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系；（2）设元：设未知数（可设直接或间接未知数）；（3）列方程（组）：挖掘题目中的关系，找两个等量关系，列方程（组）；（4）求解；（5）检验作答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案. 2.一次方程(组)常考应用类型及关系式二、常考类型剖析类型一二元一次方程组的解法例1（’14滨州）解方程组：解：由①，得y=3x-7③,把③代入②，得x+3(3x-7)=-1,解这个方程，得x=2,把x=2代入③，得y=3×2-7,解这个方程，得y=-1,所以，方程组的解是x=2y=-1.【方法指导】1. 当方程组中某一个未知数的系数为1或-1时，选用代入消元法较合适.2. 当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适.3. 当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适.4. 当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适.拓展变式1（’14泰安）方程5x+2y=-9与下列方程构成的方程组的解为的是( )A.x+2y=1B. 3x+2y=-8C. 5x+4y=-3D. 3x-4y=-8【解析】本题考查二元一次方程组解的意义.可将x=-2,y=12分别代入各个选项验证.类型二 一次方程（组）的应用例2（’14黄冈）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元.问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？【信息梳理】设购买一块电子白板需要x 元，购买一台投影机需要y 元，解：设购买一块电子白板需要x元，购买一台投影机需要y元，（1分）根据题意列方程组：2x-3y=40004x+3y=44000，（3分）解得x=8000y=4000.（5分）答：购买一台电子白板需8000元，购买一台投影机需要4000元.（6分）【踩分答题】1. 理清题目中已知未知量的关系，设出未知数可得分;2. 根据题意列出方程组可得分;3. 正确解出方程组可得分;4. 写出答可得分.总结：解答此类题时，根据题意进行信息梳理列出方程（组）是解题的关键.拓展变式2 (’14抚州)情景:试根据图中的信息，解答下列问题:（1）购买6根跳绳需_________元，购买12根跳绳需________元. （2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元.你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.解：有这种可能．设小红购买跳绳x根，则25×0.8x=25（x-2）-5，解得x=11．故小红购买跳绳11根．（1）【思路分析】根据总价=单价×数量，现价=原价×0.8，列式计算即可求解；解：25×6=150（元），25×12×0.8=300×0.8=240（元）．即购买6根跳绳需150元，购买12根跳绳需240元．（2）【思路分析】设小红购买跳绳x根，根据等量关系：小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元；即可列出方程求解．解：有这种可能．设小红购买跳绳x根，则25×0.8x=25（x-2）-5，解得x=11．故小红购买跳绳11根．三、练习：面对面P23四、小结：五、作业：面对面P25六、教学反思：第二节一元二次方程教学目标1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式2.理解配方法，会用因式分解法，直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性教学重点用因式分解法，直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程教学难点配方法，一元二次方程解决实际问题，能检验结果的合理性学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一一元二次方程及有关概念1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是①________方程；(2)必须只含有②__________未知数；(3)所含未知数的最高次数是③____________.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 考点二一元二次方程的解法1. 解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.2. 一元二次方程的解法1. 根的判别式：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac.2. 一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)b2-4ac＞0 方程有⑨__________的实数根；(2)b2-4ac=0 方程有⑩__________的实数根；(3)b2-4ac＜0 方程 ____________实数根.【温馨提示】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.3. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实根分别为x1，x2，则x1+x2= _____,x1x2= _____.考点四一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.(2)利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%.(3)面积问题常见图形归纳如下：第一：如图①,矩形ABCD长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积表示为(a-2x)(b-2x).第二：如图②,矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a-x)(b-x).第三：如图③,矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a-x)(b-x).二、常考类型剖析类型一解一元二次方程例1 (’14岳阳改编)一元二次方程x2+2x-8=0的根是( ) A. x1=2，x2=4 B. x1=2，x2=-4C. x1=-2，x2=4D. x1=-2，x2=-4【解析】用因式分解法，∵x2+2x-8=0，∴(x-2)（x+4）=0，即x1=2，x2=-4．【归纳总结】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.拓展变式1 (’14宁夏) 一元二次方程x2=2x+1的解是（）A. x1=x2=1B. x1=1 ，x2＝-1C. x1＝1 ，x2＝1D. x1=-1 ，x2＝-1【解析】方程x2＝2x+1,变形得：x2-2x=1,配方得：x2-2x+1=2,即（x-1）2=2,开方得：x-1=± ,解得：x1=1+ ,x2=1-类型二一元二次方程的判别式及其根与系数的关系例2（’14深圳）下列方程没有实数根的是( )A. x2+4x=10B. 3x2+8x-3=0C. x2-2x+3=0D. （x-2）（x-3）=12【解析】分别计算出判别式b2-4ac的值，然后根据b2-4ac的意义分别判断，【方法指导】1. 如果是判断一元二次方程根的个数可以用判别式与0的大小判断决定；2. 求两根之和与两根之积可直接利用根与系数关系；3. 已知方程的一个根求另一个根，可用方程解的意义，也可用根与系数的关系，后者更简单.拓展变式2 (’14黄冈) 若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=( )A. -8B. 32C. 16D. 40【解析】根据根与系数的关系得到α+β=-2，αβ=-6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2-2αβ，然后利用整体代入的方法计算．根据题意得α+β=-2，αβ=-6，所以α2+β2=（α+β）2-2αβ=（-2）2-2×（-6）=16.故选C．类型三一元二次方程的应用例3(’15原创)巴西世界杯的某纪念品原价188元，连续两次降价a%后售价为118元，下列所列方程中正确的是( )A. 188（1+a%）2=118B. 188（1- a%）2=118C. 188（1-2a%）=118D. 188（1- a2%）=118【解析】由题意得：第一次降价后的售价为188（1-a%）元，第二次降价后的售价为188（1-a%）(1-a%)元，则所列方程为188（1-a%）2=118.拓展变式3 (’14泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A. （3+x）（4-0.5x）=15B. （x+3）（4+0.5x）=15C. （x+4）（3-0.5x）=15D. （x+1）（4-0.5x）=15【解析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得（x+3）（4-0.5x）=15. 失分点8 一元二次方程的解法方程x(x-1)=2(x-1)2的根为( )A. 1B. 2C. 1和2D. 1和-2 【解析】方程两边同时除以公因式得：x=2(x-1),………第一步方程移项得：x-2(x-1)=0,………………第二步去括号得：-x+2=0,………………………第三步解得：x=2.………………………………第四步上述解析过程是从第__________步开始出现错误的，应该改为________________，此题最终的结果是___________【名师提醒】对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项.三、练习：面对面P28四、小结：五、作业：面对面P30六、教学反思：第三节分式方程教学目标1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思想，了解增根的概念，会进行分式方程的验根3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性教学重点解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤和方法教学难点根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一分式方程及其解法1. 概念：①______中含有未知数的方程叫做分式方程.2. 解分式方程的基本思路：分式方程整式方程解整式方程检验确定原方程的根.3. 解分式方程的步骤:（1）去分母，在方程的两边都乘以②___________ ，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果③______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解，分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根.考点二分式方程的应用1. 与列整式方程解应用题的思考方法与步骤相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答.不同点是要检验两次，既要检验求出的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意.2. 常考类型及公式分式方程的应用题主要涉及工程问题，工作量问题，行程问题等，每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝二、常考类型剖析类型一解分式方程例1（’14苏州）解方程：＝3.【解题指导】本题考查解分式方程，按照解分式方程的步骤直接求解即可.解：去分母，得______________，……（2分）移项，得______________，…………（3分）合并同类项，得_______，系数化为1，得________，………（4分）检验 ___________________________________________________...（5分）∴原方程的解是：_______.......（6分）【踩分答题】1. 解分式方程过程中，去分母、移项、系数化为1计算正确均可得分；2. 写出检验过程可得分；3. 正确写出分式方程的解可得分.总结：解分式方程的关键是去分母，移项，系数化为1，在解分式方程时要将其化为整式方程进行求解，切勿漏掉检验过程.拓展变式1（’14佛山）解分式方程 .【思路分析】解分式方程，在分式方程的两边同乘以分母的最简公分母，去掉分母，得到整式方程．然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出整式方程的解．最后把整式方程的解代入最简公分母，当最简公分母不等于0时，这个解就是原分式方程的解；当最简公分母等于0时，这个解不是原分式方程的解，是增根．解：去分母得：2［-(1+a)］=a+4.去括号得：-2-2a=a+4，合并同类项得：3a=-6，化系数为1：a=-2.经检验，a＝-2是原方程的根.∴原方程的解为a＝-2.类型二分式方程的应用例2（’14广州）从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．（1）【信息梳理】设普通列车的平均速度为千米/时，解：普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米）. …………………（4分）（2）【信息梳理】设普通列车的平均速度为x 千米/时，段路程的时间为解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为 2.5 千米/时，………….（5分）根据题意，得，………（7分）解得 x=120，…………..（9分）经检验得出， x=120是原分式方程的解，…………（10分）所以2.5 x =300．………..（11分）答：普通列车的行驶路程为520千米；高铁的平均速度为300千米/时．…………..（12分）【踩分答题】1. 理解题意设出未知数可得分；2. 对题目信息进行整理列出符合题意的分式方程可得分;3. 解这个分式方程并进行检验均可得分;4. 作答可得分.总结：对于分式方程的应用题关键是要整理题目中的信息找出对应的等量关系.【方法指导】1. 列方程解应用题要先找等量关系，然后用含有未知数的代数式表示每一个量，再利用等量关系列出分式方程.2. 注意最后要检验，既要检验求出的未知数的值是否为增根，还要检验是否符合实际意义.拓展变式2（’14日照）为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标.现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务，问甲队每天完成多少平方米？【信息梳理】设甲工程队每天工作量为 x平方米,天解：设甲工程队每天施工 x m2，则乙工程队每天施工1.5 x m2，由题意得，解得 x=160，经检验， x =160是原分式方程的解，答：甲队每天完成160平方米.失分点9 分式方程的解法解方程： .解：方程两边同乘以（x-5）得：1＝x+1+2，……………第一步整理得:1=x+3,……………第二步解得:x=-2……………………第三步所以原方程的解为-2………第四步上述解法是从第_______步开始出现错误的，应改为_____________________________________,此题最终的结果是________.【名师提醒】对于含有常数项的分式方程，在解的过程中应注意：（1）给分式两边同乘以公分母时不要给常数项漏乘；（2）在合并同类项时注意去括号后符号的变化；（3）解方程中有没有进行检验.在解分式方程时，要记住“三步”：一是分化整解方程；二是检验；三是下结论有无根.小心“四漏”：漏乘、漏括号、漏检、漏变号.三、练习：面对面P33四、小结：五、作业：面对面P35六、教学反思：第四节一次不等式（组）教学目标1.了解不等式和一元一次不等式（组）的概念，掌握不等式的基本性质2.了解一元一次不等式（组）的解和解集的概念，理解他们与方程的解飞区别，会在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集3.掌握解一元一次不等式（组）的一般方法和步骤，能熟练的解一元一次不等式(组)，会用口诀或数轴确定一元一次不等式组的解集4.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的实际问题，能确定一元一次不等式（组）的整数解教学重点一元一次不等式（组）的解法，列一元一次不等式（组）解应用题教学难点列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的实际问题，能确定一元一次不等式（组）的整数解学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一不等式的概念及其性质1. 不等式：一般地，用不等号连接起来的式子叫做不等式.2. 不等式的性质考点二 一元一次不等式及其解法1. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.2. 解集：使一元一次不等式成立的未知数的值，叫做一元一次不等式的解.一个含有未知数的一元一次不等式的所有解，叫做这个一元一次不等式的解集.3. 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.4. 解集的表示考点三 一元一次不等式组及其解法1. 一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.3. 解不等式组的一般步骤：先分别解出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.4. 几种常见的不等式组的解集：设a＜b，a，b是常数，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表：考点四一元一次不等式的应用1. 步骤：(1)审清题意找出不等关系；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)检验并写出答案.2. 列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计问题相联系，如最大利润，最优方案等.解题应紧紧抓住不足，至少、不少(多)于、不超过、不低于等关键词.二、常考类型剖析类型一解不等式（组）及数轴表示解集例1（’14东营）解不等式组：＜12（1-x)≤5，把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．解：解不等式＜1,得________:（1分）解不等式2(1-x)≤5，得_________...（2分）根据“小大大小中间找”得，原不等式组的解集是_________.................（3分）不等式组的解集在数轴上表示如解图示：例1题解图所以不等式组的解集中的整数解为：________．..............（4分）【踩分答题】1. 分别解出不等式组中的单个不等式可得分；2. 写出不等式组的解集可得分;3. 在数轴上画出不等式组的解集并写出最后的结果可得分.【方法指导】1. 在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向，边界：有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈，方向：大于向右，小于向左. 2. 求整数解时，首先要求出不等式组的解集，再写出此解集内所有的整数，也可将解集在数轴上表示出来，以免漏解，但要注意是否包含端点.拓展变式1（’14台州）解不等式组：2x-1＞x+1x+8＞4x-1,并把解集在下面数轴上表示出来.拓展变式1题图解： 2x-1＞x+1①x+8＞4x-1②，解不等式①得：x＞2；解不等式②得：x＜3．所以原不等式组的解集是2＜x＜3，把解集表示在数轴上得：拓展变式1题解图类型二一元一次不等式的应用（难点）例2（’14邵阳）小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．（1）两种型号的地砖各采购了多少块？（2）如果厨房也铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？解：（1）设彩色地砖采购x块，则单色地砖采购（100－x）块，根据题意，得80x＋40（100－x）＝5600．解得x＝40．所以100－x＝60．答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块．（2）设彩色地砖采购y块，则单色地砖采购（60-y）块，根据题意，得80y+40（60-y）≤3200，解得 y≤20．答：彩色地砖最多采购20块．【方法指导】1. 列不等式解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“不超过”、“不低于”、“不大于”“不高于”、“小于”等.2. 利用不等式在限制条件下探究方案时，注意挖掘问题中的隐含条件由其解集范围内的正整数解来确定方案.拓展变式2 （’14南京）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm．某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__________cm．【解析】设长为3x，宽为2x，由行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，可得出不等式5x+30≤160，解得：x≤26则3x≤78，所以行李箱的长的最大值为78 cm．失分点10 解不等式解不等式：≥解：≥9x-2≥10x+1-1………………..第一步-x≥2………………………….第二步x≥-2………………………….第三步所以原不等式的解集为x≥-2...第四步上述解法是从第_______步开始出现错误的，应改为___________________，此题最终的结果_________.【名师提醒】此类题易错点有三个：（1）是错在去分母时，漏乘不含分母的项-1（违反了不等式的基本性质2）；（2）是错在去分母时，忽视了分数线具有括号的作用（正确的方法是去分母后，整个分子要用括号括起来）；（3）是错在系数化为1时，不等号的方向改变（错误的原因是没有重视系数是负数，违反了不等式的基本性质3）三、练习：面对面P38四、小结：。
中考复习教案：方程与不等式
中考复习教案：方程与不等式一、教学目标1. 回顾一元一次方程的定义、解法及应用，使学生能够熟练掌握解一元一次方程的方法，并能够将其应用于实际问题中。
2. 复习一元一次不等式的定义、解法及应用，帮助学生理解不等式的基本性质，并能够解一元一次不等式。
3. 通过对实际问题的分析，培养学生运用方程与不等式解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 一元一次方程的定义、解法及应用。
2. 一元一次不等式的定义、解法及应用。
3. 方程与不等式的实际问题应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法。
2. 教学难点：方程与不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、示例、练习、讨论等多种教学方法，引导学生复习和巩固方程与不等式的知识。
2. 通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生运用方程与不等式解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 复习导入：回顾一元一次方程的定义、解法及应用，引导学生复习相关知识。
2. 知识讲解：讲解一元一次不等式的定义、解法及应用，与方程进行对比，帮助学生理解不等式的基本性质。
3. 示例讲解：给出一些实际问题，引导学生运用方程与不等式进行解决，示例讲解解题思路和方法。
4. 练习巩固：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 讨论交流：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和经验，互相学习。
6. 总结归纳：对本节课的内容进行总结归纳，强调方程与不等式在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些相关的作业题，让学生课后巩固复习。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，检测学生对一元一次方程和不等式的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生在课后完成，以巩固所学知识。
3. 单元测试：进行一次方程与不等式的单元测试，全面评估学生对本单元知识的掌握情况。
七、教学资源1. 教学PPT：制作详细的PPT，展示一元一次方程和不等式的定义、解法及应用。
方程和不等式的解法复习课教案
方程和不等式的解法复习课教案一、教学目标1. 回顾和巩固方程和不等式的解法，提高学生解决实际问题的能力。
2. 培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力。
3. 激发学生的学习兴趣，培养合作意识和创新精神。
二、教学内容1. 回顾一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。
2. 分析实际问题，运用方程和不等式解决生活中的问题。
三、教学重点与难点1. 重点：方程和不等式的解法及其应用。
2. 难点：如何将实际问题转化为方程和不等式，并灵活运用解法求解。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究方程和不等式的解法。
2. 利用多媒体课件，展示实际问题，帮助学生理解和运用方程和不等式。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。
五、教学过程1. 导入：回顾方程和不等式的基本概念，引导学生思考实际问题与方程不等式之间的关系。
2. 自主学习：学生通过阅读教材，回顾一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。
3. 课堂讲解：讲解方程和不等式的解法，结合实例进行分析，引导学生理解解法的原理和步骤。
4. 案例分析：出示实际问题，让学生运用方程和不等式进行解答，培养学生的应用能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习，提高解题能力。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，及时发现并解决学习中存在的问题。
7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施。
8. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固方程和不等式的解法。
六、教学评价1. 评价学生对方程和不等式解法的掌握程度。
2. 评价学生在解决实际问题中的应用能力和创新精神。
3. 采用课堂练习、小组讨论、课后作业等多种形式进行评价。
七、教学资源1. 教材：提供相关章节，方便学生复习和自学。
2. 多媒体课件：展示实际问题，辅助教学。
3. 练习题：供学生课堂练习和课后巩固。
4. 小组讨论材料：提供案例，促进学生交流和合作。
中考复习教案：方程与不等式
中考复习教案：方程与不等式一、教学目标1. 回顾一元一次方程的定义、解法及应用，提高学生解一元一次方程的能力。
2. 掌握一元一次不等式的定义、解法及应用，提高学生解一元一次不等式的能力。
3. 理解方程与不等式的联系与区别，能够灵活运用方程与不等式解决实际问题。
二、教学内容1. 一元一次方程的定义、解法及应用。
2. 一元一次不等式的定义、解法及应用。
3. 方程与不等式的联系与区别。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一元一次方程和一元一次不等式的定义、解法及应用。
2. 教学难点：方程与不等式的联系与区别。
四、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体例题讲解一元一次方程和一元一次不等式的解法。
2. 采用对比教学法，引导学生发现方程与不等式的联系与区别。
3. 采用实践练习法，让学生在练习中巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习已学知识，引导学生回顾一元一次方程和一元一次不等式的定义及解法。
2. 讲解与示范：讲解一元一次方程和一元一次不等式的解法，并通过具体例题展示解题过程。
3. 对比分析：分析方程与不等式的联系与区别，引导学生理解两者之间的关系。
4. 实践练习：布置练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调方程与不等式在实际问题中的应用。
教学评价：通过课堂讲解、练习题解答和课后作业，评估学生对一元一次方程和一元一次不等式的掌握程度。
六、教学内容1. 一元二次方程的定义、解法及应用。
2. 不等式的基本性质，包括不等式的加减乘除法、乘方等。
七、教学重点与难点1. 教学重点：一元二次方程的定义、解法及应用，不等式的基本性质。
2. 教学难点：一元二次方程的解法和不等式乘方运算。
八、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体例题讲解一元二次方程的解法。
2. 采用归纳教学法，引导学生总结不等式的基本性质。
3. 采用实践练习法，让学生在练习中巩固所学知识。
九、教学过程1. 导入新课：通过复习已学知识，引导学生回顾一元二次方程和不等式的基本性质。
方程和不等式的解法复习课教案
方程和不等式的解法复习课教案一、教学目标1. 回顾和巩固方程和不等式的解法，提高解题技能。
2. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容1. 方程的解法：因式分解法、提取公因式法、配方法、求根公式法等。
2. 不等式的解法：同向相加、反向相减、乘除运算、绝对值不等式等。
三、教学重点与难点1. 重点：各种方程和不等式的解法及其应用。
2. 难点：解复杂方程和不等式，以及灵活运用解法。
四、教学方法1. 采用问题导入法，引导学生回顾和复习方程和不等式的解法。
2. 通过例题讲解和练习，让学生巩固解法，提高解题技能。
3. 利用小组讨论和互动，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：提问学生关于方程和不等式的解法，引导学生回顾已学知识。
2. 讲解：讲解各种方程和不等式的解法，结合例题进行解释和演示。
3. 练习：布置练习题，让学生独立解答，进行讲解和解析。
4. 互动：组织小组讨论，让学生分享解题心得和经验，互相学习和交流。
6. 作业：布置作业，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，观察学生对方程和不等式解法的掌握程度。
2. 小组讨论：通过小组讨论，了解学生在解决问题时的合作能力和思维过程。
3. 作业批改：通过作业批改，评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学资源1. PPT课件：制作课件，展示方程和不等式的解法，方便学生理解和记忆。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3. 教学视频：搜集相关教学视频，用于为学生提供更多的学习资源和参考。
八、教学进度安排1. 第1-2周：回顾和复习一元一次方程、一元二次方程的解法。
2. 第3-4周：讲解不等式的解法，包括同向相加、反向相减等。
3. 第5-6周：讲解二元一次方程组的解法，以及应用问题。
4. 第7-8周：讲解不等式组的解法，以及应用问题。
5. 第9-10周：讲解函数与方程的关系，以及函数图像的应用。
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
方程与不等式基础教案(第七周)
第二单元方程（组）与不等式（组）（复习课）主备课人：周碧山第一课时：一元一次方程与应用教学目标：1.了解方程、一元一次方程以及方程有解的概念；2. 会解一元一次方程，并能灵活应用；3. 会列一元一次方程解应用题，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理重点：一元一次方程的概念与解法；难点：列一元一次方程解应用题；含字母系数的解的讨论。
讲授内容：1．会对方程进行适当的变形解一元一次方程：解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一时方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。
2．正确理解方程解的定义，并能应用等式性质巧解考题：方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。
3．理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:(1)a≠0时，方程有唯一解x=ba；(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。
4．正确列一元一次方程解应用题：列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。
典型例题与习题：《小蝴蝶》P17-18例题与练习课后作业：《小蝴蝶》P19课后训练第二课时：二元一次方程组与应用教学目标：1.了解二元一次方程（组）及解的定义；2.熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用；3. 能正确列出二元一次方程组解应用题重点：二元一次方程解法，转化思想和整体思想的培养；难点：列二元一次方程组解应用题讲授内容：1．二元一次方程（组）及解的应用：注意:方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习教学案第一册数学教学案
第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。
第一轮复习：方程与不等式复习教学案
【课前热身】课题 第二章：方程与不等式 第一节：一元一次方程及其应用授课时间主备人 席浩 审核人 使用人1．在等式367y -=的两边同时 ，得到313y =. 2．方程538x -+=的根是 .3．x 的5倍比x 的2倍大12可列方程为 . 4．写一个以2-=x 为解的方程 .5．如果1x =-是方程234x m -=的根，则m 的值是 .6．如果方程2130m x -+=是一元一次方程，则m = . 【考点链接】1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 4．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前教师复备：提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+x x 等不是一元一次方程.（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.【典例精析】例1 解方程（1）()()() 3175301x x x --+=+； （2）21101136x x ++-=.例 2 当m 取什么整数时，关于x 的方程1514()2323mx x -=-的解是正整数？例3 今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：班级 （1）班 （2）班 （3）班 金额（元）2000吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元．教师复备：请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；（2）求出（1）班的学生人数．【中考演练】1．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____． 2． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.3. 某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x 元，则得到方程( )A .15025%x =⨯B . 25%150x ⋅=C .%25150=-xxD . 15025%x -=4．解方程16110312=+-+x x 时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）A. 111014=+-+x xB. 111024=--+x xC. 611024=--+x xD. 611024=+-+x x 5．解下列方程：()()()(1) 3175301x x x --+=+； （2）121253x x x-+-=-.6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产20 %．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？7. 苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租； ②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗； ③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；(1) 若租用水面 亩，则年租金共需__________元；(2) 水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益－成本)； (3) 李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖.已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？§2.2二元一次方程组及其应用主备人：席浩 备课组长： 使用人： 授课时间：【课前热身】1. 在方程y x 413-＝5中，用含x 的代数式表示y 为y＝ ；当x ＝3时，y ＝ .2．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝ .3. 请写出一个适合方程13=-y x 的一组解： .4. 如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）A.x ＝－3，y ＝2B.x ＝2，y ＝－3C.x ＝－2，y ＝3D.x ＝3，y ＝－2 【考点链接】1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是教师复备：课后反思：的整式方程.2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组 方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6．易错知识辨析： （1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；（3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号. 【典例精析】例1 解下列方程组：（1）{4519323a b a b +=--= （2）{2207441x y x y ++=-=-例2 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件）所用总时间（分）10 10 350 30 20 850消元转化例3 若方程组{31x y x y +=-=与方程组{84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.【中考演练】 1． 若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ． 2. 在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =___；若x 、y 都是正整数，这个方程的解为_____．3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114yx y x B ．⎩⎨⎧=+=+75z y y x C ．⎩⎨⎧=-=6231y x x D ．⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x 4. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+my x my x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-2 5．某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：捐款(元) 12 3 4 人 数 6 7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组A ．272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩6．解方程组：①⎩⎨⎧=-=+1392x y y x ②⎪⎩⎪⎨⎧=---=+1213343144y x y x7. 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？8. 某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ ② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？§2.3一元二次方程及其应用主备人：席浩 备课组长： 使用人： 授课时间：【课前热身】1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 .3．一元二次方程2230x x --=的根是 . 4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 . 5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 【考点链接】1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次教师复备：课后反思：新世纪教育网 精品资料版权所有@新世纪教育网项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2n≥，+=的形式，⑤如果是非负数，即0x m n()就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】例1 选用合适的方法解下列方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+； （3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .例 2 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？【中考演练】1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.2．已知2是关于x 的方程23x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________.3．关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解为_____.4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④x 2-2y+6=0⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥24x-x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤5. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4 6．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ）A. －1B. 1C. －2D. 27．解方程(1) x 2－5x －6＝0 ； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 222-x+1=0．8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．§2.4一元二次方程 根的判别式及根与系数的关系主备人：席浩 备课组长： 使用人： 授课时间：【课前热身】1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根课后反思：2.若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = . 【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x . （2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件. （2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【典例精析】例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2 下列命题：① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④ 若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．例 3 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【中考演练】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x ＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ． 4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ） Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13Ｄ．13-7．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－18．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）若方程的两实数根之积等于292m m -+，求6m +的值．§2.5分式方程及其应用主备人：席浩 备课组长： 使用人： 授课时间：【课前热身】1．方程22123=-+--x x x 的解是x= ． 2. 已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x，则=a ，=b .3．解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x4．如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( )A ．9B ．7C ．5D ．35．如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ）A ．35=+y y x B ．31=-y x y C ．312=y x D ．4311=++y x 6．若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 【考点链接】1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；课后反思：（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 .5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值. 【典例精析】例1 解分式方程：1233xx x=+--．例2 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．【中考演练】1．方程0112=--xx 的解是 ． 2．若关于x 方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是 ． 3. 分式方程3111122=---x x 的解是 ． 4. 以下是方程1211=--xxx 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ）A ．112=--x B.112=+-x C.x x 212=+-D.x x 212=-- 5．分式方程21124x x x -=--的解是（ ） A ．32-B ．2-C ．52-D ．326. 分式方程1421-=+-x x x 的解是（ ） A.71=x , 12=x B. 71=x ,12-=x C. 71-=x , 12-=x D. 71-=x 12=x7．今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？8.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的65后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．§2.6一元一次不等式(组)主备人：席浩 备课组长： 使用人： 授课时间：【课前热身】1．a 的3倍与2的差不小于5，用不等式表示为 . 2．不等式10x ->的解集是 .3．代数式113m --值为正数，m 的范围是 . 4．已知a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．33a b +>+ B ．22a b > C ．a b -<- D ．0a b -<课后反思：5. 不等式组10360x x -≤⎧⎨+>⎩的解集为（ ）A ．1x ≤B ．2x >-C ．21x -≤≤D ．无解6．不等式组21511x x +<⎧⎨+≥-⎩的整数解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【考点链接】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb）.3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”；x ax b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x ax b>⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”；x ax b<⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或bx a <）当0a <时，b x a <（或bx a >）当0a <时，b x a <（或bx a>）【典例精析】例 1 解不等式153x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．例2 解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 2371211325, 并将它的解集在数轴上表示出来．例3 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0k x b +>的解集是（ ）A ．2x >-B ．0x >C 2x <-D ．0x < 【中考演练】1．不等式319x x +<-的解集是 ．2．关于的方程222(1)0x k x k +++=两实根之和为m ，2(1)m k =-+，关于y 的不等于组4y y m >-⎧⎨<⎩有实数解，则k 的取值范围是_________________．xyy kx b=+0 22-3．不等式3 ( x －1 ) + 4≥2x的解集在数轴上表示为（ ）4．不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则这个不等式组为（ ）A ．⎩⎨⎧-≤>12x x B. ⎩⎨⎧-><12x x C ．⎩⎨⎧-≥<12x x D.⎩⎨⎧-≤<12x x 5．不等式组312840x x ->⎧⎨-⎩，≤的解集在数轴上表示为（ ）6．解不等式组3(2)41 1.2x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，7．解不等式组314,2 2.x x x ->⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．1 02 A ．1 02 B ．1 02 C ．1 02 D ．课后反思：§2.7一元一次不等式(组)及其应用主备人：席浩 备课组长： 使用人： 授课时间：【课前热身】1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤2x y+元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）A.x y <B.x y >C.x y ≤D.x y ≥2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共存( ) A.4种 B.5种 C.6种 D.7种3．已知一个矩形的相邻两边长分别是cm 3和xcm ，若它的周长小于cm 14，面积大于26cm ，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）4． 若方程组⎩⎨⎧-=--=+323a y x y x 的解是负数，那么a 的取值范围是 ．【考点链接】1．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. ２．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知O x y l 1l 2-13(第12题图）数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）. 3．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质. 【典例精析】例1直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为 ．例2绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？例3某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类 别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）【中考演练】1．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的12．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm ,若铁钉总长度为a cm ，则a 的取值范围是 ． 2．海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：品 名 规格（米） 销售价（元/条） 羽绒被 2×2.3 415 羊毛被 2×2.3 150现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被____条． 3．6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市 元． 4．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm5． 若a ＞0，b ＜－2，则点(a ，b ＋2)应在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支． (1)如果他们一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？(2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅牌钢笔的数量的12，但又不少于红梅牌钢笔的数量的14.如果他们买了锦江牌钢笔x 支，买这两种笔共花了y 元，。
中考复习教案：方程与不等式
中考复习教案：方程与不等式一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解方程和不等式的概念及其性质；（2）掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（3）能够运用方程和不等式解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习方程和不等式的基本概念，巩固基础知识；（2）运用解方程和不等式的方法，提高解题能力；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（2）培养学生勇于探索、积极思考的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 方程与不等式的概念及其性质；2. 一元一次方程的解法；3. 一元二次方程的解法；4. 不等式的解法；5. 方程和不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）方程和不等式的概念及其性质；（2）一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（3）方程和不等式在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）一元二次方程的解法；（2）不等式的解法；（3）方程和不等式在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 复习导入：（1）复习方程和不等式的概念及其性质；（2）引导学生回顾一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。
2. 知识梳理：（1）讲解一元一次方程的解法，如加减法、乘除法等；（2）讲解一元二次方程的解法，如因式分解、公式法等；（3）讲解不等式的解法，如同号不等式、异号不等式等。
3. 例题解析：（1）选取典型例题，讲解解题思路和方法；（2）引导学生运用方程和不等式解决实际问题。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，巩固所学知识；（2）鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
5. 总结与反思：（1）回顾本节课所学内容，总结解题方法；（2）引导学生思考方程和不等式在实际生活中的应用。
五、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 选取一道实际问题，运用方程和不等式解决；3. 预习下一节课的内容。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况、合作交流能力等，了解学生的学习状态。
南门学校中考复习教案 第二章 方程与不等式(共4课时)
第5课时 一次方程 分式方程 一次方程组复习教学目标1、了解一次方程、分式方程、二元一次方程组的概念。
知道方程组的解的含义。
理解分式方程产生增根的原因。
理解二元一次方程与一次函数的关系。
说出解整式方程和分式方程的异同.2、会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程。
3、运用化归思想，引导学生分析出解二元一次方程组的本质是消元。
运用方程或方程组解决实际问题 复习教学过程设计 一、【唤醒】 1、 填空：2、判断： （1）=+3121x 1是一元一次方程 （ ） （2）∵23=x ∴23=x （ ） （3）∵⎩⎨⎧==11y x 是方程y x +2=3的解 ∴方程y x +2=3的解是⎩⎨⎧==11y x （ ） （4）方程组⎩⎨⎧=-=+1233y x y x 的解是一次函数x y 33-=与12-=x y 的图象的交点坐标 （ ） 3、选择：（1）关于的方程012)1(=-+-m x m 是一元一次方程，则m 为 ( ) A 、1=m B 、1-=m C 、1≠m D 、1-≠m（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+522y x y x 的解是 ( ) A 、⎩⎨⎧==61y x B 、⎩⎨⎧=-=41y x C 、⎩⎨⎧=-=23y x D 、⎩⎨⎧==23y x （3）已知是2-=x 方程042=-+m x 的一个根，则m 的值是 （ ）方程（组）的应用分式方程整式方程一元二次方程一元一次方程解题步骤二元一次方程组 解法图像法方程解题方法：A 、 8B 、—8C 、0D 、2（4）已知方程组⎩⎨⎧=+=+54ay bx by ax 的解是⎩⎨⎧==12y x ，则b a +的值为 （ ） A 、3 B 、0 C 、1- D 、1二、【尝试】： 例1：解方程： （1）143231=+--x x （2） 114112=---+x x x 解： 略 答案：（1）5.12-=x （2）1=x 是增根，原方程无解提炼：解分式方程与整式方程的方法相似，容易出现错误的地方一是去分母时漏乘整式项及分子是多项式忘记添括号，二是忘记检验求得的整式方程的解是不是分式方程的根； 例2： 解方程组（1）⎩⎨⎧=-=+132342y x y x （2）312523-=+=+x y y x解 略 答案（1）⎩⎨⎧-==23y x （2）⎩⎨⎧-==31y x 提炼：解二元一次方程组应先观察方程中相同未知数的系数的特征，如果一个未知数的系数绝对值为1，一般选用代入法，若相同未知数系数绝对值相等，一般用加减法。
方程与不等式复习教案
方程与不等式复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解方程和不等式的概念及其基本性质；（2）掌握解一元一次方程、一元二次方程、不等式组的解法；（3）能够运用方程和不等式解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固方程和不等式的解法；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 方程的定义及基本性质2. 不等式的定义及基本性质3. 解一元一次方程4. 解一元二次方程5. 不等式组的解法三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）方程和不等式的概念及其基本性质；（2）解一元一次方程、一元二次方程、不等式组的解法。
2. 教学难点：（1）一元二次方程的解法；（2）不等式组的解法。
四、教学方法1. 采用讲练结合的方法，让学生在复习中巩固知识；2. 利用例题和练习题，引导学生运用所学知识解决实际问题；3. 鼓励学生相互讨论，培养学生的团队合作精神。
五、教学过程1. 导入：回顾方程和不等式的概念及其基本性质，引导学生进入复习状态；2. 讲解：讲解一元一次方程、一元二次方程、不等式组的解法，强调解题步骤和注意事项；3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识；4. 总结：对本节课的内容进行总结，梳理重点知识点；5. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
教案编辑专员：X日期：年月日六、教学评价1. 课堂讲解：评价教师的讲解是否清晰、易懂，是否能够引导学生理解和掌握方程与不等式的概念及解法。
2. 练习题解答：评价学生是否能够独立完成练习题，运用所学知识解决实际问题。
3. 课后作业：评价学生是否能够正确完成课后作业，巩固所学知识。
七、教学反思在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和解题策略，以提高教学效果。
关注学生的学习情况，针对不同学生的特点，调整教学方法和策略，确保每个学生都能够理解和掌握方程与不等式的解法。
八、教学拓展1. 方程与不等式的应用：引导学生运用方程和不等式解决实际问题，如理财、几何等问题。
方程与不等式复习教案
方程与不等式复习教案一、教学目标1. 回顾和掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法。
2. 能够运用方程和不等式解决实际问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 一元一次方程的解法。
2. 一元一次不等式的解法。
3. 方程与不等式的应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论来解决问题。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和实例来解释方程和不等式的解法。
3. 组织小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力。
四、教学步骤1. 引入：通过一个实际问题引出一元一次方程和不等式的重要性。
2. 讲解：讲解一元一次方程和不等式的解法，并举例进行解释。
3. 练习：学生独立完成一些方程和不等式的练习题，老师进行指导和解答。
4. 应用：学生分组讨论和解决一些实际问题，分享解题过程和结果。
五、教学评估1. 课堂练习：检查学生在课堂上的学习效果，及时发现和纠正错误。
2. 课后作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
3. 小组讨论：评估学生在团队合作中的表现和问题解决能力。
教学反思：本节课通过问题驱动法和多媒体辅助教学，引导学生回顾和掌握一元一次方程和不等式的解法，并通过实际问题的解决来应用所学知识。
通过小组讨论和合作，培养了学生的团队合作能力。
教学评估通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种方式进行，及时发现和纠正学生的错误，巩固所学知识。
但在教学过程中，要注意引导学生主动思考和探索，提高学生的自主学习能力。
六、教学内容1. 二元一次方程组的解法。
2. 不等式组的解法。
3. 方程和不等式在实际问题中的应用。
七、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体案例讲解二元一次方程组的解法和不等式组的解法。
2. 利用数形结合法，通过图形演示方程和不等式的解法。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
八、教学步骤1. 引入：通过一个实际问题引出二元一次方程组和不等式组的重要性。
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习本文没有明显的格式错误和问题段落。
以下是小幅度改写后的文章：本教案旨在帮助学生掌握高中数学中重要的等式性质与不等式性质，这是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。
同时，等式性质与不等式性质也为学生以后顺利研究基本不等式起到重要的铺垫。
教学目标包括掌握等式性质与不等式性质及其推论，能够运用其解决简单的问题，进一步掌握比较法比较实数的大小，以及通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
教学重点是掌握不等式性质及其应用，难点则是不等式性质的应用。
为此，我们采用以学生为主体的诱思探究式教学，精讲多练的教学方法，借助多媒体等教学工具，引导学生独立思考、小组讨论，充分发挥学生的主动性和创造性。
在教学过程中，我们通过情景导入，引导学生观察和思考现实生活中的相等关系和不等关系；通过预课本，引入新课，让学生自主思考和探究不等式的基本性质、比较多项式大小的方法以及重要不等式等内容；通过典例分析和举一反三，帮助学生更好地应用不等式性质解决实际问题。
最后，我们希望通过本教案的教学，能够培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等方面的素养，提高学生的数学思维水平和解决实际问题的能力。
已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范围。
首先，可以将2a+b拆开，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界为4.然后，将2a+b拆开，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界为3.因此，2a+b的取值范围为3<2a+b<4.基本不等式”是必修1的重要内容。
它是在研究不等关系和不等式性质，掌握不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时，它也是为了以后研究选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
新课标中考复习教案：方程与不等式.doc
方程整式方程<一兀一次方程,二元一次方程组•一元一次方程的解法 .一元一次方程的应用j二元一次方程组的解法I二元一次方程组的应用 '一元二次方程的有关概念一元二次方程的解法根的判别式，根与系数的关系新课标中考复习教案：方程与不等式一、方程【知识梳理】1、知识结构.分式方程的概念分式方程■分式方程的解法分式方程的应用2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 次,这样的方程叫二元「次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有_________ 法和________ 法.(5)只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为_血2+〃x + c = O(a工0)。
(6)解一元二次方程的方法有：%1直接开平方法;②配方法;③公式法;④因式分解法例：(1)宀4 = 0 (2) x2 -4x-3 = 0 (3) 2X2+7X =4 (4) x2 -3x + 2 = 0(7)一元二次方程的根的判别式：A = />2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式。
对于」元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)当△>()时，有两个不相等的实数根；BA=0时，有两个相等的实数根；当△<()吋，没有实数根；反之也成立。
(8)—元二次方程的根与系数的关系：如果ox? +〃x + c = 0(a工0)的两个根是x” X?那么⑼■元二次方程ax' +bx + c = 0(a M 0)的求根公式:(Z>2-4ac>0)(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11 )解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.♦解分式方程的步骤♦1、去分母，化分式方程为整式方程；♦2、解这个整式方程；.3、验根。
第二章 一元二次函数、方程和不等式教学设计(全章)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质一、内容和内容解析1．内容本单元主要学习用不等式表示现实问题、数学问题，为了解不等式，要探究不等式性质，而不等式性质的探究要先学习证明不等关系的“根本大法”，即“两个实数大小关系的基本事实”还要梳理等式基本性质及蕴含的思想方法，然后通过类比的方法猜想并证明不等式的性质，最后要会运用不等式的性质证明其它的一些不等关系．2．内容解析现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．重要不等式222a b ab ≥是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般性与特殊性获得“=”成立的条件．证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解決不等式问题中的应用价值．等式性质可从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”．“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征．从运算角度看，“加法”、“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不変；也有其派生出来的在“乘方”、“开方”等运算中的不变性．不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类．不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种．“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现．“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现．运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”、“乘法”等运算，得出新的不等关系．由于“正数乘正数大于0”，“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异．实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位．利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质．结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式基本性质，探究不等式的基本性质．二、目标和目标解析1．目标（1）会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．（2）理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系．（3）运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质．（4）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能够在生活问题、数学问题等情境中，发现其中所蕴含的不等关系，并将其符号化，从而用不等式表达．（2）学生能够在比较大小的问题情境中，发现并运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系，体会这个基本事实能够使实数的运算参与到实数的大小比较中．（3）学生能够运用类比的方法，猜想并证明不等式的基本性质，并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异．（4）学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系．三、教学问题诊断分析学生在用不等式表示实际问题时，对没有符号化的问题不知从何入手，学生能够抽象不等关系，但不能用符号语言表达．教学中教师应引导学生将问题符号化，体会符号语言在数学中的作用．两个实数大小关系的基本事实及其应用对学生来说较为容易，但理解这个基本事实使运算参与比较之中存在困难．教学中要让学生动起来，在比较大小的过程中体会运算的作用．不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的．学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理．高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理，因此学生会有一定的的困难．对于等式的基本性质学生是熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难．教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性．学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质存在困难，由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质．因此，教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据．学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难．教学中，要帮助学生进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路．本节课的教学难点是从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质．四、教学过程设计2.1等式性质与不等式性质（一）从不等关系中抽象不等式问题1：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等．你能举例说明生活中的相等关系和不等关系？师生活动：教师根据学生列举的例子，从严谨性的角度帮助学生梳理语言的表述．追问：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km h；（2）某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，用不等式表示不等关系的关键是确定问题在涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示．设计意图：创设运用不等式表示问题的情景，使学生意识到不等式在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础，引导学生将抽象出不等关系用符号语言表达．（二）探究两个实数大小关系的基本事实问题2：你能用不等式表示并解決下面的问题吗？某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生分析数量关系，并用不等式表达．设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为 2.580.20.1x x --⨯()万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 2.580.2200.1x x --⨯()≥，但不会解不等式．与解方程要用等式性质一样，解不等式要用到不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．实际上，在初中阶段学生已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．追问：那么，这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师指出回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式子或两个实数的大小关系．追问：大家来思考如何比较两个式子或实数的大小关系呢？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．思路一：利用实数的几何意义，由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，如图2.1-2，思路二：利用两个式子或实数作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论．这个基本事实可以表示为：0a b a b ⇔-＞＞；==0a b a b ⇔-；0a b a b ⇔-＜＜．设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础．（三）两个实数大小关系的基本事实的简单应用例1：比较23x x ++()()和14x x ++()()的大小．师生活动：学生能够比较顺利利用两个实数大小关系的基本事实比较出两数大小．因为2314x x x x ++-++()()()()22=5654x x x x ++-++()()=20＞，所以2314x x x x ++++＞)()()()(．设计意图：此题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法，让学生再次体会此方法在比较大小中的应用．问题3：阅读教科书第39页“探究”，你能在图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师指出这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是个小正方形．由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即222a b ab +＞（设直角三角形的两条直角边的长为a ，b a b (≠)）．而当直角三角形変为等腰直角三角形，即=a b 时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系22=2a b ab +．这样，就引出了基本不等式的一种变形形式222a b ab +≥．追问：你能总结一下22a b +与2ab 的大小关系吗？此不等关系中a b ，的取值范围如何？如果a b ∈R ，，此结论是否仍成立？师生活动：学生总结出222a b ab +≥，其中a b ，是边长，所以+a b ∈R ，．当a b ∈R ，时，上述结论是否成立的可題，只需比较22a b +与2ab 的大小关系，即2222=0a b ab a b +--()≥，由两个实数大小关系的基本事实，得222a b ab +≥，当且仅当=a b时等号成立．教师强调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式．设计意图：此探究问题的设计，作为相等关系和不等关系的总结，也为引出基本不等式做了铺垫．在推导过程中通过教师引导，学生从独立想象，并能够由“形”到“数”的逐步提炼出不等关系，通过再次追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．（四）复习等式性质，梳理思想方法关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么不等式到底有哪些性质呢?要研究不等式的性质，我们可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发．问题4：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一些发现等式基本性质的方法吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流并给出答案．教师进行总结、归纳、补充并板书出等式的性质．这其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对于性质1，2只有很少学生能回答出来，教师指出性质1，2反映了相等关系自身的特性，由于它们太明显了，是相等关系本身蕴含的性质，反而容易被忽略．学生在教师引导下可以归纳出性质3，4，5是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立．教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不変性的特点．设计意图：通过以上问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向．（五）通过类比，探究不等式的性质问题5：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流后得出：不等式的基本性质可从不等式的自身特性和运算两个角度来研究，教师进行总结、归纳、补充并板书出不等式的基本性质1，2，3，4．学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即a b b a＞＜，⇒＜＞；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即⇒b a a b，．不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的．在对不等式进行论证＞＜＜a b c ac bc⇒时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数．（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数．（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明．例如，性质2的证明可由0a b a b ⇒-＞＞，0b c b c ⇒-＞＞，继而得到+0a b b c --())＞(． 性质3的证明中学生能够分析出要证明a c b c ++＞，只需证明a c b c +-+()()与0的大小关系，也就是a b -与0的大小关系，得出如下证明：由a b ＞，得0a b -＞，所以0a c b c +-+())＞(，即a c b c ++＞．追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向．通过教师课件展示a c +，b c +的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c 的正负．教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题．设计意图：对同一个概念从不同的角度来表述，有利于揭示概念的本质．不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解．追问：利用以上不等式的基本性质，我们还可以推导出不等式的其它一些性质吗？师生活动：由性质3学生得到猜想“大数加大数大于小数加小数”，即“如果a b ＞，c d ＞，那么a c b d ++＞”．学生分析证明方法，若要证a c b d ++＞只需证0a c b d +-+())＞(，由已知0a b -＞，0c d -＞，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证． 教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时起到重要作用．追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同实数．如果同乘不同的实数，你有何结论？ 师生活动：学生独立思考、讨论交流得出：两边同乘负数不等号要変方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”．同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．教师指出此性质为不等式性质6，即“如果0a b ＞＞，0c d ＞＞，那么ac bd ＞”．追问：如果性质6中=a c ，=b d ，你有何新的结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出“如果0a b ＞＞，那么22a b ＞”，并能推广到“如果0a b ＞＞，那么n n a b ＞2n n N (，≥)”．教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例．设计意图：证明以上性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用，通过不等式性质的推导，让学生经历“猜想—证明—修正再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程．（六）不等式性质的简单应用例2 已知00a b c ＞＞，＜，求证c c a b＞． 师生活动：学生独立思考得出分析：要证明c c a b ＞，因为0c ＜，所以可以先证明11a b＜．利用已知0a b ＞＞和性质3，即可证明c c a b＞． 设计意图：通过本题向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路．对于有些不等式的证明，要在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”．此外，通过本例引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路．（七）单元小结教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：（1）本单元我们研究了两个实数大小关系的基本事实，这个基本事实在研究不等式时有什么作用？（2）本单元我们还重点学习了不等式的性质，我们采取什么样的方法进行研究？能否梳理并总结出探究的过程？师生活动：问题（1）学生总结并回答，研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，从而解决解不等式的问题．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．问题（2）学生总结并回答，通过梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质，再由不等式的基本性质推理得到不等式另外一些常用性质．教师帮助整理：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明—理解表达—应用反思”的过程．设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．（八） 布置作业教科书习题2.1第1，2，3，4，5，6题．五、目标检测设计1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h （单位：m ）从地面起不超过4 m ；（2）a 与b 的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于2350m 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建 成绿地，仓库的长L (单位：m )大于宽W (单位：m )的4倍．设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．2．比较37x x ++()()和46x x ++()()的大小． 设计意图：利用两个实数大小关系的基本事实比较大小．3．用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a b c d ＞，＜，那么_____a c b d --；（2）如果00a b c d ＞＞＜＜，，那么_____ac bd ；（3）如果0a b ＞＞，那么2211_____a b ； （4）如果0a b c ＞＞＞，那么_____c c a b ． 设计意图：考查学生对不等式性质的简单应用能力．4．已知a b ＞，0ab ＞，求证11a b＜． 设计意图：考查学生对不等式证明方法的探究水平，以及综合运用不等式性质的能力．六、教学反思2．2基本不等式一、内容和内容解析1．内容本单元主要学习基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用．2．内容解析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容． 基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关．从数与运算的角度，2a b 是两个正数a ，b 的“算术平均数”a ，b 的“几何平均数”．因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算．从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解．基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源．利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等．这些方法也是代数证明和推导的典型方法．基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n 个正数的几何平均值不大于算术平均值．基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值．同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法．因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养．基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题．二、目标和目标解析1．目标（1）理解基本不等式，发展逻辑推理素养．（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义．（2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养．三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点．基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点．在进行基本不等式的集合解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解．此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点．四、培养数学学科素养（1）数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程．（2）逻辑推理：基本不等式的证明．（3）数学运算：利用基本不等式求最值．（4）数据分析：利用基本不等式解決实际问题．（5）数学建模：利用函数的思想和基本不等式解決实际问题，提升学生的逻辑推理能力．五、教学过程设计2.2基本不等式（一）基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题．问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？师生活动：学生回忆、表述，对于任意实数a b ，，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．。
中考复习教案：方程与不等式
中考复习教案：方程与不等式一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解一元一次方程、一元二次方程、不等式的概念及解法；（2）掌握方程的解、根、判别式的概念；（3）学会解不等式组和实际应用问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固方程和不等式的解法；（2）培养学生运用方程和不等式解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（2）方程的解、根、判别式的概念；（3）解不等式组和实际应用问题。
2. 教学难点：（1）一元二次方程的判别式；（2）不等式组的解法。
三、教学过程1. 复习导入：（1）回顾一元一次方程的解法，包括加减法、乘除法、移项、合并同类项等；（2）复习一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法等；（3）回顾不等式的解法，包括同号不等式、异号不等式、不等式组等。
2. 知识梳理：（1）一元一次方程的解法；（2）一元二次方程的解法；（3）不等式的解法；（4）方程的解、根、判别式的概念；（5）解不等式组和实际应用问题。
3. 典题讲解：（1）选择典型题目，讲解解题思路和方法；（2）分析题目中的关键步骤和注意事项；（3）引导学生进行思考和讨论。
四、课堂练习1. 完成课后练习题：（1）一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（2）方程的解、根、判别式的概念；（3）解不等式组和实际应用问题。
2. 教师选取部分练习题进行讲解和分析，解答学生的疑问。
五、课后作业1. 完成课后作业题：（1）一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（2）方程的解、根、判别式的概念；（3）解不等式组和实际应用问题。
2. 教师选取部分作业题进行讲解和分析，解答学生的疑问。
3. 鼓励学生进行自主学习，查找相关资料，提高解题能力。
六、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握分式方程的概念和解法；（2）理解绝对值方程的含义和解法；（3）学会解决实际问题中的方程和不等式。
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普文镇中学2014----2015学年下学期九年级面对面第二章方程（组）与不等式（组）教案主备人：唐泽燕参与教师：兰艳李玉娇郭兵肖兴斌李朝阳授课班级：授课教师：第一节一次方程式（组）教学目标：1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会“消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性教学重点：解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤和方法教学难点：根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一等式的性质(2011版新课标新增内容)性质1：等式两边加(或减）同一个数(或式子），结果仍相等.如果a=b,那么性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么考点二一元一次方程及解法1. 方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.2. 形式：任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0(a、b是常数，且a≠0)的形式.3. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.4. 一元一次方程的解法考点三二元一次方程（组）及其解法1. 二元一次方程：方程含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.2. 二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.3. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，且解应写成的形式.4. 解二元一次方程组的基本思想是④______,将二元一次方程组转化为⑤_________方程然后求解.5. 二元一次方程组的解法常用的消元法有代入消元法和加减消元法.（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法.考点四三元一次方程组（2011版新课标新增内容）1. 三元一次方程组：一个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.2. 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.考点五一次方程（组）的应用（高频考点）1. 列方程解应用题的一般步骤:（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系；（2）设元：设未知数（可设直接或间接未知数）；（3）列方程（组）：挖掘题目中的关系，找两个等量关系，列方程（组）；（4）求解；（5）检验作答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案. 2.一次方程(组)常考应用类型及关系式二、常考类型剖析类型一二元一次方程组的解法例1（’14滨州）解方程组：解：由①，得y=3x-7③,把③代入②，得x+3(3x-7)=-1,解这个方程，得x=2,把x=2代入③，得y=3×2-7,解这个方程，得y=-1,所以，方程组的解是x=2y=-1.【方法指导】1. 当方程组中某一个未知数的系数为1或-1时，选用代入消元法较合适.2. 当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适.3. 当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适.4. 当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适.拓展变式1（’14泰安）方程5x+2y=-9与下列方程构成的方程组的解为的是( )A.x+2y=1B. 3x+2y=-8C. 5x+4y=-3D. 3x-4y=-8【解析】本题考查二元一次方程组解的意义.可将x=-2,y=12分别代入各个选项验证.类型二 一次方程（组）的应用例2（’14黄冈）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元.问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？【信息梳理】设购买一块电子白板需要x 元，购买一台投影机需要y 元，解：设购买一块电子白板需要x元，购买一台投影机需要y元，（1分）根据题意列方程组：2x-3y=40004x+3y=44000，（3分）解得x=8000y=4000.（5分）答：购买一台电子白板需8000元，购买一台投影机需要4000元.（6分）【踩分答题】1. 理清题目中已知未知量的关系，设出未知数可得分;2. 根据题意列出方程组可得分;3. 正确解出方程组可得分;4. 写出答可得分.总结：解答此类题时，根据题意进行信息梳理列出方程（组）是解题的关键.拓展变式2 (’14抚州)情景:试根据图中的信息，解答下列问题:（1）购买6根跳绳需_________元，购买12根跳绳需________元. （2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元.你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.解：有这种可能．设小红购买跳绳x根，则25×0.8x=25（x-2）-5，解得x=11．故小红购买跳绳11根．（1）【思路分析】根据总价=单价×数量，现价=原价×0.8，列式计算即可求解；解：25×6=150（元），25×12×0.8=300×0.8=240（元）．即购买6根跳绳需150元，购买12根跳绳需240元．（2）【思路分析】设小红购买跳绳x根，根据等量关系：小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元；即可列出方程求解．解：有这种可能．设小红购买跳绳x根，则25×0.8x=25（x-2）-5，解得x=11．故小红购买跳绳11根．三、练习：面对面P23四、小结：五、作业：面对面P25六、教学反思：第二节一元二次方程教学目标1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式2.理解配方法，会用因式分解法，直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性教学重点用因式分解法，直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程教学难点配方法，一元二次方程解决实际问题，能检验结果的合理性学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一一元二次方程及有关概念1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是①________方程；(2)必须只含有②__________未知数；(3)所含未知数的最高次数是③____________.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 考点二一元二次方程的解法1. 解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.2. 一元二次方程的解法1. 根的判别式：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac.2. 一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)b2-4ac＞0 方程有⑨__________的实数根；(2)b2-4ac=0 方程有⑩__________的实数根；(3)b2-4ac＜0 方程 ____________实数根.【温馨提示】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.3. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实根分别为x1，x2，则x1+x2= _____,x1x2= _____.考点四一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.(2)利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%.(3)面积问题常见图形归纳如下：第一：如图①,矩形ABCD长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积表示为(a-2x)(b-2x).第二：如图②,矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a-x)(b-x).第三：如图③,矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a-x)(b-x).二、常考类型剖析类型一解一元二次方程例1 (’14岳阳改编)一元二次方程x2+2x-8=0的根是( ) A. x1=2，x2=4 B. x1=2，x2=-4C. x1=-2，x2=4D. x1=-2，x2=-4【解析】用因式分解法，∵x2+2x-8=0，∴(x-2)（x+4）=0，即x1=2，x2=-4．【归纳总结】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.拓展变式1 (’14宁夏) 一元二次方程x2=2x+1的解是（）A. x1=x2=1B. x1=1 ，x2＝-1C. x1＝1 ，x2＝1D. x1=-1 ，x2＝-1【解析】方程x2＝2x+1,变形得：x2-2x=1,配方得：x2-2x+1=2,即（x-1）2=2,开方得：x-1=± ,解得：x1=1+ ,x2=1-类型二一元二次方程的判别式及其根与系数的关系例2（’14深圳）下列方程没有实数根的是( )A. x2+4x=10B. 3x2+8x-3=0C. x2-2x+3=0D. （x-2）（x-3）=12【解析】分别计算出判别式b2-4ac的值，然后根据b2-4ac的意义分别判断，【方法指导】1. 如果是判断一元二次方程根的个数可以用判别式与0的大小判断决定；2. 求两根之和与两根之积可直接利用根与系数关系；3. 已知方程的一个根求另一个根，可用方程解的意义，也可用根与系数的关系，后者更简单.拓展变式2 (’14黄冈) 若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=( )A. -8B. 32C. 16D. 40【解析】根据根与系数的关系得到α+β=-2，αβ=-6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2-2αβ，然后利用整体代入的方法计算．根据题意得α+β=-2，αβ=-6，所以α2+β2=（α+β）2-2αβ=（-2）2-2×（-6）=16.故选C．类型三一元二次方程的应用例3(’15原创)巴西世界杯的某纪念品原价188元，连续两次降价a%后售价为118元，下列所列方程中正确的是( )A. 188（1+a%）2=118B. 188（1- a%）2=118C. 188（1-2a%）=118D. 188（1- a2%）=118【解析】由题意得：第一次降价后的售价为188（1-a%）元，第二次降价后的售价为188（1-a%）(1-a%)元，则所列方程为188（1-a%）2=118.拓展变式3 (’14泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A. （3+x）（4-0.5x）=15B. （x+3）（4+0.5x）=15C. （x+4）（3-0.5x）=15D. （x+1）（4-0.5x）=15【解析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得（x+3）（4-0.5x）=15. 失分点8 一元二次方程的解法方程x(x-1)=2(x-1)2的根为( )A. 1B. 2C. 1和2D. 1和-2 【解析】方程两边同时除以公因式得：x=2(x-1),………第一步方程移项得：x-2(x-1)=0,………………第二步去括号得：-x+2=0,………………………第三步解得：x=2.………………………………第四步上述解析过程是从第__________步开始出现错误的，应该改为________________，此题最终的结果是___________【名师提醒】对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项.三、练习：面对面P28四、小结：五、作业：面对面P30六、教学反思：第三节分式方程教学目标1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思想，了解增根的概念，会进行分式方程的验根3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性教学重点解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤和方法教学难点根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一分式方程及其解法1. 概念：①______中含有未知数的方程叫做分式方程.2. 解分式方程的基本思路：分式方程整式方程解整式方程检验确定原方程的根.3. 解分式方程的步骤:（1）去分母，在方程的两边都乘以②___________ ，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果③______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解，分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根.考点二分式方程的应用1. 与列整式方程解应用题的思考方法与步骤相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答.不同点是要检验两次，既要检验求出的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意.2. 常考类型及公式分式方程的应用题主要涉及工程问题，工作量问题，行程问题等，每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝二、常考类型剖析类型一解分式方程例1（’14苏州）解方程：＝3.【解题指导】本题考查解分式方程，按照解分式方程的步骤直接求解即可.解：去分母，得______________，……（2分）移项，得______________，…………（3分）合并同类项，得_______，系数化为1，得________，………（4分）检验 ___________________________________________________...（5分）∴原方程的解是：_______.......（6分）【踩分答题】1. 解分式方程过程中，去分母、移项、系数化为1计算正确均可得分；2. 写出检验过程可得分；3. 正确写出分式方程的解可得分.总结：解分式方程的关键是去分母，移项，系数化为1，在解分式方程时要将其化为整式方程进行求解，切勿漏掉检验过程.拓展变式1（’14佛山）解分式方程 .【思路分析】解分式方程，在分式方程的两边同乘以分母的最简公分母，去掉分母，得到整式方程．然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出整式方程的解．最后把整式方程的解代入最简公分母，当最简公分母不等于0时，这个解就是原分式方程的解；当最简公分母等于0时，这个解不是原分式方程的解，是增根．解：去分母得：2［-(1+a)］=a+4.去括号得：-2-2a=a+4，合并同类项得：3a=-6，化系数为1：a=-2.经检验，a＝-2是原方程的根.∴原方程的解为a＝-2.类型二分式方程的应用例2（’14广州）从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．（1）【信息梳理】设普通列车的平均速度为千米/时，解：普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米）. …………………（4分）（2）【信息梳理】设普通列车的平均速度为x 千米/时，段路程的时间为解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为 2.5 千米/时，………….（5分）根据题意，得，………（7分）解得 x=120，…………..（9分）经检验得出， x=120是原分式方程的解，…………（10分）所以2.5 x =300．………..（11分）答：普通列车的行驶路程为520千米；高铁的平均速度为300千米/时．…………..（12分）【踩分答题】1. 理解题意设出未知数可得分；2. 对题目信息进行整理列出符合题意的分式方程可得分;3. 解这个分式方程并进行检验均可得分;4. 作答可得分.总结：对于分式方程的应用题关键是要整理题目中的信息找出对应的等量关系.【方法指导】1. 列方程解应用题要先找等量关系，然后用含有未知数的代数式表示每一个量，再利用等量关系列出分式方程.2. 注意最后要检验，既要检验求出的未知数的值是否为增根，还要检验是否符合实际意义.拓展变式2（’14日照）为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标.现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务，问甲队每天完成多少平方米？【信息梳理】设甲工程队每天工作量为 x平方米,天解：设甲工程队每天施工 x m2，则乙工程队每天施工1.5 x m2，由题意得，解得 x=160，经检验， x =160是原分式方程的解，答：甲队每天完成160平方米.失分点9 分式方程的解法解方程： .解：方程两边同乘以（x-5）得：1＝x+1+2，……………第一步整理得:1=x+3,……………第二步解得:x=-2……………………第三步所以原方程的解为-2………第四步上述解法是从第_______步开始出现错误的，应改为_____________________________________,此题最终的结果是________.【名师提醒】对于含有常数项的分式方程，在解的过程中应注意：（1）给分式两边同乘以公分母时不要给常数项漏乘；（2）在合并同类项时注意去括号后符号的变化；（3）解方程中有没有进行检验.在解分式方程时，要记住“三步”：一是分化整解方程；二是检验；三是下结论有无根.小心“四漏”：漏乘、漏括号、漏检、漏变号.三、练习：面对面P33四、小结：五、作业：面对面P35六、教学反思：第四节一次不等式（组）教学目标1.了解不等式和一元一次不等式（组）的概念，掌握不等式的基本性质2.了解一元一次不等式（组）的解和解集的概念，理解他们与方程的解飞区别，会在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集3.掌握解一元一次不等式（组）的一般方法和步骤，能熟练的解一元一次不等式(组)，会用口诀或数轴确定一元一次不等式组的解集4.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的实际问题，能确定一元一次不等式（组）的整数解教学重点一元一次不等式（组）的解法，列一元一次不等式（组）解应用题教学难点列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的实际问题，能确定一元一次不等式（组）的整数解学情分析：教学手段及运用：多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解教学方法运用：复习知识，教师讲解，学生练习教学过程：一、知识点复习考点一不等式的概念及其性质1. 不等式：一般地，用不等号连接起来的式子叫做不等式.2. 不等式的性质考点二 一元一次不等式及其解法1. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.2. 解集：使一元一次不等式成立的未知数的值，叫做一元一次不等式的解.一个含有未知数的一元一次不等式的所有解，叫做这个一元一次不等式的解集.3. 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.4. 解集的表示考点三 一元一次不等式组及其解法 1. 一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.3. 解不等式组的一般步骤：先分别解出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.4. 几种常见的不等式组的解集：设a＜b，a，b是常数，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表：考点四一元一次不等式的应用1. 步骤：(1)审清题意找出不等关系；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)检验并写出答案.2. 列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计问题相联系，如最大利润，最优方案等.解题应紧紧抓住不足，至少、不少(多)于、不超过、不低于等关键词.二、常考类型剖析类型一解不等式（组）及数轴表示解集例1（’14东营）解不等式组：＜12（1-x)≤5，把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．解：解不等式＜1,得________:（1分）解不等式2(1-x)≤5，得_________...（2分）根据“小大大小中间找”得，原不等式组的解集是_________.................（3分）不等式组的解集在数轴上表示如解图示：例1题解图所以不等式组的解集中的整数解为：________．..............（4分）【踩分答题】1. 分别解出不等式组中的单个不等式可得分；2. 写出不等式组的解集可得分;3. 在数轴上画出不等式组的解集并写出最后的结果可得分.【方法指导】1. 在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向，边界：有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈，方向：大于向右，小于向左. 2. 求整数解时，首先要求出不等式组的解集，再写出此解集内所有的整数，也可将解集在数轴上表示出来，以免漏解，但要注意是否包含端点.拓展变式1（’14台州）解不等式组：2x-1＞x+1x+8＞4x-1,并把解集在下面数轴上表示出来.拓展变式1题图解： 2x-1＞x+1①x+8＞4x-1②，解不等式①得：x＞2；解不等式②得：x＜3．所以原不等式组的解集是2＜x＜3，把解集表示在数轴上得：拓展变式1题解图类型二一元一次不等式的应用（难点）例2（’14邵阳）小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．（1）两种型号的地砖各采购了多少块？（2）如果厨房也铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？解：（1）设彩色地砖采购x块，则单色地砖采购（100－x）块，根据题意，得80x＋40（100－x）＝5600．解得x＝40．所以100－x＝60．答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块．（2）设彩色地砖采购y块，则单色地砖采购（60-y）块，根据题意，得80y+40（60-y）≤3200，解得 y≤20．答：彩色地砖最多采购20块．【方法指导】1. 列不等式解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“不超过”、“不低于”、“不大于”“不高于”、“小于”等.2. 利用不等式在限制条件下探究方案时，注意挖掘问题中的隐含条件由其解集范围内的正整数解来确定方案.拓展变式2 （’14南京）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm．某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__________cm．【解析】设长为3x，宽为2x，由行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，可得出不等式5x+30≤160，解得：x≤26则3x≤78，所以行李箱的长的最大值为78 cm．失分点10 解不等式解不等式：≥解：≥9x-2≥10x+1-1………………..第一步-x≥2………………………….第二步x≥-2………………………….第三步所以原不等式的解集为x≥-2...第四步上述解法是从第_______步开始出现错误的，应改为___________________，此题最终的结果_________.【名师提醒】此类题易错点有三个：（1）是错在去分母时，漏乘不含分母的项-1（违反了不等式的基本性质2）；（2）是错在去分母时，忽视了分数线具有括号的作用（正确的方法是去分母后，整个分子要用括号括起来）；（3）是错在系数化为1时，不等号的方向改变（错误的原因是没有重视系数是负数，违反了不等式的基本性质3）三、练习：面对面P38四、小结：。