计算机图形学--图形几何变换的实现
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学-变换
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
数学几何变换的方法
数学几何变换的方法几何变换是数学中一项重要的研究内容，通过对图形进行不同的操作，可以实现平移、旋转、缩放等效果。
这些变换方法不仅在几何学中有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器人学等领域发挥着重要作用。
本文将介绍几何变换的常见方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定方向上移动一定距离的操作。
其数学表达式为：平移后的坐标 = 原坐标 + 平移矢量平移矢量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
平移变换常用于游戏开发、图像处理等领域，可以实现图形的移动、平移动画效果等。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按一定角度进行旋转的操作。
其数学表达式为：旋转后的坐标 = 中心点坐标 + R * (原坐标 - 中心点坐标)其中，R为旋转矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行旋转。
旋转变换常用于计算机图形学中，实现图像的旋转、三维模型的变换等。
三、缩放变换缩放变换是指改变图形的尺寸大小的操作。
其数学表达式为：缩放后的坐标 = 原坐标 * 缩放因子缩放因子可以是一个比例因子，用于确定缩放的大小，也可以是一个矩阵，对各个坐标轴进行不同程度的缩放。
缩放变换常用于计算机辅助设计、图像处理等领域，可以实现图形的放大、缩小、图像的拉伸等效果。
四、对称变换对称变换是指将图形绕着中心轴进行镜像翻转的操作。
其数学表达式为：对称后的坐标 = 中心轴坐标 + S * (原坐标 - 中心轴坐标)其中，S为对称矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行对称。
对称变换常用于图像处理中，实现图像的镜像翻转、对称图案的生成等。
五、投影变换投影变换是指将三维物体投影到二维平面上的操作，常见的有透视投影和正交投影两种形式。
投影变换常用于计算机图形学中，实现三维物体的绘制和显示。
总结：数学几何变换的方法包括平移、旋转、缩放、对称和投影等。
这些变换方法在各个领域中都有重要应用，比如游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等。
掌握几何变换的方法对于理解和应用相关领域的技术具有重要意义。
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
计算机图形学几何变换算法具体程序实现
数学与软件科学学院实验报告学期： 2010 至 2011 第一学期 2010年 11月 3日课程名称: 计算机图形学专业:信息与计算科学班级 2007级5班实验编号： 05 实验项目: 几何变换指导教师庞朝阳姓名：学号：200706005 实验成绩：一、实验目的及要求图形变换时计算机图形学的重要内容，在图形的生成、处理和现实过程中发挥着关键性的作用，同时，变换本身也是描述图形的一个有力工具。
通过这次的实验，要理解计算机图形学中几何变换的概念和作用，掌握几何变换的过程。
二、实验内容1、整理和总结关于几何变换的概念和作用。
2、掌握基本几何变换3、掌握组合几何变换在齐次坐标下的应用。
三、具体实验内容：1、几何变换的概念和作用：几何变换提供了构造和修改图形的一种方法，图形在位置、方向、尺寸和形状方面的改变都可以通过几何变换来实现。
几何变换的基本方法是吧变换矩阵作为一个算子，作用到图形一系列顶点的位置矢量，从而得到这些顶点在几何变换后的新的顶点序列，连接新的顶点序列即可得到变换后的图形。
2、基本几何变换：假设)yP表示三维空间上一个未被变换的点，而该点经过某种变换后得x(z,,到新的点用)'P表示。
yx,','('z①平移变换：如果点)','(zyx,P在x轴，y轴和z轴分别移动x∆、y∆、y,'('zxP是由点),z∆距离得到的，则两点坐标关系为：='+x∆xxy y y ∆+=' z z z ∆+=' 则矢量形式为：T P P +=' 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=''''z y x P ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x P ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=z y x T ② 缩放变换：缩放变换改变物体的大小。
有坐标关系 x s x x =' y s y y =' z s z z ='其中，x s ，y s ，z s 分别为沿x ，y 和z 轴方向放大或缩小的比例。
如何进行平移旋转翻转等几何变换
如何进行平移旋转翻转等几何变换如何进行平移、旋转、翻转等几何变换几何变换是几何学中重要的概念，广泛应用于计算机图形学、游戏开发、计算机辅助设计和工程制图等领域。
通过几何变换，我们可以改变图形的位置、方向和形状，从而达到我们想要的效果。
本文将介绍如何进行平移、旋转和翻转等几何变换，并提供示例说明。
一、平移变换平移变换是指在平面内将图形沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换不改变图形的大小和形状，只改变其位置。
对于平面上的一个点(x, y)，平移变换的公式为：新的坐标点 = (x + dx, y + dy)其中，dx和dy分别代表在x轴和y轴上的平移距离。
例如，如果要将一个点(2, 3)沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则变换后的新坐标为(5, 5)。
平移变换也可以用矩阵进行表示。
平移变换矩阵如下所示：[1 0 dx][0 1 dy][0 0 1]二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某个点旋转一定的角度。
通过旋转变换，我们可以改变图形的方向和位置。
对于平面上的一个点(x, y)，绕原点旋转θ度后的新坐标计算公式为：新的坐标点= (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，θ为旋转角度。
例如，如果要将点(1, 1)绕原点逆时针旋转45度，则变换后的新坐标为(0, √2)。
旋转变换也可以用矩阵进行表示。
旋转变换矩阵如下所示：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]三、翻转变换翻转变换是指将图形关于某个轴或某个点进行对称翻转。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种情况。
1. 水平翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于x轴进行水平翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (x, -y)例如，将点(2, 3)关于x轴进行水平翻转，则变换后的新坐标为(2, -3)。
2. 垂直翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于y轴进行垂直翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (-x, y)例如，将点(2, 3)关于y轴进行垂直翻转，则变换后的新坐标为(-2, 3)。
计算机图形学 图形的几何变换的实现算法教程文件
计算机图形学图形的几何变换的实现算法实验二 图形的几何变换的实现算法班级 08信计 学号 59 姓名 分数一、实验目的和要求：1、掌握而为图形的基本几何变换，如平移，旋转，缩放，对称，错切变换；。
2、掌握OpenGL 中模型变换函数，实现简单的动画技术。
3、学习使用OpenGL 生成基本图形。
4、巩固所学理论知识，加深对二维变换的理解，加深理解利用变换矩阵可由简单图形得到复杂图形。
加深对变换矩阵算法的理解。
编制利用旋转变换绘制齿轮的程序。
编程实现变换矩阵算法，绘制给出形体的三视图。
调试程序及分析运行结果。
要求每位学生独立完成该实验，并上传实验报告。
二、实验原理和内容：. 原理:图像的几何变换包括:图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。
图像几何变换的实质:改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。
图像几何变换的一般表达式：[,][(,),(,)]u v X x y Y x y = ，其中，[,]u v 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， [,]x y 为原始图像中像素的笛卡尔坐标。
这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。
平移变换：若图像像素点 (,)x y 平移到 00(,)x x y y ++，则变换函数为0(,)u X x y x x ==+，0(,)v Y x y y y ==+，写成矩阵表达式为：00x u x y v y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，x 0和y 0分别为x 和y 的坐标平移量。
比例缩放：若图像坐标 (,)x y 缩放到（ ,x y s s ）倍，则变换函数为：00x y s u x s v y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中, ,x y s s 分别为x 和y 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。
旋转变换：将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转θ角度，则变换后图像坐标为：cos sin sin cos u x v y θ-θ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥θθ⎣⎦⎣⎦⎣⎦内容：1、对一个三角形分别实现平移，缩放旋转等变化。
《计算机图形学》实验报告
实验报告模板《计算机图形学》实验报告一、实验目的及要求1．实习三维图形的坐标系之间的变换；2．三维图形几何变换；3．掌握三维图形的坐标系之间的变换算法及三维图形几何变换的原理和实现；4．实现二维图形的基本变换（平移、旋转、缩放、错切、对称、复合等）；5．实现三维图形的基本变换（平移、旋转、缩放、复合等）；二、理论基础在齐次坐标理论下，二维图形几何变换矩阵可用下式表示：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===ifchebgdaTnkxx kk2,1,0,)(ϕ平移变换：[x* y* 1] =[x y 1] *0000001ts⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=[t*x s*y 1]比例变换：[x* y* 1]=[x y 1] *1000101m n⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=[m+x n+y 1]旋转变换：在平面上的二维图形饶原点逆时针旋转Ө角，变换矩阵为[x* y* 1]=[x y 1] *cos sin0sin cos0001θθθθ⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭= [x*cosө-y*sinө]复合变换：以上各种变换矩阵都是以原点为参照点，当以任意参照点进行变换的时候，我们就要用到复合变换矩阵。
三维变换类似于二维，在画图时，把三维坐标转换为二维即可。
三、算法设计与分析二维变换：#define dx 50#define dy 100void CCGWithVCView::OnTransScale() //平移（50,100）{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Move Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]+dx;a[1]=m[i][1]+dy;b[0]=m[i+1][0]+dx;b[1]=m[i+1][1]+dy;DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}#define h 0.1745#include<math.h>void CCGWithVCView::OnTransRotate() //旋转{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Rotate Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]*cos(h)-m[i][1]*sin(h);a[1]=m[i][1]*cos(h)+m[i][0]*sin(h);b[0]=m[i+1][0]*cos(h)-m[i+1][1]*sin(h);b[1]=m[i+1][1]*cos(h)+m[i+1][0]*sin(h);DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}#define k 2;#define f 2.5void CCGWithVCView::OnTransMove() //缩放{// TODO: Add your command handler code here//AfxMessageBox(_T("Please Insert The Scale Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]*k;a[1]=m[i][1]*f;b[0]=m[i+1][0]*k;b[1]=m[i+1][1]*f;DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}#define n 2#define d 0void CCGWithVCView::OnTransOther(){// TODO: Add your command handler code here//AfxMessageBox(_T("Please Insert The Other Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]+n*m[i][1];a[1]=m[i][1]+d*m[i][0];b[0]=m[i+1][0]+n*m[i+1][1];b[1]=m[i+1][1]+d*m[i+1][0];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}三维变换：#include<math.h>#define dx 100#define dy 100#define dz 0void CCGWithVCView::OnTransScale() //平移（50,100）{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Move Change Code!")) ;int i;int p2d[6][2];int p3d[6][3]={{400,300,0},{300,400,0},{300,300,10},{275,300,0},{400,300,0},{300,300,10}};for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]-p3d[i][0]/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]+p3d[i][0]/sqrt(2);}int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]+dy-p3d[i][0]+dx/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]+dz+p3d[i][0]+dx/sqrt(2);}for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 0, 255), pDC);}}#define k 0.1745void CCGWithVCView::OnTransRotate() //旋转{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Rotate Change Code!")) ;int i;int p2d[6][2];int p3d[6][3]={{400,300,0},{300,400,0},{300,300,10},{275,300,0},{400,300,0},{300,300,10}};for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]-p3d[i][0]/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]+p3d[i][0]/sqrt(2);}int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]*cos(k)-p3d[i][2]*sin(k)-p3d[i][0]/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]*cos(k)+p3d[i][1]*sin(k)+p3d[i][0]/sqrt(2);}for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 0, 255), pDC);}}四、程序调试及结果的分析二维：三维：五、实验心得及建议在实验过程中，尽管过程中任由许多不会的地方，而且有待于今后的提高和改进，但我加深了对书本上知识的理解与掌握，同时也学到了很多书本上没有东西，并积累了一些宝贵的经验，这对我以后的学习与工作是不无裨益的。
计算机图形学-第三章-变换及裁剪
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
计算机图形学-第五章-图形变换
第五章图形变换重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
齐次坐标系齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。
点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。
所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。
例如齐次空间点P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。
将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。
5.1 二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。
5.1.1 二维平移变换如图所示，它使图形移动位置。
新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。
从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例和旋转变换则是矩阵乘法。
图像几何变换的原理及应用
图像几何变换的原理及应用1. 引言图像几何变换是指通过对图像进行旋转、平移、缩放和仿射变换等操作，改变图像的位置、大小和形状，以达到特定的目的。
在计算机视觉、图像处理和计算机图形学等领域中，图像几何变换被广泛应用于图像的校正、增强、变换和特征提取等任务。
2. 原理图像几何变换的原理基于几何学的相关理论。
对于二维图像来说，可以通过变换矩阵对图像进行坐标变换，从而实现图像的几何变换。
以下是常见的图像几何变换操作及其原理：2.1 旋转旋转是指将图像按一定角度绕某个中心点进行旋转变换。
旋转操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1其中，θ表示旋转的角度。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的旋转。
2.2 平移平移是指将图像沿着水平或垂直方向进行平移操作，即改变图像的位置。
平移操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：1 0 tx0 1 ty0 0 1其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的平移。
2.3 缩放缩放是指改变图像的尺寸大小。
缩放操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：sx 0 00 sy 00 0 1其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴上的缩放比例。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据缩放比例进行采样，可以实现图像的缩放。
2.4 仿射变换仿射变换是指通过线性变换和平移来对图像进行变换。
仿射变换可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1其中，a11、a12、a21和a22分别表示仿射变换的线性变换部分，tx和ty分别表示平移部分。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据变换矩阵进行计算，可以实现图像的仿射变换。
3. 应用图像几何变换在各个领域中有着广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景：3.1 图像校正在图像处理中，由于各种因素的影响，例如相机畸变、透视变换等，图像可能会出现失真或畸变。
计算机形学中的几何变换与投影算法基础
计算机形学中的几何变换与投影算法基础在计算机图形学中，几何变换与投影算法是实现三维对象表示、变换和可视化的基础。
通过对三维空间中的对象进行变换和投影，可以将其呈现在二维平面上，从而实现更直观的可视化效果。
本文将介绍计算机形学中的几何变换和投影算法的基本概念和应用。
一、几何变换几何变换是指通过对三维对象进行平移、旋转、缩放等操作，改变其在空间中的位置和形状。
在计算机图形学中，常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪切。
1. 平移平移是指将对象沿着指定方向移动一定的距离。
在计算机图形学中，平移变换可以通过将对象的每个顶点坐标增加一个平移向量来实现。
平移变换公式如下：[x'] = [1 0 0 tx] [x][y'] [0 1 0 ty] [y][z'] [0 0 1 tz] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(tx, ty, tz)表示平移向量。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现平移效果。
2. 旋转旋转是指将对象绕指定轴进行旋转。
在计算机图形学中，常用的旋转有绕X轴、Y轴和Z轴旋转。
旋转变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个旋转矩阵来实现。
旋转变换矩阵的形式如下：[x'] = [1 0 0 0] [x][y'] [0 cosθ -sinθ 0] [y][z'] [0 sinθ cosθ 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，θ表示旋转角度。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现旋转效果。
3. 缩放缩放是指改变对象的尺寸大小。
在计算机图形学中，缩放变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。
缩放因子分别作用于X、Y和Z轴的坐标，从而改变对象在各个轴上的尺寸。
缩放变换公式如下：[x'] = [sx 0 0 0] [x][y'] [0 sy 0 0] [y][z'] [0 0 sz 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(sx, sy, sz)表示缩放因子。
图形学实验报告
图形学实验报告计算机图形学实验指导书学号：1441901105姓名：谢卉实验一：图形的几何变换实验学时：4学时实验类型：验证实验要求：必修一、实验目的二维图形的平移、缩放、旋转和投影变换（投影变换可在实验三中实现）等是最基本的图形变换，被广泛用于计算机图形学的各种应用程序中，本实验通过算法分析以及程序设计实验二维的图形变换，以了解变换实现的方法。
如可能也可进行裁剪设计。
二、实验内容掌握平移、缩放、旋转变换的基本原理，理解线段裁剪的算法原理，并通过程序设计实现上述变换。
建议采用VC++实现OpenGL程序设计。
三、实验原理、方法和手段1．图形的平移在屏幕上显示一个人或其它物体（如图1所示），用交互操作方式使其在屏幕上沿水平和垂直方向移动Tx和Ty，则有x’=x+Tx y’=y+Ty其中：x与y为变换前图形中某一点的坐标，x’和y’为变换后图形中该点的坐标。
其交互方式可先定义键值，然后操作功能键使其移动。
2．图形的缩放在屏幕上显示一个帆船（使它生成在右下方），使其相对于屏幕坐标原点缩小s倍（即x方向和y方向均缩小s倍）。
则有：x’=x*s y’=y*s注意：有时图形缩放并不一定相对于原点，而是事先确定一个参考位置。
一般情况下，参考点在图形的左下角或中心。
设参考点坐标为xf、yf则有变换公式x’=x*Sx+xf*(1-Sx)=xf+(x-xf)*Sxy’=y*Sy+yf*(1-Sy)=yf+(y-yf)*Sy式中的x与y为变换前图形中某一点的坐标，x’和y’为变换后图形中该点的坐标。
当Sx>1和Sy>1时为放大倍数，Sx<1和Sy<1时为缩小倍数（但Sx 和Sy必须大于零）。
3．图形的旋转在屏幕上显示一个汽车，根据自己确定的旋转角度和旋转中心对图形进行旋转。
旋转公式为x’=xf+(x-xf)*cos(angle)-(y-yf)*sin(angle)y’=yf+(y-yf)*cos(angle)+(x-xf)*sin(angle)其中：xf,yf为围绕旋转的中心点的坐标。
几何变换的基本概念与操作
几何变换的基本概念与操作几何变换是计算机图形学中的重要概念，它可以将一个图形对象从一个位置、方向或大小变换到另一个位置、方向或大小，通过不同的变换操作，可以实现各种形状和位置的变化。
本文将介绍几何变换的基本概念和操作，包括平移、旋转、缩放和反射四种变换。
一、平移平移是指将图形对象按照指定的向量在平面内沿着直线移动，其作用是改变图形对象的位置而不改变其形状和大小。
平移操作可以用一个向量表示，向量的坐标分别表示在x轴和y轴方向上的移动距离。
平移操作的数学表达式如下：```P' = P + T```其中，P表示原始点的坐标，P'表示平移后点的坐标，T表示平移向量的坐标。
二、旋转旋转是指将图形对象按照指定的角度围绕一个中心点旋转，其作用是改变图形对象的方向而不改变其形状和大小。
旋转操作可以用一个角度表示，角度的正负决定了旋转的方向。
旋转操作的数学表达式如下：P' = R * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示旋转后点的坐标，R表示旋转矩阵。
三、缩放缩放是指将图形对象按照指定的比例在水平和垂直方向上进行放大或缩小，其作用是改变图形对象的大小而不改变其形状。
缩放操作可以用一个缩放因子表示，缩放因子大于1表示放大，缩放因子小于1表示缩小。
缩放操作的数学表达式如下：```P' = S * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示缩放后点的坐标，S表示缩放矩阵。
四、反射反射是指将图形对象按照指定的轴线进行镜像翻转，其作用是改变图形对象的位置和方向而不改变其形状和大小。
反射操作可以用一个轴线表示，轴线可以是水平、垂直或任意一条直线。
反射操作的数学表达式如下：P' = M * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示反射后点的坐标，M表示反射矩阵。
综上所述，几何变换是计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和反射四种基本操作，可以实现对图形对象的位置、方向和大小的变化。
计算机图形学三维图形变换
主视图变换矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
0
பைடு நூலகம்
0
0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0 0 1
俯视图变换矩阵
1 0 0 0 1
0
0 0 1 0 0 0
TH
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
cos(90) sin(90)
三维图形变换
基本几何变换
基本几何变换都是相对于原点和坐标
轴进行的几何变换，有平移、缩放和 旋转等。在以下的讲述中，均假设用
p(x, y, z) 表示三维空间上一个未被变 换的点，而该点经过某种变换后得到 的新点用 p'(x', y', z') 表示。
平移变换
平移是指将点沿直线路径从一个坐标位置移动 到另一个坐标位置的一个重定位过程。
0 1
0
0
0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0
Rx ( )
0
c
d b
b
d c
0
0
dd
0 0 0 1
Ry ( )
d 0 a 0
Ry
(
)
0
a
1 0
0 d
第七章 图形变换
窗口和视区两者关系
窗口和视区可以是多个 不一定非要矩形，但通常是矩形区域 若要指定一个窗口或视区，只要给出矩形两顶点 的坐标值 观察变换（窗口-视区的坐标变换 窗视变换） 视区的坐标变换， 观察变换（窗口 视区的坐标变换，窗视变换） 窗口（WC）和视区（DC）分别处在不同的坐 标系内，所用的长度单位及大小、位置等均不同 将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过 将窗口到视区的坐标变换处理（视见变换）（观察 变换：世界坐标系=>设备坐标系）
本章基本内容
图形变换的数学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.1 图形变换的数学基础
点可以用位置向量（矢量 矢量）表示 矢量 二维空间点的坐标可以用行向量[X，Y]或 列向量[X，Y]T 表示 三维空间点的坐标可以用行向量[X，Y，Z] 或列向量表示 用具有一定关系的点的集合（点集 点集）来表示一 点集 个平面图形学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.2 窗口视图变换
• 世界坐标系 世界坐标系(WC : World Coordinates) • 设备坐标系 • 规格化设备坐标系
1、世界坐标系(WC : World Coordinates) 、世界坐标系
用户定义的图形从窗口到视区的输出过程
从应用程序得到的图形的世界坐标 ↓WC 对窗口进行裁减 ↓NDC 窗口到视区的规格化变换 ↓DC 视区从规格化坐标系到设备坐标系的变换 ↓ 在图形设备上输出图形
从应用 程序得 到图形 的用户 坐标
对窗口区 进行裁剪
窗口区到 视图区的 规格化变换
视图区从规 格化坐标系 到设备坐标 系的变换
1 i i 0 1
视区 viewport
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实验五：图形几何变换的实现
班级08信计2 学号83 姓名王志超分数
一、实验目的和要求：
巩固所学理论知识，加深对二维变换的理解，加深理解利用变换矩阵可由简单图形得到复杂图形。
加深对变换矩阵算法的理解。
编制利用旋转变换绘制齿轮的程序。
编程实现变换矩阵算法，绘制给出形体的三视图。
调试程序及分析运行结果。
要求每位学生独立完成该实验，并上传实验报告。
二、实验内容：
在方向、尺寸和形状方面的变换是用改变对象坐标描述的几何变换来完成的。
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，有平移、旋转、缩放、反射、错切等。
用直线命令画出一个齿（或六边形的一半）→利用旋转变换或对称变换矩阵实现对其余部分的绘制→调试运行程序→输出图形→分析结果→结束。
编写三维变换算法程序→检查程序的正确性→分段调试程序→输入给出的三维形体各顶点的坐标→执行变换→对算法程序进行必要的调整→更换不同的形体数据继续变换→结束。
三、实验结果分析
. 1该程序实现了图形变换的实现。
2绘制图形，加强对知识的理解。
/*二维图形（直线）平移变换*/
#include<stdio.h>
#include<graphics.h>
#include<conio.h>
main()
{int x0,y0,x1,y1,i,j;
int a[3][3];
char key;
for(i=0;i<3;i++)
for(j=0;j<3;j++)
a[i][j]=0;
for(i=0;i<3;i++)
a[i][i]=1;
int graphdriver=DETECT;
int graphmode=0;
initgraph(&graphdriver,&graphmode," ");
cleardevice();
x0=250;y0=120;x1=350;y1=220;
line(x0,y0,x1,y1);
for( ; ;)
{outtextxy(100,400,"<-:left->:right^:up v:down Esc->exit"); key=getch();
switch(key)
{
case 75: a[2][0]=-10;
break;
case 77: a[2][0]=10;
break;
case 72: a[2][1]=-10;
break;
case 80: a[2][1]=10;
break;
case 27: exit(0);
break;
}
x0=x0*a[0][0]+y0*a[1][0]+a[2][0];
y0=x0*a[0][1]+y0*a[1][1]+a[2][1];
x1=x1*a[0][0]+y1*a[1][0]+a[2][0];
y1=x1*a[0][1]+y1*a[1][1]+a[2][1];
cleardevice();
line(x0,y0,x1,y1);
}
closegraph();
}
运行结果。