函数导数易错点
函数与导数易错题
函数与导数易错题作者：吉冬林管永健来源：《高考进行时·高三数学》2013年第06期1. 函数f（x）=log2（4-x2）的值域为.2. 已知函数f（x）=3x，x∈[0，1]92-32x，x∈（1，3]，当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是.3. 已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为.4. 已知f（x）=log3x+2（x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是.5. 已知函数f（x）=|x2-6|，若a6. 若函数f（x）=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是.7. 已知f（x）是定义在[-2，2]上的函数，且对任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有f（x1）-f （x2）x1-x2>0，且f（x）的最大值为1，则满足f（log2x）8. 已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的值取范围是.9. 设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg 1+ax1+2x是奇函数，则a+b的取值范围是.10. 若函数f（x）=k-2x1+k·2x（a为常数）在定义域上为奇函数，则k=.11. 若函数f（x）=loga（x+x2+2a2）是奇函数，则a=.12. 设f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数在（0，1）上单调递增，若f（a-2）-f（4-a2）13. 已知函数f（x）=ln1+x1-x+sin x，则关于a的不等式f（a-2）+f（a2-4）14. 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤xbx+2x+1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12=f32，则a+3b的值为.15. 已知曲线C：y=x3-3x2+2x，过原点的直线l与曲线C相切，则直线l的方程为.16. 函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为.17. 函数f（x）=（x-1）sin πx-1（-118. 已知函数f（x）=x+12，x∈0，12，2x-1，x∈12，2若存在x1，x2，当0≤x119. 若函数f（x）=x-1-aln x（a20. 设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0且a≠1）是定义域为R的奇函数.（1）求k值；（2）若f（1）（3）若f（1）=32，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值.21. 已知a>0，函数f（x）=ax3-bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围.22. 已知函数f（x）=aln x-ax-3（a∈R）.（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2m2+f′（x）在区间（t，3）上总存在极值？23. 设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x（1）求函数f（x）的解析式；（2）当124. 设函数fn（x）=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）.（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；（2）若对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范围；（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值为12，求a，b的值.25. 已知f（x）=xln x，g（x）=-x2+ax-3.（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex-2ex成立.（作者：吉冬林管永健江苏省邗江中学）。
《导数与函数的极值、最值》 知识清单
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
对于函数 y ＝ f(x)，其在点 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝ limₕ→₀ f(x₀＋ h) f(x₀) ／ h导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
如果导数存在，则函数在该点处可导。
二、函数的极值1、极值的定义函数在某区间内的极大值和极小值统称为极值。
极大值是指在该区间内比其附近的函数值都大的函数值；极小值则是指在该区间内比其附近的函数值都小的函数值。
2、极值点的判别方法（1）导数为零的点：若函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0，则 x₀可能是极值点。
（2）导数不存在的点：函数在某些点处导数不存在，但也可能是极值点。
3、第一导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀的某个邻域内可导，且 f'（x₀) ＝ 0。
（1）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极大值。
（2）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极小值。
4、第二导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处具有二阶导数，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。
（1）若 f'＇（x₀) ＜ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极大值。
（2）若 f'＇（x₀) ＞ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极小值。
三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间内的最大值和最小值分别称为函数在该区间内的最值。
2、求最值的步骤（1）求函数在给定区间内的导数。
（2）找出导数为零的点和导数不存在的点。
（3）计算这些点以及区间端点处的函数值。
（4）比较这些函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值。
高等数学中易错知识点总结
高等数学中易错知识点总结1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。
若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。
2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。
但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。
3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。
4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。
若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。
5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。
但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。
6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。
函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。
在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x),因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a)lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。
高数易错点总结
高数易错点总结1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。
对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。
2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。
且对于方差在X-Y 小于0的情况下也有类似结论。
对于Z=max(X,Y) 求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。
对Z=min(X,Y)同理可推。
避免了先求F Z(z)= F x(z)* F Y(z)和F Z(z)=1-(1- F x(z))* (1- F Y(z)),再对z求导的麻烦。
3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。
答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x) 在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x) 在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。
高考数学导数：极值与最值问题解析
高考数学导数：极值与最值问题解析在高考数学中，导数部分的极值与最值问题一直是重点和难点，也是许多同学感到头疼的知识点。
但其实，只要我们掌握了正确的方法和思路，这类问题也并非不可攻克。
接下来，让我们一起深入探讨一下高考数学中导数的极值与最值问题。
一、极值与最值的基本概念首先，我们要明确极值和最值的定义。
极值是指函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
也就是说，在函数的某个区间内，如果在某一点处的函数值比它附近其他点的函数值都大（小），那么这个点对应的函数值就是极大值（极小值）。
而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
需要注意的是，极值不一定是最值，最值也不一定是极值。
例如，函数在一个区间内可能有多个极值，但只有一个最大值和一个最小值。
二、求极值的方法1、求导数这是解决极值问题的关键步骤。
对于给定的函数，我们先对其求导，得到导函数。
2、令导数为 0求出导函数后，令其等于 0，解出这些方程的根。
这些根就是可能的极值点。
3、判断极值点通过导数的正负来判断极值点的类型。
如果在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是极大值点；反之，如果在极值点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是极小值点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2，其导函数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。
令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
所以，x ＝ 0 是极大值点，极大值为 f(0) ＝ 2；x ＝ 2 是极小值点，极小值为 f(2) ＝－2。
三、求最值的方法1、求出函数在区间内的极值按照前面提到的求极值的方法，找出函数在给定区间内的所有极值。
2、求出区间端点处的函数值将区间的端点代入函数，得到相应的函数值。
高中--函数求导
• 由于担心时间不够，同学们易在考场上贪 快而导致将原函数图像与导函数图像混淆， 所以建议在草稿纸上画表格
x f ‘( x) f(x) ( -3, -3/2 ) -3/2 ( -3/2, 2 ) 2 ( 2 ,4 ) 4 (4,5)
极 小 值
极 大 值
极 小 值
题型——
已知函数f ( x) x 2 2 x a ln x, (1)讨论函数f ( x)的极值点； (2)若t 1, f (2t 1) 2 f (t ) 3, 求实数a的取值范围
x5 a0 (1 x)a1 (1 x)2 a2 (1 x)3 a3 (1 x)4 a4 (1 x)5 a5
step 1 :
5
赋值 x 1 得 a0 1
( 1) a0 (1 ( 1))a1 (1 ( 1))2 a2 (1 ( 1))3 a3 (1 ( 1))4 a4 (1 ( 1))5 a5 解得
g ( x) f (log a x) log a x(log a x 1) ,x 0 x ln a
0 a 1
Solution
• 由求单调区间可知，对g（x）必须求导
g ( x) f (log a x) log a x(log a x 1) ,x 0 x ln a
x5 a0 (1 x)a1 (1 x)2 a2 (1 x)3 a3 (1 x)4 a4 (1 x)5 a5
step 1 : 赋值 x 1 得 (1) 5 a0 (1 (1))a1 (1 (1))2 a2 (1 (1))3 a3 (1 (1))4 a4 (1 (1))5 a5 解得 a0 1
高三数学二轮复习专题讲解14 函数与导数
高三数学二轮复习专题讲解 第14讲 易错点-函数与导数专题综述函数与导数是高考中的重点和难点，各种题型都有考查，也有一定的计算量！但我们要必拿选择填空的中等题分数，主要考查的知识点有函数的概念（函数的定义域、解析式、值域）、性质（单调性、奇偶性、对称性）、图象，导数的概念及其几何意义；对这些知识理解不到位或把握不全面或对题意理解不准确，就容易造成会而不对、对而不全的结果专题探究探究1:函数性质掌握不牢致错函数的单调性、奇偶性、周期性等在考题中不限制于以课本的定义给出，我们要关注它们等价变形形式和相关结论，如单调性的等价变形形式有： (1)若[]12,,x x a b ∀∈,12x x ≠,()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔>-()f x ⇔在[],a b 上是增函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔<-()f x ⇔在[],a b 上是减函数.(2) 若12x x ≠,且()()1212f x f x k x x ->-,则()y f x kx =-是增函数.奇偶性的相关结论有：(1)()f x 是偶函数⇔()()()()()()0f x f x f x f x f x f x =-⇔=⇔--=； (2)()f x 是奇函数⇔()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=； (3)若函数()f x 在0x =处有意义,则()00f =；(4)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,()f x 是偶函数,则()()f x a f x a +=-+. 利用函数的对称性与奇偶性会推导函数的周期性：(1)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =；若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =.(2)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数.(2022江苏联考)已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x R ∀∈有()() 4.f x f x +-=当(0,2]x ∈时，() 2.f x x =+则下列说法正确的是(). ()f x 的最小正周期是8 . ()f x 的最大值为5 . (2022)0f = . (2)f x +为偶函数 【规范解析】解：.A 因为(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，所以()f x 关于直线2x =-对称；即有()(4)f x f x =--，()(4)f x f x -=-，又()()4f xf x +-=，所以(4)(4)4f x f x --++=，即()(4)4f x f x ++=，所以()4(f x f x =-+，又()4f x f x=--，()(4)(4)f x f x f x -=+=-，所以()(8)f x f x =+，所以()f x 的周期8T =，故 正确； .由 知(2022)(20228)f f =-(202288)(6)(2)4(2)440f f f f =--===-=-=-=，故 正确； .由 知()(4)f x f x -=+所以(2)(2)f x f x +=-+，则(2)f x +为偶函数，故 正确； .当(0,2]x ∈时，()2f x x =+，结合以上知函数图象大致为则()f x 的最大值为4，故 错误.故答案选：.ACD(2022福建联考)已知定义在 上的函数()f x ，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-，函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，若当(0,1]x ∈时()f x x =，则()A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为周期函数C. (2023)1f =-D. 当[3,4)x ∈时，()f x =探究2:函数图象识别时不细致致错函数图象是函数性质的直观反映,由函数表达式识别函数图象时由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致得出错误的结论.我们在辨别图象时可从奇偶性、单调性、特殊值等方面来排除不合适的，从而得到正确答案.(2022福建联考)函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟的图象大致为()A. B. C. D.【规范解析】解：函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟，满足3113()cos()cos ()3113x xx x f x x x f x -----=-==-++，()f x ∴为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，排除 ，.B 当x π=时，13()013f πππ-=<+，排除.C 故选.D (2022福建省福州市期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟相对应的图象是()A. B. C.D.探究3:比较大小时没有选对方法致错在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小.若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式（对数式）但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是0,1,1-，有时也可借助13,2,22等中间量来比较大小.若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常利用式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小.(2022江苏联考)如果01a <<，那么下列不等式中正确的是()A. 1132(1)(1)a a ->- B. (1)log (1)0a a -+>C. 32(1)(1)a a ->+D. 1(1)1a a +->【规范解析】解：由题意 01a <<，所以()()10,1a -∈，()()11,2a +∈，得()1xy a =-为R 上的减函数，又1123>，所以()()113211a a ->-，10(1)(1=)1a a a +-<-而(1)log a y x -=单调递减，(1)(1)log (1)log 1=0a a a --+<， 32(1)1(1)a a -<<+，故选：.A(2022安徽省池州市单元测试)已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若ln3(4)a f =，(2)eb f -=，1(ln)(c f π=其中e 为自然对数的底数，π为圆周率)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>探究4:混淆两类切线致错求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.(2022山东模拟)已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 【规范解析】解：设y kx =与x y e =和ln y x m =+的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln )x x m +，x y e =的导数xy e '=，1x e k ∴=，且11x k x e=，解得11x =，k e ∴=；ln y x m =+的导数1y x'=，21k e x ∴==，21x e ∴=，又22ln kx x m =+，11ln 2.m e e e∴=⨯-=故答案为 ；2.(2022河南信阳月考)若曲线2y x =与ln()y x a =-有一条斜率为2的公切线，则()a =A. 1ln 22- B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 2探究5:混淆导数与单调性的关系致错研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零.若研究函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x --><>或0,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.(2022福建省福州市期中)已知函数()ln nx f x x mx xe =+-(1)当0n =时，讨论函数()f x 在区间(0,3)的单调性【规范解析】解：(1)当0n =时，函数()ln (03)f x x mx x x =+-<<，1(1)1()1m x f x m x x-+'=+-=当1m …时，(0,3)x ∈，()0f x '>，()f x ∴在(0,3)上单调递增， 当1m <时，令1()0,1f x x m'==-， ①当131m <-时，即23m <时， 由()0f x '>得：101x m <<-，由()0f x '<得：131x m<<-， ∴当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m-上单调递减. ②当131m-…时，即213m <…时，由03,()0x f x <<'>得03x <<，∴当213m <…时，函数()f x 在(0,3)上单调递增，综上所述：当23m …时，函数()f x 在(0,3)上单调递增；当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m -上单调递减.(2022河北联考)已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数．(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；探究6:混淆导数与极值的关系致错对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,且0()0f x '=,即0()0f x '=是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．(2022河北省张家口市期中)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，则下列叙述正确的是()A. 函数()f x 只有一个极值点B. 函数()f x 满足(4)(1)f f -<-，且在4x =-处取得极小值C. 函数()f x 在2x =处取得极大值D. 函数()f x 在(),4-∞-内单调递减【规范解析】解：由导函数的图象可得，当2x <时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞， 只有当2x =时函数取得极大值，无极小值. 故选：.AC(2022湖南联考)已知函数()(3)2.x f x x e x -=++(1)证明：()f x 恰有两个极值点;探究7:函数零点与方程的根不会转化致错确定函数零点所在区间、零点个数或已知函数零点情况求参数，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，所以研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”.(2022河北期中)已知函数,()e ,x xx a f x x x a⎧⎪=⎨⎪<⎩…，若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足123()()()f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________.【规范解析】解：由题意可知，对于()xx f x e=，则1().x xf x e -'=当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1(1)f e =，如图，分别画出函数x xy e =和y x =在 上的图象，用一条平行于x 轴的直线y m =截图象，有3个交点时，即存在1x ，2x ，3x ，使得123()()()f x f x f x m ===，当(1,)a ∈+∞或(,0]a ∈-∞时，最多有2个交点，所以不成立;当(0,1)a ∈时，存在3个交点，所以a 的取值范围是(0,1). 故答案为：(0,1)(2022福建月考)函数()ln (),0()(2),(0)x x f x x x x ⎧-<=⎨-⎩…，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________.专题升华函数的定义域是研究函数图象与性质的第一要素，性质是函数的基本属性，图象是其性质的外在表现；把握各性质的定义和等价表达式是根本；导数是研究函数性质的的根本工具，遇到参数时要紧记“分类讨论”；导函数图象与原函数图象的关系不能混淆！复合函数要会分解，定义域先行，内层函数的值域是外层函数的定义域，要清醒对待两者的身份！【答案详解】变式训练1【答案】.ABD【解析】由函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称可知，函数()f x 的图象关于 轴对称， 故()f x 为偶函数.选项 正确;由(4)()f x f x +=-，得(44)(4)()f x f x f x ++=-+=，()f x ∴是周期8T =的偶函数，(2023)(25381)(1)(1) 1.f f f f ∴=⨯-=-==选项 正确，选项 错误;设[3,4)x ∈，则4[1,0),4(0,1],x x -∈--∈()f x 为偶函数，(4)(4)f x f x ∴-=-，由(0,1]x ∈时，()f x =，得(4)(4.f x f x -=--又(4)()f x f x +=-，()(4)f x f x ∴=--=选项 正确.故选：.ABD变式训练2【答案】【解析】因为()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟，所以()()1sin f x x x f x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除 、 选项； 又0x π<<时，()10f =，令6x π=，则6sin 0666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除 选项.故选：.D变式训练3【答案】【解析】根据题意，函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，则函数()f x 的图象关于 轴对称，即函数()f x 为偶函数，满足()()f x f x -=，则1(l n )(l n )c f f ππ==，ln31444ln ln 120e e π->=>>=>>， 又由(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，则有a c b >>；故选：.A变式训练4【答案】【解析】由2y x =得2y x '=，令22y x '==，解得1x =，由点斜式得切线方程：12(1)y x -=-，即21y x =-，由l n ()y x a =-，得1y x a '=-，令12y x a '==-，解得12x a =+，代入ln()y x a =-得：ln 2y =-，将1(,ln 2)2a +-代入21y x =-，得：11ln 22()1ln 222a a -=+-⇒=-，故选：.A变式训练5【解析】(1)由题知()cos 1(0)af x x x x'=-+>，若0a >，因为0x >，1cos 0x -…，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2a x <-，从而11 / 11 ()2cos 1(1cos )0f x x x '<--+=-+…，所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意，综上分析，a的取值范围是(0,).+∞变式训练6【解析】(1)证明：依题意()f x 的定义域为 ，()(2)2x f x x e -'=-++，令()(2)2x m x x e -=-++，()(1).x m x x e -'=+当(1,)x ∈-+∞时，()0m x '>，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0m x '<，所以()f x '在(),1-∞-单调递减．又因为(1)20f e '-=-<，(0)0f '=，(2)20f '-=>，所以()f x '在(),1-∞-恰有1个零点0x ，在()1,-+∞恰有1个零点0，且当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，当0(,0)x x ∈时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0.f x '>所以()f x 在0(,)x -∞单调递增，在0(,0)x 单调递减，在(0,)+∞单调递增．所以()f x 恰有一个极大值点0x 和一个极小值点0，即()f x 恰有两个极值点．变式训练7【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f x =，结合图象可知，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不等的实数根，则关于 的方程2210t at -+=在[0,1)有两个不等实数根，因为221y t at =-+的图象过点(0,1)，则280014210a a a ⎧∆=->⎪⎪<<⎨⎪-+>⎪⎩，解得3.a <<故答案为：。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》易错题汇编含答案解析
新《函数与导数》专题解析一、选择题1．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．34【答案】B 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B.【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.3．3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.5．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）．A B ．C ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a ba b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．6．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.7．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32921224V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)12x -,所以正六棱柱容器的容积为()())()329214V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f << B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.31.130.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.9．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号， 故则41m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．10．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（ ）A ．-5B ．5C ．0D ．4043【答案】B 【解析】 【分析】根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.12．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞ C ．()1,+∞D ．()+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4x x xf x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x Q 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ sin ,142x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.13．函数()3ln 2xf x x x=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-【答案】B 【解析】 【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x-=+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==+⨯=， 且：()012121f =+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥15．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数； 当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.16．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】由题意可得32431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2126621f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，∴()min 11124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，解得：54a <.故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,2-C ．(),2-∞D ．()2,-+∞【答案】D【解析】【分析】设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.【详解】设()()36g x f x x =--， Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <，∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞.故选：D.【点睛】本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.18．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭UD ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C【解析】【分析】 对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围.【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2], 因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a ,所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）,由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222aaa a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩.当0＜a＜23时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜12.所以0＜a＜12.综合得a的范围为a＜12或1≤a≤2，故选C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．曲线3πcos02y x x⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x轴以及直线3π2x=所围图形的面积为（）A．4B．2C．52D．3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：()332222(0cos)sin2S x dx xππππ=-=-=⎰，选B.考点：定积分的几何意义20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取lg30.4771≈，lg20.3010≈）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果. 【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭， 即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。
选修2-2导数易错题狂练(附答案)
选修2-2导数易错题，好题专练选择题（共19小题）1．（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（）C．D．A．B．{2．（2012•安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）3f（1）＜f（3）C．3f（1）=f（3）D．f（1）=f（3）A．3f（1）＞f（3））B．3．函数f1（x）=cosx﹣sinx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x），（n∈N*，n≥2），则=（）C．0D．2008A．{B．4．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+2x•f′（1）+3，则f′（1）的值为（）﹣4B．4C．2D．﹣2—A．5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（）、A．函数h（x）有最大值也有最小值B．函数h（x）只有最小值C．函数h（x）只有最大值D．函数h（x）没有最大值也没有最小值?6．对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x），则以下正确的是（）A．f（2011）＞e2011•f（0）B．f（2011）＜e2011•f（0）C．f（2011）＞f（0）D．《f（2011）＜f（0）7．已知函数f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），则f′（0）等于（）2010!A．0B．20102C．2010/D．8．（2014•郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）D．2A．0B．﹣4C．.﹣29．（2014•新余二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）！（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）10．（2014•泸州三模）已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x ）是f （x ）的导函数，若对∀x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣2x ]=3，则方程f′（x ）﹣=0的解所在的区间是（ ） A ．（0，）B ． #（，1）C ． （1，2）D ． （2，3）11．（2014•信阳一模）已知函数f （x ）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x ），若使得f′（x 0）=f （x 0）立的x 0＜1，则实数α的取值范围为（ ） A ． （，） ( B ．（0，） C ． （，） D ．（0，）12．（2014•洛阳二模）已知任何一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a≠0）都有对称中心M （x 0，f （x 0）），记函数f （x ）的导函数为f′（x ），f′（x ）的导函数为f″（x ），则有f″（x ）=0．若函数f （x ）=x 3﹣3x 2，则f （）+f （）+f （）+…+f （）=（ ）A ． ( 4027B ． ﹣4027C ． 8054D ． ﹣805413．（2014•河南模拟）设函数f （x ）的导函数为f′（x ），若对任意x ∈R 都有f′（x ）＞f （x ）成立，则（ ） . A ． f （ln2014）＜2014f （0） B ． f （ln2014）=2014f （0） C ． f （ln2014）＞2014f （0） D ． ?f （ln2014）与2014f （0）的大小关系不确定14．（2014•河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f （x ），对∀x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣log 3 x]=4，则函数g （x ）=f （x ﹣1）﹣f′（x ﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ）A ． （1，2）B ． （2，3）C ．（，1） 【 D ．（0，）15．（2014•浙江模拟）已知f （x ）为R 上的可导函数，且满足f （x ）＞f′（x ），对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ． * f （a ）＞e a f （0）D ． f （a ）＜e a f （0）16．（2014•泰安二模）函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ． （﹣1，1）B ． （﹣1，+∞） ；C ．（﹣∞，﹣1） D ． （﹣∞，+∞） 17．（2014•马鞍山二模）定义域为R 的函数f （x ），满足f （0）=1，f′（x ）＜f （x ）+1，则不等式f （x ）+1＜2e x 的解集为（ ）{x∈R|0＜x＜1}18．（2014•广安一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0．（其中f′（x）是f（x）的导函数）．设a=（log4）•f（log4），b=•f （）．c=（lg）•f（lg），判断大小为（）a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞bA．c＞a＞b>B．19．（2014•漳州一模）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（）B．f（2013）＜e2013f（0）A．）f（2013）＞e2013f（0）C．f（2013）=e2013f（0）D．f（2013）与e2013f（0）大小无法确定·参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（）D．A．B．C．!考点：导数的加法与减法法则；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得==++，由f′0）•f′（1）＞0，{解得﹣2＜＜﹣1，利用二次函数的性质求出的范围，即可求得|x1﹣x2|的取值范围．解答：解：由题意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=．∴|x1﹣x2|2 =﹣4x1x2 ，∴=﹣4x1•x2 =．∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∴==++．∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=﹣（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3 +2＜0，解得﹣2＜＜﹣1．由二次函数的性质可得，当=﹣时，有最小值为，%当趋于﹣1时，趋于，故∈，故|x1﹣x2|∈，故选A．点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．2．（2012•安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）3f（1）＜f（3）C．3f（1）=f（3）D．f（1）=f（3）A．3f（1）＞f（3）<B．考点：导数的乘法与除法法则．专题：]计算题；压轴题．分析：根据条件f（x）＞xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．解答：解：设g（x）=，g′（x）=∵f（x）＞xf′（x），∴g′（x）=＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减函数∴即3f（1）＞f（3）故选A．)点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．3．函数f1（x）=cosx﹣sinx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x），（n∈N*，n≥2），则=（）A．B．C．、D．2008考点：导数的加法与减法法则；函数的周期性．专题：计算题．分析：先求出f2（x）、f3（x）、f4（x），观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可．）解答：解：由题意，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosxf3（x）=f2′（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=（﹣cosx+sinx）′=sinx+cos x，f5（x）=cosx﹣sinx，以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0，∴==﹣．故选B．点评：;本题以三角函数为载体，考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，解题的关键是判断出函数导数变化的周期性．．4．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+2x•f′（1）+3，则f′（1）的值为（）A．﹣4B．4C．、2D．﹣2考点：导数的加法与减法法则．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案．)解答：解：由f（x）=x2+2x•f′（1）+3，得f′（x）=2x+2f′（1），∴f′（1）=2+2f′（1），解得f′（1）=﹣2．故选D．点评：本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题．5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（）}A．函数h（x）有最大值也有最小值B．函数h（x）只有最小值C．函数h（x）只有最大值D．函数h（x）没有最大值也没有最小值#考点：导数的加法与减法法则．专题：导数的概念及应用．分析：由题意可得h′（x）＜0，可得在（0，3]上是减函数，故当x=3时，h（x）有最小值为h （3），没有最大值，从而得出结论．解答：解：函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，故有h′（x）=＜0，∴在（0，3]上是减函数，故当x=3时，h（x）有最小值为h（3），没有最大值，（故选B．点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．6．对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x），则以下正确的是（）A．f（2011）＞e2011•f（0）B．f（2011）＜e2011•f（0）：C．f（2011）＞f（0）D．f（2011）＜f（0）考点：导数的乘法与除法法则；导数的运算．专题：证明题．分析：，由f′（x）＞f（x）可得f'（x）﹣f（x）＞0，而由e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0可判断函数e﹣x f（x）是单调递增函数，结合对x取特殊值可求．∴f′（x）﹣f（x）＞0∵e﹣x＞0∴e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0∴e﹣x f′（x）﹣e﹣x f（x）＞0而[e﹣x f（x）]′=（e﹣x）′f（x）+e﹣x f′（x）=﹣e﹣x f（x）+e﹣x f′（x）＞0∴e﹣x f（x）是单调递增函数取x=2011，【于是e﹣2011f（2011）＞e﹣0f（0）=f（0）∴f（2011）＞e2011f（0）．故选A点评：本题主要考查了导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性，这里的关键，是观察和利用e﹣x f（x）的导函数的形式．属于基础题．7．已知函数f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），则f′（0）等于（）A．0(20102C．2010D．2010!B．考点：导数的乘法与除法法则．专题：、计算题．分析：令g（x）=[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010）]，则f（x）=x•g（x），利用导数的乘法运算法则可得f′（0）=0•g′（0）+1×g（0）=g（0），运算求得结果．解答：解：∵f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），令g（x）=[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010）]，则函数f（x）=x•g（x）．∴f′（x）=x•g′（x）+1×g（x）．∴f′（0）=0•g′（0）+1×g（0）=g（0）=（﹣1）（﹣2）（﹣3）…（﹣2010）=2010!，故选D．点评：）本题主要考查导数的乘法运算法则的应用，属于基础题．8．（2014•郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）2A．0B．﹣4C．﹣2￥D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．解答：%解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：B．点评：本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．9．（2014•新余二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）《A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）》考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据条件构造函数令g（x）=，判断函数g（x）的单调性即可求出不等式的解集．解答：解：令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），;∴g′（x）＜0，即g（x）为减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x 等价为=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．<点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力．10．（2014•泸州三模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣2x]=3，则方程f′（x ）﹣=0的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．]（1，2）D．（2，3）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，令t=f（x）﹣2X，得出f（x）=2X+t，再由f（t）=2t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f′（x ）﹣=0的解所在的区间，即得正确选项．!解答：解：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，不妨令t=f（x）﹣2X，则f（x）=2X+t 又f（t）=2t+t=3，解得t=1所以有f（x）=2X+1令F（x）=f′（x ）﹣=2X•ln2﹣可得F（1）=21•ln2﹣4＜0，F（2）=22•ln2﹣2＞0，即F（x）=2X•ln2﹣零点在区间（1，2）内所以f′（x ）﹣=0的解所在的区间是（1，2）故选：C．"点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）﹣2x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度．11．（2014•信阳一模）已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．>（，）D．（0，）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=ln x0+ta n α，即tan α=﹣ln x0，由0＜x0＜1，可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，即可得出．~解答：解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=ln x0+tan α，∴tan α=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，∴α∈（，）．故选：A．点评：本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．；12．（2014•洛阳二模）已知任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心M（x0，f（x0）），记函数f （x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则f （）+f （）+f （）+…+f （）=（）A．4027B．﹣4027C．8054D．【﹣8054考点：导数的运算．分析： 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f （x ）+f （2﹣x ）=﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2013对﹣4和一个f （1）=﹣2，可得答案．解答： 解：由题意f （x ）=x 3﹣3x 2，则f′（x ）=3x 2﹣6x ，f″（x ）=6x ﹣6，;由f″（x 0）=0得x 0=1，而f （1）=﹣2，故函数f （x ）=x 3﹣3x 2关于点（1，﹣2）对称， 即f （x ）+f （2﹣x ）=﹣4． ∴f （）+f （）=﹣4，…=﹣4，，∴（）+f （）+f （）+…+f （）=﹣4×2013+（﹣2）=﹣8054，故选：D ．点评： 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键． 13．（2014•河南模拟）设函数f （x ）的导函数为f′（x ），若对任意x ∈R 都有f′（x ）＞f （x ）成立，则（ ） … A ． f （ln2014）＜2014f （0） B ． f （ln2014）=2014f （0） C ． f （ln2014）＞2014f （0） D ． %f （ln2014）与2014f （0）的大小关系不确定考点： 导数的运算．专题： 函数的性质及应用． 分析：构造函数g （x ）=，利用导数可判断g （x ）的单调性，由单调性可得g （ln2014）与g （0）的大小关系，整理即可得到答案．解答：令g （x ）=，则g′（x ）==，-因为对任意x ∈R 都有f′（x ）＞f （x ），所以g′（x ）＞0，即g （x ）在R 上单调递增， 又ln2014＞0，所以g （ln2014）＞g （0），即，所以 f （ln2014）＞2014f （0）， 故选：C ．点评： 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．14．（2014•河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f （x ），对∀x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣log 3 x]=4，则函数g （x ）=f （x ﹣1）﹣f′（x ﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ） ） A ． （1，2） B ． （2，3） C ． （，1） D ．（0，）考点： （导数的运算；函数零点的判定定理．分析：由∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．解答：解：∵对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，∴可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），则f（x）=log3 x+c，∴f[f（x）﹣log3 x]=f（c）=log3c+c=4，∴c=3，∴f（x）=log3 x+3，]∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log3（x﹣1）﹣log3e在（1，+∞）上为增函数，g（2）=﹣log3e＜0，g（3）=log32﹣log3e=log 3＞0，由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题．15．（2014•浙江模拟）已知f（x）为R上的可导函数，且满足f（x）＞f′（x），对任意正实数a，下面不等式恒成立的是（）B．C．f（a）＞e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）A．:考点：导数的运算．导数的综合应用．{专题：分析：根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．解答：解：设F（x）=，则F'（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴F'（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵任意正实数a，满足a＞0，（∴F（a）＜F（0），即，∴f（a）＜e a f（0），故选：D．点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16．（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）￥A．考点：【导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．解答：解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，]∴F（x）在R上是增函数，∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．点评：本题考查了运用函数思想求解不等式的问题，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，是易错题．17．（2014•马鞍山二模）定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x的解集为（）A．；B．{x∈R|0＜x＜1}C．{x∈R|x＜0}D．{x∈R|x＞0} {x∈R|x＞1}考点：导数的运算．导数的综合应用．(专题：分析：根据条件构造函数g（x）=，然后利用导数判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：构造函数∵f'（x）＜f（x）+1，∴g'（x）＜0，故g（x）在R上为减函数，而g（0）=2不等式f（x）+1＜2e x化为g（x）＜g（0），解得x＞0，故选D．点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．18．（2014•广安一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0．（其中f′（x）是f（x）的导函数）．设a=（log4）•f（log4），b=•f （）．c=（lg）•f（lg），判断大小为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：导数的运算．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），由已知可判断出函数的奇偶性与单调性，进而判断a，b，c的大小．解答：解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵当x∈（0，+∞）时，f（x）+xf′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，且函数图象过原点又∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴g（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，又∵|log4|＞||＞|lg|，∴a＞b＞c；故选：B．点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性问题，其中判断出函数g（x）=xf（x）的单调性与奇偶性是解题的关键．19．（2014•漳州一模）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（）A．f（2013）＞e2013f（0）B．f（2013）＜e2013f（0）C．f（2013）=e2013f（0）D．f（2013）与e2013f（0）大小无法确定考点：导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：设函数h（x）=，求得h′（x）＜0，可得h（x）在R上单调递减，可得h（2013）＜h（0），再进一步化简，可得结论．解答：解：设函数h（x）=，∵∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则h′（x）=＜0，∴h（x）在R上单调递减，∴h（2013）＜h（0），即＜，即f（2013）＜e2013f（0），故选：B．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较两个函数值的大小，属于基础题．。
导数与函数的极值、最值(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，
2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).
令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边
导数求函数单调区间问题易错点分析
(2)因为f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数
m ＋1 是二次函数，它的对称轴为x＝ .又因为m <0，
m
所以函数f(x)在x∈－∞，m
＋m 1上是增函数，
在x∈m
＋m 1，＋∞上是减函数．
错解分析 此题要求的是函数f(x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函
错解 f′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．
若a<0时，f′(x)<0，得3ax2＋1<0，解得x2>－ 1 ， 3a
所以x>
1 － 或x<－
3a
1 －.
3a
综上所述，a>0时，函数f(x)在R上为增函数；a<0时，函数
该区间内单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
()
错解 C 错解分析 一般地，由f′(x)>0能推出f(x)为增函 数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0.因此f′(x)>0是函 数f(x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
数f′(x)的单调区间取代f(x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略．
(2)f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n ＝3m (x－1)x－1＋m2 ，
2 当m <0时，1>1＋ .
m
x 1＋ 1 (1，＋∞)
f′( x)
－0
＋0
－
单
高考数学函数与导数易错知识点
函数与导数易错点一、求函数定义域忽视细节致误错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
在求一般函数定义域时要注意下面几点：(1)分母不为0;(2)偶次被开放式非负;(3)真数大于0;(4)0的0次幂没有意义。
函数的定义域是非空的数集，在解决函数定义域时不要忘记了这点。
对于复合函数，要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。
函数与导数易错点二、带有绝对值的函数单调性判断错误错因分析：带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断。
研究函数问题离不开函数图象，函数图象反应了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题，寻找解决问题的方案。
对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，千万记住不要使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
函数与导数易错点三、求函数奇偶性的常见错误错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。
判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。
在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。
函数与导数易错点四、抽象函数中推理不严密致误错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》知识点总复习含答案解析
【高中数学】《函数与导数》知识点一、选择题1．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k . 在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos 2xf x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．4．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.5．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()1,+?C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.6．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.7．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.8．函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） A．13+ B．3C．23+ D【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >.故()min 3f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.10．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B 【解析】试题分析：因为2(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22mm ⨯=；当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+.11．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.12．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2f -的值为（ ） A ．0 B ．3C ．32D ．92-【答案】A 【解析】 【分析】首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则函数的周期3T =， 据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（ ）A ．-5B ．5C ．0D ．4043【答案】B 【解析】 【分析】根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解.【详解】由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.14．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥15．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(22,)+∞ B ．(,22)-∞C ．(,3)-∞D ．27(,)5-∞ 【答案】D 【解析】 【分析】把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x+>⇒+>，解出()f x 的最大值． 【详解】220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2f x x x=+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值275=，当5x =时取得，故选D 【点睛】16．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 【答案】D【解析】【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴， . 当时，由于函数和函数在上都为增函数， 此时，函数在上为增函数； 当时，在上为增函数； 当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增， ，所以，函数在上为增函数. 综上所述：函数在区间上为增函数，故选D. 【点睛】 本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.17．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.3 1.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.3 1.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.3 1.130.50.24f log f f << 【答案】A【解析】【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称.因为()()()0.3 1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈, 则0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.3 1.130.20.54f f log f <<. 故选:A.【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.18．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）A ．()()2019202020202019f f >B ．()()20192020f f >C ．()()2019202020202019f f <D ．()()20192020f f < 【答案】A【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x '-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.19．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：20．函数2ln x xy x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,结合图像分析,,A C 不正确.故选:D【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.。
导数重难点、易错点题型梳理
导数重难点、易错点题型归纳题型1 导数的定义例题1 已知直线l 经过()1,0-，()0,1两点，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则()()22lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解析】直线l 经过()1,0-，()0,1两点，∴:1l y x =+直线与曲线()y f x =切于点()2,3A ，可得曲线在2x =处的导数为：21f所以()()()22l 2im1x f xf x f ∆→+∆-∆=='，选C巩固1 设()f x 存在导函数且满足()()112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．2【解析】()y f x = 在点()()1,1f 处的切线的斜率为()()()112'1lim 12x f f x f x∆→--∆==-∆ ,选A巩固2 已知函数()f x 在0x x =处可导，若000(3)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '=（ ）A ．1B ．13C ．3D ．0【解析】由已知可得()()()()()00000033lim 3lim3'13x x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+∆-+∆-===∆∆所以()01'3f x =．选B 题型2 导数的几何意义例题2 曲线xy xe =在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，则ab 的值为（ ）A ．12e-B ．2e-C ．2eD ．12e【解析】曲线xy xe =，则xxy e xe '=+，则12x y e ='=∵曲线在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，∴12a b e -=-，∴12a b e=，选D 巩固3 己知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．()1,3B ．()1,3--C ．()2,3--D ．()2,3-【解析】222y x x =+-的导数为22y x '=+，设(),M m n ，则在点M 的切线斜率为22m + 由于在点M 处的切线与x 轴平行，则220m +=，解得1m =- 所以1223n =--=-，即有M ()1,3--，选B巩固4 如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为（ ） A ．(1,0)B ．(0,1)-C ．(0,1)D ．(1,0)-【解析】设点P(a ,b )，则4b a a =-，由题得3()41f x x =-' 因为曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，所以3413a -=，所以a =1 所以b =4110-=,所以点P 的坐标为（1,0），选A巩固5 已知曲线3211()532f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则2cos 2sin 2cos ααα=+( ) A ．12 B ．35 C ．2 D ．85【解析】因为3211()532f x x x =+-，故可得()2f x x x '=+，则切线的斜率()12tan f α'==又因为2cos 2sin 2cos ααα=+2222cos sin 1tan 1432cos 21415sin cos tan ααααααα---===-+++，选B题型3 导数几何意义与参数例题3 函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）AB ．C ．2D ．【解析】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b = 所以()g b的最小值为即min k =选B巩固6 直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k = 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+ 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b = 所以144()422a b +=⨯-+=，选A巩固7 函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线与直线10ax y --=平行，则实数a =（ ）． A ．1- B ．14C ．12D ．1【解析】'1()f x a x =-，∴'11(2)24f a a a =-=⇒=，选B 巩固8 函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等实根，则实数k 范围（ ）A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象如图所示方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点 其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时，联立2321y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()222320x k x +++=由241270k k =+-=，解得12k =或72k =-（由图可得舍负） 当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =- 切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时，实数k 的取值范围是112k <<，选D题型4 曲线上动点到直线距离的最值问题例题4 设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A ．1717B ．21717C ．31717D ．41717【解析】()10f =，()4f x x '=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=，又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行这两条平行线间的距离为317d =PQ 317，选C 巩固9 已知点P 在曲线22y x lnx =-上，点Q 在直线32y x =-上，则||PQ 的最小值为( )A ．1313B ．1C ．1010D ．14【解析】函数22ln y x x =-的定义域为(0,)+∞，14y x x'=-令143x x-=，可得1x =，14x =-（舍去）所以切点为(1,2)，它到直线32y x =-的距离d ==即点P 到直线32y x =-的距离的最小值为10，则||PQ的最小值为10，选C 题型5 公切线问题例题5 函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．12【解析】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =， 所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x > 则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域为增函数，又()10h =，则解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111m f '=+=+解得4m =，选A 巩固10 已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为（ ） A ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．28,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得2000420x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩ 由200240m x x =->，解得02x >.由上可知004e x x a =，令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()e x x h x =在(2,)+∞上递减，所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭巩固11 已知函数211()142f x x x a =++-（0x <），()ln g x x =（0x >），其中a R ∈，若()f x 的图象在点11(,())A x f x 处的切线与()g x 的图象在点22(,())B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围是( ) A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(ln 2,)+∞ C ．(1ln 2,)--+∞ D ．(ln 2,)-+∞【解析】211()142f x x x a =++-，11'()22f x x =+故切线方程为：()21111111112242y x x x x x a ⎛⎫=+-+++-⎪⎝⎭()ln g x x =，故1'()g x x =，切线方程为：()2221ln y x x x x =-+ 故1211122x x +=，()()21111222111111ln 2242x x x x a x x x ⎛⎫+-+++-=-+ ⎪⎝⎭ 化简整理得到：()2111111ln ,0422a x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，111022x +>，故110x -<< 设()()2111ln ,10422g x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，()()()()2111'2121x x g x x x x +-=-=++故函数在()1,0-上单调递减，故()0ln 2g =，当1x →-时，()g x →+∞，故ln 2a >，选B巩固12 若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B．13,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C．3ln 4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．13ln ,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设公切线与函数()ln f x x =的图象切于点()11,ln A x x ()101x <≤因为()ln f x x =，所以()1f x x'=，所以在点()11,ln A x x 处斜线的斜率1111()k f x x '==所以切线方程为()1111ln y x x x x -=-，设公切线与函数()2g x x a =+的图象切于点()222,B x x a + 因为()2g x x a =+，所以()2g x x '=，所以在()222,B x x a +处点斜线的斜率()222k g x x '==所以切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，所以有2121212ln 1x x x x a⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 因为101x <≤，所以21121x x =≥，212x ≥．又222ln 21a x x =-+- 令21,2t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()22ln 21ln 2ln 1h t t t t t =-+-=--+-，所以()221t h t t-'=令()0h t '>且12t ≥，得22t >；令()0h t '<且12t ≥，得1222t ≤<所以()h t 在12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上为减函数，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数. 所以函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线满足()2122h h t h ⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()13ln 224h t --<≤-，所以13ln 2,24a ⎛⎤∈--- ⎥⎝⎦，选D 题型6 导数几何意义与函数性质综合例题6 已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】函数的图象的对称中心为，所以，即，得，又的图象在点处的切线过点 ，即，解得，选A巩固13 已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =- 则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x << 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-. 由两切线重合可知21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤. 不妨设()()()22102x g x x e x =-≤,则()()22',''12x x g x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x = 则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-，选B 巩固14 函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 范围是 【解析】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则0000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，2k e ∴∈ 巩固15 已知函数22e 1,0,()22,0,x x f x x x x ⎧->=⎨---≤⎩若|()|f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围为【解析】作出函数|()|f x 的图象如图所示；当0x ≤时；令222x x mx ++=，即2(2)20x m x +-+=令0∆=，即2(2)80m --=，解得222m =±222m =-当0x >时，令2e 1x mx -=，则此时2()e 1xf x =-，()h x mx =相切设切点()020,1x x e-，则00202e 1,2e ,x x mx m ⎧-=⎨=⎩解得2m =，观察可知，实数m 的取值范围为222,2⎡⎤-⎣⎦，选A 巩固16 设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()3y g x x π=-+）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设()()22f x a b x ωϕ=++()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤ 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2723212x πππ+∴==为()()22f x a b x ωϕ=++的一条对称轴且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()22f x a b x ωϕ=++的一个对称中心由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心 则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=224a b +=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y =,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示4>时，163x π>-，所以()y g x =-7个，选D 题型7 两条曲线上动点距离最值例题7 设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为 【解析】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-= 则切线方程为22y x =-设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+ 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g = 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d，所以10d == 巩固17 已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为【解析】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点 ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方对ln y x =求导得1y x '=，令1y e '=，得x e =，所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小 该点到直线l==因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+ 巩固18 若x ，a ，b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ）AB ．18C．1 D．19-【解析】22(2)(3)1a b ++-=，可得(),a b 在()2,3-为圆心，1为半径的圆上22()(ln )x a x b -+-表示点(),a b 与点(),ln x x 的距离的平方又(),ln x x 在曲线ln y x =上，设曲线ln y x =上一点为(),ln m m 设过点(),ln m m 的切线与点(),ln m m 与()2,3-的连线垂直 可得ln 3112m m m-⋅=-+，即有2ln 23m m m ++=由()2ln 2f m m m m ++＝在0m >递增，且()13f =，可得切点为()1,0圆心与切点的距离为d ==可得22()(ln )x a x b -+-的最小值为()2119=-D巩固19 已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．M 的最小值为25 B ．M 的最小值为45 C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为125【解析】由题意，()()221212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，ln 2y x x =-+，得11y x'=-与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12- 令1112x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，切点到直线242ln 20x y +--=的距离22ln 242ln 225514d +--==+ 即()()221212M x x y y =-+-的最小值为45，选B 巩固20 若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为 【解析】由题意得，结果为线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点距离平方最小值 可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m 曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m =，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+ 整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件 其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-巩固21 设点P 在曲线2xy e =上，点Q 在曲线上，则Q P 的最小值为 A ．1ln2-B ．()21ln 2-C ．D ．()21ln 2+【解析】因为曲线2xy e =与曲线互为反函数，其图象关于直线y x =对称，故可先求点P 到直线y x =的最近距离，函数2xy e =的导数为2xy e '=，由21xy e '==得，ln 2x =-，所以ln 221y e -==所以当P 点为点(ln 2,1)-时，点到直线y x =的最近距离为ln 2122d --==所以min 222(1ln 2)2PQ d ===+ 题型8 导数几何意义综合例题8 设曲线()1*n y xn N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，令lg nn ax =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为【解析】因为()()1*n y f x xn N +==∈，所以()()1nf x n x '=+，所以()()11,11f n f '=+=所以切线方程为：()111y n x -=+-，令0y =，得1n x n =+所以()lg lglg lg 11n n na x n n n ===-++ 所以1299lg1lg 2lg 2lg3lg3lg 4...lg99lg1002a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- 巩固22 不等式，恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】令，则，很明显函数的周期为由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性在区间和上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示考查临界条件，满足题意时，直线恒在函数的图像的上方临界条件为直线与曲线相切的情况，此时，即的最小值为，选A题型9 函数的单调性求参数 例题9 已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈ （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）当1k >时，讨论函数()f x 零点的个数 【解析】（1）()l 'n ln 1x f x x x x x -=-=，令()()1ln '1x x g x g x x=-⇒=-，易得()g x 在(]0,1上递减()1,+∞上递增，∴()()()min 110'0g x g f x ==>⇒>，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）()n 'l ln 1x k x x xf x x k x --=--=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x 且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增. 所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点显然()22211022kk f ee e ---=-<-<，()()1112f x f >=，∴()f x 在()10,x 仅有唯一零点 又()222221122nk nk nk f e e n k nk e n k =--->-，（当n 为较大的整数时）设()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，()2xh x e ''=-当1x >时，()0h x ''>，()2xh x e x '=-在1+， 单调递增,即()()120h x h e ''≥=->所以()2xh x e x =-在1+， 单调递增，即()()110h x h e ≥=->，即()0nkf e>（当n 为较大整数时）于是下面讨论()2f x 的正负情况：()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211ln ln ln 22x x x x x =----2222211ln ln 22x x x x =-+-构造函数()211ln ln 22F x x x x x =-+-()()1ln ln '11ln 0x x xF x x x x-⇒=+--=≤，且()0f e = ① 当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,∞+上有三个零点综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,∞+上有一个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,∞+上有三个零点巩固23 已知函数2()ln (21)?(0)f x a x x a x a =-+-≥. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围 【解析】（1）由()()()()21221x a x af x x a x x-+=-+-=-' 当a =0时，()210f x x '=-+<，则f （x ）在（0，+∞）上递减 当a ＞0时，令f '（x ）＝0得x a =或12x =-（负根舍去）， 令f '（x ）＞0得0x a ＜＜；令f '（x ）＜0得x a ＞，所以f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减 综上：a =0时， f （x ）在（0，+∞）上递减，a ＞0时，f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减 （2）由（1）当a ＝0时，f （x ）＝﹣2x x -≤0，符合题意，当a ＞0时，()2()0max f x f a alna a a ==+-≤，因为a ＞0，所以10lna a +-≤令()g a =1lna a +-,则函数单调递增，又()10g = ，故 10lna a +-≤，得01a <≤ 综上，a 的取值范围为[]0,1巩固24 已知函数2()()(1)x f x x a e a x =+-+（1）当0a =时，求函数()f x 在()()11f ，处的切线方程 （2）若2a -，证明：当0x 时，()0f x【解析】当0a =时，2()x f x x e =，2()(2)x f x x x e '=+，()13f e '=，()1f e =∴函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程3(1)y e e x -=-，即320ex y e --=（2）证明：2()(2)x f x x x a e a '=++-，令2()(2)x g x x x a e a =++-，则2()(42)x g x x x a e '=+++2a -，∴当0x 时，22(42)(4)0x x x x a e x x e ++++，即()0g x '且不恒为零()g x ∴在[0，)+∞上是增函数，故()(0)0g x g =，即()0f x '()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，()(0)0f x f ∴=，即()0f x ，故若2a -，则当0x 时，()0f x巩固25 已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+- （1）讨论()f x 的单调性（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围【解析】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数②当0∆>，即2a <-或2a >时当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭为减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数 （2）()()()()22213ln ln 022x xF x f x g x x x ax e x x x x ax x e x =-=++--+=-++->()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln x e x x a x-+=有解令()()2ln 0x e x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11x xe x x x e x x x x h x x x++-+='-+++-= 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x <，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增； ()()11h x h e ∴≥=+， 当1a e ≥+时，()F x 有不动点a ∴的范围为[)1,e ++∞题型10 极值与参数例题10 已知函数321()3f x x x mx m =+++ （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值 （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点【解析】（1）由题得2()2f x x x m '=++由题可知()()12f x f x =，所以32321112221133x x mx m x x mx m +++=+++ 所以22112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2113630x x m ++=（ii ）（ii ）-（i ）得221122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-= 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-（2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321(1)3x x m x +=-+ 令321()3h x x x =+，2()2h x x x '=+ 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减，又4(2)3h -=，(0)0h =(1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<因此321(1)3x x m x +=-+有且只有一个交点，即321()3f x x x mx m =+++有唯一的零点 巩固26 已知函数()3213f x x x a =-+（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值与极小值（2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值是最小值的3倍，求a 的值 【解析】（1）当0a =时，()3213f x x x =-，所以()22f x x x '=- 令()0f x '=，则0x =或2x =，当(),0x ∈-∞和()2,x ∈+∞时，()0f x '>当()0,2x ∈时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减 所以()f x 的极大值为()00f =；()f x 的极小值为()423f =- （2）由题,()3213f x x x =-，由（1）可得()f x 在[]1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增， 所以()f x 的最小值即为()f x 的极小值()423f a =-+因为()213f a =-+,()3f a =,所以()()max 3f x f a ==因为()()max min 3f x f x =，则433a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2a =题型11 最值与参数例题11 设函数()21ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围 【解析】（1）定义域(0,)+∞，()21bf x ax x'=-+由题意可得，f '(1)210a b =-+=即12b a =-，所以2122(12)[2(12)](1)()21a ax x a ax a x f x ax x x x --+----'=-+==，由函数存在极值可知，14a ≠ 1()2i a =时，由()0f x '>可得1x >，函数()f x 在(1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得01x <<，函数()f x 在(0,1)上单调递减.1()2ii a >时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在()f x (0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >()f x 在(1,)+∞单调递增；()iii 当1142a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202a x a-<<，由()0f x '<可得，1212ax a -<< 故函数的单调递增区间(1,)+∞，(0，122a a-），单调递减区间12(,1)2aa - 综上所述：当14a =，()()2102x f x x-'=≥恒成立，不符合题意 当1142a <<时，()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在12,12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增 当12a ≥时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增 （2）1a =时，2()0f x x x blnx =-+<可得，2x x b lnx-<令2()x x g x lnx-=，1x e <<，则2(12)1()()x lnx x g x lnx --+'=令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，1()21h x lnx x'=-+- 222112()=0xh x x x x--''=-< ，则()h x '在(1,)e 上单调递减，所以()h x h '<'（1）0= 所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()x 1h x 0→→， ()h x <0，即()0g x '< 所以()g x 在(1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-，故2b e e - 巩固27 已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln≈：） 【解析】1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b + 2'()a f x ax b=+，002'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=> 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣，设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ ， 令'()0g a >得，02a <<；令'()0g a <得，2a >，()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， ()g a ∴的最大值为4e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e（2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=则2222ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t += 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+可知()p t 在1170,⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在117,⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减又2117(1)0,0,()20p p p e e e ⎛⎫+=>=-+<⎪⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-题型12 值点偏移例题12 已知函数()ln 2(0)f x ax x a =+≠. （1）求函数()f x 的最值（2）函数()f x 图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为()1,()2f x g x x=-有两个零点12,x x ，求证：124x x +> 【解析】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值 当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值（2）依题知，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设因为，，所以变形为，欲证，只需证即证，令，则只需证对任意的都成立令，则所以在上单增，，即对任意的都成立，所以巩固28 已知函数()212xf x e x ax =--有两个极值点12,x x（Ⅰ）求实数a 的取值范围 （Ⅱ）求证：120x x +<（III ）求证：()()122f x f x +> 【解析】Ⅰ）21()2x f x e x ax =--，()x f x e x a '∴=--设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-，令()10xg x e -'==，解得0x =∴当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(0)1min g x g a ∴==-当1a 时，()()0g x f x '=，∴函数()f x 单调递增，没有极值点当1a >时，(0)10g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点1x ，2x ，不妨设12x x <，则120x x << ∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为(1,)+∞．（Ⅱ）不妨设120x x <<，要证12+0x x <，即证12<x x -，而()g x 在(),0-∞上单调递减，所以即证()()12>g g x x -，即证()()22>g g x x -，即2222x x e x e x -->+，2222210x x e x e -->，设()221,0xx h x exe x =-->，则()2(1)x x h x e e x '=--令()1xH x e x =--，则()1xH x e '=-，当()10xH x e '=-=，则0x =，即()H x 在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减，所以()()00min H x H ==，即1x e x ≥+，()0h x '∴≥，()h x ∴单调递增，()()00h x h ∴>=，所以原不等式成立（III ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知1x ，2x 为()0g x =两个实数根，120x x <<，()g x 在(,0)-∞上单调递减且120x x <-<函数()f x 在1(x ，0)上也单调递减，12()()f x f x ∴>-∴要证12()()2f x f x +>，只需证22()()2f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->设函数2()2x x k x e e x -=+--，(0,)x ∈+∞，则()2x x k x e e x -'=-- 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->()x ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴>=，即()0k x '>()k x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0k x k ∴>=∴当(0,)x ∈+∞时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->22()()2f x f x ∴-+>，12()()2f x f x ∴+>巩固29 已知函数()ln f x kx x =-（1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求k 的取值范围（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >【解析】（1）∵()ln f x kx x =-，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增 ∴1()0f x k x '=-≥在()1,+∞恒成立，∴1k x≥，∴1k（2）证明：不妨设120x x >>∵()()120f x f x ==，∴11ln 0kx x -=， 22ln 0kx x -= 可得()1221ln ln k x x x x +=+， ()1212ln ln k x x x x -=-要证明212x x e >，即证明21ln ln 2x x +>，也就是证()122k x x +>∵1212lnx lnx k x x -=-，∴即证明：1212122lnx lnx x x x x --+＞，即12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+＞ 令12x t x =，则1t >，于是()21ln 1t t t ->+ 令()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >，则()22(1)(1)t g t t t -'=+ 故函数()g t 在()1,+∞上是增函数，∴()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->+成立，∴原不等式成立题型13 恒成立问题求参数例题13 已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =（1）求函数()()f x yg x =的极小值（2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值。
2021年高考数学复习 专题02 函数与导数 对数与对数函数易错点
2021年高考数学复习 专题02 函数与导数 对数与对数函数易错点 主标题：对数与对数函数易错点副标题：从考点分析对数与对数函数易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：对数，对数函数，易错点难度：3重要程度：5内容：【易错点】1．对数运算的辨析(1)已知x ，y 为正实数，①2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y ，②2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y ，③2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y ，④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y ，以上四个式子错误的是①②③.(√)(2)若log 4[log 3(log 2x )]＝0，则＝24.(√) 2．对数函数的理解(3)函数y ＝log 3(2x －4)的定义域为(2，＋∞)．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)(5)函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝2.(×)(6)log2x2＝2log2x.(×)[剖析]三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类讨论，否则易出错.26490 677A 杺S{Q32379 7E7B 繻a37568 92C0 鋀36398 8E2E 踮22918 5986 妆 `20324 4F64 佤h27106 69E2 槢28446 6F1E 漞。
高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》易错题汇编附答案
新数学高考《函数与导数》复习资料一、选择题1．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，在()0+∞，上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2+∞，B ．[)0+∞，C ．[]22-，D ．(][)22-∞-⋃+∞，， 【答案】A 【解析】 【分析】通过x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，构造新函数()()2g x f x x =-，可得()g x 为奇函数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.【详解】设()()2g x f x x =-，∵()()()()220g x g x f x x f x x +-=-+--=，∴函数()g x 为奇函数，∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，∴()()()2244168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.3．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：Q 3(1)(3)(3)03x f x f ---<，3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<，3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，Q()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ）A ．0.40.20.43<4log 0.5< B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==== D.5．已知()(1)|ln |xf x x x =≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2(2,)e e⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B ．11,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．(1,)e e -D ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,【答案】C 【解析】 【分析】由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案. 【详解】由22[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()|ln |ln x x f x x x ==，令()ln x g x x=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'()0g x >得x e >， 由'()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递 增，由图象变换作出()f x 图象如图所示要使原方程有4个根，则01m em e <<⎧⎨+>⎩，解得1e m e -<<.故选：C 【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =-∴2222()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.7．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.8．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()1,+?C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.9．函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．10．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】由题意可得32431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2126621f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，∴()min 11124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，解得：54a <.故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.12．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.13．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1x e=求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.14．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．x -y ＝0 B ．x -y -2＝0 C ．x +y -2＝0 D ．3x -y -2＝0【答案】A 【解析】 【分析】先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案. 【详解】当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以2()ln f x x x =-，(1)1f =，所以'1()2f x x x=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =.故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.15．函数()3ln 2xf x x x=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．64y x =-B ．75y x =-C ．63=-y xD ．74y x =-【答案】B 【解析】 【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可. 【详解】由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x -=+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==+⨯=， 且：()012121f =+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.16．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥17．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2的取值范围． 【详解】由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0） 由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）， 即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1， 化简得4（x 1+x 2）=（k+4k ）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k+对k ∈[4，+∞）恒成立，令g （k ）=k+4k， 则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴164k k +≤165， ∴x 1+x 2＞165， 故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】C【解析】【分析】利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=， 32023<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.19．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解不等式即可. 【详解】0a >Q5y ax ∴=-在定义域内单调递减若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤ 故选：D【点睛】本题考查对数函数的单调性，属于中档题.20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25 【答案】D【解析】【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果. 【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭， 即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。
(整理版)导数易错题辨析
导数易错题辨析导数是高中新课程新增重点内容，初学这局部，同学们往往会出现这样那样的错误。
现举几种常见的错误加以剖析，希望对同学们能有所帮助。
例1、求函数ln y x x =-的单调区间。
【错解】111,1010.y y x x x x''=-=->><∴令即或函数的单调递增区间为(1,),(,0)+∞-∞；1100 1.y x x'=-<<<∴令即函数的单调递增区间为(0,1). 【错因剖析】求函数的单调区间应注意首先考虑函数的定义域。
因此此题中应注意到0x >，∴函数的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1).例2、函数32()31(0)f x x ax x a =++->，假设()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围。
【错解】∵函数32()31(0)f x x ax x a =++->在R 上为增函数，故2()3230f x x ax '=++>在R 上恒成立；由224360,9,0 3.a a a ∆=-<∴<∴<<【错因剖析】()0f x '>是函数()f x 在定义域I 上单调递增的充分不必要条件并不是充要条件。
事实上：()f x 在I 上递增⇔对任意的x I ∈有()0f x '≥〔但这里满足()0f x '=的点应只是在个别点处，也就是()f x '不能恒等于零〕.此题中()f x 在其定义域内为增函数应满足()0f x '≥且()0f x '不恒等于；∴应改为2()3230f x x ax '=++≥在R 上恒成立，由24360,a ∆=-≤29,03a a ∴≤∴<≤；又当3a =时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥〔只有当1x =-时，()f x '才等于0〕；因此03a <≤例3、函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，求,a b 的值。
《导数在研究函数中的应用》易错点导学案
《导数在研究函数中的应用》易错点导学案姓名: 班级: 组别: 组名:____________【学习目标】1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；会利用单调性求参数的取值范围；2.掌握利用导数求函数极值、最值的方法，并能解决相关综合问题；【重点难点】重点：能利用导数研究函数的单调性；难点：掌握利用导数求函数最值的方法；【学习过程】知识点一：函数的单调性与导数例1.求函数4431)(3+-=x x x f 的单调区间。
变式1：求函数3)(x x f =的单调区间。
变式2：已知函数1)(3+=ax x f 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围。
结论：（1）函数单调递增的充分条件：如果),(,0)('b a x x f ∈>，则f(x)在区间（a,b ）上（2）函数单调递增的必要条件：如果f(x)在区间（a,b ）上单调递增，则注意：当)('x f 在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正时，f(x)在这个区间上也是单调递增的。
在求参数的取值范围时，应检验知识点二：函数的极值与导数例2.求函数16114)(23+-+=x x x x f 的极值。
结论：求函数极值的方法：（1）求)('x f（2）求方程0)('=x f 的根。
（3）检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果 或 即可取得极值。
上述结论哪一点是最容易忽略什么呢？试做本题，做完后尝试作归纳：变式题：若函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处取得极值10，试求a,b 的值。
知识点三：函数的最值与导数题型一：利用导数求函数的最值例3.（2007江苏）函数812)(3+-=x x x f 在区间[]3,3-上的最大值与最小值分别是M 和m ，求M-m=结论：求可导函数f(x)在闭区间[]b a ,上的最大值与最小值的步骤：题型二：利用函数的最值求参数变式1：函数b x x x f +-=12)(3在区间[]3,3-上的最小值为-8，求b 及它在该区间上的最大值。
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解(1)∵函数 f (x) 图象关于原点对称，∴对任意实数 x有f ( x) f ( x) ，
ax3 2bx2 cx 4d ax3 2bx2 cx 4d ，即 bx2 2d 0 恒成立， b 0, d 0 ， f ( x) ax3 cx, f ( x) 3ax2 c ．
（Ⅲ）问能否得出 f (m1+3)、f (m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.
证明： （Ⅰ）因 f (m1),f (m2)满足 a2+［f (m1)+f (m2)］a+f (m1)f (m2)=0 即［a+f (m1)］ ［a+f (m2)］=0 ∴f (m1)=－a 或 f (m2)=－a, ∴m1 或 m2 是 f (x)=－a 的一个实根， ∴Δ≥0 即 b2≥4a(a+c). ① ∵f (1)=0,∴a+b+c=0 ②
1.
函数与导数 如果函数 f (x) = ax －x ＋ x－5 在(－, ＋ )上单调递增，则实数 a 的取值范围是
3 2
(A) (0，＋ ) 2.
(B) [0，＋ )
1 (C) ( ，＋ ) 3
1 (D) [ ，＋ )D 3
已知 f (x) = x3－ax2 ＋(a＋6)x＋5 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是 (A) －1<a<2 (B) －3<a<6 (C) a<－3 或 a>6 (D) a<－1 或 a>2C
2
综上得， p=2 .
2 13．设关于 x 的方程 2 x tx 2 0 的两根为 , ( < )，函数 f ( x)
（1） 求 f ( ) f ( )的值； （2） 证明：f (x)是[ ， ]上的增函数； 当 t 为何值时，f (x)在区间[ ， ]上的最大值与最小值之差最小。 t ∵ △ =t2+16>0, ∴ t R, + = 2 , =－1 4 －t 4 －t 16 －4t( + )+t2 (1) f ( ) f ( ) = · 2 = = －4 2 +1 +1 2 2+ 2+ 2+1 4(x2+1)－2x(4x－t) －2(2x2－tx－2) (2) f’ (x) = = 2 2 (x +1) (x2+1)2 ∵ , 是方程 2x2－tx－2=0 的两根， ∴ 当 x ( , )时，2x2－tx－2<0, 则 f’ (x)>0, ∴ f (x) 在[ ， ]上为增函数。 （3）由（2）知，f (x)在[ ， ]上的最大值与最小值即为 f ( )， f ( )
15．已知函数 f (x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点 A（m1，f (m1)） 、 B(m2，f (m2))，满足 f (1)=0 且 a2+[(f (m1)+f (m2))]· a + f (m1)· f (m2)=0. （Ⅰ）求证：b≥0； （Ⅱ）求证：f (x)的图象被 x 轴所截得的线段长的取值范围是［2，3)；
3.下列求导ຫໍສະໝຸດ 算中： ① (x ) ' 1
1 x
1 x2
② (log 2 x) '
1 x ln 2
③ (2sin x )' 2sin x ln 2 cos x
④ ( x2 cos 2 x)' 2 x cos 2 x x2 sin 2 x A. ①② B. ②③ B
运算正确的是 C. ③④
(A) ( e 1 ,+∞) (B) (－∞, e 1 ) (C) (0, e 1 ) (D) ( e ,+∞) 3 10．函数 f ( x) x 3x 1 在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是 (A) 1，－1 (B) 1，－17 (C) 3，－17 (D) 9，－19
二、填空题 11．设 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意 x 都有 f (x-1)=f (x+3)，在区间[4,6]上，f (x)=2x+1， 则在区间[-2,0]上 f (x)的函数解析式为 。 y=24-x+1 12．若对于任意 a [ 1,1] , 函数 f ( x) x2 (a 4) x 4 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围 是 。 2．已知函数 f ( x) x k k 2 k Z ，且 f (2) < f (3) （1）求 k 的值； （2）试判断是否存在正数 p，使函数 g ( x) 1 p f ( x) 2 p 1x 在区间[－1, 2]上的值 17 域为[－4, ]。若存在，求出这个 p 的值；若不存在，说明理由。 8
2
解： （1）∵ f (2) f (3) ，∴ k k 2 0 ，即 k k 2 0 ，
2 2
∵ k Z ，∴ k 0或1 （2）由（1）得， f ( x) x 2 ，
2 p 1 4 p2 1 g ( x) 1 p x 2 p 1x p x 2p 4p
2 2 2 2
∴f (x)在[－ 1，1]上是减函数，且 f max ( x) f (1) 2 ∴在[－1，1]上，有| f (x) |≤ 成立， 3
2 2 , f min ( x) f (1) ， 3 3 2 2 4 ． 3 3 3
于是当 x1，x2 [－1,1]时， | f ( x1 ) f ( x 2 ) || f ( x1 ) | | f ( x 2 ) |
2 2 2 则由 f ( x) x 1, 知两点处的切线斜率分别为 k1 x1 1, k 2 x2 1，
且 ( x1 1) ( x2 1) 1 …………(*)
2 2
∵x1、 x2 [1,1] ， x1 1 0, x2 1 0, ( x1 1) ( x2 1) 0 ， 此与(*)相矛盾，故假设不成立． (3)证明：f /(x) = x2－1，令 f/(x) = 0，得 x = ± 1， ∵x (－1,1)时，f /(x)<0，且在 x = －1 和 x = 1 都连续
2 ∵ x = 1 时，f (x) 取极小值－ ， 3 2 ∴ 3a ＋ c = 0 且 a ＋ c = － ， 3 1 解得 a = ，c = －1． 3 (2)当 x [－1, 1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立． 假设图象上存在两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ，使得过此两点处的切线互相垂直，
2
2
∵ p 0 ，∴ (I) 当 由
2p－1 1 =1－ < 1 2p 2p
2p－1 1 ≥－1，即 p , 时， 2p 4
4 p 1 17 得 p= 2，此时 g(x)min= g(－1)= －4，符合题意. 4p 8 2p－1 17 1 , g (2) 4 ，这样的 p 不存在。 (II) 当 < －1，即 p 0, 时， g (1) 2p 8 4
D. ④①
1 4. 若函数 f (x)= x+a 的反函数是 f -1(x)=bx-5，则过点(a,b)的直线方程是（ ） 2 A．2x+y-7=0 B．x+2y-7=0 C．x+y-7=0 D．x-2y-1=0 A 5．已知函数 f (x)的定义域为 R，且最小正周期为 5，同时满足 f ( x) f ( x)且f (3) 0 ，在 区间（0，10）内，方程 f (x)=0 的解的个数至少有 (A) 7 (B) 5 (C) 4 (D) 3 6．设 f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y f ( x) 的图象如下左图,则 y f ( x) 的图象最有可能的是 y y=f /(x) y O 1 2 x O y 1 A 2 x O y 1 2 B x y O 1 C 2 x O y 1 2 D C
4x t x2 1
f ( )－ f ( )=
4 －t 4 －t (4 －t)( 2+1)－(4 －t)( 2+1) － 2 = 2 +1 +1 ( 2+1)( 2+1)
= 2( － )= 2 ( + )2－4 = t2+16 ≥4 当且仅当 t=0 时， f (x)在区间[ , ]上的最大值与最小值之差最小, 为 4. 14 设函数 f ( x) ax3 2bx2 cx 4d (a、b、c、d∈R)图象关于原点对称，且 x=1 时，f (x) 2 取极小值－ ． 3 (1)求 a、b、c、d 的值； (2)当 x [1,1] 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论； (3)若 x1 , x2 [1,1] 时，求证： | f ( x1 ) f ( x 2 ) |
c 解： （Ⅲ）设 f (x)=a(x－x1)(x－x2)=a(x－1)(x－ ) a 由已知 f (m1)= －a 或 f (m2)= －a c 不妨设 f (m1)= －a 则 a(m1－1)(m1－ )=－a＜0, a ∴ c c ＜m1＜1 ∴m1+3＞ +3＞－2＋3＝1 a a
∴f (m1+3)＞f (1)＞0 ∴f (m1+3)＞0 同理当 f (m2)= －a 时，有 f (m2+3)＞0, ∴f (m2+3)或 f (m1+3)中至少有一个为正数
由②及 a＞b＞c,∴a＞0,c＜0, ∴3a－c＞0 再由①， ② 有（3a－c） （a+c）≤0, ∴b＝－（a+c）≥0 c 证明：(Ⅱ)设 f (x)=ax2+bx+c=0 两根为 x1,x2, 则一个根为 1，另一根为 , a c 又∵a＞0,c＜0， ∴ ＜0, ∵a＞b 且 b＝－（a+c） a c c ∴a＞－（a+c） －2＜ , a+c≤0 ≤－1 a a |x1－x2|＝|1－ c | 2≤|x1－x2|＜3 a c ∴－2＜ ≤－1 a