南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵

H
(3) A的n 个特征值均为非负数；
0 ,其中 0
(5) 存在秩为 r的矩阵 Q使得A Q Q ;
H
（6）存在 n阶Hermite矩阵S使得A S 2 .
为 推论5.2.2 设A是n阶Hermite非负定矩阵，其特征值
1 , 2 ,, n，则
(1) 如果Q是任一 n m矩阵，则 Q AQ 0;
A LLH
(5.2.3)
和非零向量 定义5.2.2 设A, B C nn , 如果存在复数
Ax Bx (5.2.5) 则称λ为广义特征值问题 Ax Bx 的特征值，非零 向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
(3) A 0;
(4) tr ( A) i (i 1,2,, n) .
定理5.2.2 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价： (1) A是非负定矩阵； (2) 对任意n 阶可逆矩阵P, PHAP是Hermite非负定 矩阵；
Ir （4） 存 在 n阶 可 逆 矩 阵 P使 得P AP 0 r rank( A);
第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
5.1 5.2 Hermite矩阵与Hermite二次型 Hermite正定（非负定）矩阵
5.3
5.4
矩阵不等式
Hermite矩阵的特征值*
5.1
Hermite矩阵与Hermite二次型
Hermite矩阵 矩阵的惯性
5.1.1 5.1.2
5.1.3
Hermite二次型
其中aij a ji，称为 Hermite二次型。 记
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an 2
a1n x1 a2n x2 ,x x a nn n
则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的 矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。
为负定的；
(4) 如果对任意 x C n , 都有x H Ax 0，则称 x H Ax为 半负定的；
为不定的 .
(5) 对不同的 x C n , x H Ax有时为正 , 有时为负 , 则称x H Ax
定理5.1.9 对Hermite二次型f (x) = xHAx, 有
(1) x Ax正定的充分必要条件为 s r n；
轴 上 特 征 值 的 个 数 （特 重征 值 按 重 数 计 算 ） 。
In( A) In( B)
(5.1.6)
5.1.3
Hermite二次型
n n
由n个复变量 x1 ,, xn，系数为复数的二次齐 式
f ( x1 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
(5.1.10)
H
(2)
A 0;
(3) tr( A) i (i 1,2,, n) .
定理5.2.3 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 A的顺序主子式均为正数，即
1 k k A 1 k 0
k 1,, n
定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 A的所有主子式全大于零。 定理5.2.5 n 阶Hermite矩阵 A非负定的充分必要条件 是A的所有主子式均非负。 定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得
x C n使得
P AP diag(1 ,, n ), P BP I
H H
其中1 , 2 ,, n是广义特征值问题 (5.2.5)的特征值。
5.3
矩阵不等式
定义5.3.1 设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，若A－B≥0， 则称A大于或等于B（或称 B小于或等于 A），记作 A≥B（或B≤A）；若A－B＞0，则称A大于B（或称 B小于A），记作A>B或（B<A）。 设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，由定义5.3.1得
(5.1.12)
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的 标准形。
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵，则 (1) A的所有特征值全是实数； (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。
定理5.1.3 设A C nn ，则 A是Hermite矩阵的充分 必要条件是存在酉矩阵U使得
U AU diag(1 , 2 ,, n )
H 2 i 1
r
x C 都 有x Ax 0.
n H
( 3) 若s 0, r n, 则规范形为 x Ax yi .若x 0,
H 2 i 1
n
则y 0, x Ax 0.
H
(4) 若s 0, r n, 则 规 范 形 为 x Ax yi .对 任 意
H
n 定义5.2.1 设A是n阶Hermite矩 阵, 如 果 对 任 意 xC 且
x 0, 都 有x Ax 0， 则 称 A为 正 定 矩 阵 , 记 作A 0; 如 果对任意 x C 都 有x Ax 0, 则 称A为 非 负 定 (半 正 定 )
n H
矩 阵, 记 作A 0.
利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可 表示为 f ( x ) x H Ax
设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则
f ( x ) x H Ax y H By
其中B P H AP .
Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方 项的二次型
1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
H 2 i 1
r
x C n都 有x H Ax 0.
H s 2 r
(5) 若0 s r n, 则 规范 形 为 x Ax yi yi
i 1 i s 1
2
对 不同 的 x , x H Ax之 值可 以 大于 0, 小 于0或 等于 0.
定义5.1.1 设f (x) = xHAx为Hermite二次型。
其中1 , 2 ,, n是Hermite矩阵A的特征值。
定理5.1.8 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在可逆 线性变换x = Py 使得Hermite二次型f (x)化为
f ( x) x H Ax y1 y1 ys ys ys1 ys1 yr yr
设A C
nn
, ( A)、 ( A)和 ( A)分 别 表 示 A
的 位 于 复 平 面 上 右 半平 开面 、 左 半 开 平 面 和 虚 记 In( A) { ( A), ( A), ( A)} 则 称In( A)为 矩 阵 A的 惯 性 。
定理5.1.6(Sylvester惯性定律） 设 A,B是n 阶Hermite 矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是
H
(5.1.1)
其中1 , 2 ,, n均为实数。
定理5.1.4 设 A R nn ，则 A是实对称矩阵的充分 必要条件是存在正交矩阵Q使得
QT AQ diag(1 , 2 ,, n )
(5.1.2)
其中1 , 2 ,, n均为实数。
5.1.2 矩阵的惯性
(4) 若A,B是Hermite矩阵，则 AB是Hermite矩阵的 充分必要条件是AB = BA；
(5) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S， SH AS是Hermite矩阵。
定理5.1.1 设A (a jk ) C
nn
, 则A是Hermite 矩阵的充分
n H
必要条件是对任意x C , x Ax是实数.
(5) 存在n 阶可逆矩阵Q使得A = QHQ；
(6) 存在n 阶可逆Hermite矩阵S 使得A = S2.
推论5.2.1 设A是n阶Hermite正定矩阵，其特征值为
1 , 2 ,, n，则
(1) A1是正定矩阵； (2) 如果Q是任一 n m列满秩矩阵，则 Q H AQ 0;
(4) 若A 0， A 0, 则A 0; (5) 若A 0，B 0, 则A B 0; (6) 若A B，B C , 则A C; (7) 若A B，A1 B1 , 则A A1 B B1; (8) 若A 0，B 0, 则A B 0; (9) 若A B，B C , 则A C;
(1) 如果对任意 x C 且x 0, 都有x Ax 0，则称 x Ax
n H H
为正定的； (2) 如果对任意 x C n , 都有x H Ax 0，则称 x H Ax为
半正定 (非负定 )的； (3) 如果对任意 x C n且x 0, 都有x H Ax 0，则称 x H Ax
A B 对任意 x C 都有x Ax x Bx
n H H
注意
(1) 任意两个实数总可以比较大小。但任意两个n 阶 Hermite矩阵未必能“比较大小”，即并非A≥B或 B≥A两者之中必有一成立。
(2) 对任意两个实数a和b，如果a ≥ b，而a≯b，则 有a = b。但对两个n(n ≥2)阶Hermite矩阵A与B， 从A ≥B和A≯B，不能推出A = B。
正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：
(1) 单位矩阵 I 0； (2) 若A 0, 数k 0, 则kA 0； (3) 若A 0, B 0, 则A B 0；
(4) 若A 0, B 0, 则A B 0.
定理5.2.1 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价： (1) A是正定矩阵； (2) 对任意n 阶可逆矩阵P,PHAP 都是Hermite正定 矩阵； (3) A的n 个特征值均为正数； (4) 存在n 阶可逆矩阵P使得PHAP = I；
5.1.1 Hermite矩阵
Hermite矩阵具有如下简单性质： (1) 如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是 Hermite矩阵；
(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵，则A-1 是Hermite矩阵； (3) 如果 A,B是Hermite矩阵，则对实数k,p, kA+pB 是 Hermite矩阵；
(3) 矩阵的“≥”是Hermite矩阵集合中的一种偏序 关系。
定理5.3.1 设A, A1, B, B1, C均为n 阶Hermite矩阵，则 (1) A B( A B) A B( A B);
(2) A B( A B) 对任意 n阶可逆矩阵 P都有 P H AP P H BP( P H AP P H BP ) (3) 若A B( A B)，k为正数，则 kA kB(kA kB);
定理5.1.5 设 A是n 阶Hermite矩阵，则 A相合于矩阵
Is D0 0 0 0 Irs 0 0 0 On r ( 5 .1 .3 )
其中 r = rank(A)，s是 A的正特征值（重特征值按 重数计算）的个数。
(5.1.3)中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。
其中 r = rank(A)，s = π(A).
Hermite二次型可分为五种情况
H
(1) 若s r n, 则规范形为 x Ax yi . 若x 0,
2 i 1
n
则y 0, x Ax 0.
H
( 2) 若s r n, 则 规 范 形 为 x Ax yi . 对 任 意
H
(2) x H Ax半正定的充分必要条件 为s r n； (3) x H Ax负定的充分必要条件为 s 0, r n； (4) x H Ax半负定的充ห้องสมุดไป่ตู้必要条件 为s 0, r n； (5) x H Ax不定的充分必要条件为 0 s r n.
5.2
Hermite正定（非负定）矩阵