09福州大学至诚学院理工类高等数学期末试卷A

福州大学至诚学院理工09级 (上)期末试题A

一、单项选择(共18分,每小题3分)

1.

函数()ln(ln f x x a =+-是( ).

(A)偶函数 (B)非奇非偶函数 (C)奇函数 (D) 奇偶性取决于a

2. 当0x →时，无穷小sin x x -与x 比较是( )无穷小.

(A)同阶 (B)等价 (C)高阶 (D) 低阶

3.设2()()lim 2()

x a f x f a x a →-=--,则x a =是()f x 的( ). (A)不可导点 (B)可导点但()0f a '≠ (C)极大值点 (D)极小值点 4.设cos 1()1x x f x ax b

x ≤⎧=⎨+>⎩且(1)f '存在，则必有( ). (A) 1,1a b ==- (B) sin1a b ==

(C) sin1,cos1sin1a b =-=+ (D) 1,0a b ==

5.设()f x 连续, ,则1lim ()x a

x a f t dt x a →=-⎰ ( ). (A) 0 (B) a (C) ()af a (D) ()f a

6. 设()f x 连续且220()()x F x tf x t dt =-⎰

.则()F x '= ( ).

（A ）()xf x (B) ()2xf x (C) ()xf x - (D) ()2xf x - 二、填空(共21分,每小题3分) 1.2lim sin 1

n n n n →∞=+ . 2.要使函数1

()(1)x f x x =-在0=x 处连续,则应补充定义(0)f = . 3. 22

22sin (1)cos 1x xdx x

π

π-+

=+⎰ . 4. 函数x x x f cos 2)(+=在]2

,0[π上的最大值为 . 5.

x 是()f x 的一个原函数，则(3)f x dx =⎰ .

6. 反常积分20148dx x x +∞=++⎰ .

7. 微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy +-+=的通解为 .

三、计算题(每小题7分,共14分)

1.求极限20sin lim arcsin x x x x x

→-.

2. 设cos sin t t x e t y e t

⎧=⎪⎨=⎪⎩ , 求dy dx 和22d y dx .

四、计算题(每小题7分,共14分)

1. 已知方程tan()y y x =-确定了()y y x =，求dy .

2.

计算不定积分⎰.

五、计算题(每小题7分,共14分)

1.

计算定积分0π

⎰

2. 求心形线(1cos )(0)r a a ϕ=+>的全长.

六、应用题(每小题7分,共14分)

1.设一曲线过原点且其上任意一点 (,)x y 处的切线斜率等

于2x y -，求该曲线方程.

2. 设抛物线232y ax bx c =++过原点且当01x ≤≤时0y ≥，该抛物线与x 轴及 直线1x =所围成的图形的面积为1，试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成 的旋转体的体积最小.

七、证明题(共5分)

设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导且()0f a =，

证明：存在一点(0,)a ξ∈使()()0f f ξξξ'+=.