用配方法和公式法解一元二次方程
七年级数学一元二次方程及其解法(配方法,公式法)人教实验版五四制知识精讲
七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程及其解法（配方法，公式法）二. 基础知识：1. 一元二次方程的概念2. 降次解一元二次方程① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握）② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握）三. 重点和难点：1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程2. 难点：配方法解方程【典型例题】[例1] ① 下列关于x 的方程（1）02=++c bx ax（2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 解：选A根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。
② 下列关于x 的方程（1）02=++c bx ax （2）0652=++k k（3）02142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。
（只填代号）解：应填（4）由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程[例2] 解方程：1422-=x x解法一：（配方法）将方程变形为1422-=-x x方程两边都除以2，得2122-=-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即21)1(2=-x 解得221±=x ∴2211+=x 2212-=x 解法二：（公式法）将方程变形为01422=+-x x∵2=a ，4-=b ，1=c∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴42242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+=x 2212-=x[例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m（1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 为何值时，它是一元一次方程。
九年级数学 用配方法和公式法解一元二次方程 人教实验版
【本讲教育信息】一. 教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1. 知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2. 理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b 2－4ac ≥0的意义，知道b 2－4ac 的值的符号与方程根的情况之间的关系．3. 能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1. 形如x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝p （p ≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．2. 配方的原理及过程原理：完全平方公式a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2．过程：以方程2x 2－3x －1＝0为例．第一步：二次项系数化为1，移项得x 2－32x ＝12，即x 2－2×x ×34＝12； 第二步：方程两边同时加上（34）2，x 2－2×x ×34＋（34）2＝12＋（34）2． 第三步：完成配方，（x －34）2＝1716． 通过配方，方程的左边变形为含x 的完全平方形式（mx ＋n ）2＝p （p ≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3. 用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根．4. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a（b 2－4ac ≥0）．5. 利用求根公式解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；（2）计算b 2－4ac 的值；（3）若b 2－4ac ≥0，则代入求根公式求解．6. 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），（1）当b 2－4ac ＞0时，方程有实数根：a2ac 4b b x ,a 2ac 4b b x 2221---=-+-=； （2）当b 2－4ac ＝0时，方程有实数根：x 1＝x 2＝－b 2a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．【典型例题】例1. 填上适当的数使下列各式成立．（1）x 2－4x ＋__________＝（x －__________）2；（2）x 2－14x ＋__________＝（x －__________）2； （3）x 2＋23x ＋__________＝（x ＋__________）2． 分析：（1）x 2－4x ＋（－42）2＝x 2－4x ＋4＝（x －2）2；（2）x 2－14x ＋（－14×12）2＝x 2－14x ＋164＝（x －18）2；（3）x 2＋23x ＋（23×12）2＝x 2＋23x ＋19＝（x ＋13）2． 解：（1）4，2；（2）164，18；（3）19，13． 评析：配方是学习配方法解一元二次方程的基本功，主要方法是二次项系数是1的式子加上“一次项系数一半的平方”，如（2）题中一次项系数为－14，其一半为－14×12＝－18，（－18）2＝164．例2. 用配方法解方程：（1）x 2＋2x －5＝0；（2）4x 2－12x －1＝0；（3）（x ＋1）2－6（x ＋1）2－45＝0．分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x ＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方．解：（1）移项，得x 2＋2x ＝5，配方，得x 2＋2x ＋12＝5＋12，即(x ＋1)2＝6，∴x ＋1＝±6，原方程的解是x 1＝－1＋6，x 2＝－1－6．（2）方程两边都除以4，得x 2－3x －14＝0， 移项，得x 2－3x ＝14． 配方得x 2－3x ＋(－32)2＝14＋(－32)2＝104， 即（x －32）2＝104． ∴x －32＝±102． 原方程的解是x 1＝32＋102，x 2＝32－102． （3）将方程整理得（x ＋1）2－6（x ＋1）2＝45，－5（x ＋1）2＝45，（x ＋1）2＝－9，由于x 取任意实数时（x ＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得复杂些，为此，除非题目有特别指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力争掌握好．例3. 用公式法解下列方程：（1）4x 2＋4x －1＝－10－8x ；（2）t 2－22t ＋18＝0 （3）（x ＋1）（x －1）＝22x ．分析：本题中的三个题目都不是一般形式，因此，首先要整理成一般形式后，再确定a 、b 、c 的值，然后代入公式求解．解：（1）将方程化为一般形式，得4x 2＋12x ＋9＝0，∵a ＝4，b ＝12，c ＝9，b 2－4ac ＝122－4×4×9＝0，∴x ＝－12±02×4＝－32． ∴原方程的根是x 1＝x 2＝－ 32． （2）将方程去分母后整理成一般形式，得8t 2－42t ＋1＝0．∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0，∴t ＝42±02×8＝24． ∴原方程的根是t 1＝t 2＝24． （3）将方程化为一般形式得：x 2－22x －1＝0．∵a ＝1，b ＝－22，c ＝－1．b 2－4ac ＝（－22）2－4×1×（－1）＝12＞0，x ＝－（－22）±122×1＝22±232＝2±3， x 1＝2＋3，x 2＝2－3．评析：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；②求出b 2－4ac 的值；③若b 2－4ac ≥0，则把a 、b 、c 及b 2－4ac 的值代入一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a，求出x 1、x 2，若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根．例4. 不解方程判断下列方程根的情况．（1）4x 2－11x ＝2；（2）4x 2－x ＋5＝0；（3）y 2＋14y ＋49＝0；（4）x 2＋（m ＋2）x ＋m ＝0．分析：判断一元二次方程的根的情况应先把方程转化成一般形式，再计算b 2－4ac 的值． 解：（1）原方程化为4x 2－11x －2＝0，a ＝4，b ＝－11，c ＝－2，b 2－4ac ＝（－11）2－4×4×（－2）＝153＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．（2）a ＝4，b ＝－1，c ＝5，b2－4ac＝（－1）2－4×4×5＝－79＜0，所以原方程没有实数根．（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2－4ac＝142－4×1×49＝0，原方程有两个相等的实数根．（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，b2－4ac＝（m＋2）2－4×1×m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4，无论m取何值，m2＋4＞0，∴b2－4ac＞0，原方程有两个不相等的实数根．评析：（1）b2－4ac是对一元二次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时，通常把计算结果化成（通过配方）（m＋n）2＋p的形式，由平方数的非负性说明它的符号．例5.先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值总大于0．再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？分析：准确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．解：x2－5x＋7＝（x－2.5）2＋0.75＞0．当x＝2.5时，代数式x2－5x＋7的值最小，最小值是0.75．例6.某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用竹栏围成，竹栏长为40m．（1）养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200m2吗？（2）能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．分析：根据题意列出方程，利用配方法或求根公式解方程，如果方程有解且符合实际意义，则满足要求，否则，不能满足要求．解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40－2x）m．（1）当面积为150m2时，x（40－2x）＝150，整理得：x2－20x＋75＝0，即（x－10）2＝25．解得x1＝5，x2＝15．此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为30m，或与墙垂直的边长为15m，另一边长为10m．而当面积为200m2时，x（40－2x）＝200，解得x1＝x2＝10．此时的设计方案为：与墙垂直的边长为10m，另一边长为20m．（2）当面积为250m2时，x（40－2x）＝250，此方程无解．所以养鸭场的面积不能达到250m2．【方法总结】1. 如果方程是x2＝p（p≥0）或类似于（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，可得x＝±p或mx＋n＝±p，要熟悉完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．2. 配方法解一元二次方程的主要步骤：（1）将方程化成ax2＋bx＝－c的形式；（2）二次项系数化成1，x2＋ba x＝－ca；（3）配方，两边都加上一次项系数一半的平方，将方程化成x2＝p或（x＋k）2＝p（p ≥0）的形式，从而得x＝±p或x＋k＝±p最终得出方程的根．3. 公式法解一元二次方程的主要步骤：（1）化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）确定各项系数的值；（2）计算b 2－4ac 的值；（3）当b 2－4ac ≥0时，用求根公式求解，x ＝－b ±b 2－4ac 2a；当b 2－4ac ＜0时，原方程无实根．b 2－4ac 的值决定方程解的情况．当b 2－4ac ＞0时，有两个不等实根；当b 2－4ac ＝0时，有两个相等实根；当b 2－4ac ＜0时，没有实根．【预习导学案】（用因式分解法解一元二次方程）一. 预习前知1. 想一想，因式分解有几种方法？2. 分解因式：（1）25（7x －3）2－16；（2）5x （2x ＋7）－3（2x ＋7）；（3）x 2－4x ＋4；（4）（x －1）2＋2x （x －1）．二. 预习导学1. 根据“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”解下列方程．（1）（x －1）（2x ＋3）＝0；（2）x （x ＋1）＝0；（3）（x －2）（x ＋1）＝0．2. 用因式分解法解下列方程．（1）x 2＋x ＝0；（2）（3x －1）2－1＝0；（3）x 2－2x ＋1＝0．反思：（1）用因式分解法适合解什么样的一元二次方程？（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 下列方程不能用开平方法求解的是（ ）A. x 2－6x ＋9＝0B. （x －5）2＝7C. 4x 2＝1D. 2y 2＋4y ＋4＝02. 用直接开平方法解方程（x －3）2＝8，得方程的根为（ ）A. x ＝3＋2 2B. x ＝3－2 2C. x 1＝3＋22，x 2＝3－2 2D. x 1＝3＋23，x 2＝3－2 33. 用配方法解方程x 2＋3＝4x 时，这个方程可化为（ ）A. （x －2）2＝7B. （x ＋2）2＝1C. （x －2）2＝1D. （x ＋2）2＝2*4. 方程x 2＋x －1＝0的根精确到0.1的近似值是（ ）A. 0.6，1.6B. 0.6，－1.6C. －0.6，1.6D. －0.6，－1.65. 一元二次方程x 2－2x －3＝0的根是（ ）A. x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝－1，x 2＝3C. x 1＝－1，x 2＝－3D. x 1＝1，x 2＝－3*6. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）A. x 2＋2x －99＝0化为（x ＋1）2＝100B. t 2－7t －4＝0化为（t －72）2＝654C. x 2＋8x ＋9＝0化为（x ＋4）2＝25D. 3x 2－4x －2＝0化为（x －23）2＝109*7. 下列关于x 的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）A. x 2＋1＝0B. x 2＋2x ＋1＝0C. x 2＋2x ＋3＝0D. x 2＋2x －3＝0**8. 若x 2－2（k ＋1）x ＋k 2＋5是一个完全平方式，则k 等于（ ）A. －1B. 2C. 1D. －2二. 填空题1. 如果（x －2）2＝9，则x ＝__________．2. 方程（2y ＋1）2－16＝0的根是__________．3. 方程（x ＋m ）2＝n 有解的条件是__________．4. 填空：（1）x 2＋10x ＋__________＝（x ＋__________）2；（2）m 2－8m ＋__________＝（m －__________）2；（3）x 2＋3x ＋__________＝（x ＋__________）2；（4）x 2＋12x ＋__________＝（x ＋__________）2； （5）x 2－mx ＋__________＝（x －__________）2．*5. 把下列各式化为（x ＋m ）2＋n 的形式：（1）x 2－4x ＋7＝__________；（2）x 2＋2x －3＝__________；（3）x 2＋2x ＋1＝__________；6. 方程x 2＋5x ＋3＝0中，b 2－4ac ＝_______，由求根公式可得方程的根是x 1＝_______，x 2＝_______．7. 如果关于x 的方程x 2＋4x ＋a ＝0有两个相等的实数根，那么a ＝__________．三. 解答题1. 用直接开平方法解下列一元二次方程：（1）（x －1）2＝4；（2）4m 2－4m ＝－1；（3）3（4x －1）2＝48；（4）y 2－2y －8＝0．2. 用配方法解方程：（1）x 2－6x －7＝0；（2）x 2－2x －1＝0；（3）2x 2＋x ＝0；（4）（x ＋1）2＝x －1．3. 关于x 的二次三项式x 2＋2mx ＋4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．4. 如图，一个5m 长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m ，如果顶端下滑1m ，那么，梯子的底端也将滑动1m 吗？请你用所学知识来解释．5. 若关于x 的方程x 2＋（2k －1）x ＋k 2－74＝0有两个相等的实数根，求k 的值．6. 方程x 2＋kx －6＝0的一个根是2，试求另一个根及k 的值．7. 用100m 长的铁丝围成一个长方形，面积是600m 2，长、宽分别是多少？能否再围成一个面积是800m 2的长方形呢？【试题答案】一. 选择题1. D2. C3. C4. B5. B6. C7. D8. B二. 填空题1. 5或－12. y 1＝32，y 2＝－523. n ≥04. （1）25 5；（2）16 4；（3）94 32；（4）11614；（5）m 24 m 2 5.（1）（x －2）2＋3；（2）（x +1）2－4；（3）（x +22）2＋12 6. 13，－5＋132， －5－1327. 4三. 解答题1. （1）x 1＝3，x 2＝－1；（2）m 1＝m 2＝12；（3）x 1＝54，x 2＝－34；（4）y 1＝4，y 2＝－2 2. （1）x 1＝7，x 2＝－1；（2）x 1＝1＋2，x 2＝1－2；（3）x 1＝0，x 2＝－12；（4）无实数根3. 原式＝x 2＋2mx ＋m 2－m 2＋4－m 2＝（x ＋m ）2＋（4－2m 2），因为其为完全平方式，所以4－2m 2＝0，即m ＝±2．4. 梯子的底端不会滑动1m ．设梯子底端下滑x 米，22＋（x ＋4）2＝52．即x 2＋8x －5＝0，解得x 1＝21－4，x 2＝－21－4（舍去）．因为21＜5，所以21－4＜1．5. 根据题意（2k －1）2－4（k 2－74）＝0，即－4k ＋1＋7＝0．解得k ＝2． 6. 把x ＝2代入得22＋2k －6＝0，即k ＝1．当k ＝1时，x 2＋x －6＝0，解之得x 1＝－3，x 2＝2．所以方程另一个根是x ＝－3，k ＝1．7. 设宽为xm ，则x （50－x ）＝600，解得x 1＝20，x 2＝30．所以当面积为600m 2时，长为30m ，宽为20m ．不能围成面积为800m 2的长方形，理由：设长为xm ，则x （50－x ）＝800，由b 2－4ac ＜0知，方程无解．。
(完整版)用公式法解一元二次方程
Х=
=
Х1=
Х2=0
（4）4x²+1=-4x 解：移项，得4x²+4x+1=0 a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0
X=
=-
X1=X2 =-
故对于方程ax²+bx+c=0 （a≠0）有下列关系： • 猜一猜：对于一般式ax²+bx+c=0 （a≠0）的
(1)当b根²与-4abc²->40a时c的，符方号程有有什两么个关不系相？等的根
用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1 x1 3 10, x2 3 10
(2)x2=6－5x
x1 6, x2 1
(3) －x2＋4x－3=0
x1 3, x2 1
注意:解第(2)题时要先移项,变形成x2+5x=6 的形式;
如果方程的二次项系数为负,则先把二次 项系数化为正.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q 4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
特别提醒
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
b
b2 4ac
x
2a
一元二次方程 的求根公式
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0 （2）x2+2x+2=0
x b
b因x21为4aacxb²+b2xba+2c=40a（c a≠0）的求根公x2 式 是b
b2 4ac 2a
2a (根2)当x1b=²-x42ac==0时2ba ，方程有两个相等的
用公式法+配方法求解一元二次方程 导学案
3 用公式法求解一元二次方程第1课时1.会用配方法解一般的字母系数的一元二次方程,掌握ax2+bx+c=0(a≠0)形式的方程的解法.2.知道一元二次方程的求根公式,会用公式法解一元二次方程.3.重点:一元二次方程的求根公式.知识点一阅读教材本课时“例题”前面的内容,完成下列问题.用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0).两边都除以一次项系数a,得x2+x+=0.1.为什么可以两边都除以一次项系数a?a≠0.配方:加上再减去一次项系数一半的平方,x2+x+()2-+=0,即 (x+)2-=0,(x+)2=.2.现在可以两边开平方吗?不可以,因为不能保证≥0.3.什么情况下≥0?并完成后面的解答过程.∵a≠0,∴ 4a2>0,要使≥0,只要使b2-4ac≥0即可.4.用配方法解ax2+bx+c=0(a≠0),两边直接开平方可得x= ,这个式子称为一元二次方程的求根公式.【归纳总结】一般地,对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是知识点二阅读教材本课时“例题”及其后面的内容,完成下列问题.1.在例题第(2)小题中,方程变形为一般形式是为确定a、b、c的值.2.公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)化简:把方程化为一般形式,从而确定a、b、c的值;(2)定根:求出b2-4ac的值,并与0比较大小,判断方程是否有根;(3)代值:在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式x=,计算后得到方程的根.3.若b2-4ac <0,则求根公式无意义,即一元二次方程无实数根.【归纳总结】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.互动探究一:若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(A )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断互动探究二:方程x(x+3)=14的解是(B)A.x=B.x=C.x=D.x=互动探究三:已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是(D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不是1的实数互动探究四:关于x的一元二次方程ax2-3x-2=0有实数根,求a的取值范围.解:当a≠0时,Δ=9+8a≥0,有实数根,解得a≥-,又∵ax2-3x-2=0是一元二次方程,∴a≠0.即a≥-且a≠0.第2课时1.通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义,增强用数学的意识,巩固用配方法解一元二次方程.2.判断一元二次方程的根符合代数意义的同时是否符合实际意义.3.重点:一元二次方程的根是否符合实际意义.知识点阅读教材本课时“习题2.6”之前的内容,完成下列问题.1.如图所示的是小明设计的方案,其中花园四周小路的宽度都相等.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?(16-2x)(12-2x)=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=2,x2=12.(3)(16-2x)和(12-2x)分别表示矩形花园的长和宽,则x的取值范围是什么?解得x<6,又x>0,所以x的取值范围是0<x<6.(4)这两个解虽然都符合代数意义,但x= 12不符合实际意义.2.小亮的设计方案如图所示,其中花园每个角上的扇形都相同.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?πx2=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=,x2=-.(3)符合x>0的实际意义的解是多少?x1=.3.小颖设计的方案如下:在矩形的四个角上建造花园,中间用互相垂直且宽度相同的两条通路隔开.请你帮她求出通路的宽.解:设通路的宽为x m.根据题意列方程:(16-x)(12-x)=×16×12,解得x1=4,x2=24.当x= 24时,24-x<0,所以不符合题意,舍去.【归纳总结】对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),若Δ>0,则方程的两根x1、x2都符合代数意义,但在实际的一元二次方程应用中,符合代数意义的根不一定符合实际意义.互动探究一:如图①,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为 1 米.图①图②互动探究二:在一幅长80 cm,宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条宽度均匀的金色纸边,制成一幅长方形挂图(如图②),若整幅挂图的面积为5400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是(80+2x)(50+2x)=5400.互动探究三:如图,利用一面长25 m的墙,用50 m长的篱笆,围成一个长方形的养鸡场.怎样才能围成一个面积为300 m2的长方形养鸡场?解:(1)设养鸡场的宽为x m,则长为(50-2x)m.由题意列方程,得x(50-2x)=300,解得x1=10,x2=15.当x1=10时,50-2x=30>25不合题意,舍去;当x2=15时,50-2x=20<25符合题意.答:当宽为15 m,长为20 m时可围成面积为300 m2的长方形养鸡场.互动探究四:小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2,他的说法对吗?请说明理由.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm ,则另一个正方形的边长为(10-x ) cm.由题意得x2+( 10-x )2=58 .解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段.( 2 )假设能围成.由(1)得,x2+( 10-x )2=48 .化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0 ,所以此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.2 用配方法求解一元二次方程1.会用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.会用配方法解一元二次方程,知道配方法的解题步骤.3.重点:会用配方法解一元二次方程.【旧知回顾】若一个数的平方等于4,则这个数是±2 ,若一个数的平方等于7,则这个数阅读教材本课时“议一议”,完成下列问题.1.根据平方根的定义填空:如果方程能够化成x2=n(n≥0)或(x+m)2=n(n≥0)的形式,那么x=±或x+m= ±.2.你会解下列一元二次方程吗?试一试.(1)x2=5;(2)2x2+3=5;(3)x2+2x+1=5;(4)(x+6)2+72=102.(1)x1=,x2=-;(2)x1=1,x2=-1;(3)x1=-1,x2=--1;(4)x1=-6,x2=--6.【归纳总结】在解上面方程的过程中,都可以将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是阅读教材本课时第一个“做一做”与“例1”,完成下列问题.1.填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2+12x+ 36=(x+6)2;(2)x2-2x+ 1=(x- 1)2;(3)x2+8x+ 16=(x+ 4)2.2.上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?常数项等于一次项系数的一半的平方.3.用配方法解一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式;(2)将常数项移到等号的右阅读教材本课时“例2”,完成下列问题.1.在“例2”中,第一步的作用是什么?把二次项的系数化为1.2.如果第二步移项,第三步配方,能得到方程(x+)2=吗?试一试.可以.第一步:两边都除以3,得x2+x-1=0,第二步:移项,得x2+x=1,第三步:配方,得x2+x+()2=1+()2,(x+)2=.3.完成教材本课时第二个“做一做”.当h=10时,10=15t-5t2,解这个方程,得t1=1,t2=2.因此在1秒或2秒时,小球才能达到10 m高.【归纳总结】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式,化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;(2)配方;(3)移项,使方程变形为(x+m)2=n的形式;(4)利用直接开平方解方程即可.互动探究一:关于x的方程x2=m的解为(D)A.B.-C.±D.当m≥0时,x=±,当m<0时,方程没有实数根互动探究二:运用直接开平方法解方程:(2x-3)2=(x+2)2.解:2x-3=x+2或2x-3=-(x+2)∴x1=5,x2=.【方法归纳交流】原方程可看作(x+m)2=n的形式,运用直接开平方就可将原方程转化为两个一元一次方程,即可求解.互动探究三:用配方法证明x2-4x+5的值不小于1.证明:x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1,∵无论x取何值,(x-2)2≥0,∴(x-2)2+1≥1,即x2-4x+5的值不小于1.互动探究四:如图,在一块长92 m,宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽?解:设水渠的宽度为x m.(92-2x)(60-x)=885×6.解得x1=105(不合题意,舍去),x2=1,∴x=1.答:水渠的宽度为1 m.*互动探究五:如果多项式P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999,那么P可以等于800吗?解:P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999=(a2-16a+64)+(b2+4b+4)+(a2-8ab+16b2)+1931=(a-8)2+(b+2)2+(a-4b)2+1931.∵(a-8)2和(b+2)2和(a-4b)2均为非负数,∴P不能等于800.【方法归纳交流】最值问题在下册将会细讲,此处带星号稍作了解.求代数式的最值问题,需要先配方,然后再利用平方数的非负性去判断最值的情况.见《导学测评》P12。
解一元二次方程公式法
3
心动
不如行动
例2 解方程 2x2-9x+8=0
解: a 2, b 9, c 8.
b
2 b b 4αc 2 b 2 4ac 9 4 2 8 17 0. x 2α 2
b 4ac x 2a 9 17 2 2 9 17 . 4
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3 y
2
1 2 3 y.
想一想：
关于一元二次方程 ax bx c 0 a a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
数;
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0, 3.计算: b2-4ac的值; ∴原方程没有实数根. 4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
b c 解 : x x 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x x . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x . a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方; 2 b b 2 4ac . x 4.开方:根据平方根意义, 2 2 a 4 a 方程两边开平方; 2 当b 4ac 0时,
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
一元二次方程公式法、配方法[修改版]
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第一篇：一元二次方程公式法、配方法一元二次方程公式法、配方法【主体知识归纳】4．直接开平方法形如x＝a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x＝±，即x1＝a，x2＝－a．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2b2b4ac25．配方法将一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)化成(x＋)＝的形式后，当b－4ac≥0时，用直22a4a22接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．b24ac26．公式法用一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝(b－4ac≥0)，这种解一元二2a2次方程的方法叫做公式法．【例题精讲】2例1：用配方法解方程2x＋7x－4＝0．剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；2(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x＋a)＝k的形式，然后用开平方法求解．解：把方程的各项都除以2，得x＋即(x＋277772728122x－2＝0．移项，得x＋x＝2．配方，得x＋x＋()＝2＋()＝，22244167281)＝．416817791＝±，x＋＝±．即x1＝，x2＝－4．164442解这个方程，得x＋说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式22的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x－4x＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x－224x＋3＝2x－4x＋2＋1＝2(x－1)＋1．例6：用公式法解下列方程：2(1)2x＋7x＝4；2解：(1)方程可变形为2x＋7x－4＝0．22∵a＝2，b＝7，c＝－4，b－4ac＝7－4×2×(－4)＝81＞0，77242(4)791∴x＝．∴x1＝，x2＝－4．2 242【同步达纲练习】1．选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是()x2x＝0B．23(2)下列方程不是一元二次方程的是()24A．2＝0xxA．C．x＋2xy＋1＝0D．5x＝3x－112x＝1B．0.01x2＋0．2x－0.1＝0C．2 x2－3x＝02(3)方程3x－4＝－2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()D．121x－x＝(x2＋1) 22A．3，－4，－2B．3，2，－4C．3，－2，－4D．2，－2，0(4)一元二次方程2x－(a＋1)x＝x(x－1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为() A．－1B．1C．－2D．222(5)若方程(m－1)x＋x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A．m≠0B．m≠1C．m≠1且m≠－1D．m≠1或m≠－1 (6)方程x(x＋1)＝0的根为()A．0B．－1C．0，－1D．0，1(7)方程3x－75＝0的解是()A．x＝5B．x＝－5C．x＝±5D．无实数根(8)方程(x－5)＝6的两个根是() A．x1＝x2＝5＋6B．x1＝x2＝－5＋6 D．x1＝5＋6，x2＝5－6C．x1＝－5＋6，x2＝－5－6(9)若代数式x－6x＋5的值等于12，那么x的值为()A．1或5B．7或－1C．－1或－5(10)关于x的方程3x－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于() A．2B．－D．－7或112C．－2D．1 22．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x＋1＝9x；(2)(x＋1)(x－3)＝2x－3；(3)(x＋3)(x－3)＝2(x－3)；(4)3y－2y＝2y－3y＋5．223．当m满足什么条件时，方程(m＋1)x－4mx＋4m－2＝0是一元二次方程?当x＝0时，求m的值．4．用直接开平方法解下列方程：(1)x＝229；4(2)x＝1．96；(5)(x－1)＝144；(3)3x－48＝0；(6)(6x－7)－9＝0．(4)4x－1＝0；5．用配方法解下列方程：(1)x＋12x＝0；(4)9x＋6x－1＝0；(2)x＋12x＋15＝0(3)x－7x＋2＝0；(5)5x－2＝－x；(6)3x－4x＝2．6．用公式法解下列方程：(1)x－2x＋1＝0；(5)4x－1＝0；22(2)x(x＋8)＝16；(3)x－x＝2；3(4)0．8x＋x＝0．3；(6)x＝7x；(7)3x＋1＝23x；(8)12x＋7x＋1＝0．7．(1)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与4x＋1的值相等?22(2)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与x－19的值互为相反数?8．已知a，b，c均为实数，且a22a1＋｜b＋1｜＋(c＋3)＝0，解方程ax＋bx＋c＝0．9．已知a＋b＋c＝0．求证：1是关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根．10．用配方法证明：22(1)3y－6y＋11的值恒大于零；(2)－10x－7x－4的值恒小于零．2211．证明：关于x的方程(a－8a＋20)x＋2ax＋1＝0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程．参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C(7) C (8)D (9)B (10)D2．(1)9x2－4x－1＝0，9，－4，－1；(2)x2－4x＝0，1，－4，0；(3)x2－12x＋27＝0，1，－12，27；(4)(－2)y2＋(－2)y－5＝0，－2，3－2，－．3．m≠－1，m＝4．(1)x1＝，x2＝－；(2)x1＝－1．4，x2＝1．4；(3)x1＝－4，x2＝4；(4)x1＝－，x2＝；(5)x1＝13，x2＝－11；(6)x1＝，x2＝．5．(1)x1＝0，x2＝－12；(2)x1＝－6－21，x2＝－6＋21；741741，x2＝；22121 2(4)x1＝，x2＝；33141141(5)x1＝，x2＝；101022(6)x1＝，x2＝．33323212122353(3)x1＝6．(1)x1＝x2＝1；(2)x1＝－4－42，x2＝－4＋42；597513，x2＝；(4)x1＝，x2＝－；664211(5)x1＝，x2＝－；(6)x1＝0，x2＝7；22(7)x1＝x2＝；311(8)x1＝－，x2＝－．347．(1)x＝－2或x＝；25(2)x＝－4或x＝．(3)x1＝8．x1＝11，x2＝．229把1代入ax2＋bx＋c中，得ax2＋bx＋c＝a＋b＋c＝0∴1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．10(1)∵3y2－6y＋11＝3y2－6y＋3＋8＝3(y－1)2＋8又(y－1)2≥0，∴3(y－1)2＋8＞0．即3y2－6y＋11的值恒大于零．(2)∵－10x2－7x－4＝－10(x2＋72111)＋］400207111＝－10(x＋)2－．20407又－10(x＋)2≤0，201117∴－10(x＋)2－＜0．402074x＋) 1010＝－10［(x＋即－10x2－7x－4的值恒小于零．11∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4＞0∴该方程是一元二次方程第二篇：用配方法和公式法解一元二次方程用配方法和公式法解一元二次方程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根．2（3）当b－4ac＜0时，方程没有实数根．2三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．例2. 用配方法解方程：（1）x2＋2x－5＝0；（2）4x2－12x－1＝0；（3）（x＋1）2－6（x＋1）2－45＝0．分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方．（3）将方程整理得（x＋1）2－6（x＋1）2＝45，－5（x＋1）2＝45，（x＋1）2＝－9，由于x取任意实数时（x＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得复杂些，为此，除非题目有特别指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力争掌握好．例4. 不解方程判断下列方程根的情况．（1）4x2－11x＝2；（2）4x2－x＋5＝0；（3）y2＋14y＋49＝0；（4）x2＋（m＋2）x＋m＝0．分析：判断一元二次方程的根的情况应先把方程转化成一般形式，再计算b2－4ac的值．解：（1）原方程化为4x2－11x－2＝0，a＝4，b＝－11，c＝－2，b2－4ac＝（－11）2－4×4×（－2）＝153＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．（2）a＝4，b＝－1，c＝5，b2－4ac＝（－1）2－4×4×5＝－79＜0，所以原方程没有实数根．（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2－4ac＝142－4×1×49＝0，原方程有两个相等的实数根．（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，b2－4ac＝（m＋2）2－4×1×m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4，无论m取何值，m2＋4＞0，∴b2－4ac ＞0，原方程有两个不相等的实数根．评析：（1）b2－4ac是对一元二次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时，通常把计算结果化成（通过配方）（m＋n）2＋p的形式，由平方数的非负性说明它的符号．例5. 先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值总大于0．再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？分析：准确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．解：x2－5x＋7＝（x－2.5）2＋0.75＞0．当x＝2.5时，代数式x2－5x＋7的值最小，最小值是例6. 某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，竹栏长为40m．（1）养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200m2吗？（2）能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．分析：根据题意列出方程，利用配方法或求根公式解方程，义，则满足要求，否则，不能满足要求．解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40（1）当面积为150m2时，x（40－2x）＝150，整理得：x2－20x＋75＝0，即（x－10）2＝25．解得x1＝5，x2＝15．此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为15m，另一边长为10m．而当面积为200m2时，x（40－2x）＝200，解得x1＝x2＝10．此时的设计方案为：与墙垂直的边长为10m，另一边长为（2）当面积为250m2时，x（40－2x）＝250，此方程无解．所以养鸭场的面积不能达到250m2．0.75．墙长25m，另三边用竹栏围成，如果方程有解且符合实际意2x）m．30m，或与墙垂直的边长为20m．－【预习导学】（用因式分解法解一元二次方程）一. 预习前知1. 想一想，因式分解有几种方法？2. 分解因式：（1）25（7x－3）2－16；（2）5x（2x＋7）－3（2x＋7）；（3）x2－4x＋4；（4）（x－1）2＋2x（x－1）．二. 预习导学1. 根据“ab＝0，则a＝0或b＝0”解下列方程．（1）（x－1）（2x＋3）＝0；（2）x（x＋1）＝0；（3）（x－2）（x＋1）＝0．2. 用因式分解法解下列方程．（1）x2＋x＝0；（2）（3x－1）2－1＝0；（3）x2－2x＋1＝0．反思：（1）用因式分解法适合解什么样的一元二次方程？（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 下列方程不能用开平方法求解的是（）A. x2－6x＋9＝0B. （x－5）2＝7C. 4x2＝1D. 2y2＋4y＋4＝0 3. 用配方法解方程x＋3＝4x时，这个方程可化为（）2A. （x－2）2＝7 B. （x＋2）2＝1 C. （x－2）2＝1 D. （x＋2）2＝2 *4. 方程x2＋x－1＝0的根精确到0.1的近似值是（）A. 0.6，1.6B. 0.6，－1.6C. －0.6，1.6D. －0.6，－1.6 5. 一元二次方程x2－2x－3＝0的根是（）A. x1＝1，x2＝3B. x1＝－1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝－3D. x1＝1，x2＝－3 *6. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（）*7. 下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（）A. x2＋1＝0B. x2＋2x＋1＝0C. x2＋2x＋3＝0D. x2＋2x－3＝0 **8. 若x2－2（k＋1）x＋k2＋5是一个完全平方式，则k等于（）A. －1B. 2C. 1D. －2 二. 填空题1. 如果（x－2）2＝9，则x＝__________．2. 方程（2y＋1）2－16＝0的根是__________．3. 方程（x＋m）2＝n有解的条件是__________．4. 填空：（1）x2＋10x＋__________＝（x＋__________）2；（2）m2－8m＋__________＝（m－__________）2；（3）x2＋3x＋__________＝（x＋__________）2；（4）x2＋1/2x＋__________＝（x＋__________）2；（5）x2－mx＋__________＝（x－__________）2．*5. 把下列各式化为（x＋m）2＋n的形式：（1）x2－4x＋7＝__________；（2）x2＋2x－3＝__________；6. 方程x＋5x＋3＝0中，b－4ac＝_______，由求根公式可得方程的根是x1＝_______，x2＝_______．7. 如果关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a＝__________．三. 解答题1. 用直接开平方法解下列一元二次方程：（1）（x－1）2＝4；（2）4m2－4m＝－1；（3）3（4x－1）2＝48；（4）y2－2y－8＝0．2. 用配方法解方程：（1）x2－6x－7＝0；（2）x2－2x－1＝0；（3）2x2＋x＝0；（4）（x＋1）2＝x－1．3. 关于x的二次三项式x2＋2mx＋4－m2是一个完全平方式，求m的值．4. 如图，一个5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m，如果顶端下滑1m，那么，梯子的底端也将滑动1m吗？请你用所学知识来解释．25. 若关于x的方程x＋（2k－1）x＋k－7/4＝0有两个相等的实数根，求k的值．6. 方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，试求另一个根及k的值．7. 用100m长的铁丝围成一个长方形，面积是600m2，长、宽分别是多少？能否再围成一个面积是800m2的长方形呢？22第三篇：初三数学一元二次方程解法练习题配方法公式法分解因式法配方法1、x22x802、x242x3、3y26y2404、4x27x205、12x22x906、2x23x507、2x25x308、用配方法证明：方程x2x10无解9、用配方法证明：方程x2x10的值恒大于零公式法1、32t24t102、x23、x23x1104、2x23x 185、3x212x6、已知x23x40的根为x1,x2，求x1x2，x1x2，1122x，x1x2 1x2配方法1、4x2x32x2、9x26x103、x2 293x124、2x2 24x25、92x3 242x5 24x1207、4x3 254x3608、2x1x13x1x19、x x1x20第四篇：配方法解一元二次方程“配方法解一元二次方程”说课于晓静：北京市十一学校中学高级一、教材的地位和作用配方法是以配方为手段、以平方根定义为依据解一元二次方程的一种基本方法，其中所涉及的完全平方式、求一个非负数的平方根以及解一元一次方程等都是学生已有的知识与技能，为本节课的学习奠定了知识技能方面的基础。
公式法解一元二次方程
试一试：你会解吗？
• 例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 • 解: a=2 b=5 c= -3 1.确定系数:用a,b,c写 出各项系数; • ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 2.计算: b2-4ac的值; 求根公式 : X=
即
x1= - 3
5 49 = 2 2 5 7 = 4 1
3 . 2
巩固训练
• 用公式法解下列方程： • 1、x2 +2x =5 （x1=-1+ • 2、 6t2 -5 =13t
（t1=
，x2=-11 ） 3
）
5 2
，t2=
3、5x2-4x-12=0
6 x1 ; x 2 2 . 5
课堂小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
b 2 4ac 0
时，一元二次方程有两个
• •
（口答）填空：用公式法解方程 2x2+x-6=0
解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6 . b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49 . 1 49 1 7 x= = 2 2 = 4. 即 x1= -2 , x2 =
当堂检测
• 用公式法解下列方程： • （1）x2+8x=20 (2)x2-3x-10=0 • (3)4x2+4x=-1 (4)x2-x-1=0
拓展提升
• 思考题： • 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方 程的两根为互为相反数？ • 2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数 解
配方法解一元二次方程ppt课件
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
想一想：
关于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，当
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c .
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x 2 b x b 2 b 2 c . 3.配方:方程两边都加上一次项
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当 b 2 4ac 0时 ,
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
解：
a 2,b 7,c c
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
7 22
7 4
现有一块长80cm，宽60cm的薄钢 片，在每个角上截去四个相同的小 正方形，然后做成底面积为 1500cm²的无盖的长方体盒子，那 么截去的小正方形的边长为多少？
一元二次方程的解法：公式法
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学 张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1； 移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
一元二次方程的解法-公式法1
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
例 3 解方程： x 21 3 x 6
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
b b2 4ac x 2a
例 2 解方程： x 3 2 3 x
解：去括号，化简为一般式：
b b2 4ac x 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
例 1 解方程： x 7 x 18 0
2
解： 这里 a 1 b 7 c 18
b 4ac （ 7 ） 4 1 （ 18 ） 121
2 2
7 121 7 11 x 21 2
即：
x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得 配方，得
九年级数学配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
2、 6t2 -5 =13t （t1 = ，t2 = ）
例
用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
例
用公式法解方程：
x2 – x =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = 即 x1=2, 求根公式 : X= x2 = =
有两个相等的实数解
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那次就看看实战效果.给我好好表现！" 叶甫根尼做着标准的军礼,下一秒弓着身子到自己的部队驻地. "我们呢?长官！我们民兵那么办?" 李小克看看那个人,他是尼聂利,当初进入沼泽就是那个人引路. "你们民兵是第一次参与战斗,就作为战略预备队,当我们主力有压力时,你们参与战 斗.男兵女兵都参与战斗.所有少年兵一样作为预备队." 李小克知道,那群几乎没有进行过战术训练,只进行过打靶训练的民兵,如果真的把他们当做正规部队,战斗结束后必然伤亡很大.因为他们是动员兵,各方面的素质一塌糊涂.它些女兵,平日里打靶再多也没用,因
人教版初三数学公式法解一元二次方程
一、回顾
用配方法解方程：x2 bx c 0
x 解：移项得： 2 bx c
x2
2
b 2
x
b 2
2
b 2
2
c
则：
x
b 2
2
b2 4
c
当b2 c 0时,方程有实数解. 4
二、公式的推导
x __ __52__7__
即：x1 __1__, x2 __-_6_
２、用公式法解方程
1x2 2x 5 26t2 13t 5 0 3 3 x2 1 x 1 0
22
4x2 2 2x 3 0
2
３、想一想：
关于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，当
b 0
４、提高练习
已知方程 2x2 7x c 0,b2 4ac 0, 求c和x的值.
解： a 2,b 7,c c
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
7 2
2
7 4
五、小结
x 2 3 0 2 3 3
2 1
2
x1 x2 0
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
四、练习
１、用公式法解方程
3x2 5x 2 0
解：a __3__,b _5__,c _-_2_ b2 4ac __49__
2.2-2.4 用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程(分层练习,7种题型)(解析版)
2.2-2.4用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程分层练习考查题型一直接开平方法解一元二次方程所以3x =-第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．详解】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．考查题型二配方法解一元二次方程考查题型三配方法的应用考查题型四公式法解一元二次方程1．解方程：22520x x -+=．【详解】解：22520x x -+=这里2,5,2a b c ==-=22=4(5)422251690b ac ∆-=--⨯⨯=-=>考查题型五根据判别式判断一元二次方程根的情况1．下列一元二次方程无实数根的是（）A ．220x x +-=B ．220x x -=C ．2x x 50++=D ．2210x x -+=【详解】解：A ．1890∆=+=>，方程有两个不等的实数根，不符合题意；B ．40∆=>，方程有两个不等的实数根，不符合题意；C ．120190∆=-=-<，方程没有实数根，符合题意；D ．440∆=-=，方程有两个相等的实数根，不符合题意；故选：C ．2．一元二次方程210x x +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根【详解】解：241450b ac ∆=-=+=>∴一元二次方程210x x +-=的根的情况是有两个不相等的实数根，故选：A.3．对于任意实数k ，关于x 的方程222(5)24500x k x k k -++++=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判定【详解】解：∵2225412450k k k ()()⎡⎤∆=-+-⨯⨯++⎣⎦2424100k k =-+-243640k ()=---<，∴方程无实数根．4．已知,,a b c 分别是ABC 的边长，则一元二次方程2()20a b x cx a b ++++=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断【详解】解：△=（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）=4c 2-4（a +b ）2=4（c +a +b ）（c -a -b ）．∵a ，b ，c 分别是三角形的三边，∴a +b ＞c ．∴c +a +b ＞0，c -a -b ＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．故选：A ．考查题型六根据一元二次方程根的情况求参数1．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=．(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m 的值；(2)如果该方程有一个根小于0，求m 的取值范围．【详解】（1）解：依题意，得：22[(2)]4(1)m m m ∆=-+-+=，∵方程有两个相等的实数根，∴20m =，∴0m =．（2）解：[]2(2)1(1)(1)0x m x m x x m -+++=--+=解得11x m =+，21x =，∵方程有一个根小于0，∴10+<m ，∴1m <-．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣2）x +2m ﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m 的值．【详解】（1）解：证明：∵Δ=（m -2）2-4（2m -8）考查题型七因式分解法分解因式1．阅读下列材料：已知实数m ，n 满足()()2222212180m n m n +++-=，试求222m n +的值．解：设222m n t +=，则原方程变为()1)0(18t t +-=，整理得2180t -=，即281t =，∴9t =±．∵2220m n +≥，∴2229m n +=．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x ，y 满足()()222222322327x y x y +++-=，求22x y +的值．（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．【详解】解：（1）设2222x y m +=，则(3)(3)27m m +-=，∴2927m -=，即236m =，∴6m =±，∵22220x y +≥，∴22226x y +=，∴223x y +=．（2）设最小数为x ，则()()()123120x x x x +++=，即：()()22332120x x x x +++=，设23x x y +=，则221200y y +-=，∴112y =-，210y =，∵0x >，∴2310y x x =+=，∴12x =，250x =-<（舍去），∴这四个整数为2，3，4，5．2．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+= ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0y +1=0解得：x =1，y =﹣1。
4.2 一元二次方程的解法(4)公式法
7 81 x . 2 2
∴ x1=4，
1 x2 . 2
例.用公式法解下列方程： (3) x2=3x－8.
解（3）移项，得x2－3x+8=0． ∵a=1，b=－3，c=8， b2－4ac=9－4×1×8=－23＜0. ∴原方程无解.
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般 形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2－4ac的值， 当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac ＜0时，方程无实数解(根) .
由题意,得 x( x 2) 168.
整理, 得x2 2x 168 0. 解这个方程, 得x1 12, x2 14.
x是正偶数, x 12, x 2 14.
答 : 这两个正偶数是12和14.
归纳总结
1、解一元二次方程一般有哪几种方法？
2.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程时要注意什么？ 3、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？
6 0 x . 29 1 x1 x2 . 3
检测练习
3、已知等腰三角形的底边长为9，腰长是方程 x 的一个根，求这个三角形的周长．
2
10 x 24 0
解 : 解方程x2 10 x 24 0, a 1, b 10, c 24, b2 4ac (10)2 4 1 24 4 0.
10 4 x 6, x 4. x . 1 2 2 1
若腰长为6,6 6 9, 符合题意.
此时三角形的周长为6+6+9=21.
若腰长为4, 4 4 9, 不合题意，舍去. 答：这个三角形的周长为21.
一元二次方程的解法_公式法
2 −2 2 当 x +1 = 时，有 x = 2 2 − 2 −2 2 当 x +1 = − 时，有 x = 2 2 2 −2 − 2 −2 所以原方程的解为 x1 = . , x2 =
2 2
用配方法解一元二次方程
ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
2
例1 利用求根公式解方程
2 x − 8x + 3 = 0
用配方法解一元二次方程: 用配方法解一元二次方程: 2 x 2 2 解: 移项，得 2 x + 4 x = −1 移项，
2
+ 4x + 1 = 0
1 二次项系数化为1， 二次项系数化为 ，得 x + 2 x = − 1 22 2 2 配方， 配方，得 x + 2 x + 1 = − + 1 2 1 2 整理， 整理，得 ( x + 1) = 2 2 用直接开平方， 用直接开平方，得 x + 1 = ± 2
2
当b2 − 4ac ≥ 0时 一元二次方程才有实数根 , .
− b ± b 2 − 4ac 3、代入求根公式 : x = 、 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2 、写出方程的解：
分层第116、 页 分层第 、117页
的值。 b − 4ac 的值。
2
3、当 、 和 b − 4ac 的 值带入求根公式计算，就可以求出方程的解。 值带入求根公式计算，就可以求出方程的解。
2
b − 4ac ≥ 0 时，把 a, b
例2 利用公式法解方程
x x+2 3 =4
(
)
练Hale Waihona Puke 2 练习用公式法解下列方程
八年级下册3用公式法解一元二次方程
x
7 121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2.
x b
b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3x
解：化简为一般式：x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
.
7.定解:写出原方程的解.
公式法是这样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 : x2 b x c 0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2
b
a x
ca.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
b
a x
b
a2
b
2
x2 3
; x2 . 3.
4
9
2
2
2. 73
.
我最棒 ,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
解:设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得 B
x2 x 22 x 22.
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
A
x1 8, x2 0(不合题意,舍去).
1.2.3一元二次方程的解法(公式法1)解读
求根公式 : X=
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写
出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解: x1=?, x2=?
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
例 4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b b2 4ac x 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
(2)x2+x-6=0
(3)3x2-6x-2=0
解: a 1, b 1, c 6 b 4ac 1 24 25 0
2
解: a 3, b 6, c 2 b 4ac 36 24 60 0
2
1 25 1 5 x 2 2
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 .
a 1, b 2, c 5 b 4ac 4 20 24 0
2
x=
= .
=
.
2 24 x 1 6 2
即
x1 = -2 ,
x2 =
.
x1 1 6 , x2 1 6
做一做
1.用公式法解下列方程：
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
配方法解一元二次方程
用公式法解方程2x 例1.用公式法解方程 2+5x-3=0 用公式法解方程 解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4acห้องสมุดไป่ตู้52-4×2×(-3)=49 × ×
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解下列方程: 用公式法解下列方程: (口答)填空:用公式法解方程 口答)填空: 3x2+5x-2=0 解:a= 3 ,b= 5 ,c = -2 . (x1=-1+ ,x2 =-1) b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1 = -2 , = x2 = . = . 1,x2 +2x =5
2, 6t2 -5 =13t (t1 = ,t2 = )
用公式法解方程: 例 用公式法解方程: 例 用公式法解方程: 用公式法解方程: x2 – x =0 x2 +3 = 2 x 移项, 解:移项,得 x2 -2 x+3 = 0 ,c=3 )2-4×1×3=0 = = a=1,b=a=1,b=-2 b2-4ac=(-2 4ac=(∴x= x1 = x2 = 练习:用公式法解方程 练习 用公式法解方程 x2= 1, x2 , 2, 2x2 - 2 , x -1= 0 x+1= 0
�
配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤: 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.把原方程化成 +px+q=0的形式 的形式. 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式. 2.移项整理 得 x2+px=-q +px=2.移项整理 3.在方程 的一半的平方. 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方. x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
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用配方法和公式法解一元二次方程
一.教学内容：
用配方法和公式法解一元二次方程
1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．
2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．
3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．
二. 知识要点：
1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．
通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．
3.用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）用直接开平方法求出方程的根．
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
三. 重点难点：
本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．
例2.用配方法解方程：
（1）x2＋2x－5＝0；（2）4x2－12x－1＝0；
（3）（x＋1）2－6（x＋1）2－45＝0．
分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x ＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方．
（3）将方程整理得
（x＋1）2－6（x＋1）2＝45，
－5（x＋1）2＝45，
（x＋1）2＝－9，
由于x取任意实数时（x＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．
评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得复杂些，为此，除非题目有特别指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力争掌握好．
例4.不解方程判断下列方程根的情况．
（1）4x2－11x＝2；
（2）4x2－x＋5＝0；
（3）y2＋14y＋49＝0；
（4）x2＋（m＋2）x＋m＝0．
分析：判断一元二次方程的根的情况应先把方程转化成一般形式，再计算b2－4ac的值．解：（1）原方程化为4x2－11x－2＝0，
a＝4，b＝－11，c＝－2，b2－4ac＝（－11）2－4×4×（－2）＝153＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
（2）a＝4，b＝－1，c＝5，
b2－4ac＝（－1）2－4×4×5＝－79＜0，
所以原方程没有实数根．
（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2－4ac＝142－4×1×49＝0，
原方程有两个相等的实数根．
（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，
b2－4ac＝（m＋2）2－4×1×m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4，无论m取何值，m2＋4＞0，∴b2－4ac＞0，原方程有两个不相等的实数根．
评析：（1）b2－4ac是对一元二次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时，通常把计算结果化成（通过配方）（m ＋n）2＋p的形式，由平方数的非负性说明它的符号．
例5.先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值总大于0．再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？
分析：准确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．
解：x2－5x＋7＝（x－2.5）2＋0.75＞0．
当x＝2.5时，代数式x2－5x＋7的值最小，最小值是0.75．
例6.某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用竹栏围成，竹栏长为40m．
（1）养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200m2吗？
（2）能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
分析：根据题意列出方程，利用配方法或求根公式解方程，如果方程有解且符合实际意义，则满足要求，否则，不能满足要求．
解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40－2x）m．
（1）当面积为150m2时，x（40－2x）＝150，
整理得：x2－20x＋75＝0，即（x－10）2＝25．
解得x1＝5，x2＝15．
此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为30m，或与墙垂直的边长为15m，另一边长为10m．
而当面积为200m2时，x（40－2x）＝200，
解得x1＝x2＝10．
此时的设计方案为：与墙垂直的边长为10m，另一边长为20m．
（2）当面积为250m2时，x（40－2x）＝250，此方程无解．
所以养鸭场的面积不能达到250m2．
【预习导学】
（用因式分解法解一元二次方程）
一. 预习前知
1. 想一想，因式分解有几种方法？
2. 分解因式：
（1）25（7x－3）2－16；（2）5x（2x＋7）－3（2x＋7）；
（3）x2－4x＋4；（4）（x－1）2＋2x（x－1）．
二. 预习导学
1. 根据“ab＝0，则a＝0或b＝0”解下列方程．
（1）（x－1）（2x＋3）＝0；（2）x（x＋1）＝0；
（3）（x－2）（x＋1）＝0．
2. 用因式分解法解下列方程．
（1）x2＋x＝0；（2）（3x－1）2－1＝0；（3）x2－2x＋1＝0．
反思：（1）用因式分解法适合解什么样的一元二次方程？
（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 下列方程不能用开平方法求解的是（）
A. x2－6x＋9＝0
B. （x－5）2＝7
C. 4x2＝1
D. 2y2＋4y＋4＝0
3. 用配方法解方程x2＋3＝4x时，这个方程可化为（）
A. （x－2）2＝7
B. （x＋2）2＝1
C. （x－2）2＝1
D. （x＋2）2＝2
*4. 方程x2＋x－1＝0的根精确到0.1的近似值是（）
A. 0.6，1.6
B. 0.6，－1.6
C. －0.6，1.6
D. －0.6，－1.6
5. 一元二次方程x2－2x－3＝0的根是（）
A. x1＝1，x2＝3
B. x1＝－1，x2＝3
C. x1＝－1，x2＝－3
D. x1＝1，x2＝－3
*6. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（）
*7. 下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（）
A. x2＋1＝0
B. x2＋2x＋1＝0
C. x2＋2x＋3＝0
D. x2＋2x－3＝0
**8. 若x2－2（k＋1）x＋k2＋5是一个完全平方式，则k等于（）
A. －1
B. 2
C. 1
D. －2
二. 填空题
1. 如果（x－2）2＝9，则x＝__________．
2. 方程（2y＋1）2－16＝0的根是__________．
3. 方程（x＋m）2＝n有解的条件是__________．
4. 填空：
（1）x2＋10x＋__________＝（x＋__________）2；
（2）m2－8m＋__________＝（m－__________）2；
（3）x2＋3x＋__________＝（x＋__________）2；
（4）x2＋1/2x＋__________＝（x＋__________）2；
（5）x2－mx＋__________＝（x－__________）2．
*5. 把下列各式化为（x＋m）2＋n的形式：
（1）x2－4x＋7＝__________；（2）x2＋2x－3＝__________；
6. 方程x2＋5x＋3＝0中，b2－4ac＝_______，由求根公式可得方程的根是x1＝_______，x2＝_______．
7. 如果关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a＝__________．
三. 解答题
1. 用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）（x－1）2＝4；（2）4m2－4m＝－1；
（3）3（4x－1）2＝48；（4）y2－2y－8＝0．
2. 用配方法解方程：
（1）x2－6x－7＝0；（2）x2－2x－1＝0；
（3）2x2＋x＝0；（4）（x＋1）2＝x－1．
3. 关于x的二次三项式x2＋2mx＋4－m2是一个完全平方式，求m的值．
4. 如图，一个5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m，如果顶端下滑1m，那么，梯子的底端也将滑动1m吗？请你用所学知识来解释．
5. 若关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－7/4＝0有两个相等的实数根，求k的值．
6. 方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，试求另一个根及k的值．
7. 用100m长的铁丝围成一个长方形，面积是600m2，长、宽分别是多少？能否再围成一个面积是800m2的长方形呢？。