零点分段法详解

零点分段法：

此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果是随着参数的情况而改变的（绝对值的代数意义），所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。

首先要明确两个词义：

1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解：x=1.5，

且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，就对应有几个零点，如|x|+|x+1|应该有两个式子，对应有两个零点，而|x+3|就只有一个式子，只有一个零点。

2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段；如

有两个零点时，在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段，一般来说，有n 个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。

一、步骤

通常分三步：

⑴求出所有式子的零点；

⑵将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来；

⑶在分出的段中，每一段上讨论原式子的正负形，并将绝对值求出。

例：

(1)化简：|x+1|+|x-1|

分析：首先，在这个题中，应该明确知道有两个式子，对应应该有两个零点，分别将他们求出，得到x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出两个零点，并可以看出它们将数轴分割为3段：

将每一段表示出来：

第一段：x＜-1；第二段：-1≤x＜1；第三段：1≤x

（注：也可以表示为：第一段：x≤-1；第二段：-1＜x≤1；第三段：1＜x；分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点，比如上面例题中，在第一段表示出零点x≤-1后，第二段就不可以含有零点，所以第二段若表示成-1≤x＜1是错误的。）然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性，然后求出来。

解：由题意，得：

零点为：

①x+1=0 得x=-1；②x-1=0 得x=1；

所以：

①当x＜-1时：

原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x

②当-1≤x＜1时：

原式=(x+1) +[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2

③当1≤x时：

原式=(x+1) + (x-1)=x+1+x-1=2x

(2)化简：|x|+|x+1|+|x-1|

分析：首先，在这个题中，应该明确知道有三个式子，而不是两个，对应应该有三个零点，分别将他们求出，得到x的零点为x=0，x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出三个零点，并可以看出它们将数轴分割为四段。

解：由题意，得：

零点为：

①x=0；②x+1=0 得x=-1；③x-1=0 得x=1；

所以：

①当x＜-1时：

原式=(-x)+[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-3x

②当-1≤x＜0时：

原式=(-x)+(x+1) +[-(x-1)]= (-x)+x+1+(-x)+1=-x+2

③当0≤x＜1时：

原式=x+(x+1) +[-(x-1)]=x+x+1+(-x)+1=x+2

④当1≤x时：

原式= x+(x+1) + (x-1)=x+x+1+x-1=3x

附注：

关于零点分段法结果的检验方法：

因为在分段时，发现零点这个点分在其左边或者其右边的段都是可以的，所以把零点的值代入其左右两段，看结果是否一样，如在例1中，把x=-1代入①与②的化简结果中可以得到结果值都是2，把x=1代入②与③的化简结果中可以得到结果值都是2，所以结果是正确的。

练习：

化简下列式子：

1、|x-1|+|x+5|-|x-3|

2、|x-1|-2|x+3|+3|x+5|