历年自主招生考试数学试题大全-2000年上海交大自主招生数学试题+Word版缺答案
2000年全国普通主等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)
2000年全国普通主等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.已知向量OA (－1,2)、OB ＝(3,m),若OA ┴OB ,则m ＝ 。
2.函数,xx y --=312log 2的定义域为 。
3.圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是 。
4.计算:nn n )2(lim +＝ 。
5.已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ,则b＝ 。
6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP 预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%,若GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍,至少需 年。
(按:1999年本市常住人口总数约1300)7.命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥,命题A 的等价题B 可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥。
8.设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ,则在区间[1,2]上)(x f ＝ 。
9.在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数为 ,(结果用数值表示) 10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3,现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 。
11.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点,则=AB 。
12.在等差数列{}n a 中,若0=z a ,则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立,类比上述性质,相就夺:在等此数列{}n b 中,若10=b ,则有等式 成立。
上海四校自主招生-数学交附卷(高清打印)
⎨四校自招-数学·交附卷一、填空题1、在△ABC中，设CA=a，CB=b，P是中线AE与中线CF的交点，则BP= 。
（用a,b表示）2、已知a是正实数，则a+2的最小值等于a3、正整数360共有个正因数。
4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。
如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是5、计算：1=3-226、计算：1+1+ +1=1⨯22⨯32013⨯20147、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L=8、满足方程：4+2=1的正整数有序数对的（m,n）个数为m n9、已知实数x满足2x2-4x=6x2-2x-1，则x2-2x的值为10、直线x-y=1与反比例函数y=k的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限。
x11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45︒得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠部分的面积为12、请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了次14、设A(0,-2)，B(4,2)是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C(1,5)的距离等于22，则点P的坐标为15、方程组⎧217x+314y=2的解为⎩314x+217y=2 16、坐标原点(0,0)关于直线y=x+4翻折后的点的坐标为二、解答题17、已知，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S18、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像抛物线经过A(-3,0)，B(1,0)两点，M(t,4)是其顶点。
（1）求实数a,b,c的值；（2）设点C(-4,-6)，D(1,-1)，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到最大时点P 的坐标。
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷上海卷理
2000年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
（1）已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。
（2）函数，x x y --=312log 2的定义域为 。
（3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是 。
（4）计算：nn n )2(lim += 。
（5）已知b x f x+=2)(的反函数为)(),(11x fy x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 。
（6）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300）（7）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥， 命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥 （8）设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。
（9）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示）（10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。
（11）在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。
(12)在等差数列{}n a 中，若=n a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若1=b ，则有等式 成立。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数,则．8．设，且函数的最大值为，则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数,对于，定义,若,则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时,的值．12．设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．参考答案：1. 2。
3。
2 4. 5. 6。
27. 8。
9. 10.11.,12.；偶函数;;；周期为 13。
；14。
略；反证法 15. 2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。
1.1 一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中,，则前项和取最大值时,的值为__________．20 4．复数,若存在负数使得，则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中,，，,,，，,，，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80％，乙厂生产的占20％;甲厂商品的合格率为95％，乙厂商品的合格率为90％．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与错误!未定义书签。
2000年上海交通大学联读班数学试题
2000年上海交通大学联读班数学试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC 是_______________的三角形。
3. 已知()887871031x a x a x a x a +=++++ ，则86420a a a a a ++++=_______________。
4. 已知()f x 满足：()()()111f x f x f x -+=+，则()f x 的最小正周期是_______________。
5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =_______________。
6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C =_______________。
7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。
8. 7sin sin 12127cos cos 1212ππππ+=+_______________。
9. 函数()f x =()x R ∈的反函数是_______________。
10. 已知数列n nn a k =（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++= _______________。
11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。
（取出的数不分先后）12. 己知()f x 在0x 处可导，则()()22003lim h f x h f x h h→∞+--=_______________。
交大自主招生高考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)2. 已知等差数列{an}的公差d=2，若a1+a5=18，求a3的值。
A. 8B. 10C. 12D. 143. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 7)，求线段AB的中点坐标。
A. (3, 5)B. (4, 6)C. (5, 7)D. (7, 9)4. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模。
A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a+b+c=12，a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 8C. 10D. 126. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的极值点。
A. x=1，x=2B. x=1，x=3C. x=2，x=3D. x=1，x=47. 已知等比数列{an}的公比q=2，若a1+a3+a5=24，求a2的值。
A. 6B. 8C. 10D. 128. 在平面直角坐标系中，点P(1, 2)，点Q(4, 6)，求线段PQ的长度。
A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知复数z = 1 - 3i，求z的共轭复数。
A. 1 + 3iB. 1 - 3iC. -1 + 3iD. -1 - 3i10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与y轴的交点坐标。
A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)11. 已知等差数列{an}的公差d=-2，若a1+a5=18，求a3的值。
上海交通大学自主招生笔试面试真题
上海交通大学自主招生笔试面试真题
自主招生考试中,笔试和面试是考生和家长最为关注的,而每年都有关于自主招生脑洞大开的题目,大家很好奇自主招生考试都考什么?下面是上海交通大学往年自主招生部分笔试面试真题，仅供参考。
上海交通大学笔试题目中，数学和物理各45道题，两个科目的试卷足有13页，定成一本。
所有题目都是选择题，选错会倒扣分。
语文也是选择题，共有50道，主要根据四五篇文章做阅读，文章为学术类文章、文言文等。
题目涉及理解文章内容，也涉及到课外知识，需要广泛涉猎。
1、数学：几何，十个小题六个大题两个小时。
2、物理：力学，三个小题五个大题两个小时。
物理热力学有一个分析题。
3、语文：考到了“八仙过海”中的八仙，要求选择不是八仙的选项。
1、面试中，先是自我介绍，水平好的话可以申请用英语说，用中文版的话之后可能会让你用英语随便说点什么。
2、之后便是根据你的自我介绍和自荐信提问。
如果遇到一些比较刁钻的老师，便会故意为难你，比如问你的专业和他教的专业哪个难，无论你说哪个，他便会说另一个怎么怎么难来反驳，你再次反驳后，他依然会挑刺来反驳你，个人觉得只要说的有理有据，阐明自己的见解和理由就行了。
问问题也会涉及到个人经历，比如问你为什么会担任xx课代表，或者有没有参加过和专业相关的活动，以及竞赛经历，高考状况。
还有，对于本专业名人的了解不能拘泥于交大的，有的老师会特地要求不允许举例交大的名人，要求比较苛刻。
另外，竞赛证书是可以带进面试考场的，允许你展示获奖证书。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
上海中考自招试卷(数学)及答案要点(pdf版)
高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1.本试卷共18题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.32++-=x x y 的最小值是.2.不等式0232≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是.3.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝cm ，PQ ＝cm.4．已知关于x 的不等式122++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为___________.5.已知关于x 的方程111112-=--+-x mx x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是.6.若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为.7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则4122+++y x 的最小值为.8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝D C MP N Q ABx 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.11.（8分）设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。
历年自主招生考试数学试题大全-2006年上海交通大学自主招生数学试题
2006年上海交通大学自主招生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1．矩形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，过A 、C 作相距为h 的平行线AE 、CF ，则AF =____．2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是_________．3．2005！的末尾有连续________个零．4．210(2)x x -+展开式中，3x 项的系数为__________． 5．在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为,,,90αβγαβγ++=︒且，则塔高为______________．6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在一次游戏中，甲获胜的概率为___________．7．函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增，则实数a 的取值范围是________．8．51x ω=是的非实数根，2(1)(1)ωωω++=_____________．9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值．10．已知2!(1)!(2)!k k a k k k +=++++，则数列{}n a 前100项和为___________． 二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分）11．a ，b ，c，abc ，b c ，a （b ）x 2b （c a ）x c （a b ）有两个相等根，求证：111,,a b c成等差数列．A D CF E B12．椭圆2221(1)x y a a+=>，一顶点A （0，1），是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由．13．已知|z |=1，k 是实数，z 是复数，求|z 2+kz +1|的最大值．14．若函数形式为(,)()()()(),(),()f x y a x b y c x d y a x c x =+其中为关于x 的多项式，(),()b y d y 为关于y 的多项式，则称(,)f x y 为P 类函数，判断下列函数是否是P 类函数，并说明理由．（1） 1+xy ； （2） 1+xy +x 2y 2．15．设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程．。
历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析Word版含答案及解斩(共九大专题)
历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析（共九大专题）目录：专题一：不等式 01～11页专题二：复数、平面向量 12～20页专题三：三角函数 21～27页专题四：创新与综合题 28～33页专题五：概率 34～43页专题六：数列与极限 44～55页专题七：解析几何 56～74页专题八：平面几何 75～83页专题九：排列、组合与二项式定理 84～88页历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一：不等式一、选择题。
1．(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( )A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定【答案】B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].2．(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】3．(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=1【答案】C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4．(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5．(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( )A.a<12B.a<7C.a<5D.a<2【答案】D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.6．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.二、填空题。
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2)二．不等式 (9)三．函数 (20)四．数列 (27)五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31)六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35)七．复数 (39)八．三角 (42)近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。
关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。
关键步骤提示：()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)nnni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，三、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。
上海中学自招数学真题(含答案)
上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+， 代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________． 【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________． 【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <， 此时函数1y 的对称轴404mx -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <； 若04m ≤<，此时20y ≤， 则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立； 综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=； 球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。
自招 上海自主招生数学试题
B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年 上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39
交大复旦同济自主招生数学试题完美版
交通大学2000年保送生数学试题一、选择题（本题共１5分,每小题３分．在每小题给出的4个选项中,只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) １.若今天是星期二,则3１９98天之后是ﻩﻩ ( )ﻫＡ.星期四 B ．星期三 C.星期二ﻩD ．星期一2.用13个字母A ，A,A,C,Ｅ,H,I ，I ，Ｍ，M,Ｎ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的,恰好组成“MA ＴH ＥMA ＴＩＣIAN”一词的概率是ﻩﻩ（ ) A ．4813!ﻩB ．21613!ﻩC ．172813!Ｄ．813!３．方程cos ２x -ｓin ２x +si ｎx =ｍ+１有实数解，则实数ｍ的取值范围是 ﻩ（ ）ﻫＡ.18m ≤ﻩB.m >-３ﻩC.ｍ ＞-１ﻩD.138m -≤≤ 4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2＋px +q ＝０的两个根，则此数列各项的积是 ﻩ( )Ａ.ｐm B ．p 2m ﻩC ．q m D.ｑ2ｍ5.设ｆ ’(x 0)=２,则000()()limh f x h f x h h→+--ﻩﻩ（ )ﻫA ．-２ﻩＢ．2 C.-4 D.４二、填空题(本题共24分，每小题3分）1．设f (x 1,则1(2)f x dx =⎰＿__＿______.２．设(0,)2x π∈,则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是_＿__＿_＿___． 3.方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解ｘ＝＿___＿＿____.4.向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =＿_____＿___．5.函数2y x =+的单调增加区间是_________＿.６.两个等差数列２０0,２03，2０6，…和50,54,58…都有1０0项，它们共同的项的个数是_______＿__．7．方程7x 2-(ｋ＋13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,２)内,则k 的取值范围是___＿＿＿＿＿__.8．将3个相同的球放到4个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的,则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_＿__＿___． 三、证明与计算(本题６1分）1.(6分)已知正数列a 1，a ２,…，ａｎ，且对大于１的n 有1232n a a a n +++=,1212n n a a a +=.ﻫ试证:ａ1，ａ2,…,a n 中至少有一个小于1．２．(1０分)设３次多项式f (x ）满足:f (ｘ+2)=-f (-x ),f (０)＝1,f （3)＝4,试求f (x ）.３.(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++>．4．（10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x =０处可导,且原点到f (ｘ）中直线的距离为13,原点到ｆ(x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ,c ，ｌ,m 的值.(b ,c ＞０）5．（8分)证明不等式:341sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2x π∈．6.(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12.若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率.7．（１1分)如图所示,设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△O Ｂ1A １，△A 1Ｂ2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上.试求A n 的坐标表达式,并说明这些三角形的面积之和是否存在．yB 1B 2复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科）一、填空题（每小题1０分,共６0分)1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数，第三组含三个数,……,第n 组含n 个数,即１;2,3;４，5，６;…….令a n 为第n 组数之和,则ａｎ＝________________．2.222sin sin ()sin ()33ππααα+++-=____＿＿＿____＿__. 3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_＿_______＿__＿____．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底面成60度角,则两对角面面积之比为＿_________________．５．正实数x ,y 满足关系式x ２-xy +4＝０，又若x ≤1,则y 的最小值为____＿_＿__＿___.６．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回，返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台10００米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了______＿_____＿_米. 二、解答题(每小题１5分，共9０分)1．数列{ａn }适合递推式a n ＋1＝3a ｎ+4,又ａ1＝１,求数列前n 项和S n . 2．求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ,相邻侧面的两面角等于12arcsin 2,ﻫ求该棱锥的体积．(1cos 124π=）４．设z 1,z 2,z 3，ｚ4是复平面上单位圆上的四点，若z 1＋ｚ2+z 3+z 4＝0.ﻫ求证:这四个点组成一个矩形.5.设(1n n x y =+x n ,y n 为整数,求n →∞时，nnx y 的极限．6.设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过１．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论.20０1年上海交通大学联读班数学试题一、填空题(本题共40分,每小题4分）1．数12825N =⨯的位数是_＿＿＿__＿__＿______.2．若l ｏg 2[log 3（log 4x )]＝ｌｏg ３[l ｏg 4(ｌｏg 2y )]=log 4[ｌｏｇ2(ｌｏg 3z ）]＝0,则ｘ＋ｙ+z ＝__＿______.3．若log 23＝p ,log 35＝q ，则用p 和ｑ表示log １05为___＿＿_＿__＿_____＿．4.设s ｉn α和ｓｉn β分别是ｓi ｎθ与c ｏｓθ的算术平均和几何平均,则ｃo ｓ2α:cos2β=___＿_＿_＿____． 5．设[0,]2x π∈,则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为_____＿_＿_＿_＿＿_＿_．6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形,已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为__＿____＿＿___．7.若在数列１，３，2，…中,前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_＿__＿______＿＿＿_．8．在(１＋2ｘ-x 2)4的二项展开式中x 7的系数是______＿___＿_＿__. ９．某编辑在校阅教材时,发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取ａ厘米的线段，求两个端点间的距离”,其中a 厘米在排版时比原稿上多1.虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a =___＿______＿_＿___.10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为＿_＿___＿_＿＿_＿＿__＿_. 二、选择题（本题共32分,每小题４分）１1.a ＞0,b >0，若（ａ+1）(b +1）=2，则a ｒct ａｎａ+a ｒｃtan b = ﻩ( )A ．2πﻩＢ．3πＣ.4πD.6π12.一个人向正东方向走x 公里,他向左转150°公里,则x 是ﻩﻩ( )Ｂ． C.３ﻩＤ．不能确定 13.111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=ﻩﻩ( )ﻫA.11321(12)2---ﻩＢ．1132(12)---Ｃ．13212--D ．1321(12)2--14.设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且Ｓ=｛(x ，y )|(x -Ｔ)2+y 2≤Ｔ2,T ＝ｔ-[t ］},则 ( ）A ．对于任何t ，点(０,0)不属于SB ．S 的面积介于0和π之间ﻫＣ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限ﻩＤ．对于任何t ,Ｓ的圆心在直线y ＝ｘ上15．若一个圆盘被2n (n >０)条相等间隔的半径和一条割线所分隔,则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是ﻩ ﻩ ( )ﻫＡ．２n +2ﻩB ．3ｎ-1ﻩC.3n D ．3n +１16.若i 2＝-1,则cos45°+i ｃos13５°＋…＋i n c ｏｓ(45+90n )°+…+i 40ｃｏｓ3６45°=ﻩ（ )ﻫA.2ﻩB ．2122ﻩ C.2(2120)2i -ﻩＤ．2(2120)2i + 17.若对于正实数x 和y 定义xyx y x y*=+,则 ﻩ ( ）ﻫＡ.”＊”是可以交换的，但不可以结合 B ．”*”是可以结合的,但不可以交换C.”*”既不可以交换，也不可以结合 D ．”*”是可以交换和结合的１８.两个或两个以上的整数除以N （N 为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余.若69，90和125对于某个Ｎ是同余的，则对于同样的N,８１同余于ﻩﻩﻩﻩ（ )ﻫA.３ﻩB.4 C ．5 D ．7 三、计算题(本题共78分)１9.（本题10分）已知函数f (x )＝ｘ2+2ｘ+2，x ∈[ｔ,ｔ+1]的最小值是g （t )．试写出g (t ）的解析表达式．2０．(本题12分)设对于x >0，66633311()()2()11()x x x x f x x x x x+-+-=+++,求f (x ）的最小值．21.（本题16分）已知函数121()1x f x x -=+,对于n =1,2,3,…定义f n ＋1（ｘ）＝ｆ1[ｆｎ（x )]．若f 3５(x)＝f ５(x )，则f 28(x )的解析表达式是什么?22．（本题20分）已知抛物线族2y ＝x 2－6x c ｏs t -9si ｎ2t ＋8s ｉn ｔ+9,其中参数ｔ∈R ．（1) 求抛物线顶点的轨迹方程;(2) 求在直线y ＝1２上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．23．(本题20分）设｛ｘn }为递增数列,ｘ1=１，ｘ2＝4，在曲线y x =上与之对应的点列为P 1（1,1）,P 2（４,2)，333(,)P x x ，…,(,)n n n P x x …，且以O 为原点，由ＯP n 、OP n +1与曲线P ｎP n +１所围成部分的面积为S ｎ,若{S n }(n ∈N )是公比为45的等比数列,图形X n X n +1Ｐn ＋1Ｐn 的面积为332212()3n nx x +-，ﻫ试求Ｓ1+S ２+…+S n +…和lim n n x →∞．xP nyOXn +1XnP n +1复旦大学20０1年选拔生考试数学试题一、填空（每小题５分，共45分)１.sin x +sin y =0,则cos ２x -sin 2y =____＿___________＿__.２．平面π1， π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆,那么椭圆短轴与长轴之比为_________＿.３.（ｘ2+2x +2）(y 2-２y +2)＝1，则x +ｙ=_＿＿____＿＿_＿_____＿__＿＿___．4．电话号码0，１不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位,使得电话号码资源增加___＿．5．２０02=83a 3+８２a 2+8ａ1+ａ0，0≤a 0，a １,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=__＿___＿_______． 6.15(x-的常数项为＿＿_＿__＿_______＿__.7．n ＝__＿_＿_____＿__＿____．8.空间两平面α,β,是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直?_＿______＿__．9.在△ＡB Ｃ中,ｃｏｓ(2A -C )=cos(２Ｃ-B ),则此三角形的形状是__＿______＿__＿__＿. 二、解答题（共87分）1．求解：c ｏs ３ｘtan5ｘ=s ｉn ７ｘ．2.数列3,3-lg ２,…，３-(ｎ-1)lg2．问当n 为几时,前n 项的和最大？3.求证：x ∈Ｒ时，｜x -1|≤4｜x 3-１|．4.a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行,在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离30０米,在台风中心周围１0０米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度?6.x 3-2ｙ3=1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共６4分,每小题4分） １．设方程x ３=１的一个虚数根为2,1nn ωωω++则(n 是正整数)=＿____＿_＿＿_.2．设ａ，ｂ是整数，直线y ＝ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y ＝x ２+6x +7与y =ｘ2＋４ｘ+5的交点个数分别是2,１,0,则(ａ,b ）=____＿_＿___＿.３.投掷3个骰子,其中点数之积为9的倍数的概率为_____＿_＿＿__. 4．若x ,ｙ,z ＞0且ｘ２＋ｙ2＋z ２=１,则222111x y z++的最小值为＿____＿__＿__. ５．若2x -2-x =2，则8x =___＿＿＿_＿__＿＿__. 6．若ａ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ,则1112a b c+-＝_____＿＿_＿___＿. 7．222111(1)(1)(1)23n ---的值为____＿________. 8．函数22sec sec x tgxy x tgx-=+的值域为____＿__＿___＿＿_. 9．若圆内接四边形ABC Ｄ的边长AB =４，B Ｃ＝8,C Ｄ＝９，DA =7,则cos A =_____＿____.10．若a ,b 满足关系:1=,则a 2＋ｂ2=__＿＿_＿＿_____. 11.291(1)2x x+-的展开式中x 9的系数是_____＿___＿___.1２.当1a ≤<||x 的相异实根个数共有＿___＿__＿_＿_＿_个．1３.若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则ａ=_＿＿＿___________．1４.设ａ,b ,c 表示三角形三边的长,均为整数，且a b c ≤≤,若b =n （正整数)，则可组成这样的三角形_____＿个.15．有两个二位数，它们的差是５6，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为__＿＿___． 16.某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学,各小学分别有电脑15,７,１１,3,14台,现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台,且要使移交的电脑的总台数最小,因此,从第一小学向第二小学移交了＿＿＿_＿___台,从第二小学向第三小学移交了___＿__台,从第五小学向第一小学移交了_______＿台,移动总数是_＿＿______台. 二、计算与证明题（本题共86分)17.(本题12分)(1）设n 为大于２的整数，试用数学归纳法证明下列不等式:(1)22211111223n n++++<-;(２）已知当2sin 01,116x x x x <≤-<<时，ﻫ 试用此式与(１)的不等式求1111lim(sin12sin 3sin sin )23n n n n→∞++++18.(本题14分)若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f （x )的不动点,已知函数2()x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点ﻫ(1) 求a ，ｂ须满足的充要条件;ﻫ(2) 试用y =f (ｘ)和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）１９.(本题１４分）欲建面积为1４4m 2的长方形围栏，它的一边靠墙(如图），现有铁丝网5０m,问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度.20．(本题14分)设数列{a n ｝满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-=,若N 满足1(2,3,)N a N ==,试证明:(１) 1||1a ≤; (2) 12cos2N k a π-= (k 为整数)21.（本题16分)设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a ba b a b f a f b f +<<==若满足 试写出ａ与b 的关系,并证明在这一关系中存在ｂ满足3<b ＜4２２．（本题16分)A 和B 两人掷骰子,掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷,掷出不是一点时，由对方接着掷,第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n .试求：(1） P n +１用P ｎ表示的式子;(２) 极限lim n n P →∞2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题ﻩ2003．１．４一、填空题（本大题共40分,每题4分)1．三次多项式ｆ（x )满足ｆ（３)＝2f （1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为____＿＿＿____.2．用长度为12的篱笆围成四边形,一边靠墙，则所围成面积Ｓ的最大值是_______＿______＿. 3.已知,x y R +∈，ｘ+２y =1,则22x y+的最小值是_＿__＿____＿__＿_. 4．有4个数,前3个成等比数列,后3个成等差数列，首末两数和为32,中间两数和为２4，则这四个数是＿__＿＿_________＿＿___.5.已知ｆ（x ）=a ｘ7+bx 5＋x ２+2x -１,f （２)=-8，则f （-2）=_____＿___＿__＿__. 6.投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是__＿__＿____＿＿_＿_． 7．正四面体的各个面无限延伸,把空间分为______＿____＿_＿__个部分． 8．有ｎ个元素的集合分为两部分,空集除外,可有__＿＿_______种分法．９．有一个整数的首位是7,当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是_＿＿___＿_＿__.10．1００!末尾连续有___＿__＿_______个零. 二、解答题（本大题共60分，每题10分）11．数列{ａn }的a 1=１，ａ2=3，3a n +2=2a n +1+a n ,求a n 和lim n n a →∞.１2．3个自然数倒数和为１.求所有的解.13．已知x １0０0＋x ９９９(x +1)+…+(x ＋1）1０00,求x ５0的系数．14．化简:(1) 11!22!!n n ⋅+⋅++⋅;ﻩ（2) 1212kn n n k C C C ++++++．15.求证：342231a aa a +++为最简分式．16．证明不等式()!()23nnn n n >>，当自然数n ≥6时成立.复旦大学200３年暨保送生考试数学试题一、填空题(本大题共80分,每题8分)１.函数1()2y f t x x=-，当x ＝１时,252t y t =-+，则f (x )=_____＿__＿__＿____.2．方程x 2＋(ａ-２)x +ａ+1=0的两根x １,x 2在圆x 2+y ２=４上，则a =＿__＿______＿_＿__.3．划船时有8人,有3人只能划右边，1人只能划左边，共有_＿__＿___种分配方法． ４．A ＝{x ｜ｌｏｇ2(ｘ２-4x -4)>0},B ＝{x ｜｜ｘ+1|+|x -3｜≥6},则A B ⋂=＿____＿___＿__＿_＿.5．数列{a n }的前n 项和为Ｓｎ，若a ｋ=k ·ｐk (1-p ），(ｐ≠1),则S k ＝_____＿____＿_＿_． 6．若(x -1)２+(ｙ-１)2=１，则13y x --的范围是______＿＿_＿_______＿_. 7．边长为4的正方形ＡB ＣD 沿BD 折成60o 二面角,则BC 中点与Ａ的距离是＿___＿____． ８.已知|ｚ1|=2,|z ２｜=3,|ｚ1＋z ２|=４，则12z z =＿___＿_＿___＿__＿. 9.解方程3log 2a xx xa=，ｘ=__＿__＿________＿_. 10.(a >0）,lim 2nn nn a a →∞+＝____＿__＿＿＿____．二、解答题(本大题共１20分）11．已知｜z ｜＝1，求|z ２+z +4|的最小值．１2．a 1,a 2,a 3,…，ａｎ是各不相同的自然数，ａ≥2,求证：1231111()()()()2a a a anaa a a ++++<．1３．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值.14.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21xy x=+(x ＞0）的图象上, 求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．1５．一圆锥的底面半径为1２，高为1６，球O 1内切于圆锥,球O 2内切于圆锥侧面，与球O 1外切,…,以次类推，ﻫ(１) 求所有这些球的半径r n 的通项公式；(２) 所有这些球的体积分别为V 1,V 2，…，V ｎ，….求12lim()n n V V V →∞+++．16．已知数列{a ｎ}的前n 项和为S ｎ,n a =,求S 2０03．1７．定义闭集合Ｓ，若,a b S ∈，则a b S +∈,a b S -∈.（１) 举一例，真包含于R 的无限闭集合.(２） 求证对任意两个闭集合Ｓ１,Ｓ2⊂R ，存在c R ∈,但12c S S ∉⋃.同济大学2０03年暨保送生考试数学试题一、填空题1．f (x )是周期为２的函数,在区间[-1,1]上，f (x )=|x ｜,则3(2)2f m +=＿__(m 为整数)． ２．函数y =cos ２x -2cos x ，ｘ∈［0，2π]的单调区间是________＿__＿___＿＿_.３．函数2y =__＿__＿_____＿＿_____．４．５.函数y =f （x ),f （x +1）-f （x )称为f (x )在x 处的一阶差分,记作△y ,对于△y 在x 处的一阶差分,称为ｆ（x )在ｘ处的二阶差分△２y ,则y ＝f （x )＝3x ·x 在ｘ处的二阶差分△２y =__＿___＿_____． ６.7.从1~１00这１00个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是____＿＿____． ８．正四面体ＡBC Ｄ,如图建立直角坐标系，O 为Ａ在底面的投影，则M 点坐标是____＿_＿__，C Ｎ与DM 所成角是____＿____. 9.双曲线x 2-ｙ２＝1上一点P 与左右焦点所围成三角形的面积__________＿．10．椭圆22143x y +=在第一象限上一点P (x ０,y 0),若过P 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是______＿＿_.二、解答题11．不等式22222log 0364x kx kx x ++<++对于任意x ∈R 都成立，求k 的取值范围. 12．不动点，()bx c f x x a +=+．(1) 12，3为不动点，求a ，ｂ,c 的关系；(2) 若1(1)2f =,求f （x ）的解析式；(3) 1３.已知sin cos ([0,2))2sin cos y θθθπθθ⋅=∈++,(1） 求y 的最小值；(２) 求取得最小值时的θ．14.正三棱柱ＡＢＣ-A １B 1Ｃ1,｜AA １|=h ,|BB 1｜=ａ,点E 从A １出发沿棱A 1Ａ运动,后沿ＡD 运动，∠A １D 1E =θ，求过EB 1C 1的平面截三棱柱所得的截面面积Ｓ与θ的函数关系式. 15.已知数列{ａｎ}满足112n n n a a a -++=.ﻫ(１） 若b ｎ=a n -a n -1(ｎ＝２,3,…)， 求ｂｎ;(２) 求1ni i b =∑;(3) 求lim nn a →∞．１6.抛物线y 2＝2px ，(1) 过焦点的直线斜率为k ，交抛物线与A ,B ,求｜AB |.（2) 是否存在正方形ＡB ＣＤ,使Ｃ在抛物线上,Ｄ在抛物线内,若存在，求这样的k ,正方形ＡBC Ｄ有什么特点？BAC D A 1D 1 C 1 B1上海交通大学2００４年保送生考试数学试题（９0分钟）2004．1.３一、填空题：１．已知ｘ，y ,z 是非负整数，且ｘ+y +z =10，ｘ＋２y ＋3z =30,则ｘ+5y ＋3z 的范围是__＿_＿____＿.2.长为l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是＿＿__＿_＿＿_. ３．函数x x y cos sin +=（20π≤≤x ）的值域是__＿_________＿．4．已知ａ，ｂ,c 为三角形三边的长,b =ｎ，且ａ≤ｂ≤c ，则满足条件的三角形的个数为_＿_____＿.5.b ax x ++2和c bx x ++2的最大公约数为1+x ,最小公倍数为d x b x c x +++-+)3()1(23，则a =__＿___,b =_______,c =__＿＿_＿_,d =＿__＿______． 6．已知21≤≤a ，则方程x x a -=-222的相异实根的个数是__＿_＿＿_＿＿＿．7．8182004)367(+的个位数是____＿＿_＿＿＿_＿_＿．８.已知数列{}n a 满足11=a ，22=a ，且n n n a a a 2312-=++,则2004a ＝_＿_________＿. ９.n n ⨯的正方格,任取得长方形是正方形的概率是____＿_＿__＿. １０.已知abcxyz xyzabc 76=,则xyzabc ＝________＿＿_＿_＿_．11． 12．二、解答题1．已知矩形的长、宽分别为a 、b ,现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合,求所得折线长．2．某二项展开式中,相邻ａ项的二项式系数之比为 1：2:3:…：a ，求二项式的次数、a 、以及二项式系数.３．f (x )=ax 4+x 3+(5-8a )x 2＋6x -9a ，证明：（1）总有f （ｘ)=0;(２)总有f (x )≠0．4.11)(1+-=x xx f ，对于一切自然数n ,都有)]([)(11x f f x f n n =+，且)()(636x f x f =,求)(28x f .5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.６.已知{}n b 为公差为6的等差数列，)(11N n a a b n n n ∈-=++.ﻫ(1) 用1a 、1b 、n 表示数列{}n a 的通项公式;(２) 若a b a =-=11，]33,27[∈a ，求n a 的最小值及取最小值时的n 的值．复旦大学2004年保送生考试数学试题（15０分钟）2０03.1２.21一、填空题（每题8分,共８0分）1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a ＿___＿____.２.已知74535=-++x x ,则x 的范围是____＿_____＿．３.椭圆191622=+y x ,则椭圆内接矩形的周长最大值是＿______＿___. 4．12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出4只正好能形成2双，有___＿种取法． ５.已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为９，则第三项为__＿___. 6.0)1(2<++-a x a x 的所有整数解之和为2７，则实数a 的取值范围是__＿__＿＿_＿__.7．已知194)4(22=+-y x ,则9422y x +的最大值为_＿_____＿_＿__． ８.设21,x x 是方程053cos 53sin 2=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__＿＿＿_____．9.z z =3的非零解是____＿＿＿___＿． １０．xx y +-=112的值域是＿___＿_＿_＿_＿_.二、解答题(每题15分，共12０分） １．解方程：1)3(log 5=--x x .2．已知1312)sin(=+βα,54)sin(-=-βα，且2,0,0πβαβα<+>>,求α2tg .３．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ,Ｃ2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．４．若存在M ，使任意D t ∈(D 为函数)(x f 的定义域）,都有M x f ≤)(,则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？5．求证：3131211333<++++n．6.已知Ｅ为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B １C 1D 1的棱A Ｂ的中点，求点B 到平面A １EC 的距离．7.比较25log 24与26log 25的大小并说明理由.８．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+,且n n n b a b 661+=+,又21=a ，41=b ,ﻫ求 （1）n n b a ,;(２) nnb a lim．简单解答:一、填空题:１.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.31二、解答题: 5．证明1:111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm m m m m m m=(2111)1111-++⋅⋅+--m m m m m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式<１+111141213111+--++-+-n n =3111222<+--+n n证明2:)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n nnn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-+nn n同济大学2００4年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题(本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分,否则一律得零分，本大题满分40分） 1.函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是___＿___＿＿_______＿____＿＿．2．如图所示,为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象,则该质点运动的总路程s ＝＿＿___(厘米）． 3．设a 与b 是两条非相互垂直的异面直线,α与β分别是过直线a与ｂ的平面,有以下4个结论:(１) b ／/α，（２） b ⊥α,（３)β//α,(4） β⊥α，则其中不可能出现的结论的序号为＿________＿． ４．设某地于某日午后2时达到最高水位,为3.2０米,下一个最高水位恰在12小时后达到,而最低水位为0.20米。
2024年上海中学自主招生考试数学试卷真题打印版
上海中学2024年自招题
数学2024.4.21
1．已知a 、b 和c 是ABC △的三边，2,0a c ax c =-+=求ABC △的底角的度数．
2．已知关于x 和y 的方程组2x y a x y a +=⎧⎨-=⎩
有正整数解，求a 的值．3．已知平面上有三个圆和三条直线，求它们的交点个数的最大值．
4．已知I 是ABC △的内心，AI 交BC 于D ，交⊙O 于E ，．8,4AE AI ==，求DE 长度．
5．已知二次函数()f x 满足对任意实数x 都有22
22()243x x f x x x -+≤≤-+，()11181f =，求()16f 的值．
6．已知22
2(0)2a y x ax a =-+<，图像顶点为A ，与x 轴交于B 和C ，ABC △是等边三角形，求a 的值．7．如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于A 和B 点，交y 轴于C 点，
1
3
OB DOB =∠=，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A 点横坐标是m ，ABO △的面积是S ，求S 关于m 的函数解析式；
（3）已知OCD △的面积是4
S ，判断过A 和B 点的抛物线在x 轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，请说明理由．。
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交通大学2000年自主招生考试
数学试题
一、选择题（本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内）
1．若今天是星期二，则31998
天之后是
（ ） A ．星期四
B ．星期三
C ．星期二
D ．星期一
2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 （ ）
A ．
4813!
B ．
216
13!
C ．
1728
13!
D ．
813!
3．方程cos 2
x 2
x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是
（ ）
A ．18
m ≤
B ．m
C ．m
D ．138
m -≤≤
4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2
+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是（ ）
A ．p m
B ．p 2m
C ．q m
D ．q 2m
5．设f ’（x 0）＝2，则000
()()
lim h f x h f x h h
→+--
（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．4
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
1．设f （x 1，则1
(2)f x dx =⎰
__________．
2．设(0,
)2
x π
∈，则函数（22
22
11sin )(cos )sin cos x x x x
+
+的最小值是__________． 3．方程316281536x x x
⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．
4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．
5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．
6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数
是__________．
7．方程7x
2
（k +13）x +k
2
k ＝0的两根分别在区间（0,1）和（1,2）内，则k 的取
值范围是__________．
8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．
三、证明与计算（本题61分）
1．（6分）已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有123
2
n a a a n ++
+=
，121
2
n n a a a +=
． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．
2．（10分）设3次多项式f （x ）满足：f （x +2）＝f （x ），f （0）＝1，f （3）＝4，试求f （x ）．
3．（8分）求极限1
12lim
(0)p p p
p n n p n +→∞+++>．
4．（10分）设2,0
(),
0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f （x ）中直线的距
离为
1
3
，原点到f （x ）中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．（b ,c >0）
5．（8
分）证明不等式：
3
4
12
≤≤，[0,]
2
x
π
∈．
6．（8分）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是1
2
．若射
手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．
7．（11分）如图所示，设曲线
1
y
x
=上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，
△A1B2A2，…，直角顶点在曲线
1
y
x
=上．试求A n的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之
和是否存在．。